2026年中考数学二轮复习 专题04 几何最值模型热点 5类核心题型(方法+题型+实战)

专题 几何最值模型热（将军饮马、胡不归、阿氏圆、隐圆、费马点）5第一部分命题解码洞察命题意图，明确攻坚方向第二部分方法建模方法二胡不归问题及解题技巧方法三阿氏圆问题及解题技巧方法四隐圆问题及解题技巧第三部分题型专攻0102030405第四部分答题实战考向聚焦（精炼概括本专题在中考中的核心考查方向与价值1：将军饮马（基础压轴，必考点）——核心是“对称转化”，考查线段和（差）2：胡不归（中档偏难，高频）——聚焦“线段加权和最值”（a•PA+PB），3：阿氏圆（压轴重点，难点）——考查“线段定比和（差）最值”（PA+4：隐圆（压轴热点，灵活）——核心是“识别隐圆模型”（定角对定边、直角三5：费马点（压轴冷门，偶考）——考查“三角形内一点到三顶点距离和最小”，思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板 核心基础公式（解题地基，必背通用基础公式（所有模型均需用到两点距离公式：𝐀𝐁 (𝐱2—𝐱1)2+(𝐲2—𝐲1)2（求线段长度、最值的核心工具）垂线段最短公式：点𝑃(𝑥,𝑦)到直线𝑙∶𝐴𝑥+𝐵𝑦𝐶=0的最短距离𝐝=0直线”最值）

（圆上点到定点距离最值：设圆心为𝑂，半径为𝑟，定点为𝐴，则𝐏𝐀𝐦𝐚𝐱=𝐎𝐀𝐫，𝐏𝐀𝐦𝐢𝐧=|𝐎𝐀（适配阿氏圆、隐圆模型）三角函数基础：对边斜边sin𝛼=

，邻边斜边cos𝛼=

（适配胡不归模型，转化线段关系）旋转基础公式：点𝑃(𝑥,𝑦)60°→𝐏′(𝐱𝐜𝐨𝐬60∘—𝐲𝐬𝐢𝐧60∘,𝐱𝐬𝐢𝐧60∘+𝐲𝐜𝐨𝐬60∘)（适将军饮马基础：对称点性质——点𝐴与对称点𝐴′关于直线𝑙对称，则𝐏𝐀=𝐏𝐀′，且直线𝑙是𝐴𝐴′的垂直胡不归基础：线段转化公式——𝑘𝑃𝐴（0<𝑘<1）可转化为“垂线段长度”，即𝐤𝐏𝐀=（𝑃𝐵某条射线，sin𝛼=𝑘）⊙

=𝐤（𝑘为定值，𝑘≠1），则𝑃圆，半径𝐫=𝐤⋅𝐀𝐁（简化版，中考可直接套用）

2𝐫隐圆基础：圆周角定理——定边𝐴𝐵，定角∠𝐴𝑃𝐵=𝛼，则𝑃的轨迹为⊙𝑂（𝐴𝐵为弦，圆心𝑂为𝐴𝐵垂 𝐀𝐁2𝐫△𝑃𝐴𝐵60˚△𝑃𝐴′𝐵′，则𝐏𝐀=𝐏𝐀′△𝑃𝐴𝐴′为等边三角形，𝐏𝐀=𝐀𝐀′（核心转化三条线段和）。万能建模公式&拓展公式（中考解题神器，全国通用1：将军饮马模型（中考基础高频，必考万能建模公式（4类中考必考变式1：两定一动（动点在直线上核心公式：𝐏𝐀+𝐏𝐁最小值=𝐀′𝐁（两点距离公式计算）。2：两定两动（两个动点在两条直线上万能步骤：作点𝐴关于直线𝑙1的对称点𝐴′，作点𝐵关于直线𝑙2的对称点𝐵′→连接𝐴′𝐵′，交𝑙1于𝑃、交于𝑄→𝑄为最优路径。核心公式：𝐏𝐀+𝐏𝐐+𝐐𝐁最小值=𝐀′𝐁′核心公式：𝐏𝐀—𝐏𝐁最大值=𝐀𝐁（两点距离公式计算）。4：将军饮马+几何图形（三角形、四边形内2：胡不归模型（中考难点，拉分点特征：动点𝑃在一条射线𝑙上运动，求𝐏𝐀𝐤𝐏𝐁（0<𝑘<1，、𝐴、𝐵为定点）的最小值（核心标志：含构造角𝛼，使sin𝛼=𝑘（结合𝑘30˚、45˚、60˚，如𝑘=1对应𝛼=30∘）；过定点𝐵作射线𝐵𝑀，使∠𝑀𝐵𝐿=𝛼（𝑙为动点所在射线）；过点𝐴作𝐴𝐻𝐵𝑀，垂足为𝐻，交射线𝑙于点𝑃→𝑃4.核心公式：𝐏𝐀𝐤𝐏𝐁最小值=𝐀𝐇（垂线段长度，用垂线段最短公式计算）5.若𝑘>1，先提取𝑘，转化为𝑘(𝑃𝐴+1⋅𝑃𝐵)k=\dfrac{1}{k}&1t;13：阿氏圆模型（中考压轴难点，高频拉分）特征：动点𝑃在定圆⊙𝑂上运动，求𝐏𝐀+𝐤⋅𝐏𝐁（𝑘为定值，𝑘≠1，、𝐴、𝐵为定点）的最小值（核心标志： 转化线段：由相似得𝑘𝑃𝐵=𝑃𝐶，则𝑃𝐴𝑘𝑃𝐵=𝑃𝐴𝑃𝐶；连接𝐴𝐶，交⊙𝑂于点𝑃→𝑃为最优解。𝐤2⋅𝐲𝐁+𝐲𝐎⋅(1—构造点𝐶的坐标公式：𝐂𝐤2𝐤2⋅𝐲𝐁+𝐲𝐎⋅(1—

（简化版，直接套用𝐏𝐀𝐤𝐏𝐁最小值=𝐀𝐂（两点距离公式计算）阿氏圆半径公式：𝐫=𝐤⋅𝐀𝐁（已知、𝐴、𝐵两点距离和𝑘，可快速求圆的半径4：隐圆模型（中考高频，易漏解）万能建模公式（4类中考必考隐圆类型1：定边定角（最高频特征：定边𝐴𝐵，动点𝑃满足∠𝐴𝑃𝐵=𝛼（定值）万能步骤：找𝐴𝐵的垂直平分线，确定圆心𝑂（∠𝐴𝑂𝐵2𝛼）→求半径𝑟→转化为“圆上点到定点距离核心公式：直径2𝐫=𝐀𝐁，𝐏𝐀最值=𝑂𝐴±𝑟2：特征：四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴+∠𝐶=180∘（或∠𝐵+∠𝐷=180∘）核心公式：𝐴、𝐵、𝐶、𝐷四点共圆（隐圆），3：特征：动点𝑃满足𝑂𝑃=𝑟（𝑂为定点，𝑟为定值）核心公式：𝑃的轨迹为𝑂，𝐏𝐀最值=𝑂𝐴𝑟（𝐴为定点）4：核心公式：∠𝐴𝑃𝐵=90∘（圆周角定理），𝑃的轨迹为以𝐴𝐵为直径的圆，半径𝐫=𝐀𝐁。5：费马点模型（中考压轴难点，部分地区考）特征：在平面内，求一点𝑃，使𝐏𝐀𝐏𝐁𝐏𝐂（、、𝐴、𝐵、𝐶120˚）（核心标志：三条线段和的最值，三个定点构成三角形）将△𝑃𝐴𝐵绕点𝐴60˚，△𝑃𝐴′𝐵′（旋转中心选任意顶点，优先选夹角较小的顶点由旋转性质得𝑃𝐴=𝑃𝐴′，𝑃𝐵=𝑃𝐵′△𝑃𝐴𝐴′为等边三角形，𝑃𝐴=𝐴𝐴′；则𝑃𝐴+𝑃𝐵+𝑃𝐶=𝐴𝐴′+𝑃𝐵′+𝑃𝐶，连接𝐵′𝐶，交𝐴𝐴′于点𝑃→𝑃为费马点。4.核心公式：𝐏𝐀+𝐏𝐁+𝐏𝐂最小值=𝐁′𝐂（两点距离公式计算，𝐵′为旋转后的对应点）5.若三角形有一个内角≥120˚，则该内角的顶点即为费马点，最小值为另外两条线段之和（𝐏𝐀旋转方向可顺时针或逆时针，不影响结果，优先选择使𝐵′与𝐶 例题1（2024）ABCDAB8AD4EABCD内部一动点，且BEC90PABPDPEPDPE的最小值为（） B． D． 【答案】【答案】【分析】根据BEC90PEOBCEBCOOAB的对称图形（半圆O），EE1，连接OE1PEPE1，D、PE1、OPDPEDE1的长，如图所示，在RtVDCOCD8CO'=6，DO'826210又QOE12故选例题2（2025•四川广安•模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为12，点M在DC上，且DM3，点N是AC上一动点，则DNMN的最小值为 【答案】【答案】DNMNBNMNBMBM的长，即得答案．BDBNBMQBDACACBDBNDNDNMNBNMNBMNBMACPDNMNBMQABCD12，DM3BCCD12，CM1239，BCD90BMBC2CM21229215DNMN故答案为故答案为例题3 条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点．lPPAPBBlBABlPPAPBAB的值最小．2ABCD8，MDCDM2，NACDNMN4，在锐角△ABCAB

BAC45BACBCD，M、NADABBMMN【答案】（1）10；（2）【答案】（1）10；（2）2BMDNMNBC8,CM6BM即可；∠AC即可；由题意和对称性可知MNMNBMMNBMMN的最小值即可，根据垂BBHAC,BHAB42BAC45，根据解直接三角形【详解】（1）ABCDBCCD8,BCD90，DM2∴CMCDDM826Rt△BCMBM

CM2BC2

628210DNMNB关于MN对称点CAC,OCA是半圆上（1）的三等分点，BAN∴AOC603090，ACOCAC

AO2OC2

12122PAPB的最小值2MNBBHACBACBC∴MNMNBMMNBMMNBHBMMN的最小值，即BMMN的最小值.在RtVABHAB42，BAC45∴∴BH424例题1（2023•安徽黄山•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y 3x23x 的 xA，CyBxDPyPD，则1PBPD的最小值为 A．3A．3B．

D．5【答案】【答案】PE1PBPD1PBPDEPBAPEBAEDFBAFyP抛物线的对称轴为直线x 21∴OD1x0y3

2 ∴OB3y0

3x2

3x

30 ∴x11，x22∵tanABOOA1 3 ∴ABO30∴PE1PB1PBPDPDPEDFPPPDPEDF在RtVADFDAF90ABO60ADODPA113 ∴DFADsinDAE3

333∴(PB∴ 最故选

DF33决问题的关键是用三角函数构造PB例题2（2025内蒙古鄂尔多斯）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30˚，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 【答案】4【答案】4∴∠CAD＝∠BAD＝1BAC13015∴PF＝1PA∴∴PA+2PB＝21PAPB＝1PFPB ∴BF＝AB•sin45˚＝4222∴（PA+2PB）最大＝2BF＝4242例题 （25–26九年级下•山东济南•开学考试）如图，抛物线yax2bx3(a0)与x轴交于A、两点（AB的右侧），yCOB1OCOAOC1，DADFADFFEADFFHyHNxFNEF

5FHFFN

10BN【答案】(1)yx22x(2)F的坐标为57FN10BN7【答案】(1)yx22x(2)F的坐标为57FN10BN724 (3)K的横坐标是11【分析】（1）FFGxx轴、AD于点G、IxJFmm22m3，易求ADI的坐标，利用“AA”得VFEI∽VAJDEF，则 5

5

13EF

FH

m5

不归模型”，则构造RtVNBMNMBMNM

10BNFN、MFN

10BNFNMNFNBNyAC的解析式，得Q63PK与直线CAACAQR、R'PK的解析式，进而列方程，求解即可．【详解】（1）解：Qyax2bx3a0yx0y3，则C03OC3QOB1OC，OAOCOB1，OA3QxA、Bab39a3b3

a，解 byx22x3如图11FFGxxAD于点GIxJQyx22x3x124D14DJ4JAOAOJ312在RtVAJDADDJ2JA225Fmm22m31m4FHmFGm22m3AG3m，ADykxb1k0，3kb10，解得k2 kb

b1ADy2x6，xmy2m6，Im2m6IG2m6FIFGIGm24m3QFGxDJxFGDJADJAIJ，又QAIJFIEFIEADJQFEADDJxFEIAJDQFEFI

m24m

2EF

EF

5FH

4m3

5m

5

5m

5

135 Q50，

5 2 当m5EF

5FH 5 当x 时，y

2 3 EF

5FHF的坐标为57 2 如图12，作NBMNNMBMNM

10BN在RtVNBMMN

10BNFN

10BNFNMNQFNMNFMFN、MFNMNBNMFNGQNMBMFGxNFGNBM，则sinNFGsinNBM

10在Rt△FNGsinNFGNG

10FN7

10NGFN2NG2FG2，即

10NG

NG24NG7FN

10BGOBOG157，BNBGNG7

35MN

10BN710

2 FNMN710710710 FN

10BN710 K的横坐标是1129QyP(4,1yyx421yx28x15，ACyk2xb2k20，3k2b20，解得k2b2 b2ACyx3则x3x28x15x13x26，x6y633，QA3,0Q6,3PK与直线CAACAQ上，情况一：如图21RAQPR，QPK与直线CA所夹锐角为AQP则PRA2AQPQPRAAQPQPRAQPQPR，即VRQPRPRQ，RP

n42n312，RQ

QRPRQn42n312

左右平方，得n42n22n62n62，解得n13，则n34， 3R13, 3 PKyk3xb3k30 3QP(4,1)，R13, 3 4k3b3

k 4，解得

k3b3

PKy7x29则7x29x28x15x14x211QPK的横坐标是情况二：如图22R'ACPR'QPK与直线CA所夹锐角为AQP则PRA2AQPQPRA2AQPPRAPRA，即VR'QRPR'PR 3QP(4,1)，R13, 3

5PRn14n131，PR34313 n42n31252，左右平方，得n42n2250

解得n13（舍去）或n5 当n5n34 33R5,33 PKyk4xb4k4033QP(4,1)，R5,33

4b4

5kb4，解得

11

b PKy1x11 29xx x x8x例题1（2025）Rt△ABC中，∠ACB＝90˚，CB＝7，AC＝9，为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙CAP、BP1AP＋BP的最小值为（

C．4 D．【答案】【答案】∴PCCM 1AP+BP52∴1AP+BP≥52∴BM127252∴1∴PM1∴PMPC1 例题2（23–24）ABCD2，OBC 【答案】13【答案】131/1A关于直线CDA，连接OA，以OOG径作圆，点径作圆，点GOA、CD与eO交于点GPPAPAADAD2GOGO1，当点GP在GP位置时，此时点O、GPAPAPGGO有最小值为OA长，过点作OEADE，求出OA13ADBCCD2，OC1，BCDCDA90与CD与eOP、GPAPGGOPAPGGOOA当点GP在GP位置时，此时点O、GPAPAPGGO有最小值为OA长，过点O作OEAD于点E，则四边形OCDE是矩形，DEOC1，OECD2AEOAOE2AE213PAPGGO的最小值为13PAPG的最小值为13GO，即131，故答案为：131．例题31，在Rt△ABCC90CB4CA6eC2，PAPBPAP1BP1，连接CP，在CBDCD1PDCDCP1．又因为PCDBCP，所以△PCD∽△BCP PDCD1PD1PBAP1BPAPPDAP1BP 1APBP【答案】(1)(2)2（1）ADA，P，DAPPDAP1BPADAD（2）连接CP，在CA【答案】(1)(2)2（1）ADA，P，DAPPDAP1BPADAD（2）连接CP，在CAD，使CD2BDPD，证明VPCDVACPPD1AP1APBPPDBPB，P，DBPPD1APBPBDEP2PA2PAPBEPPBE，P，B2PAPB取得最小值，即2PAPB的最小值BEBE的长即可．【详解】（1）ADQAP1BPAPPDAP1BPAPPD A，P，DAPPDAP1BPAD在Rt△ACD中，CD1，AC6，AD AC2CD2621237AP1BP的最小值为37如图，连接CP，在CAD，使CD2BDPD，CDCP1 QPCDACPPDCD1 PD1AP1APBPPDBPQB，P，DBPPD1APBPBD在Rt△BCDBD

BC2CD2

2423

2371APBP237 如图，延长OAE，使CE6PEOPOEOCCE6612QOA3，OPOC6 QAOPAOP△OAP∽△OPEOAOP1 EP2PA2PAPBEPPBE，P，B2PAPB取得最小值，即2PAPBBEPAOA1在RtVBOEBEOB2OE25212213例题1（2026•）ABCDAB4AD8EABCD内一点，使得AEB90．将VABEA顺时针旋转90，得到VAFG，则CG的最小值为（）

4

【答案】【答案】AF的中点O，连接CO，先判断出点G在eO上运动，当C、G、O共线时，CG有最小值CGOCOG，据此求解即可．AF的中点O，连接COAGFAEB90∴点G在eO∴当C、G、OCG有最小值CGOCOG，由旋转的性质知：BAF90AFAB4，∴OA2,OD2810∴OC42102229CG的最小值为2292，例题2（25–26）Rt△ABC中，ACB90AB6P上，且AC2，则AP的最小值 【答案】【答案】P的运动轨BCPB为边，构造与VABC相似的三角形，利用相似三角形的性质可以得出，AP的运动轨迹为圆弧，根据点圆最值的确定方法，AP∴PBDCAB，BDPB3，DPBACB90 ∴ABDABCPBDABCCAB180ACB90，BD3AB9∴rBO1BD9∴AO AB2BO215故答案为：3（2026•）如图①，DE是VABC的中位线，点F在DB上，DF2BF，连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BC4，则线段CM的长为 Rt△ABC中，ACBC，AC4，BC6，P是VABCPCAPBC，AP的最小值．边上，且CF2BEEFAEFAM，在点M个肥料存放点，点C处是基地水房，为方便参加劳动实践的同学取水后能最快到达点M处获取肥料，需要沿CM铺设一条小路，要求CMAB50mBC40m．请问CM是否存在最小值？若存在，求出CM的最小值；若不存在，请说明理由．（工具房、肥料存放点、水房的大小均忽略不计）【答案】(1)(2)(3)CM存在最小值，为65541m【分析】（1）DEBCDE1BC2，从而可得VBMF∽VDEFBM1，计算即可求出CMACBCPCAPBC，易得BPC90PBC的中点OOCAB于点QAOPAP的值最小，FE、CB相交于点GAG，点OAG的中点，作ONGB，以点OAG作圆弧，连接OC，交圆弧于点M，此时CM的值最小，利用相似三角形的判定和性质，易求GB40，再AG1041，则OGOM541，利用垂径定理，得GN20，最后根据勾股定理，求得ONOC，计算即可．【详解】（1）解：QDE是VABCBC4DE∥BC，DE1BC2VBMF∽VDEFBMBF QDF2BFBMBF1 CMBMBC5解：QACBCACB90，即PCAPCB90QPCAPBCPBCPCB90BPC90PBCBC的长为直径的圆上，且在VABCBC的中点O为圆心，OCAB于点QAOP，此AP的值最小，QBC6OCOP1BC3在RtVACOACB90AC4AO

AC2OC25APAOOP53AP的最小值为2CMFE、CB相交于点GAG，点OAG的中点，作ONGBQABCDABG90，AB∥CDGBBE QCF2BE，BC GBBC

1，即GB40QAMEF，即AMG90动点M的运动轨迹是以点OAG以点以点O为圆心，AG为直径作圆弧，连接OC，交圆弧于一点，即为点M，此时CM的值最小，在Rt△ABGGB40AB50，AGGB2AB24025021041OGOM541QONGBGN1GB20在Rt△OGNONOG2GN2541220225QCNGBBCGN60在Rt△ONCOCON2NC225260265CMOCOM65541则CM存在最小值，最小值为6541m例题1（2025•）E是边长为2ABCDBEAE在线段DC上运动，连接EP，则AEEPBE的最小值 【答案】3【答案】32/2VABEB顺时针旋转60得到VABEEEAAGDCABFG，则EBEABA60FGCB2BFCG，可证VBEEAEBEPEAEEEEPAEEPAPCDAG【详解】解：如图所示，将VABEB顺时针旋转60得到VABEEEAAGDCABCDFG，则EBEABA60FGCB2∴AEAE，BEBE∴VBEE∴BEEE∴AEBEPEAEEEEPAEEPAPCDAGABCD是正方形，边长为2VABEB顺时针旋转60得到VABE∴ABAB2,ABA60，BAF30∴BF1AB1，∴AF

AB2BF2

2213∴AGAFFG32AEEPBE的最小值是32故答案为：32质，勾股定理的运用，将VABEB顺时针旋转60得到VABEAEBEPEAEEEEP是2（24–25）在边长为4的正VABCPPA、PB、PC 2APBP2PC 【答案】20【答案】208△APC绕点C逆时针旋转90得到VAPCPCACMNPMMN由勾股定理得到PMPC2 PC PC，由中位线的性质得到MN1AP1APBP5PCBPPMMNBNBPMNBPPMMNNNGBC延长线于点G，在Rt△BNGBN2BG2NG2432122083△APC绕点C逆时针旋转90得到VAPCPCAC的中点MNPMMN∴CPCP,APAP,ACAC4，∠PCM90,CMPM1PC在RtVPCMCM1PCPMPC2CM2∴PMPC2 PC PC在VAPC中，点MNPCACMN1APAPAP∴MN1AP∴1APBP5PCBPPMMNBN BPMNBPPMMNBN的值，NNGBC延长线于点G，NAC∴CN1AC1AC2 ∵VABC△APC绕点C逆时针旋转90得到VAPC∴ACB60,ACA90∴∠NCG180∠ACB∠ACA30∴NG

2CN1，CG

CN2NG2

22123∴BGBCCG43在Rt△BNGBN2BG2NG2432122083 ∴2APBP2PC的最小值为2083 3（24–25）如图①等边VABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为117，求∠APB的度数．为了解决变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出APB ；如图②，VABCCAB90ABACE、FBC上的点且EAF45BE3，CF2如图③，在VABCABC30AB4BC6P为VABCPA、PB、PCPA2PBPC【答案】【答案】(2)(3)2【分析】（1）由全等三角形和旋转的性质可得VPAPPPAP8，APP60，进而由勾股定理的逆定理可得PPC90，进而可得APBAPC150，即可求解；（2）把VABEA逆时针旋转90得到△ACE，可证VEAF≌VEAFSASEF=EF，再根据等腰直角三角形和旋转的性质可得ECF90EF的长即可求解；（3）在VABCPAP，BP，CP，将VBPCB顺时针旋转90得到△BPC，由旋转PA2PBPCPAPPPCA，P，P，CPA2PBPC取最小ACA作CB的垂线交CBDAD和CD的长，再利用勾股定理AC的长即可求解．∴APAP8，CPBP15，APCAPB∵VABC∴BAC60PAPBAC60∴VPAP∵PC17∴PP2CP2CP2289∴VPPC为直角三角形，且PPC90∴APBAPCAPPPPC6090150故答案为：150（2）解：如图②，把VABEA逆时针旋转90得到△ACEAEAECEBE3CAEBAEACEBEAEBAC90∵EAF45∴EAF904545EAFEAF，在△EAF和VEAF中，AEEAFEAFAF∵CAB90，ABAC∴BACB45∴ACEB45∴ECF454590∵CF2∴EFEF

CE2CF2

3222

13（3）解：如图③，在V（3）解：如图③，在VABCPAP，BP，CP将VBPCB顺时针旋转90得到△BPCPBPBPCPCBCBC6，PBPCBC90∴PP 2PB∴PA2PBPCPAPPPC如图，过点A作CB的垂线交CBD，则DCBC90，∴BADABC30∴BD1AB2，∴AD AB2BD2422223，CDBCBD628∴AC AD2CD223282219PA2PBPC的最小值为21901】将军饮马最值（5题1．（2025•）ABCDAB2,AD3EFADDC边上EF2，点GEFPBCPAPG的最小值是（） 【答案】【答案】DG1ABCAADBCPA，P，G，D共线时，PAPG的值最小，AGADDG即可得到答案，熟练掌握各知识点是解题的关键．DG∴BADADCQEF2GEF∴DGABCAADBCPA，P，G，DPAPG的值最小，最小值AG的长；QAB2，AD3AA4∴AD42325∴A¢G=A¢D-DG=5-1=4PAPG4；2．（25–26）2，P是CFPEPD最小值是（）

C．

D．【答案】【答案】FCET关于直线CFPEPTPEPDPTPDDT∵ EF，DCEF∵FTEF，EFCF∴PEPT∴PEPDPTPDDTDE2ET2222222226故选3．（2025•陕西•模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB5，BC6，点E、F分别在边AB、CD上，则BFEP的最小值为 【答案】连接CEEF，作点CAB的对称点C，交CB的延长线于C，连接CE，CDBCFEBCFEBFEP转化为CEEP；P是MN中点及MNP的运动轨迹；最后根据两点之间线段最短，用勾股定理BFEP的最小值．【详解】解：连接CEEF，作点CAB的对称点C，交CB的延长线于C，连接CECDCECEQABCDAB∥CDABCBCDADC90BE∥CFQBECFBCFEBCFEBFCEBFCEQBC6BCBC6CC12QAB5RtVCCDCD

CC2CD2

1225213QMN2P为MNADC90DP1MN1，QCEPEPDCDC、E、P、DCEPEPDBFEPCEPE最小，BFEP13112故答案为4．（2025•陕西•模拟预测）如图①，在Rt△ABC中，A90,BC10，则点A到BC的最大距离 ABCDAB2BC4，EBCAE、DEAEDE的最小【答案】（1）5；（2）42；（3）VHIJ的周长存在最小值，最小值为124【分析】（1）由A90ABC为直径的圆上运动，设圆心为OAAHBCHH与点OAH（2）DBCD¢AD【答案】（1）5；（2）42；（3）VHIJ的周长存在最小值，最小值为124【分析】（1）由A90ABC为直径的圆上运动，设圆心为OAAHBCHH与点OAH（2）DBCD¢ADDEDEDEAEDEAEDEAEAEDEAEDE（3）H关于CEHHABHJHIHHHHHHH，则HIHIHJHJ，则VHIJHIIJHJHIIJHJHHHJIH共线时取等号，此时VHIJHH的最小值．根据矩形的判定和三角形的内角和定理求得BHC120，作△BHC的外接圆，设圆心为OHBC上运动，连接OC、OBO作OQBCQ，利用圆周角定理求得BOC120OQ2，OB4OHHH交CEK，HHAB于T，连接TKE、T、H、K为直径，设圆心为O，半径r，连接OTO¢K，可求得TK3r，连接OEEHOHOEr1OE4E、H、OO作OSABABS，求得OE43r232TK3r623HH2TK1243【详解】（1）解：∵A90BC10ABC为直径的圆上运动，设圆心为OAAHBCHH与点OAHAH1BC5ABC的最大距离为5DEDE∴AEDEAEDEAEDAEDEAEDEADABCD∴DD2CD2AB4,ADBC4，ADD90AD AD2DD'242AEDE的最小值为42VHIJH关于CEHHABHJHIHHHHHHHHIHI，HJHJ则VHIJHIIJHJHIIJHJHHHJIH共线时取等号，此时VHIJ的周HH的最小值．ABCDBE4CE8∴EBC90，BCCE2BE2824243∵CGBF,HCG30∴CHG90HCG60∴BHC180CHG120作△BHC的外接圆，设圆心为OHBC上运动，连接OC、OBO作OQ∴BQCQ1BC23，BOQ1BOC60 ∴OQ 2，OBBQ4OH HH交CEKHHAB于T，连接TKHKKHHTTHETHEKH90∴E、T、H、KEH为直径，设圆心为O，半径r，连接OTO¢K∵EBC90,BE4,CE8cosBECBE1，则BEC60 TOK2BEC120，则OTK30∴由垂径定理得TKrcos3023r连接OEEHOHOE，即r1OE4E、H、OO作OSABABSBSOQ∴BSOQ2，OSBQ23∴OE

ES2OS2

42223243∴r1464232∴TK3r623∵HKKH，HTTHHH2TK1243HH的最小值为1243故故VHIJ的周长存在最小值，最小值为1243过点16yCxA，B两点（AB的左侧），ACBCtanCBA4P是射线CAPPExEACDMDEMNyNFBCAMNFPDPDAMMNNFACKQ为新抛物线上的一个动点，当QDK∠ACBQ【答案】(1)【答案】(1)yx23x4(2)①4412；③12或1943416AMMNNF【详解】（1）x0y4∴C0,4∴OC4∴OC4∴OB∴B1,0 6a 将B1,0和1,6代入yaxbx4得 0aba解 byx23x4y0，则0x23x4，x4x1，∴A4,0ACymx4，A40，得04m4，mACyx4∴PDp23p4p4p224p2PDP26∴PDmaxAE2MNOE2E20AEMNAEMN，EN，AMNE∴AMEN∴AMMNNFENMNNFMNEFE、N、FEFAMMNNFFBC∴F1,2 1 ∴EF

22 AMMNNF的最小值为412D的横坐标为2yx4y2∴D2,2yx23x422∴yx223x242x27x8DDQ1BCy于点Q1∴Q1DKBCABCy4x4DQ1y4x6联立得4x6x27x8x11x22，x1y2，DQ1ACDQ2y于点Q2∴Q2DKQ1DKBCADQ1x轴于点GDGDGDDRxDHxH，作GHDRHy004x6x3∴G3,0 ∵A4,0，C0,4∴OACOCA45DRx∴RDADAHADH45∴GDHGDH∵GHDGHD90，DG∴△GDH≌△GDH 4 ∴Q19,432416综上，符合条件的点Q的坐标为12或1943416x19y119343x2x19联立x27x81x3 DQy1x3 2∴G4,5 ∴GHGH231，DHDH202】胡不归问题（7题1．（22–23）如图，在VABC中，BAC90B60AB4DBC边上的动点，则2ADDC的最小值是（） 【答案】【答案】C作射线CE，使BCE30DDFCEFAD中，DCF30DF1DC2ADDC2(AD1DC2(ADDFA，D，FAFADDFAFC作射线CE，使BCE30DDFCEFAD，如图所∴DF1DC∵2ADDC2(AD1＝2(ADDF)A，D，FAFCEADDFAF的长，此时，BADB60，∴△ABD∴ADBDAB4∴BC8∴DC4∴DF1DC2,，∴AFADDF426∴2(ADDF)2AF12故选2．（2025•江苏无锡）ABCDAB3BC4，E，FBCAD上的点．现将四ABEFEFA、BM、NN恰好落在CDBMB作BGEFG，则2BGBM的最小值为（ 【答案】BNANBCJ，使得CJBCAJ2BGBNANNJANAJ，AJ即可解决问题．BNANBCJ，使得CJBCAJEFBNBMANQBGEFB，G，N2BGBMBNANQABCDDCBABC90NCBJQBCCJBNNJ2BGBMNJANAJQAB3，BJ2BC8AJ

AB2BJ2

3282

732BGBM732BGBM的最小值为73故选3．（2024•陕西西安ABC中，A90，B=60，AB2DBC2AD的最小值（A．

B．

D．C．C．3【答案】【答案】AD+DE=A'D+DE，A'，D,E在同一直线上时，AD+DEA'E3，2AD十CD的最小值．∵∠BAC=90o，∠B=60o，AB=∴BH=1,AH=3,AA'=23，∠C=∴DE1CD,2DE=∴AD=∴AD+DE=A'D+∴当A'，D,E在同一直线上时AD+DEA'E的长,Rt△AA'E中：A'E=sin60o×AA'=3×23=AD+DE4．（2024•）如图，VABCABAC10tanA2BEACEDBE上的一个动点，则CD

5BD的最小值 【答案】【答案】4DDHABHC作CMAB于M，首先通过勾股定理及tanA2AE,BE长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出CMBE，然后通过锐角三角函数得出DH 5BD，而可得出CD5BDCDDH，最后利用CDDHCMDDHABHC作CMAB于M∵BEAC∴AEB90∵tanABE2AEaBE2aQAB2AE2∴100a24a2∴a220a25或25（舍弃∴BE2a45∵ABAC，BEAC，CMABCMBE45（等腰三角形两腰上的高相等∵DBHABE，BHDBEA∴sinDBHDHAE 5∴DH 5BD∴CD5BDCDDH∴CDDHCM∴CD5BD45CD5BD的最小值为455．（25–26）y3x2bxcxA40，ByCx3xDECxBEPACPPQyACQ，过Q作QFACFMNy轴上的动点，连接PMMNPQ3QFPPMMN

10ENN【答案】(1)y3x29x (2)P8,11，N0,25【答案】(1)y3x29x (2)P8,11，N0,253 9 (3)71561或【分析】（1）x3bxA40KNNREBR，在RtVADLAL的长度，再证VFKQ∽VADL（2）ACy3x3ACLQ作QKFM QFAL853QFQKPQQFPQQt,t Pt,t t K,t PQQFPQQKt4tENBE10 ，求出当P, 113时，PQ取得最大值，证VNER∽VBEO10PMMN

10ENPMMNNRPREBP，M，N，RPMMN

10ENPREBP，M，N，RPSyS，证VENR∽VPNSNS1PS8ONOSNS11825N 先求出平移后的抛物线解析式，证明OAC2BCOK【详解】（1）y3x2bxcx3∴

2

2b2∴b9y3x29xc xA40A40y3x29xc34294c0 解得c3y3x29x3 y3x29x3 ∵A4,0，C0,3ACy3x31，ACLQ作QKFMKNNREB∵QFAC，DMAOFQLADM90，FLQDLA，∴QFK∵QKFM∴FKQADM90 ∴AD

D

345 AC∴L3,15 8 ∴DL

y01515 8 在RtVADLAL

AD2DL2

5

15

252 8 ∴QFAL

85

∴3QFQK∴PQ3QFPQQKy3x29x3x3ACy3x3 ∴设Qt,t3，Pt,t2 t3，K,t3

∴PQyy3t33t29t33t23t，QKx

3t

∴PQ3QFPQQK3t24t3 30，开口向下，4t0t8PQ3QFP811 3 ECxC03∴E0,3y3x29x3xA40，By3x29x3x3 ∴B1,0

OE3OB1，在Rt△EOB中，EBOE2OB2321210∵NREB，EOOB∴ERNEOB90∵NEROEB∴ENBE

10

10∴10ENNR∴PMMN

10ENPMMNNRPREBP，M，N，RPMMN

10ENPMMNNRPRPMMN

10ENPR2，PREBP，M，N，RPSy∵P8,11 3 11 PREBPSy∴ERNPSN90∵ENRPNS∴NERNPS∴tanNERtanNPSOE3，OB∴tanNERtanOEBOB1 ∴tanNERtanNPS1在RtVPSN∵PS8，tanNPSNS1∴NS1PS8 ∵OS

∴ONOSNS11825 25∴N0, 解：设抛物线沿射线CBm个单位长度m0，则抛物线向上平移了3my3xm29xm33m x轴的交点横坐标分别为x1x2，y0x232mxm2m40，x∴xxxx2xx24xx32m24m2m43 1解得my3x23x3 设BCOαECx∴BEOBCOα3，Bx3DBDBBGxJACBGAC所成夹角为BMC，此时BMCBCOK的横坐标为3xARAC，连接CR∵A4,0，C0,3OA4OC3，在RtVAOC中，AC

AO2OC2

42325∴ARAC5RORAAO549，在RtVROC中，∵RO9，OC3∴tanORCOC1 ∵在RtVBOC∵BO1，OC3∴tanBCOOB1 ∴ORCBCOα∵ARAC∴ORCACR∵OACACRARC2ARC∴OAC2BCO2αDBDGDB∴DBGDBG∵BDOBOE90∴BDODBGBOEDBG∵在VBDJ在VEOB∴BJDOEBα∵MAROAC2BCO2α，MARBJDBMABGAC所成夹角为BMC，且BMCBCOK的横坐标为3成夹角为BUC，此时BUCBCOK7DBDGDBDBGDBG90OEB90α，在RtVDOB中，∵DO3，DBDB5

1561 5 3∴OBDB2DO222 2∴tanBDOBO4tanACO ∴BDOACOBDO90CAO902α，在VDBB中，∵BBDBACBUA，BAC2α 77x 682 682y y 或 ∴7156171561或3y4xy x2 x 7 解得x6．（2026•）yax2bx3（a0）xA10B30y轴交于点CACBC1，PBCPPDyBCDPPEACEMNy轴上的动点（点MN的下方）且MN1PMBN．当3PD

PPMBN

PF．若FPDABCACBFF的坐F12F7337333 ACy3x3BCyx3PPQy轴交抛物线于点QPpp22p3Dpp3Gp3p3PDp23p，再利用△PEG∽△AOC，求出10PEPGp2pp13PD10PEP14PMBNB1B31BNBMBN

BM

PBPByx24x3，再根据已知可得FPDOCAFPD左【详解】（1）A10B30yax2bx3（a00ab得09a3b3a解 bACy3x3BCyx3AC

OA2OC2

1232

10PDp3(p22p3)p23DP、AC交于点G，则Gp3pPDyACOEGP，PEAC，∴PEGAOC90PGPEPG 10PEPGp23PD

10PE3PDPG3p29pp2p4p28p4p12

10PE4，P14BBBMPBBBMN1BBMN∴BNBM∵BN

BM

PBP在线段MBPMBNPBPMBN的最大值

312142

13P14PMBN的最大值F12F7337333

312142

13 AC方向平移1013y，∵yx22x3(x1)2yx11)243x24x∴ABCOCBQFPDABCACB∴FPDACBABCACBOCBOCAPFPDPDy∴CKDFPD∴OCA ACPFy3xyx24x3yx24x方程组y3x x1

x2y7（不合题意，舍去），

2 ∴F1,22，PFPDPF2取点12PD（x1）的对称点G(32)，PGy3x7，y3x7yx24x3yx24x方程组y3x x7 x7

，

（在第四象限，不合题意，舍去y73 y73 ∴F733,7333 7．（2023•）ykx2x4（k为常数，且k0）xABy轴交于点CByD的横坐标为5

3xbDAHF【详解】（1）ykx2x4y0xAHF【详解】（1）ykx2x4y0x2x4B40y=-3xb34bAFNF∴b3BDy3x43AF1DFAF1DF，然后利用“301DFNFD的坐标代入抛物线解析式求k（2）DDExEDFxyNAHDNHBDDEBEBD的长度，得到DBE303x223x8【答案】(1)y(2)2,23x5y3´54333 D533ykx2x4k525433 ∴k83y

3x2x4

3x223x83 （2）由题意得：点MAF1DFDDExE∴DE33，EB9，BD63∴DBE30DFxyN∴NF1DF∴AF1DFAFNF过点A作AHDN于点H，此时AFNF AHAHBDF∵A2,0x2y

324323 F的坐标为223时，点M03】阿氏圆问题（4题1．（2024•）ACB602O内切于∠ACB．PO上一动PPMPN分别垂直于∠ACBM、NPM2PN的取值范围为 【答案】6【答案】623PM2PN62M作MHNPHMFBCFHPPMcosMPH1PMPN1PMPNHPNHFNHM是矩形得出MFNH因此当MP与eOMFHNM作MHNPHMFBC∵PMAC，PNCB∴PMCPNC90∴MPN360PMCPNCC120∴MPH180MPN60∴HPPMcosMPHPMcos601PM∴PN1PMPNHPNH∵MFBC，PNBC，MHNHFNHM∴MFNH∴当MP与eOMF取得最大和最小，连接OPOGOC可得：四边形OPMGMGOP2在RtVCOGCGOG·tan6023CMCGGM223在Rt△CMFMFCM·sinACB223333HNMF33∴PM2PN21PMPN2HN623 如图2CG23MG2CM232FMHN232333PM2PN21PMPN2HN623∴623PM2PN623623PM2PN6232（2025•连接AP、BP，则BP1AP的最小值 【答案】【答案】【分析】取点T0,1PTBT．根据OP2OTOAOPOA，即可证明VPOT∽VAOP PTOP1PT1PAPB1PAPBPT，利用勾股定理可得BT 124217BP1AP17【详解】解：如图，取点T0,1PTBTQT(0,1)，A(0,4)，B(4,0)OT1，OA4，OB4QQOP2OP2OTOAOPOA， QPOTAOPPTOP1 PT1PAPB1PAPBPTQBT124217PBPT17BP1AP17，（B、P、T三点共线时取等号BP1PB的最小值为17故答案为：173．（2025•广东珠海）AB直径eOACBCDO1AD6cm,BD8cmAC2DBCE满足OEBDDEAB，四边形OBED是什么四边形，3，在Rt△ABCACB90,CACB6cm，线段CD绕点CBAD的ADE．若CD2AE的最大值．【答案】(1)542先根据圆周角定理得ACBADB90BFDF，再证明DEF≌BOFEFOF，根据对角线互相垂直的平行四3，连接CEEAB为直径的圆上，且AECABC45，由D在以C为圆心，2AE为OCAE的值最大，即可解答．【详解】（1）∵ABACBADB∴在Rt△ABDAB

AD2BD2

628210QAC∵在Rt△ABCAC2BC2AB2102ACBC5ABACBADBADQOEBD，AD∥OEQDE∥DE∥OA,DEDE∥OB,DE∴四边形OBEDQOD∴平行四边形OBED如图，QBEAE，BEA90EABQQCD2，且CDCD是在以C为圆心，以2QACBC6QADCCDE90AD AC2CD242，QCCCEACBA45DECD2AE422AE的最大值为42241yax2a3)x3(a0)xA(40)yBxE(m0)(0m4)ExABNPPPMAB于点MaAB设VPMN的周长为C△AEN的周长为CC16m 2，在（2）条件下将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE，旋转角为α(0α90EAEBEA2EB【答案】(1)y3xm4【分析】（1）y0x轴交点，列出方程即可求出a由△PNM∽△ANEPN6 y轴上取一点M使得OM4AMEA2EB 【详解】（1）y0，则ax2a3)x30(x1)(ax3)0x1或3Qyax2a3)x3(a0)xA(40)34a3QA(4,0)，B(0,3)4kb设直线AB解析式为ykxb4kbk解得 4ABy3x31QPMAB，PEOAPMNAENQPNMANEPNQNE∥OBANAE AN5(4m)Qy3x29x3 PN3m29m3(3m3)3m23m 3m2 6，54 解得m2经检验m4m22y轴上取一点M使得OM4AMAME使得OEOEQOE2，OMOB434OEOB QBOEMOEMEOE2 ME2BEAE2BEAEEMAMAE2BE最小（A、ME共线时最小值AM42(4)2 1004】隐圆问题（6题1．（2025）ABCDAB3BC4EABAE2，FBC上任一点，把△BEFEFBBAC、CB，则以下结论正确的是（①当△BEF与VABCBF4CBCBPBPBP的最大值是171

1BAC3 【答案】【答案】有最小值，最小值为CE1，利用勾股定理求解CEEEGACGEB、GBGBACBGEG8BG可判断③；取CE的中点，连接OP、OBPO1EB1O1PBOBP最大，最大值为OB1 似三角形的判定与性质和勾股定理求得OBABCDAB3BC4∴ABC90，AC AB2BC232425∵AE2∴BEABAE①当△BEF∽△BACBEBF1BF BF4当△BEF∽△BCABEBF1BF BF3综上，当△BEF与VABCBF4BF3 EBBE1BE为圆心，1为半径的圆上运动，如图，连接CECB、ECB有最小值，最小值为CE1，在RtVBCECE

BE2BC2

1242

17CB的最小值为171EEGACGE、B、GBGBACBG由 1ACEG1AEBC得EGAEBC248V

∴BGEGEB813 BAC3④取CE的中点，连接OP、OBP是CB∴PO1EB1O作OHBCH，则OHBOHCEBC90，又OCHECB∴VCOH∽VCEB∴OHCHOC1 ∴OH1BE1，BHCH1BC2∴在Rt△OHB中，OBOH2BH2 221217BP的最大值是OB1 171171故选2．（2025•贵州•模拟预测）如图，在Rt△ABC中，ACBC3，ACB90，将边长为1的正方形BDEF绕点B旋转一周，连结AE，点M为AE的中点，连结FM，则线段FM的最大值为 【答案】【答案】2EF到GFGEFAGBGAGFM是△AEGFM1AGFMAGEF到GFGEFAGBG在Rt△ABCACBC3AB AC2BC2323232∴BFEFFG1，EFB90∴BFG90BG2BF2ABBGAGABBG，即322AG32222AG42FM是△AEGFM1AG2FM22FM的最大值是22，故答案为：22．【答案】83．（2025•陕西•模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AB6，A60，点E,F分别在边AB和AD上，且EF4．当△AEF的面积最大时，△CEF的面积为【答案】8得到△AEF的面积最大是解答的关键．作△AEFOO作OHEFHA作APEFPAPOAOHA、O、HAPP、HAEAF△AEFBDAC相交于O，由菱形的性质和锐角三角函数分别求得COAO33A、O、P、O、CAP23，则CP43，然后利EF4EAF60∴作△AEFOO作OHEFHAAPEFPEHHFAPOAOHA、O、HAPP、HAEAF

1EFAPAPAP最大时，△AEF的面积最大；1，BDAC相交于O，ABCDBAD60∴AOCO，BDAO，BACDAC1BAD30∴COAOAB·cos30AEAFAPEF

3633∴EAPFAP1EAF30，EP1EF2 A、O、P、O、C∴∴APEAOB90∴AP3EP23∴CPACAP43∴1EFCP143834．（2026）如图，在VABCABAC，BAC90，DBCADDAD顺时针旋转αACEDE．1，ADDEAE22BD如图2，若α45，过点B作BFAE，交射线ED于点F，用等式表示线段DF、DE、DA之间的数量3，若α45AB4ADEAMM，当CMBCQ，使得∠BQD∠MCD，当CQ取得最小值时，直接写出SVCQM的值．【答案】(1)【答案】(1)BD(2)DEDF2DA(3)102（1DFACAE22AF2，从而得到GDAF2，最后在Rt△BGDBDsinVADB≌VAGCSAS，再证VBDF≌VHGEAASDFDEEGDEDG2ADC，O，QQC，OCQ取得最小值，连接MQM作MROCR，通过tanMCRtanACOMR1，求得MR的长度，再根据CQOCOQ，求得CQ 最后根据三角形面积公式求出

1025【详解】（1）1，DDFACFDDGAB∵DF⊥AC，DGAB，BAC90∴BACDGADFA90DGAF∵ADDE，DF⊥AC∴AFFE1AE∵AE22∴AF1AE2DGAF∴GDAF2∵在VABCABACBAC90∴B45∵DGAB∴BGD90∴BD

sin

2 DEDF2DA2，AAGADDEG，连接GCG作GH∥BCAC∵ADE45，AGAD∴VADE∴ADAG，∠DAG90∵BAC90∴DAGDAEBACDAECAGBAD，在VADB与VAGC中，AB∵BADCAGAD∴BDCG，ABDACG45∵ AE∴FHEG，FBDBCA45∵GH∥BC∴GHEBCA45∴FBDGHE45∵ABDACG45，FBDGHE45∴GHCACG45∵BDCG∴BDGH在VBDF与VHGEDBF∵F BD∴DFEG∴DFDEEGDEDG

∴DFDE2AD解：∵α45ADEAM∴DAM180αDMA45，AD 2 ∵在VABCABACBAC90∴ADBC即ADBADC90∵VADM∴ADM45MDCADCADM45，当CMDMCM取得最小值，M与点MDD¢MACDBC的中点．4，MACDBC的中点时，∵∠BQD∠MCD45QABOAO连接CO，交eOQQCO之间，此时CQ取得最小值，连接MQM作MROCR，ABAC4，OAB∴AO1AB2，∵OAC90，AO2，AC4∴tanACOAO1 ∵MACABAC4∴CM1AC2，∵MROC∴MRC90∵tanMCRtanACOMR1 设MRtRC2t∵MRC90∴MC

MR2RC2

5t2∴MRt25∵OAC90，AO2，AC4∴OCOA2AC225∵OQOA2∴CQOCOQ252∴∴

1CQMR125225 10255．（25–26）ABCDABC901，DDE⊥ACECD2CECA2，在（1）FDE上一点，连接CFGCGADOAGDG，当CDGCFD时，判断VAGC3，M，满足ÐCMDÐMCDCD1BC

，连接CMHCBMCHBDHBHDH【答案】(1)【答案】(1)(3)【分析】（1）根据矩形的性质得到ADC90，根据垂直的定义得到DEC90，则ADCDEC通过证明△ACD△DCECDCA （2）先证明△CDG∽△CFD，得到CD2CFCG，结合（1）中的结论得到CFCGCECA△CEF∽△CGA，得到FECAGC，结合垂直的定义得到FEC90，则有∠AGC=90（3）根据题意可知点MD1HFCD交CDF，CF与EEM，先证明VCBM∽VCHB，得到CHCMBC26，再证明VCME∽VCFHCFCECHCM6CF3HF且与CFBHFHBHBCFHDH的长．【详解】（1）ABCD∴ADC90∵DE⊥AC∴DEC90∴ADCDECACDDCE∴△ACD∽△DCE∴CDCA ∴CD2CECACDGCFDDCGFCD∴△CDG∽△CFD∴CDCG ∴CD2CFCG由（1）CD2CECA∴CFCGCECA∴CFCE ECFGCA∴FECAGCDE⊥ACFDE∴FEC∴∠AGC=90∴VAGC解：∵ÐCMDÐMCD∴MDCD∴点MD1HFCD交CDFCF与eDEEM则F90∵CBMCHB，BCMHCB∴VCBM∽VCHB∴BCCM ∴CHCMBC26CE是eD∴CMEFMCEFCH∴VCME∽VCFH∴CMCE CFCECHCM6，即2CF6∴CF3FHF且与CFBHFHBHABCD∴BCD90BHFF90BCFH∴FHBC6∵DFCFCD312∴DHFH2DF26222106．（2025•）在VABCABC90,ABBCD1，DBC上，且BADCAD，求tanBAD2D为VABC内部一点，且BDC135ADEADBE，用等式BDBECD的数量关系，并证明；若点D满足BDC135，当AB 时，请直接写出AD的最小值【答案】(1)2(2)2BECD2BD(3)5【分析】（1）DDKACKDKBD，再证得VCDKBCAB2BDBD21BDBEG，使GEBEBBFBD，交CDFAG，再证得VBDFDF2BD，BDBF△AEG≌△DEBAGBDBFAGEDBEAGBD，进而得到BAG180ABD90CBD，再由CBDABFFBCGAB，可证明△ABG≌△BCFBGCFBC为斜边向右作等腰RtVBOC，BOC90O为圆心，OB为半径作圆，H连接CHBH，则OCB45DOD在线段OAOAD取【详解】（1）DDKAC∵BADCAD，ABC90，DKAC∴DKBD∵ABC90,ABBC∴C45∴VCDK∴CD2DK2BD∴ABBCCDBD2BDBD21BD tanBADBD

21

22BECD2BDBEG，使GEBEBBFBD，交CDFAG∵BDC135∴BDF45∴VBDF∴DF2BD，BDBFEAD∴AEDE∵AEGBED，GEBE∴△AEG≌△DEB∴AGBDBF,AGEDBE∴BAGABD180∴BAG180ABD18090CBD90CBD∵ABCDBF90∴CBDABF∴FBCABCABF90CBD∴FBCGAB∵ABBC,AGBF∴△ABG≌△BCF∴BGCFCDDF∴2BECD2BDBC为斜边向右作等腰RtVBOCBOC90OOB为半径作圆，H是优弧上的一点，连接CHBH，则OCB45，∴∠H1∠BOC45∵BDC135∴BDCH180DOD在线段OAOAD取得最小值，最小值为OAOD∵ABBC∴OBOC

22BC∴ACO90∵在Rt△ABCAC2AB2∴∴OA AC2OC25∵ODOB1AD的最小值为5105】费马点问题（5题于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则 【答案】3+【答案】3+时，QA+QB+QC2，MCAMBCAD=BDPD重PD=xDQ=x–2x可得结论．1，将△BQCB60˚得到△BNM∴△BQNAQNM共线时，QA+QB+QC2，∵将△BQCB60˚∴△BQN是等边三角形，△CBM∴AM∴BD=3∴x=tan60x23x2∴x=3+3∴PD=3+33+32．（25–26）1ABCD4B为圆心的eBBCE，FEFEF4BEDE，DF，把△BEFB顺时针旋转360①求CDE

2PA【答案】(1)【答案】(1)BE2(2)①15CDE75，②217【分析】（1）由题可知△BEF（2）①DE分别为eBCDE最大或最小，由DE1B90，DB2BE1，可知BDE130，DHC90，再取CDO，连接OH，将VABPA顺时针旋转90得到△ABPPP，OB，当点O、H、P、P、BPH2PAPB取最小值，且最小值为OBOH，分别求出OB、OH【详解】（1）解：QABCDB90QBEBFBE 2EF 2422DE分别为eBCDEQBDABCDBD

2AB42，BDC45EE1CDEQDE1B90，DB2BE1sin

BE11 BDE130CDE1BDCBDE1453015EE2CDEQDE2B90，DB2BE2sin

BE21 BDE230CDE2BDCBDE245307515CDE75则△BDDBDBD，DBD90QBFBE，FBE90DBFDBEBDFBDEFDDDDEBDDBDFDDEBDDBDEDDEBDDBDD90Q点C、GDD、DECGDEDCHDDEFDCDCH90DHC90取CDO，连接OH，将VABPA顺时针旋转90得到△ABPPP，OB则OH1DC2APAP，BPBP，ABAB4PAP90PPPHPH

2AP2PAPBOHPHPPPBOHOB2PAPBOBOHQOD1CD2，BDADAB8

2PAPB取