北师大版五年级数学上册第五单元：《找最小公倍数》教案：借助列举活动帮助学生掌握找最小公倍数方法落实倍数应用训练培养逻辑思维与表达素养

北师大版五年级数学上册第五单元：《找最小公倍数》教案：借助列举活动帮助学生掌握找最小公倍数方法，落实倍数应用训练，培养逻辑思维与表达素养课题与学情背景信息本教案面向小学数学学科，年级为五年级上册，教材为北师大版，课题是《找最小公倍数》，隶属于第三单元“倍数与因数”的概念应用与方法探究课。课型定位为在学生已经掌握倍数、因数的概念，学习了2，5，3的倍数特征，并掌握了找最大公因数方法的基础上，引入“公倍数”和“最小公倍数”的概念，并通过列举、筛选等方法探索寻找最小公倍数，同时体会其在解决实际问题（如铺正方形、周期性相遇）中的应用价值的技能形成与问题解决课。学生已经能够熟练找出一个数的倍数（一般能找到前几个），理解了倍数和因数的意义，并具备找两个数最大公因数的经验。本节课的核心价值在于：1.建立“公倍数”和“最小公倍数”的概念，将数的特征从“公有因数”拓展到“公有倍数”，完善对整数之间关系的认知体系。2.探索并掌握寻找两个数最小公倍数的基本方法——列举法，并初步接触利用大数翻倍法和分解质因数法（作为拓展），发展解决问题的策略多样性。3.理解最小公倍数在解决具有周期性、重叠性实际问题中的应用，如求“何时再次同时……”等问题。学生的认知冲突和兴趣点在于：两个数会有共同的倍数吗？最小的那个叫什么？怎么找？它有什么用？通过“情境驱动—建立概念—探索方法—应用建模—策略优化”的学习路径，引导学生掌握这一重要的数学工具。核心素养导向的教学目标知识与能力目标：概念建立：理解公倍数、最小公倍数的意义。方法掌握：探索并掌握求两个数最小公倍数的几种方法（列举法、大数翻倍法），并能根据数据特点灵活选择。问题解决：能运用最小公倍数的知识解决简单的实际问题。过程与方法目标：运用“情境导入法”激发需求：通过“铺正方形”等问题，体会找“共同倍数”的必要性。运用“列举法”建立概念基础：分别列举两个数的倍数，找出公有的倍数，确定最小的一个，这是理解概念和掌握基本方法的必经之路。运用“大数翻倍法”优化策略：引导学生发现，因为公倍数首先是较大数的倍数，所以可以列举较大数的倍数，再去筛选哪些也是较小数的倍数。这是对列举法的优化。初步感知“集合图表示法”：用集合图（韦恩图）直观呈现两个数的倍数集合及其交集（公倍数），加深对概念的理解。运用“模型法”解决周期问题：将“何时再次同时发车”、“何时再次同时到校”等周期性问题，抽象为求两个数最小公倍数的模型。情感态度与价值观目标：在探索不同方法的过程中，体验策略多样性和优化选择的价值。体会数学与生活的紧密联系，培养应用意识。教学重难点及突破策略教学重点：理解公倍数和最小公倍数的意义，掌握求两个数最小公倍数的方法。教学难点：理解公倍数和最小公倍数的概念，区别于公因数和最大公因数。能选择合适的方法求出两个数的最小公倍数，并用以解决实际问题。突破策略：“铺正方形”情境，直观引出概念：创设问题：“用一种长3厘米、宽2厘米的小长方形纸片，能铺满边长是整厘米数的正方形吗？正方形的边长最小是多少厘米？”引导学生分析：要铺满正方形，正方形的边长必须既是2的倍数，也是3的倍数。这样，“公倍数”的概念便从解决问题的需要中自然产生。“最小是多少厘米”对应“最小公倍数”。“列举与图示”双重表征建立概念：列举：让学生分别列举出2的倍数（2,4,6,8,10,12…）和3的倍数（3,6,9,12,15…）。引导学生观察、发现两个数列中相同的数：6，12，18…。告诉学生这些数是2和3“公有的倍数”，叫做它们的公倍数。其中最小的那个（6），叫做它们的最小公倍数。图示：用两个集合圈分别表示2的倍数集合和3的倍数集合，将公有的倍数写在两个圈重叠的部分，直观展示“公倍数”的“公有”性。“探究方法，对比优化”：方法一：列举法：分别列举两个数的倍数（一般列举到出现公倍数为止），再找公倍数，最后找最小。这是最基础的方法，强调有序和不遗漏。方法三：短除法（了解）：作为拓展，可以简单介绍用短除法求最小公倍数的方法，并与最大公因数进行对比，让学生感知其联系与区别，但不作统一要求。“辨析概念，强化对比”：将“公倍数”与“公因数”、“最小公倍数”与“最大公因数”进行对比。强调：倍数有无数个，所以公倍数也有无数个，其中最小的只有一个；因数个数有限，所以公因数个数有限，其中最大的只有一个。通过对比加深对新概念的理解。“应用建模，解决问题”：类型一：铺正方形类（求边长）：把铺长方形的问题抽象为求两个数的最小公倍数。类型二：周期相遇类：例如，甲每4天去一次图书馆，乙每6天去一次，他们某天相遇，下次至少几天后相遇？引导学生分析：从相遇那天起，甲去的天数一定是4的倍数，乙去的天数一定是6的倍数，他们下次相遇的天数就是4和6的公倍数。问“至少几天”，就是求最小公倍数。引导学生将生活语言“每几天一次”、“同时”、“下一次同时”等转化为数学语言“倍数”、“公倍数”、“最小公倍数”。教学准备与资源描述教师准备：多媒体课件：情境页：展示用长3cm、宽2cm的小长方形铺正方形的图示或动画，提出问题。探究页：分别呈现2和3的倍数序列，用颜色或动态效果标出公倍数6，12，18…，并引出最小公倍数。方法探究页：以6和8为例，分步展示列举法和大数翻倍法（筛选法）的操作过程。概念辨析页：对比公倍数与公因数、最小公倍数与最大公因数的异同。应用问题页：呈现铺正方形、相遇问题等实际情境。实物教具：画有2×3格的长方形卡片若干，用于模拟拼正方形。学生准备：练习本、草稿纸。课前预习要求：复习找一个数的倍数的方法，尝试找出4和6的前几个倍数。教学过程一、情境导入师：（出示一张长3厘米、宽2厘米的长方形小纸片图片）同学们，老师这里有一些这样的小纸片。现在我想用这种同样大小的小纸片，去铺成一个更大的正方形。铺的时候要求纸片之间既不留缝隙，也不重叠。你们觉得，能铺成吗？如果能，铺成的正方形的边长至少是多少厘米呢？（让学生稍作思考或小声讨论）生1：我觉得能，但是边长是多少得算一算。师：我们先来想想，要铺成一个正方形，正方形的边长需要满足什么条件？生2：正方形的边长应该能被小纸片的长3厘米整除，也能被宽2厘米整除。师：说得真好！也就是说，正方形的边长厘米数，必须是（3的倍数），也必须是（2的倍数）。我们可以分别来找找2的倍数和3的倍数有哪些。请大家在练习本上分别写出2和3的一些倍数（写到出现一个共同的数为止）。（学生动笔写：2的倍数：2,4,6,8,10,12…；3的倍数：3,6,9,12,15…）师：找到那个既是2的倍数，又是3的倍数了吗？生（齐）：6，还有12。师：对！像6，12，…这样，既是2的倍数，又是3的倍数，我们就说它们是2和3的公倍数。（板书：公倍数）其中，最小的那个公倍数是几？生（齐）：6。师：6就叫做2和3的最小公倍数。（板书：最小公倍数）那么，我们最初的问题有答案了吗？用这种小纸片能铺成正方形吗？边长至少是几厘米？生3：能铺成，边长至少是6厘米。师：真棒！今天这节课，我们就一起来学习《找最小公倍数》，看看如何系统地找到两个数的最小公倍数，并解决更多有趣的问题。二、探究新知活动一：理解概念，明确目标师：我们明确了什么是公倍数，什么是最小公倍数。谁能用自己的话再说一遍？生4：两个数公有的倍数叫公倍数，其中最小的一个就是最小公倍数。师：概括得很清晰。这里要注意，一个数的倍数有（无数个），所以两个数的公倍数也有（无数个），我们主要关心其中最小的那一个。我们用一种符号来表示两个数的最小公倍数，比如2和3的最小公倍数，可以记作[2,3]=6。活动二：探究方法，掌握技能师：那么，如何找到两个数的最小公倍数呢？以6和8为例。我们可以用刚才找2和3的思路来试试。方法一：列举法师：第一步，分别写出6和8的倍数（写几个就够了）。请一位同学来说说。生5：6的倍数：6，12，18，24，30…8的倍数：8，16，24，32…师：（将两组倍数对应板书）找出它们公有的倍数。（24，48…）其中最小的公倍数是？（24）所以，[6,8]=24。这种先分别列出倍数，再找公倍数，最后找最小的方法，叫做列举法。它很直观，但有时候写起来可能有点长。方法二：大数翻倍法（筛选法）师：有没有更快捷一点的办法？我们观察一下，既然要找一个“公有的倍数”，这个数一定是8的倍数，对吧？那我们可不可以先找出8的倍数，然后从这个列表里去找哪些同时是6的倍数？生6：可以！8的倍数有8，16，24，32…我们发现24÷6=4能整除，所以24就是6的倍数，那么24就是最小公倍数。师：非常好！这种方法，我们叫它“大数翻倍法”或者“筛选法”。先列出较大数（这里是8）的倍数，然后用这些数去“检验”它是不是较小数（6）的倍数，第一个能被较小数整除的数，就是它们的最小公倍数。大家用这个方法快速找一下[4,10]的最小公倍数。（学生尝试：较大数是10，倍数：10，20…20÷4=5，能整除，所以[4,10]=20。）师：大家觉得这种方法怎么样？生7：比列举法快，不用写两个数的倍数了。师：对，这是一种优化的方法。但要注意，我们为什么选择先找较大数的倍数？因为这样倍数序列增长快，能更快遇到公倍数。活动三：观察特例，发现规律师：我们来求几组数的最小公倍数，看看你能发现什么小窍门。（出示：①[3,6]②[5,10]③[4,9]④[7,8]）（学生计算，汇报：①6；②10；③36；④56。）师：观察前两组，两个数是什么关系？（倍数关系）它们的最小公倍数有什么特点？（就是较大的那个数本身。）师：观察后两组，这两个数呢？（除了1以外，没有其他公因数，互质）它们的最小公倍数呢？（就是这两个数的乘积。）师：你真是个善于发现的孩子！当两个数是倍数关系时，最小公倍数是（较大的数）；当两个数互质时，最小公倍数是（它们的乘积）。记住这些规律，可以帮助我们更快地求出最小公倍数。活动四：解决实际问题，建立模型师：现在我们用学到的知识来解决一个生活问题。（课件出示）甲、乙两人从同一起点开始跑步。甲跑一圈用4分钟，乙跑一圈用6分钟。他们同时起跑，至少多少分钟后两人在起点再次相遇？师：请大家读题，想一想：“再次在起点相遇”是什么意思？生8：意思是两个人又同时回到起点。师：那么，甲跑回起点的时间有什么特点？乙呢？生9：甲跑回起点的时间是4的倍数，乙跑回起点的时间是6的倍数。师：“再次同时”回到起点的时间，应该是什么数？生10：既是4的倍数，又是6的倍数，也就是4和6的公倍数。师：问“至少多少分钟”，是求公倍数中的哪一个？生11：最小公倍数！师：太棒了！我们把一个跑步问题，转化成了求4和6的最小公倍数的数学问题。请大家算一算。生12：4的倍数：4,8,12…；6的倍数：6,12…。最小公倍数是12。所以至少12分钟后两人在起点再次相遇。三、巩固练习师：知识学得怎么样，练习见分晓。第一关：我会找（找出下面每组数的最小公倍数）3和4（12）6和9（18）5和8（40）12和18（36）第二关：快速判断（不计算，利用规律直接说出最小公倍数）[9,18]（18）倍数关系[7,11]（77）互质关系[10,25]（50）？需要计算或观察，不是简单倍数或互质，这里可以改成[10,20]（20）或[8,9]（72）。[1,13]（13）任何数和1的最小公倍数是它本身。第三关：火眼金睛（判断对错）两个数的公倍数的个数是无限的。（√）两个数的最小公倍数一定比这两个数都大。（×，当两数是倍数关系时，最小公倍数等于较大数。）两个数的乘积一定是它们的最小公倍数。（×，只有当两个数互质时才成立。）[a,b]=[b,a]（√）第四关：实际应用我能行一种长方形瓷砖，长6分米，宽4分米。用这种瓷砖铺成一个正方形图案（使用整块砖），铺成图案的边长至少是多少分米？（求6和4的最小公倍数：12分米。）人民公园是1路和3路公交车的起点站。1路车每6分钟发车一次，3路车每8分钟发车一次。这两路公交车同时发车后，至少再过多少分钟又同时发车？（求6和8的最小公倍数：24分钟。）第五关：挑战思维一包糖果，平均分给6个人或8个人都正好分完，这包糖果至少有多少块？（求6和8的最小公倍数：24块。）已知A=2×3×5,B=2×5×7，求A和B的最小公倍数。（最小公倍数应包含所有质因数，每个质因数取最高次幂：2×3×5×7=210。为后续学习分解质因数法求最小公倍数做铺垫。）四、课堂小结师：同学们，今天我们认识了数学王国里的两位新朋友。师：它们是谁？（公倍数和最小公倍数。）什么是公倍数？（两个数公有的倍数。）什么是最小公倍数？（公倍数中最小的一个。）师：我们学会了哪两种主要的求最小公倍数的方法？（列举法和大数翻倍法。）它们各在什么情况下使用比较方便？（列举法通用，大数翻倍法通常更快捷。）师：我们还发现了哪两种可以快速判断的情况？（两数成倍数关系时，最小公倍数是较大数；两数互质时，最小公倍数是它们的乘积。）师：最小公倍数在生活中有很多应用，比如解决（铺正方形）问题、（周期性相遇）问题等。希望大家能灵活运用这些知识。五、作业布置必做作业：完成练习册《找最小公倍数》一课的练习题。找一找生活中还有哪些情况可以用到“最小公倍数”的知识，举一个例子写下来。选做作业（挑战自我）：“方法研究员”：尝试用列举法和大数翻倍法分别求12和15的最小公倍数，比较哪种方法你更喜欢，为什么？“小小出题官”：模仿今天学的“相遇问题”或“铺砖问题”，自己编一道需要用最小公倍数解决的实际问题，并写出解答过程。作业评价量表（Rubric）：优秀（4星）：能清晰阐述公倍数与最小公倍数概念；能熟练运用至少两种方法求最小公倍数；能灵活解决实际应用问题；能完成探究性任务。良好（3星）：理解概念，能正确求两个数的最小公倍数；能解决基本的应用问题。达标（2星）：知道概念和方法，但在求公倍数时有遗漏或选择方法不当；能完成大部分基础练习。需努力（1星）：对公倍数概念理解不清，无法独立求最小公倍数；需要重新进行列举和概念辨析活动。预设性教学反思本节课是“数的整除”知识体系的进一步发展，与《找最大公因数》形成良好对应。教学设计的关键在于引导学生利用已有经验进行迁移，在对比中建立新概念，在探究中掌握新方法，在应用中理解新价值。预设的课堂生成与思维要点如下：“铺正方形”情境的有效性：此情境能直观地将“既是A的倍数，又是B的倍数”这一抽象条件，转化为“边长必须同时是A和B的倍数”的几何需求。学生通过尝试、列举，能直观感知到“公倍数”的存在和“最小”的含义，为概念的建立提供了坚实的经验基础。“列举法”的基础性与“大数翻倍法”的策略性：列举法是学生利用旧知（找倍数）可以直接操作的方法，必须让每个学生都实践一遍，这是理解概念的根本。在此之后，引导学生观察列举过程，思考优化策略：“一定要把两个数的倍数都列出来吗？”启发他们发现，因为公倍数首先是较大数的倍数，所以可以先列较大数的倍数，再去筛选。这种从“并列列举”到“定向筛选”的转变，是思维从基础迈向策略优化的关键一步。教师需要对比两种方法的书写量和思考路径，让学生自己体会优化的好处。特殊关系（倍数、互质）的规律总结：在掌握了基本方法后，设计包含倍数关系和互质关系的练习，引导学生观察结果并总结规律。这不仅能提高计算速度，更能深化对倍数、公倍数、互质等概念的理解。特别强调“互质时最小公倍数是两数之积”与“倍数关系时最小公倍数是较大数”这两个规律，它们是后续解决许多问题（包括分