离散数学及应用 课件 1.2 命题公式及分类

DiscreteMathematics鄢小虎

离散数学课程引入

如何判断两个命题公式相同？将命题符号化之后，使用真值表，判断命题所有可能的真值是否相等；若相等，则命题相等。

如何构建真值表？1.2命题公式及分类命题符号化命题变项与合式公式公式的赋值真值表命题的分类

例将下列命题符号化.(1)王晓既用功又聪明.(2)王晓不仅聪明，而且用功.(3)王晓虽然聪明，但不用功.解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则

(1)p∧q(2)p∧q(3)q∧

p.

例将下列命题符号化.(4)张辉与王丽都是三好生.(5)我爱深职大，他也爱深职大.(6)我在深职大，但他不在深职大.

令r:张辉是三好学生，s:王丽是三好学生

(4)r∧s.令r:我爱深职大，s:他爱深职大

(5)r∧s.令r:我在深职大，s:他在深职大

(6)r∧

s.课堂练习例

将下列命题符号化

(1)2或4是素数.(2)2或3是素数.(3)4或6是素数.(4)如果他没来见你，那么他或者是生病了，或者是不在本地.(5)只要明天不下雨或不下雪，我就去学校.

课堂练习解

令p:2是素数,q:3是素数,r:4是素数,s:6是素数,

则(1),(2),(3)均为相容或.

分别符号化为:p∨r,p∨q,r∨s,

它们的真值分别为1,1,0.

(4)令P：他来见你；Q：他生病；R：他在本地，则该语句可符号化为(5)

例

设p:天冷，q:小王穿羽绒服，将下列命题符号化

(1)只要天冷，小王就穿羽绒服.(2)因为天冷，所以小王穿羽绒服.(3)若小王不穿羽绒服，则天不冷.(4)如果天不冷，则小王不穿羽绒服.

p

qp

q

q

p

p

q求下列复合命题的真值（提示先符号化）

(1)2+2＝4当且仅当3+3＝6.(2)2+2＝4当且仅当3是偶数.(3)2+2＝4当且仅当太阳从东方升起.(4)2+2＝4当且仅当美国位于非洲.

1100课堂练习利用函数r=DJ(p,q)是否得到相同的真值？

课后习题的第2题课堂练习命题变项与合式公式

命题常项：简单命题命题变项：真值不确定的陈述句定义

合式公式(命题公式,公式)递归定义如下：(1)单个命题常项或变项p,q,r,…,pi,qi,ri,…,0,1

是合式公式(2)若A是合式公式，则(

A)也是合式公式(3)若A,B是合式公式，则(A

B),(A

B),(A

B),(A

B)也是合式公式(4)只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是合式公式说明:外层括号可以省去

合式公式的层次定义

(1)若公式A是单个的命题变项,则称A为0层公式.(2)称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：

(a)A=

B,B是n层公式；

(b)A=B

C,其中B,C分别为i层和j层公式，且

n=max(i,j)；

(c)A=B

C,其中B,C的层次及n同(b)；

(d)A=B

C,其中B,C的层次及n同(b)；

(e)A=B

C,其中B,C的层次及n同(b).合式公式的层次(续)

例如公式

p0层

p1层

p

q2层

(p

q)

r3层

((

p

q)

r)

(

r

s)4层公式的赋值

定义

给公式A中的命题变项p1,p2,…,pn指定一组真值称为对A的一个赋值或解释成真赋值:使公式为真的赋值成假赋值:使公式为假的赋值说明：

赋值

=

1

2…

n之间不加标点符号，

i=0或1.

A中仅出现p1,p2,…,pn，给A赋值

1

2…

n是指p1=

1,p2=

2,…,pn=

n

A中仅出现p,

q,r,…,给A赋值

1

2

3…是指p=

1,q=

2,r=

3…

含n个变项的公式有2n个赋值.

真值表

真值表:公式A在所有赋值下的取值情况列成的表

构成真值表的具体步骤:（1）找出命题公式中所含的所有命题变元，变元按字母顺序排列；（2）列出变元所有可能的赋值，以二进制从小到大顺序排列；（3）按从低到高的顺序写出各层次;（4）对应每个赋值，计算命题公式各层次的值，直到最后计算出命题公式的值。例给出公式的真值表

A=(q

p)

q

p

的真值表pq

q

p

(q

p)

q

(q

p)

q

p

00011011

1011

0001

1111写出以下公式的真值表

A=(q

p)

r

的真值表课堂练习键盘输入p、q的值，程序自动输出以下公式的真值：A=(p

q)

q

p.否定词“¬”：r=FD(p)合取词“∧”：r=HQ(p,q)析取词“∨”：r=XQ(p,q)蕴含词“

”：r=YH(p,q)等价词“

”：r=DJ(p,q)提示：将命题写成函数参考答案：deffunA(p,q)returnYH(HQ(YH(p,q),q),p)例B=(

p

q)

q

的真值表pq

p

p

q

(

p

q)

(

p

q)

q00011011

1100110100100000实例将以上命题写成函数？将命题写成函数参考答案：deffunB(p,q)returnHQ(FD(XQ(FD(p),q),q)例C=(p

q)

r

的真值表pqrp

q

r

(p

q)

r

000001010011100101110111

00111111

10101010

11101010将以上命题写成函数？将命题写成函数参考答案：deffunC(p,q,r)returnYH(XQ(p,q),FD(r))公式的类型

定义设A为一个命题公式

(1)若A无成假赋值，则称A为重言式(也称永真式)(2)若A无成真赋值，则称A为矛盾式(也称永假式)(3)若A不是矛盾式，则称A为可满足式注意：重言式是可满足式，但反之不真.上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式

A=(q

p)

q

p，B=(

p

q)

q，C=(p

q)

r

课后习题的第3题(5)-(7)课堂练习本章小结否定：

p

为真当且仅当p为假.合取：

p∧q为真当且仅当p与q同时为真.析取：

p∨q假当且仅当p与q同时为假.蕴涵：

p

q为假当且仅当p为真q为假（表1-2）.由假命题，如何推出真命题？由