力学竞赛-第九章 能量法

第九章能量方法初步

本章重点：1、卡氏第二定理2、莫尔定理第一节

杆件应变能的计算第二节功的互等定理和位移互等定理第三节卡氏第二定理第四节莫尔定理及图乘法能量法:用功、能的概念求解弹性体的变形和力的方法。第一节杆件应变能的计算

在小变形前提下，杆件处于线弹性阶段。略去杆件的动能不计，外力的功W

全部转化为杆件的应变能Vε，即：目录一、轴向拉伸（压缩）时应变能计算FF力：变形：轴力为x的函数，应变能杆件应变能密度：目录扭转时外力作功二、圆轴扭转时应变能计算扭矩为x的函数，应变能目录1.纯弯曲时，弯矩等于外力偶三、直梁弯曲时应变能计算MMθρl2.横力弯曲时，弯矩为x的函数，应变能目录

一般，令F为广义力，Δ为广义变形，当F由零开始缓慢增加至最终值时，外力功转变为杆件的应变能，即。若材料处于线弹性范围，对于非线弹性材料，dΔ目录四、应变能普遍表达式杆件复杂变形时，取dx微段，若其上同时有FN

(x)

、Mx

(x)、M(x)作用，杆件的应变能：目录例9-1

集中力F作用于简支梁的C点，试用能量原理计算截面C的挠度wc。设EI为常数。解：由平衡方程解得将梁分为AC和CB两段，

CB段AC段梁的应变能为

（方向向下）

由式可解得目录第二节功的互等定理和位移互等定理一、功的互等定理

定理：在线弹性体上作用两组力，第一组力在第二组力引起的位移上作的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上作的功。即：目录二、位移互等定理F2D21AB1D12ABF1F2D11D21AB2F1D12D22AB1F2D11D21AB2F1D12D22AB先作用F1，再作用F21F2FABD12D22先作用F2，再作用F1单独作用F1单独作用F2D11D211F2FABD11D21D12D22证明：所以应变能目录

例9-2图示简支梁。已知梁中点C作用力F时，B截面的转角，试求在B截面作用力偶矩M时，解：

根据功的互等定理，

FΔC=MθB解得C点的挠度ΔC。

目录例9-3图示悬臂梁，已知梁的抗弯刚度为EI，若B点的垂直位移为零，试用互等定理求FB。解:将F及FB作为第一组力设想在同一悬臂梁右端作用单位力=1，作为第二组力。

点的相应位移分别为

在=1作用下悬臂梁上的F及FB作用由功互等定理有：由此解得：目录第三节卡氏第二定理式中，Δi为Fi作用处沿Fi

方向的位移量。

设在外力F1，F2，…，Fi，…Fn（第一组力）作用下，证明：其相应的位移为Δ1，Δ2，…，Δi，…Δn

。

设Fi有增量（第二组力），其余不变，则相应产生位移增量。应变能增量为

略去高阶小量目录由功的互等定理横力弯曲

桁架

注意：用卡氏定理求结构某处的位移时，该处需要有与所求位移相应的载荷。如果该处没有与此位移相应的载荷，可先在该点虚设一个广义力F，运用卡氏定理求广义位移，最后让该力F=0。目录

例9-4试计算图示结构在荷载F1

作用下C点的竖向位移，结构中两杆的长度均为l

，横截面面积均为A。解：由节点C的平衡方程，可得两杆的轴力为F1FBCFCD目录

例9-5外伸梁ABC的自由端作用有铅直荷载FP，求（1）C端挠度，（2）

C端转角。解：（1）求C端挠度FAFBAB段BC段支座反力分别为目录FAFBM（2）求

C端转角AB段令M=0BC段在

C端加力偶M（）目录第四节莫尔定理及图乘法一．莫尔定理：沿待求位移方向作用单位载荷梁的弯矩方程。

目录：外载荷作用梁的弯矩方程。

：与单位载荷方向一致为正。

证明：在梁上作用一组外力在梁上作用单位力先作用单位力再作用外力由于F1，F2，…作用的应变能为：F0单独作用时的应变能：

先作用单位力，再作用外力梁的总应变能为：

将F1，F2，…与F0=1同时作用，梁截面上的弯矩：

总应变能为：目录推广：Δ为广义位移，FO为沿Δ方向的单位载荷。1.弯扭组合变形杆件

2.桁架3.若要求两点之间的相对位移，沿两点的连线方向加一对方向相反的单位力。莫尔定理目录

例9-6外伸梁ABC的自由端作用有铅直荷载FP，求C端转角。FAFBMoAB段BC段在

C端加单位力偶Mo=1（顺时针）FAoFBoAB段BC段解：目录若F、l、EI已知，试求：1）加力点A的位移ΔA；例9-7

线弹性材料悬臂梁，自由端A作用有集中力。解：（1）求点A的位移。

（2）求梁中点B的位移

在B点附加力FO，BC段目录2）梁中点B的位移ΔB。例9-8

图示线弹性结构，杆中各部分的EI均相同。若F、EI均为已知，试用莫尔定理求A、B两点间的相对位移。解：在A、B两点施加一对单位力

，略去轴力、剪力的影响：M1=0

，

（0≤x≤R）

（R≤x≤2R）（0≤θ≤π/2）AC段：CE段：M2

=-F(x-R)，

EG段：M3=-FR(1+sinθ)

，

相对位移的方向与单位力的方向相同。

目录二.图乘法如MO（x）是x的线性函数

ω:M(x)所围形面积：MO图上对应于M图形心C的纵坐标。

当M图、Mo图为折线时，应以折线的转折点为界，逐段使用图乘法，然后求和。

目录例9-9简支梁受均布载荷作用下，EI为已知常量，试求跨度中点C的挠度。1解：

1.作梁受分布载荷作用的弯矩图2.加单位载荷，作单位载荷弯矩图3.计算两段弯矩图的面积及其形心处MO的坐标。MOC1MOC24.跨中挠度为目录例9-10

平面刚架受力如图，若横杆弯曲刚度为2EI，竖杆弯曲刚度EI，抗拉刚度为EA，且EA、EI、q、l均已知，试求：(1)由于弯曲变形引起的B处水平位移；(2)轴力对B处水平位移的影响。目录解:1.计算弯矩引起的位移

FPFCFAyFAxFAy1FC11111ql2ql2C1C2MFC3MqllMO目录FPFC2FAy2FAx21111+FN+FNO1解:2.计算轴力引起的位移

若截面为l/h=10的矩形对于细长梁，轴力对位移的影响很小。目录小结一、杆件应变能计算1.轴向拉伸（压缩）2.圆轴扭转FF（1）纯弯曲3.直梁弯曲MMθρl（2）横力弯曲4.应变能普遍表达式目录二、功的互等定理1F2