孟华自动控制原理ch4-11

第4章根轨迹分析法

4-1根轨迹的基本概念4-2根轨迹的绘制方法4-3广义根轨迹的绘制4-4控制系统的根轨迹分析闭环传函为:特征方程:解方程得闭环特征根:1.什么是根轨迹系统结构：k<1/4，为2个不等的负实根；k=1/4，为一对重实根；k>1/4，为一对共轭复根。4-1根轨迹的基本概念k取不同值对应的闭环根

s1,s2

k01/81/41/2……∞S10-0.146-0.5-0.5+j0.5……-0.5+j∞S2-1-0.854-0.5-0.5-j0.5……-0.5-j∞k=0k=0k=0.25k=0.5k=0.5k=1.25k=1.25根轨迹：

当系统中某个（或几个）参数从0→+∞变化时，系统闭环特征方程的根（即闭环极点）在根平面（s平面）上描绘的一些轨迹。根轨迹法：

在已知系统开环传递函数的极点、零点分布的基础上，研究某个或某些参数变化对系统闭环特征根分布影响的一种图解方法。特点：

是一种图解方法；

利用开环极点和开环零点确定闭环极点。2.开环零点、极点及根迹增益开环传函系统方框图：K为系统的开环增益k为系统开环根迹增益3.闭环根与开环传递函数的关系闭环特征方程：整理，得也即,n≥m所以：

闭环特征方程=开环传函分母+开环传函分子=0上式的解就是闭环根，闭环根也叫闭环极点。4-2根轨迹的绘制方法一、根轨迹方程其特征方程:

向量形式:

幅角条件：设系统结构：幅值条件：规定：幅角以逆时针方向为正。幅角条件及幅值条件又可写成：幅角条件是绘制根轨迹的重要依据。用幅值条件确定相应的k值。说明：例4-1设系统的开环传函为:

1)利用幅角条件-P1-P3-Z1-P2S126O79O45O120O解:满足幅角条件的点是根轨迹上的点,所以检验点s1=-1.5+j2.5是否在根轨迹上;

并确定与其相对应的k值。

2)由幅值条件求s1相对应的k

值=12.15二、根轨迹的绘制规则

结论:

根轨迹的起点为系统的开环极点，终点是开环零点。若m＜n，则有n-m条根轨迹终止于无穷远处。1.起点和终点

当k=0时,当k→∞时,

起点终点规定：根轨迹起始于k=0的点，终止于k→∞的点。

由幅值条件～开环极点～开环零点2.分支数

4.实轴上的根轨迹

根轨迹的分支数等于开环极点数，也等于闭环特征根的个数n。试探点S1满足幅角条件S13.根轨迹的连续性和对称性

根轨迹是连续的且以实轴为对称的曲线。由幅角条件：结论：实轴上属于根轨迹的部分，其右边零、极点个数为奇数。S2S2点不满足幅角条件复数极、零点对实轴上的根轨迹没有影响5.渐近线

结论：如果m<n，则当k→∞时，伸向无穷远处根轨迹的渐近线在实轴上共交于一点，其坐标是:S1θ1θ2θ3当s→∞时，交角为：60o会合点Convergingpoint分离点Breakawaypoint(1)重根法(2)用幅角条件一般情况下,两个极点间的根轨迹上必有一个分离点,两个零点间的根轨迹上必有一个会合点。一个零点与一个极点之间既没有分离点也没有会合点，特殊情况下两者同时存在。计算方法：6.分离点及会合点3.根轨迹对称实轴。

5.渐近线6.分离点和会合点4.实轴上的根轨迹分布解按规则:1.画出开环零、极点分布图.-1-2-32.根轨迹有两条分支。画极点画极点画零点分离点会合点例4-2某系统开环传函为:试绘制根轨迹。

=0.172=5.8187.根轨迹与虚轴的交点

(1)用s=jω代入求例4-3系统的特征方程为

以s=jw代入

=0=0因此,与虚轴交点的坐标为±j3.74-j3.74j3.74(2)用劳斯判据求将特征方程写为:

=0

K=60

10+K

劳斯阵列表为:

1

14

5

10+K

例4-4某控制系统的开环传函为求该系统的闭环根轨迹。

解:画出开环零、极点分布图

-1-22.实轴上的根轨迹分布。3.渐近线。4.分离点和会合点。-0.425.根轨迹与虚轴的交点。=0k=6j1.414k=6k=6-j1.4148.复数极零点的出射角和入射角(1)出射角(2)入射角33.5o63.5o135o90o例4-5已知，试求出射角。解：系统满足n-m≥2时，闭环极点之积可表示为：系统满足n-m≥2时系统闭环极点之和等于开环极点之和。

9.闭环极点之和10.闭环极点之积

若有极点在原点，则若没有开环零点，则闭环极点之积与根迹增益成正比。画出开环零、极点分布图

2.根轨迹有四条分支。

3.根轨迹对称实轴。

例4-6某负反馈控制系统的开环传递函数为解:-1分离点，试绘制根轨迹图。令s1次项系数=0得k=26896=26896-j12.84.实轴上没有根轨迹分布。j12.8=268965.渐近线和实轴的交点。6.分离点和会合点。7.根轨迹与虚轴的交点。s=±j12.8三、根轨迹绘制举例分离点方程：解出分离点：例4－7设系统开环传函如下，试绘制系统的根轨迹，并证明复平面上的根轨迹是圆。实轴上的根轨迹：

有限终点：

解：根轨迹有两条分支。起点：为一圆方程，圆心（－1，0），半径r=0.67。圆与实轴得交点就是两个分离点。0-1.67-1-0.5-0.1用s=α+jω代入特征方程1+G(s)H(s)=0中，并整理得例4-8某负反馈控制系统的开环传递函数为，试绘制根轨迹图。5.根轨迹与虚轴的交点:ω=±8.16,k=8.65×104。2.实轴上根轨迹分布。

4.分离点和会合点。画出开环零、极点分布图

3.渐近线:-18.7,±45°，±135°（1）略去远离原点的极点

：分离点0；会合点-0.25（2）求远离原点的分离点：-2.26,-40.3作业4-54-74-84-3广义根轨迹的绘制参变量根轨迹:以非开环增益为变量的根轨迹。设系统的开环传函:则特征方程:

用不含待讨论参数的各项除方程两端，得

等效开环传递函数展成多项式:例4-9系统如图。参数Ks为速度反馈系数。试绘制以Ks为参变量的根轨迹。

解:画出开环零、极点分布图

2.实轴上的根轨迹分布。3.分离点和会合点。4．求复数极点的出射角90o108o198o例4-10负反馈系统开环传函为

试绘制以为参变量的根轨迹图。

解：闭环特征方程求等效开环传函。等效开环传函(2)有两个的零点和一个的零点，极点为(3)实轴上的根轨迹位于之间。

0-2-1(4)复数极点出射角例4-11闭环系统的特征方程如下，试绘制系统的根轨迹图。解：系统的开环传递函数为绘制根轨迹步骤:①根轨迹有5条分支起点有5个：0-5-6-1±j③实轴上的根轨迹0

-3及-5

-6之间④复数极点-1+j的出射角⑤分离点用试探法求得②渐近线夹角渐近线交点⑥与虚轴交点要求此时绘出根轨迹。。。。。。。。。。。。。。。。-5.53-3-6-5-10例4-12闭环系统的特征方程为解：开环传函为开环极点p1=0,p2=-4,p3=-2+j4,p4=-2-j4实轴上的根轨迹位于0～4之间。分离点为绘制控制系统的大致根轨迹。与虚轴交点渐近线交点渐近线夹角根轨迹如图-40-2+j4-2-j4-2+j2.45-2-j2.45解：①当a=10，3个开环极点p1=0,p2=0,p3=-10，有限的开环零点为z=-1实轴上的根轨迹位于-1～-10之间。研究以为参变量，a取以下几个特殊值时的根轨迹：①当a=10和a=3时的根轨迹②确定使根轨迹上仅有一个非零值分离点时a的数值

例4-13已知负反馈系统的特征方程为求分离点根轨迹如图渐近线夹角渐近线交点求分离点解为复数，故根轨迹在实轴上无分离点。由分析知，d1、d2应舍去。当a=3，开环传函渐近线的交点夹角②求仅有一个分离点时的值，即求方程有重根时的值。若方程有重根，则有

即或。当时，开环传递函数出现零极点对消，故为所求。时的根轨迹如图4-7（c）。正反馈系统特征方程：正反馈系统的根轨迹幅值条件：幅角条件：所以，通常称负反馈系统的根轨迹为180°根轨迹，正反馈系统的根轨迹为零度根轨迹。即正反馈系统的幅角满足书上例题4-9正反馈系统的根轨迹（续）实质正反馈系统

设负反馈系统的开环传函为特征方程即有例

设负反馈系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹。解：应按0º根轨迹的规则作图。两个开环零点为

开环极点为

分离点复数极点出射角为与虚轴交点作出根轨迹：0例4-14若一正反馈控制系统的开环传递函数为求该系统的闭环根轨迹。

解:-1.58正反馈

此时为零度根轨迹渐近线和实轴方向的夹角为±2l/（n-m)，即0,

±2/3实轴上的根轨迹为(-2,-1)及线段及(0,+∞)线段.故-1.58为分离点。-1-2-0.42j1.414k=6k=6-j1.414与负反馈比较4-4控制系统的根轨迹分析4.4.1开环零、极点对根轨迹的影响一、增加零点对根轨迹的影响例4-15控制系统开环传函：解:60os1=j0.17Kc=0.778s2=-j0.17Kc=0.778s3=0Kc=0.278-0.027试问采取何种措施可使系统的稳定性提高。278.00778.0,17.0289.0027.0180,602.0:,321=====-=-==cccKKKa对应对应根轨迹与虚轴的交点相应根轨迹的分离点渐近线的倾角渐近线交点坐标其关键数据为根据作图规则，j-sss。。±j±应采取的措施：将比例调节变为比例微分调节，即增加开环零点。s1=0Kc=0.278-0.06278.0,0322.006.0901.0:,112===-===-ccKKa对应根轨迹与虚轴的交点分离点处的根轨迹的分离点渐近线的倾角渐近线交点坐标其关键数据为根据根轨迹作图规则jss。±60os1=j0.17Kc=0.778s2=-j0.17Kc=0.778s3=0Kc=0.278-0.027二、增加极点对根轨迹的影响K=0K=04.4.2闭环零极点分布与系统性能的关系一、系统性能指标在根平面上的表示1.等阻尼比线对应一定的超调量PO2.等时线过渡过程时间只取决于根的实部O垂直横轴的线为等时线3.等频线振荡频率是根的虚部O高频低频平行于横轴的线为等频线综上，特征根平面上有三种规律：第一，是在通过原点射线上的极点，它们对应衰减比相同的过程。第二，是在垂直于实轴直线上的极点，它们对应有相同的过渡过程。第三，是在平行于实轴直线上的极点，它们对应振荡频率相等的过程。O质量合格区二、从闭环零极点求过渡过程典型系统的闭环传函为

其中-zi～闭环零点:由前向通路传函零点和反馈通路传函极点组成。-sj～闭环极点：由根轨迹确定。输入r(t)=1时，Ak与零极点分布有关三、闭环零、极点对系统瞬态性能的影响极点的分布决定了瞬态响应的类型。极点位于s平面：左半面～稳定右半面～不稳定实轴上～单调复平面上～振荡零、极点的分布决定了瞬态响应曲线的形状及指标。要求系统快速性好，则闭环极点应远离虚轴。要求平稳性好，则共轭复数极点应位于等ζ线与负实轴夹角45°线附近。3.要求过渡过程尽快结束，则系数Ak要小。4.主导极点与偶极子主导极点偶极子：一对靠得很近的闭环零、极点5.不能忽略的闭环零点对瞬态响应的影响。可使系统响应速度加快，超调量增大，在一定条件下调节时间缩短。

6.不能忽略的闭环极点对瞬态响应的影响。可使系统响应速度减慢，超调量减小，调节时间加长。∴应使分母大，分子小。四、利用闭环主导极点估算系统的性能指标解：闭环极点有3个：-1.5，-5±j8.66

实数极点可看作是主导极点。则试近似计算系统的动态性能指标σ%，ts。例4-16某系统闭环传递函数∴动态性能指标

σ%=0

ts=3T=3×0.67=2秒(δ=5%)解：闭环极点有3个：-1.5，-5±j8.66

闭环零点有1个：-1.7实数零、极点构成偶极子。则试近似计算系统的动态性能指标σ%，ts。例4-17某系统闭环传递函数∴动态性能指标σ%=16.3%

ts=0.6秒(δ=5%)∵ζ=0.5，ωn=10(1)画根轨迹∵ζ=0.5β=60°∴s1,2=-0.33±j0.58试应用根轨迹法分析系统的稳定性，并计算闭环主导极点具有阻尼比为0.5时的性能指标。

解:例4-18一系统的开环传函为(2)分析系统稳定性0＜K＜3(3)由ζ=0.5确定闭环主导极点s1,s2的位置-1-2-0.42j1.414k=6k=6-j1.41460°用根之和公式，计算s3：-0.33-j0.58-0.33+j0.58+s3=0-1-2,s3=-2.34∵2.34/0.33=7,∴由闭环主导极点s1,s2确定响应-1-2-0.42j1.414k=6k=6-j1.41460°关于绘制根轨迹的几点说明：闭环极点相同而闭环零点不同的系统，它们的根轨迹可能相同，但其瞬态响应是不同的。开环零、极点位置微小的变化可能引起根轨迹形状较大的变化。如：图a是某系统的根轨迹，当开环零点右移，根轨迹的形状发生了较大变化，如图b所示。

(a)(b)当有公因子相约时，根轨迹不能代表系统特征方程的全部根。

要将中抵消掉的极点加到由根轨迹得到的闭环极点中去。

例