北师大版五年级数学上册第三单元：《倍数与因数》教案：通过数数活动引导学生认识倍数因数概念落实数论概念启蒙培养数学思维与表达素养

北师大版五年级数学上册第三单元：《倍数与因数》教案：通过数数活动引导学生认识倍数因数概念，落实数论概念启蒙，培养数学思维与表达素养课题与学情背景信息本教案面向小学数学学科，年级为五年级上册，教材为北师大版。课题是《倍数与因数》，隶属于第三单元“倍数与因数”的起始概念认知课。课型定位为通过具体的数量关系情境，建立倍数与因数这两个相互关联的整数概念，理解二者之间存在“相互依存”关系的概念形成课。核心素养导向的教学目标知识与能力目标：概念理解：结合具体情境，理解倍数与因数的意义，知道倍数与因数是两个非零自然数之间的一种关系，能举例说明。关系表达：能正确表述“（）是（）的倍数”、“（）是（）的因数”，理解两者表达的同一关系。方法掌握：掌握找一个数的倍数和一个数的因数的方法，知道一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身；一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身。过程与方法目标：经历“情境引入—算式表征—关系抽象—方法探究—巩固应用”的概念形成过程，建立数学模型。运用“算式关联法”理解概念：从“9×4=36”等乘法算式中，引导学生理解36是9和4的倍数，9和4是36的因数，将倍数、因数与乘除法算式建立联系。运用“集合图直观法”整理结果：初步渗透集合思想，用集合图或列举法清晰呈现一个数的倍数或因数，感受“无限”与“有限”的差异。运用“对比辨析法”深化理解：通过正反例辨析（如“4是因数”错在何处）、倍数与因数方法的对比，巩固概念的本质。情感态度与价值观目标：在探究倍数与因数的关系中，感受整数之间的内在联系和数学的严谨性。初步了解数论这一数学分支的趣味性，激发进一步探究的欲望。教学重难点及突破策略教学重点：理解倍数与因数的意义，掌握找一个数的倍数和因数的方法。教学难点：理解倍数与因数的相互依存关系（不能单独说某个数是倍数或因数）。有序、不重复、不遗漏地找出一个数的所有因数。突破策略：“角色扮演与相互介绍”理解依存关系：创设“数字家庭”情境。“36”是一个大家庭，它的家庭成员有谁？（从乘法算式找：如1,2,3,4,6,9,12,18,36）。教师强调：“36”是倍数，“1,2,3...”是因数。然后提问：“1”能单独说自己是因数吗？引导学生说：“1是36的因数”。“36”能单独说自己是倍数吗？引导学生说：“36是1的倍数”。通过反复进行“（）是（）的倍数/因数”的句式训练，像介绍一对好朋友一样，必须同时说出双方，让学生深刻体会“相互依存”。“乘法算式桥梁”贯通概念：紧紧抓住“如果a×b=c（a,b,c都是非0自然数），那么c是a和b的倍数，a和b是c的因数”这一核心。通过多个算式的举例、变式（如9×4=36，所以36÷9=4，所以36是9的倍数，9是36的因数），将倍数、因数与乘、除法紧密联系起来，使学生明白这是同一数量关系的不同说法。“成对寻找”发现因数规律：以找36的因数为例。引导学生从1开始试：1×36=36，所以1和36是一对因数；2×18=36，所以2和18是一对；3×12=36；4×9=36；6×6=36（此时两个因数相同，只写一个）。按此顺序，当试到6时，再往后的数就会与前面重复。引导学生发现：因数都是“成对”出现的，并且按从小到大找，找到“中间”（两个因数接近或相等）就可以停止了。总结方法：从1开始，一对一对地找，直到两个因数接近或相等。“倍数有序列，因数对对齐”板书示范：教师在黑板上示范找一个数的倍数（如5的倍数：5,10,15,20…）和一个数的因数（如18的因数：1,18；2,9；3,6）。将倍数按序排列，将因数成对书写，形成鲜明的视觉对比，帮助学生记忆方法和理解“无限”与“有限”。“错例诊疗室”强化辨析：出示错误说法：“8是倍数，4是因数”、“6的倍数有6,12,18,24,30,36”。让学生诊断错误并改正，在辨析中内化正确概念和方法。教学准备与资源描述教师准备：多媒体课件：展示队列体操的情境图：同学们排成整齐的队伍，每行9人，排了4行，一共有36人。动态呈现算式“9×4=36”。围绕此算式，动态呈现“36是9的倍数，36是4的倍数”、“9是36的因数，4是36的因数”的关系表述。通过更多例子（如5×7=35）巩固表述。演示如何找一个数的倍数（如点击“2”，出现2,4,6,8…并提示“用这个数依次乘1,2,3…”）和找一个数的因数（以12为例，动态演示从1开始成对寻找的过程：1×12=12,2×6=12,3×4=12，结果用集合图呈现）。实物教具：可粘贴的数字卡片（1-50），用于在黑板上构建倍数或因数集合。学生准备：练习本、草稿纸。课前预习要求：回忆什么叫“倍”，并尝试写几个乘法算式。教学过程一、情境导入师：（出示运动会上学生排成方正做操的情境图）同学们，看！运动会上，我们班的同学排着整齐的队伍在做操。老师数了数，他们每行站了9个人，正好站了4行。根据这两条信息，你能提出一个数学问题吗？生：一共多少人？师：对！怎样列式？生：9×4=36（人）。（教师板书：9×4=36）师：这个乘法算式，表示了9、4和36这三个数之间的一种关系。其实，这种关系在数学上还有两个专门的名字呢！今天，我们就来认识它们——倍数与因数。（板书课题）二、探究新知探究活动一：认识倍数与因数师：我们回到这个算式“9×4=36”。我们可以这样说：因为9×4=36，所以36是9的倍数，也是4的倍数；反过来，9和4都是36的因数。（教师边说边用箭头或不同颜色在算式上标注）师：谁能像老师这样，根据“9×4=36”，再说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数？生1：36是9的倍数，36是4的倍数；9是36的因数，4是36的因数。师：说得很完整。请注意，我们在说倍数或因数时，一定要说清楚“谁是谁的”。也就是说，倍数和因数是表示两个数之间的一种关系，不能单独说一个数是倍数或因数。比如，能说“36是倍数”吗？生（部分）：不能！要说“36是9的倍数”。师：对！能说“4是因数”吗？生：不能！要说“4是36的因数”。师：非常好！我们再来试一个。根据“5×7=35”，谁来说一说？生2：35是5的倍数，35是7的倍数；5是35的因数，7是35的因数。师：看来大家初步明白了。我们也可以从除法角度来想：因为36÷9=4，没有余数，我们就说36能被9整除，所以36是9的倍数，9是36的因数。倍数和因数都是在“整除”的前提下讨论的，而且我们一般只在自然数（0除外）的范围内研究。探究活动二：找一个数的倍数师：我们已经知道36是9的倍数。那9的倍数除了36，还有哪些呢？怎样才能一个不漏地找到9的倍数？生3：用9去乘1，乘2，乘3……一直乘下去。师：好方法！也就是用9分别去乘1,2,3,4……，得到的积都是9的倍数。我们一起来说几个：9×1=9，9×2=18，9×3=27，9×4=36……（边写边板书：9的倍数有：9,18,27,36……）师：写得完吗？生：写不完，有很多很多，是无限的。师：对，一个数的倍数的个数是无限的。其中最小的倍数是它本身（9）。没有最大的倍数。我们通常写几个后用省略号表示。现在，请你们自己找出2的倍数和5的倍数，各写5个。（学生练习，教师巡视。反馈：2的倍数有2,4,6,8,10…；5的倍数有5,10,15,20,25…）师：观察一下，一个数的倍数有什么特点？生4：一个数的最小倍数是它自己，倍数的个数是无限的，没有最大的。探究活动三：找一个数的因数师：我们知道了怎么找倍数。那怎么找一个数的因数呢？比如，找出36所有的因数。因数能不能也用一个数去乘很多数得到呢？反过来想，哪些数乘起来等于36？生5：1×36=36，所以1和36是36的因数。师：好！找到了第一对：1和36。（板书：1,36）还有吗？生6：2×18=36，所以2和18也是36的因数。师：（板书：2,18）继续。生7：3×12=36，4×9=36，6×6=36。师：（板书：3,12；4,9；6）注意，6×6=36，因数6重复了，我们只写一个。我们是从几开始找的？生：从1开始。师：找到6以后，还需要继续找7吗？7乘以几等于36？生：不行，7乘5是35，乘6是42，都不等于36。所以7不是。师：8呢？生：8乘4是32，乘5是40，也不行。师：那什么时候我们就可以停下来了？生8：找到接近的或相等的两个因数时，比如这里找到6和6。师：对！因数总是成对出现的（除了像6×6这种）。从1开始找，找到的一对因数中，较小的那个在变大，较大的那个在变小，直到两个数接近甚至相等，就可以停止了。这样找，才能不重不漏。所以，36的全部因数有：1,2,3,4,6,9,12,18,36。（将板书整理成一行）我们数一数，36有几个因数？生：9个。师：是的，一个数的因数的个数是有限的。最小的因数是（1），最大的因数是（它本身）。现在，请你们找出16和15的所有因数。（学生练习并反馈：16的因数：1,2,4,8,16；15的因数：1,3,5,15）三、巩固练习师：下面我们进行闯关练习，巩固今天学的新知识。第一关：概念理解关（判断并说理）因为4×6=24，所以24是倍数，4和6是因数。（×）理由：倍数和因数是相互关系，必须说“谁是谁的”。因为36÷9=4，所以36是9的倍数。（√）1是所有非零自然数的因数。（√）8的倍数有无数个，8的因数也有无数个。（×）理由：一个数的倍数无限，因数有限。第二关：找一找，写一写写出下面各数的倍数（各写5个）：7的倍数（7,14,21,28,35），10的倍数（10,20,30,40,50）。写出下面各数的所有因数：18的因数（1,2,3,6,9,18），24的因数（1,2,3,4,6,8,12,24），11的因数（1,11）。第三关：火眼金睛下面的数哪些是6的倍数？（圈出来）12，23，30，48，56，60下面的数哪些是48的因数？（圈出来）3，6，8，16，24，9第四关：生活应用老师要把18块糖果平均分给小朋友，每个小朋友分到的块数要一样多，而且不能有剩余。可以分给几个小朋友？（其实就是找18的因数：可以分给1,2,3,6,9,18个小朋友，结合实际排除分给1个或18个的情况，合理答案可以是2,3,6,9个）第五关：挑战思维一个数既是6的倍数，又是8的倍数，这个数最小是多少？（求最小公倍数的铺垫，可以列举6和8的倍数找公共最小数：6的倍数：6,12,18,24…；8的倍数：8,16,24…，最小是24）一个数的最大因数是12，这个数的最小倍数是多少？（一个数的最大因数是它本身，所以这个数是12，它的最小倍数也是12）四、课堂小结师：同学们，今天我们一起走进了“倍数与因数”的数学世界。现在，让我们一起回顾一下这趟旅程的收获。师：我们是在什么情况下认识倍数和因数的？（生：在乘法算式中。）对，它们是乘除法算式中几个数之间的一种关系。师：怎样找一个数的倍数？（生：用这个数依次乘1,2,3…）一个数的倍数有什么特点？（个数无限，最小是它本身。）师：怎样找一个数的因数？（生：从1开始，成对地找，直到两个因数接近或相等。）一个数的因数有什么特点？（个数有限，最小是1，最大是它本身。）师：最重要的是，倍数和因数就像一对好朋友，必须（同时出现），我们不能单独说某个数是倍数或因数。希望大家记住这些知识，它们是我们后面学习更大数的特征、分数等内容的重要基础。五、作业布置必做作业：完成练习册《倍数与因数》一课的练习题。找出自己学号的因数，并找出学号的一个倍数（比学号大）。选做作业（挑战自我）：猜数游戏：我的最大因数和最小倍数都是16，我是谁？我的所有因数是1,2,4,8,16，我是谁？研究：观察一个数的因数个数，什么情况下是奇数个？什么情况下是偶数个？（例如，4的因数1,2,4是奇数个；6的因数1,2,3,6是偶数个，引导观察平方数）作业评价量表（Rubric）：优秀（4星）：概念清晰，表述准确；能熟练找出一个数的倍数和所有因数；挑战题能积极探索并有发现。良好（3星）：概念基本理解；能正确找出倍数和大部分因数；完成了选做思考。达标（2星）：能理解倍数与因数的关系，但在找因数时可能有遗漏或表述不完整；完成了必做作业。需努力（1星）：对概念理解模糊，找倍数和因数的方法不清晰；需加强指导。预设性教学反思本节课是数论领域的核心概念起始课，其成败关键在于能否通过恰当的情境和活动，帮助学生跨越从具体“倍”关系到抽象“倍数与因数”概念的鸿沟，并深刻理解这两个概念的相互依存性及寻找方法中蕴含的数学思想。预设的教学高潮与思维难点：从“几倍”到“倍数”的抽象：学生熟悉“36是9的4倍”，但“36是9的倍数”是一种更抽象的类属关系。通过多个乘法算式的类比（如5×7=35，说35是5的倍数），学生能逐渐接纳这种表述。当学生能主动用“倍数”和“因数”描述新的算式关系时，抽象就成功了。“相互依存”关系的理解：这是概念的难点，也是易错点。通过角色扮演式对话（“我是36，我的因数朋友有1,2,3…”、“我是9，我是36的因数”）、进行完整的句式训练（（）是（）的倍数/因数）、以及辨析错误说法（“8是倍数”），能有效强化这种关系认知。当学生能主动纠正同伴的错误表述时，理解就到位了。“成对寻找因数”方法的发现与优化：学生找因数时容易无序、遗漏。通过解决“找全36的因数”这一任务，引导学生从1开始尝试，并记录下“因数对”。他们自己会发现，当找到6时，后面的数开始重复前面的。教师适时引导总结“成对找，到中间停”的方法，这是思维从发散到有序的飞跃，是数学方法教育的好时机。“有限”与“无限”的直观对比：将找一个数的倍数（写不完）和找一个数的因数（写得完）的结果进行并列板书对比，让学生直观感受“无限”与“有限”的差异，并探究其原因（倍数是用乘法，可以一直乘下去；因数是用除法，最大就是它本身）。