2026年中考数学二轮复习 专题02 几何三大变换热点 4类核心题型(方法+题型+实战)

专题 几何三大变换热（折叠、旋转、平移及综合应用）4第一部分命题解码洞察命题意图，明确攻坚方向第二部分方法建模第三部分题型专攻01020304第四部分答题实战考向聚焦（精炼概括本专题在中考中的核心考查方向与价值1：折叠（轴对称）——高频基础+中档压轴，侧重考查折叠的轴对称性质（对应边、思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板 三大变换核心基础公式（解题地基，必背必用坐标平移公式（中考高频，适配平面直角坐标系+动点平移点𝑃(𝑥,𝑦)沿𝑥轴方向平移：向右平移𝑎个单位→𝑃1(𝑥𝑎,𝑦)；向左平移𝑎个单位→𝑃1(𝑥𝑎,𝑦)（𝑎>0）点𝑃(𝑥,𝑦)沿𝑦轴方向平移：向上平移𝑏个单位→𝑃1(𝑥,𝑦𝑏)；向下平移𝑏个单位→𝑃1(𝑥,𝑦𝑏)（𝑏>斜向平移（拓展）：沿与𝑥轴成𝛼角方向平移𝑘个单位→𝑃1(𝑥𝑘cos𝛼,𝑦𝑘sin𝛼)（中考偶尔考，多用平移距离：对应点连线长度（即平移的路程），公式：𝐝= (𝐱2—𝐱1)2+(𝐲2—𝐲1)2（两点距离公式，平移后线段关系：对应线段平行（或共线）且相等，对应线段所在直线斜率相等（𝑘1=折叠（轴对称）对称轴𝑙的斜率𝑘𝑙与𝐴𝐵的斜率𝑘𝐴𝐵满足：𝐤𝐥⋅𝐤𝐀𝐁=—1（垂直𝐴𝐵的中点𝑥1+𝑥

在对称轴𝑙上（平分折叠后对应边相等：𝐀𝐁=𝐀′𝐁′、对应角相等：∠𝐀=∠𝐀′（核心，用于求边长、角度折叠中的勾股定理：折叠后形成直角三角形，可列方程：𝐚2+𝐛2=𝐜2（中考折叠题必考，求边长/旋转中心到对应点距离相等（旋转半径）：𝐎𝐀=𝐎𝐀′、𝐎𝐁=𝐎𝐁′（𝑂为旋转中心旋转角相等：∠𝐀𝐎𝐀′=∠𝐁𝐎𝐁′=𝛉（𝜃30˚、45˚、60˚、90˚、 点𝑃(𝑥,𝑦)绕原点𝑂90°→𝐏1(𝐲,—𝐱)点𝑃(𝑥,𝑦)绕原点𝑂90°→𝐏1(点𝑃(𝑥,𝑦)绕原点𝑂60˚（拓展）：𝐏1(𝐱𝐜𝐨𝐬60∘—𝐲𝐬𝐢𝐧60∘,𝐱𝐬𝐢𝐧60∘+旋转弧长（拓展，部分地区中考考）：𝐥=𝐧𝛑𝐫（𝑛为旋转角，𝑟为旋转半径三大变换万能建模公式&拓展公式（中考解题神器，全国通用平移万能建模公式（适配：平移+动点+最值/计算模型：动点𝑃沿某条直线平移，求𝑃𝐴𝑃𝐵的最小值（、𝐴、𝐵为定点平移综合建模公式（平移+二次函数/四边形若图形𝐴𝐵𝐶𝐷平移后得到𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′，设平移向量为(𝑎,𝑏)，则任意对应点坐标满足：𝐱′=𝐱+𝐚，𝐲′=+𝐛（、𝑎、𝑏为平移量，可通过已知对应点求解折叠万能建模公式（Top1热点，适配：折叠+最值/存在性/计算折叠前边长=折叠后边长直角边2+直角边=斜折叠最值万能公式（将军饮马+折叠模型：点𝑃是折叠后的动点，求𝑃𝐴𝑃𝐵公式：利用折叠的轴对称性，找到点𝐴（或𝐵）的对称点𝐴′（折叠后的对应点），则𝐏𝐀+𝐏𝐁的最小拓展：折叠后求点到直线的最短距离，直接转化为“对称点到直线的距离”（垂线段最短4.模型：判断平面内是否存在点𝑃，使折叠后某两点重合/某图形为特殊图形（等腰三角形、矩形（对称轴）；② 例题1（2026•）1BFAEH3AB2BC4BCD60出△BEH【答案】(1)【答案】(1)(2)DFBE(3)【分析】（1）根据平行四边形和折叠的性质，推出AEFAFE，从而得到CEAEAF（3）AAMCBMHHNCBN，在RtVABMAM3BM1，设CEaAFa14BE4a6，再根据VAFH∽VEBH VEHN∽VEAMHN33，即可求出△BEH【详解】（1）∴AD∥BCAFECEF

ABCDAEFCEFAECEAEFAFEAEAFCEAF解：QABCD∴AD∥BC，BDAFEBEF180，即AFECEFBEC180，DDDFDFDF∥CE，BD，DFECEF180AFDAFECEF180AFDBEC，在VDFK和VBEG中，DDFKBEGFKDFBEDFBEAAMCB的延长线于点MHHNCBNQABCDAB∥CDABMBCD60在RtVABMAB2ABM60AMABsin603，BMABcos601CMBCBM5由（1）CEAE设CEaAEAFaEM5aBE4a，在Rt△AEMAM2EM2AE2，325a2a2a14AFa14，BE4a6 QAD∥BCAHAF7 EH3 QAM∥HNHNEH3 HN3AM33 𝐵𝐸𝐻的面积1BEHN163393 2 例题2（2026•）在VABCABAC5BC8，DBC边的中点，EBA上一点，将VBDEDE翻折得到VFDEFB的对应点．1，EBAEFBCEFDFACBEFDDG，求△DGF【答案】(1)①V(2)CF【分析】（1）①BEFEBDFDBEDFED，证明BED【答案】(1)①V(2)CF【分析】（1）①BEFEBDFDBEDFED，证明BEDEDBBEEFFDBDAD3，证明△AEG∽△ABCEG8GF12DM12（2）ADEDBFG，证明VABD∽VBEGBG3aGE4aBE5aDG4a4根据勾股定理求出a32【详解】（1）①证明：∵将VBDEDE翻折得到VFDE△BDE≌△FDEBEFE,BDFD,BEDFEDQEFBC∠FED∠EDBBEDEDBBEBDBEEFFDBDBEFDADADEGQABAC5BC8，DBCBD4,ADBCQEFBCAMEG在Rt△ABDAD

AB2BD23BEFDBEBD4AEABBE541QEFBC△AEG∽△ABCAEEGAM1EGAM EG8AM3 GFEFEG4812 DM3312

1121272 （2）解：QABF90ABCABFABC90QABAC,BDCDADBCBADABC90ABFBADEBEFDBDF，则EGBF，ADBBGE90BG:GE:BEAD:BD:AB3:4:5,ABDBEGBG3aGE4aBE5aQDBDE4DG4a4在Rt△BDGBD2BG2DG2423a24a42a0（不合题意舍去），或a32BF2BG6a192QDBDFDCDBFDFB,DFCDCFQDBFDFBDFCDCF180BFCDFBDFC90，在Rt△BFC中，CFBC2BF282192 25 例题 （2026•河北石家庄•一模）【主题研究】利用正方形或矩形纸片折叠出特殊度数的角11，ABCDADBCEFBCPAPABBEF上的点MBAP30AFDABCD内的点M2中画出点MFMBCPAMAP求PAFBP【答案】(1)【答案】(1)(2)45BP1：先推导出sinAMEAEAE1，得到AME30，求出BAM60 BAPPAM1BAM302：（1）AADFDFFMBCPAMAP（2）先推导出VABP≌VAMPHL，得到BAPMAPBPMP，进而求出PAF45BPxPC4xPFPMMFx2，根据勾股定理得到CF2PC2PF2x4BP【详解】（1）AEBE1ABABAMAEM90Rt△AEMsinAMEAEAE1 AME30BAM90∠AME60BAPPAM1BAM30（2）解：（1）MABBCCDDA4，BADBCADC90∠ADC∠AMF90，DAFMAFABAMAMP90CFCDDF2，又QAPAP，ADAMDFMF1CD2BAPMAP，BPMPPAFPAMFAM1BAM1DAM1BAD45BPxPC4xPFPMMFx2∵CF2PC2PF2224x2x22直角三角形，转化线段与1（2026•P2，0MAB：y1x上的一个动点，连接PM，将PM绕点P逆时针旋转90到PN，连接ON，则线段ON的最小值 65/6 P作CDx轴，过点MN分别作CD的垂线于点CDNEyEAB F，证明VMPC≌VPNDAAS，设Mt2t2N42t2t Ny2x6上运动，当ONFEON的值最小，证明△BEFEFAB出tanBEF1，根据NO22NO262，即可求解．PMP逆时针旋转90PN∴MPN90,MPNP∵点MAB：y1x2 设Mt,t2 P作CDx轴，过点MN分别作CD的垂线于点CDNEyEABF∴CD∵MPN∴MPC90NPDMP∴CMPD,CP ∵P2,0，Mt,t2 ∴MC2t，CP1tN21t22tN41t2t x41ty2∴y2xNy2x6上运动，当ONFEONy1x

x联立

yy2x∴F16,2 55 ∴BF216

2 2

64，EF216

256，BE22625 5 5 ∴BF2EF2BE2，BF85,EF165 ∴△BEFEFAB8∴tanBEFBF∴NE2ON

16

1，∴NO22NO2∴5ON2ON655，即线段ON655例题2（2026•辽宁沈阳•一模）如图ABCD中，过点B作BEDC，垂足为点E，将VBEC绕点B时针旋转90得到VBFG，点E落在AB上点F处，点C落在ABCD内部点G处，延长BG交AD于点H，连接CGEF，且CGEFPBP．BHADBPPGAB上取一点QDQHQAQD60AB

AD AH1，求△ADQ3【分析】（1）根据平行四边形的性质得出ABCD，再由垂直的定义确定EBCECB90，利用旋转的性质及角的等量代换得出GBFA90，即可证明；（2）G作GN∥CDEFN，根据平行四边形及旋转的性质得出GNFGFN45【详解】（1）证明：∵ABCD∵BEDC∴∠BEC90∴EBCECB90∵将VBECB逆时针旋转90得到VBFG∴EBCGBF∴GBFA90∴AHB90DM7x233MQ3∴BH⊥ADG作GN∥CDEFN∴AB∥CD∴GN∥AB∵将VBECB∴∠EBF∠CBH90∘,BEBF,GFCE∴∠BEFBFE45∠GFN904545∵GN∥AB∴∠GNF∠BFE∠GNF∠GFN45GNGFCE∵GN∥CDPGPCP是CG∴BP1CGDDMnABMBDRtVADMAMx∴DM2AD2AM272x27x2∵∵AB2∴MB27xRtVABHBH2AB2AH227212281∴BH33∵AD∥BC,BHAD∴DB2BH2DH2,DHADAH7DB2277122772713527∴7x2352727x2x1∴DM7x233∵AQD60∴tanAQDDM3∴MQ3∴AQ132 ∴△ADQ123333 例题 （2026•辽宁沈阳•一模）在VABC中，ABBC5，ABC90，点D在BC边上，BD2BD为一边做等腰Rt△BDE，其中BDE90，BDDEEBC1，BEACFEF1中的VBDEB逆时针旋转α（0α902，当α30BEACFEF3，ADE上时，连接CE，求CE【答案】(1)【答案】(1)EF2210(2)①EF2230；②CE17【分析】（1）证明VABC和VBDE都是等腰直角三角形，在△BFC（2）BBGAC于点G，求得BFC60，在RtBGC和RtVBGFEHCB交CBHEEMBABAMDDNABN，EMBH是矩形，证得VMAE≌VNADAAS，据此求解即可．【详解】（1）ABBC5ABC90∴VABCC45∵BDE90，BDDE2∴VBDEBE22222，DBE45DBC∴FBCDBE45在△BFCBFC180FBCC180454590∴BFBCsin455∴EFBEBF22210 10（2）解：①∵旋转角α30∴DBC30FBCDBCDBE304575，BBGAC于点G，在RtBGCBGBCsin455

210在RtVBGFBF

sin

∴EFBEBF22

30ADEBDE90∴BDAD在Rt△ADB中，AD AB2BD254∴AEDEAD211∴ADAEEEHCB交CBHEEMBABA延长线于点MDDNAB于点N，如图，EMBH

1ABDN1ADBD ∴DN1225 5∵H90∴CE6575 17 ∴BHEM25∴EHBMABAM5565，CHBHBC2555 1225∴EMDN25，AMAN AD2DN2∵MDNA90，MAENAD，AEAD例题1（2025•）3ABCDAC1．然后固定纸片VABCADCAC的方向平移得到△ADC2．ABDBDC，在平移过程中： （点A与点C重合时除外ABDB3，1ABCDDAB60，将△ADCAC的方向平移得到△ADCABDBDCABDB的最小值．【答案】（1）①35；（2）【分析】（1）①②作点CDD的对称点CBCDCBDCABDBDCDBDC有最小值，再证明VDCCADC共线，在直角VABC（2）同理可得VDCCADC【详解】（1）①∵纸片△ADCAC的方向平移得到∴ADBC，AD∥BC∴ABDC作点CDD的对称点CBCDCBDCABDBDCDBDCDB有最小值，ABDB的最小值BC，∵DA∥DC，DCDCDCDC∴DDCC45CDD的对称点C，∴DDCDDC45，DCDC∴VDCCADC∴在直角VABC中，BC AB2AC2=32(33)235ABDB的最小值=35（2）∴ABDC作点CDD的对称点CBCDCBDCABDBDCDBDCDB有最小值，ABDB的最小值BC，∵DA∥DC，DCDCDCDCCDD的对称点C，∴VDCCADC∴在直角VABCBCABDB的最小值=3

AC2AB2=22123的性质，作出点CDD的对称点，是解题的关键．1，ABCDEFGABBCADDEGFDEGF，DE与GF之间的数量关系．老师在课堂上给出如下分析：将GFADDH，连接CH．根DGFH是平行四边形，再证明△ADE≌△CDHDEDH，继而得到DEGF．ABCDABCDA602，EFG分别ABADBCFGDEM．若EMG60DEFG之间的数量关系，3，在VABCDEBCABADCEADCE交于点O∠AOE60AECDAD的大小关系，并说明理由．【答案】（1）DEFG，理由见详解（2）AECDAD，理由见详解（３）4ADFGFD重合，点G与点GBD【答案】（1）DEFG，理由见详解（2）AECDAD，理由见详解（３）4ADFGFD重合，点G与点GBD和平行线的性质得出VECDEDCECD，最后利用三角形的三边关系即可得AGAEA与点GEEFE，EEFGAEGE210【详解】解：（1）DEFGADFGFD重合，点G与点GBDDGFGFGDG，EDGEMG60ABCD为菱形，且A60CA60ADBG60，ADB60，ADADEBDEBDGBDE60ADEBDG，在VADE与VBDG中，A ADADEDE∴DEFG（2）AECDADEDAD，EDAD,AEDD，CEDAOE60，ADCEEDCE，△ECDEDCECD在△CDDDDCD>∴AECDADAGAEA与点GEEFE，EE，GEAEGEAEEEAG，FGAE∴FGE90ABCDAB6CE2BEBE1BC2，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE AB2BE22101FGAE∴∴FGAEGE210∵AGEFEE∴在RtVFGEEFFG2GE245AGEF的最小值为45例题3（2026•）问题情境ABCD中，ABBC,EABBC的中点，点GBCCGABDEDFDG 拓展探究：2，ABCDAB6BC8

2中的VDEFBC的方向平移得到△DEF（DEF【答案】(1)FG2EF(2)①5VDEF9739【答案】(1)FG2EF(2)①5VDEF9739374 （1）BEBFAEFCEF2BFCGABABBC （2）①AEBE3BFFC4EFCGAB可求得CG FGEGEDGEGDDEDG【详解】（1）FGABCD

2EFB90QABBCEFABBCBEBFAEFCRtVBEFEFQCGAB,ABBC， CGAEFC

2BFGBCFG2BFFG

2BF

2FG

2EF（2）ABCDB90QAB6BC8EFABBCAEBE3,BFFC4RtVBEFEFQCGAB CG6 CG9QFC4GBCFGFCCG4925

BE2BF25FG45 VDEF9739374 1，EGEDE在线段GD由①得CG9∴DD9DDEEEBEM3DNAB6，DDEEx，∴DDEECNx∵CG9∴GM8x9,GNx9 ∵GEGDEM2MG2DN2GN2，即(8x9)232x9)262 x73DD73CGDH9DHx∴DG2x262∵DE2DE23282∴x2623282x37（负值舍去∴DD937平移类型，利用变换的全等性质，结合勾股、相似、坐标法，分类讨论求解综合问1（2026•）如图1，在Rt△ABC中，BC8，AC6，点D是AB的中点，点P是BC上一动点，则DPAP的最小 如图2，在等边VABCAB6DEBCACBDCEADBE交于F，连接CFCF的最小值是多少？问题解决：如图3ABCD，经测量可得ABC90AD1003mAB430mFBF

m，AB立一个半径为20m的餐厅，即半圆eO，并在半圆eO的三等分点MAB地规划需求，要使APD90．线段MFPN是要修的两条道路，为节约成本，希望MFPN最小，试求MFPNAN的长．【答案】(1)2MFNP的最小值为10019503mAN的长度为最短距离（即OC−半径）求出CF的最小值；AN的长度．【详解】（1）ABCAADAPDPACEDEDABDE1BC184 AE1ACAC369，AD AE2DE2924297ABBCAC，ABCBACBCE60在△ABD和VBCEBDABCBCEABBADCBE又QAFEBADABEAFECBEABEABCAFB120F的运动轨迹是OOA为半径的弧上运动，其中AOB2180120120，过点O作OHABH

1AB3，AOH1AOB60在Rt△AOH

OA

sin

32 连接OC交eONFNCF的值最小，最小值OCON432323解：如左图，连接MNOM，作MQONQ如图，平移线段MFNG，点MNAB为对称轴作点G的对称点GGGABI．根据线段平移的性质，四边形MNGF为平行四边形，∴MFGNNG，MNGFADE，由于点MNPADAE503mQPNNGGPPEEP为半径的圆上运动，EPEG，QPGEGEPPNMFEGEPENPGPNMFEGEPGPPNNGPNMF的最小值为GP，即GPPNMF在如图中，半圆形餐厅的半径OM20mQOM118060ONMOMN16030QMOMsin6020sin60103m，QNQMtan30103

330mF移至点G，相当于先向左平移了QM长度，再向上平移了QNIGIGBFQM603103503m，GGAB，IBQN30m过点GABDAHAIGHAHIG503m，GHAIABIB43030400mHEAHAE5035031003m在Rt△EHGGE

HE2GH210019mGPGEAE10019503m，PNMF的最小值为10019503m，AB和GEN，QAHAE503m，GH∥ANMFNP的最小值为10019503mAN的长度为200mAN为△EHGAN1GH200m例题2（2025）在平面直角坐标系中，OA60By填空：如图①，点B的坐标 ，点C的坐标 将VBCOx轴向右平移得到VBCOB，C，OB，C，O①如图②，设OOt，VBCO与VABOS．当VBCO与VABO重叠部分为五边形时，AB、OCABOC取得最小值时，求点C的坐标（直接写出结果即可3，9,33(2)①S173t263tt的取值范围是0t6C133（1）BO63，然后根据等边三角形的性质及三角函数可得CD9（2）①BC∥BC，BCBOBCBO63，则有VCGHRtVOHOOOtHO

3t，HO23t，CHCOHO6323t239tCGGH EFBE·cos303t，BF1BE 3t ABBCABCA，A60，C9t33，Bt63A333，则由（1）Oy33B063ABOCACCB，A、C、BACCBABABOC的最小值，进而问题可求解．【详解】（1）解：∵A6,0，ABO30，AOB90，tanABOtan30OA 3 BO

66 ∵VBCO为等边三角形，作CDyD则OD1BO33，DCO30，tanDCOtan30DO 3CDDO33

B的坐标为063，C的坐标为933063，933（2）BC∥BC，BCBOBCBO63∴BFGBFE90∵HOO30，CHGOHO60，CGHCBO60∴VCGH是等边三角形，在RtVOHOOOt，则HO

3t，HO23t，CHCOHO6323t239tCGGH ∴CD 3CH 3239t9t 在RtVAOEOA6t，OE

36t，BEBOOE63

36t

3t∵cosBEFcos30EF 3 ∴EFBE·cos30 33t3t，BF1BE13t 3t 所以SSVCBOSVCGHSVSVCBOSVCGHSV1OB·CD1GH·CD1 16391239t9t1

3t3 27327363t

3t233t 173t263t当点O，O重合时，t0VBCO与VABOA，O重合时，t6与VABO∴t0t6AB和OCABBCABCA，A60，C9t33，Bt63Amn tm03363 ABA m3，n33∴A3,33由（1）Oy33B063ABOCACCBA、C、BACCBABABOC的最小值，ABykx63k0，∴3k6333k33ABy33x63y3333x6333x1C的坐标为133例题3（2026•）已知VABCABACBαDBC上任意一点（不与BC重合），将△ABDADBE．如图1A的直线lBCElEAD（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），ABDE的形状，并说明理由；ECADF如图2AC5BC8DEACDFDBCAFCFCE的关系（用含有α的式子表示），【答案】(1)【答案】(1)(2)DF115；AF，CF，CE的关系为CF1CEcosαAF或CF1CEcosαAFFAFBCDDEEAD【分析】（1）AAB为半径画弧交lEB、E1BE（2）AGBC于点G，证明VADG≌VADMHLDGDM DMDMtanACGAG3，由翻折可知BAEDADBADE1BDEABAE ADAC 3，即 AF10DBCDBC【详解】（1）EAD证明：由翻折可知BADDAEABAEBDDE∵AE∥BD∴ADBDAE∴BADADB∴ABBDDEAEABDE（2）AGBC于点G∵ABAC∴BACB，CG1BC4∴AG AC2CG23BDACDA，AMDM，∴AMAG3∴CMACAM2∵ADAD∴DGDM∴DMDMtanACGAG3 ∴DGDM3∴AD

AG2DG235由翻折可知BAEDADBADE1BDEABAE∴ACBAED，ACAE∴CAECDE又CAEACEAEC180CDEADBADE180∴ADGACE又ADGADC180ACEACF=180又CADCAF，∴△ACD∽△AFC∴ADAC 3即25 ∴AF105∴DFAFAD115②AFCFCE的关系为CF

1CEcosαAF或CF

1CEcosαAF∴CHEH1CE，FBα∴FHcosαCF1∴ ∴CF1CEcosαAFDBC中点左侧时，EDAB相交于点M，AFCFCE的关系为CF1CEcosαAF或CF1CEcosαAF∴CF1CEcosαAFCF1∴ 又BDMCDEADBBDMADECDE，即ADMADC又DAEEAF∴△ADE∽△AEF∴FH∴CAECDE，ACEAEC，EH1CEABAEACADBADE例题4 （2026•河北石家庄•一模如图1，将VABC纸片沿中位线EH折叠使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰VBED和等腰VDHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合将ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG则操作形成的折痕分别是线 S矩形AEFG:SYABCD ABCD3EFGHEF5EH12AD的长．【详解】（1）AE、GF；由折叠的性质得：△ABE≌△AHEAHFG≌DCFG，∴VABE的面积VAHEAHFGDCFGMNMC【详解】（1）AE、GF；由折叠的性质得：△ABE≌△AHEAHFG≌DCFG，∴VABE的面积VAHEAHFGDCFGMNMCAD13BC37ADBCMNFMFN3xABCDBC25x，求出MCBCBM25x3DGNGNHCHBMFMMCCN，求出GH1CD5EMGH5EMHG的面积5225FMBM3ADx2EMHG的面积1ABCDAEBE1AB4FMC90BMFM4，由勾股定理得出GMCM3ADBGBMGM1，BCBMCM7（3）1ADBGAEBE1AB4CFDF1CD5GMCM（2）FH1矩形AHFGDCFG的面积，得出(3)AD1BC7AD13BC【答案】(1)AE、GF；1S矩形

1 S矩形AEFG：SABCD2EFGHEF5EH12FEH90∴FHEF2EH25212213DHNHAHHMCFFN∴CFAH∴ADDHAHHNFNFH1314ADBGAEBE1AB4CFDF1CD5GMCMFMC90 ∴BMFM4∴GMCMCF2FM252423∴ADBGBMGM1，BCBMCM725EMHG的面积1ABCDAEBE1AB4DGNG NHCH，BMFM，MCMN∴GH1CD5，EMGH5EMHG的面积5225∵ÐB=∴FMBM52423ADx，则MNFMFN3xABCD的面积1ADBC8225∴ADBC25∴BC25x∴MCBCBM25x∵MNMC∴3x25x3，x13∴AD13，BC251337 例题5 （2026•陕西•一模）【问题背景】在几何学习中，利用旋转的性质可以将一些零散、难以关联(1)1，在等边VABCPAP3,BP5CP4，求APC【答案】(22，某地计划新建一个四边形的休闲场所（ABCD）AC处修建两个管AC的距离为600m．根据设计要求，将休闲场所分为△ABD与△BCD两部分，其中在△ABDA90ABADA负责管理；在△BCDBCD45，将它作为开心农场，由管理室C负责，为了容纳更多动物，要求开心农场的面积尽可能大，请你利用所学知识求出开心农场（△【答案】【分析】（1）如图：将△ACPA旋转到△ABP处，此时VACP≌VBCPPPBPAP3PCPC4PCP60APCBPC；易得△PCP是等边三角形，则PPPC4（2）2，AC，将△ADCA顺时针旋转得△ABC，连接CC理可得CC

AC2AC26002m，再说明CBC1352∶BBNCD过点C作CMCB，交CBM．则CBM180CBC45，进而得到SVBCDSVBCC；O为所在圆的圆心，连接OCOCOBO作OFCCFB作BECCE，则COC90BE的最大值为6003002m．最【详解】（1）解：如图：将△ACPA旋转到△ABP处，此时VACP≌VBCPPP∴BPAP3,PCPC4,PCP60，APC∴△PCP∴PPPC4，PPC60∵BP2329,PP4216,PB25225∴BPPP25PB2∴VPBP是直角三角形，即PPB90∴BPCPPCBPP150∴APCBPC150（2）2，AC，将△ADCA顺时针旋转得△ABC，连接CC∴ACAC600m，CAC90，ABCADC，BCDC∴CC AC2AC26002m∵DAB90,DCB45∴CBC1352∶BBNCDN，过点C作CMCB，交CBM．则CBM180CBC45，∴BN

2BC,CM 2BC 2CD ∴ 1CDBN 2CDBC， 1BCCM 2CDBC ∴SVBCDSVBCC∵CC6002m,CBC135∴点B在以CC为弦，所含圆周角为135的弧O为OCOCOBO作OFCCFBBECC，垂足为E，则COC90∴OF3002m,OBOC600m∵BEOFOB∴BEOBOF6003002mBE的最大值为6003002m∵∵V VBCC 1CCBE3002BE300260030022180000m2∴开心农场（△BCD）的最大面积为2180000m2例题6 （2026•河北沧州•一模）如图，在矩形ABCD中，AB6，AD8，将边AB绕点B顺时针旋转α0α180得到AB，连接AA，过点B作BFAA于点E，交矩形ABCD边于点F，连接AF当点F在边AD上时，BAF的度数 DADADFABC3BADEDE【答案】(1)DA的最小值为4DF的长为56π或12π(4)73（1ABABBFAABFAAFAFASSS证VABF≌VABF，结合矩形BAF90，得BAF90．AB为圆心、6BD10DA最小值为1064AFAFxRtVAFDDF5BAAABC距离为3得ABH30A在矩形内时旋转角α60，面积6πA在矩形外时α120，面积12π．（3）AEB90AB中点O，由斜边中线得OE3；在RtVAOD中算得OD73DE733【详解】（1）ABBAB∴ABAB∵BFBFAA∴FAFA在VABF和VABFABFAFABF∴∠BAF∠BAF90ABBABAB6∴BD AB2AD2628210ABDDABDBA1064由（1）VABF≌VABF∴ABAB6，AFAF，∠BAF∠BAF90DABDBA1064DAF1809090．AFAFxDFADAF8x．在RtVAFDx2428x)2x3∴DF8x835AAHBCHAH3ABAB6，在RtVABHsinABHAH31 ∴∠ABH30AABCD内时，αABAABCABH903060此时S

60π626π此时S120π6212πBA扫过区域的面积6π或12πAB的中点O，连接OD、OE∵BF∴OE1AB3．∴∠BAD90，AO1AB3在RtVAOD中，由勾股定理得OD

AO2AD2

3282

73DEODOE，当且仅当OEDDEDE最小值为733例题 （25–26九年级上•重庆•期末）如图，在等腰三角形ABC中，ABAC，点E在直线BC上DAD1，若BAC60EBCBE1AC

AEAEA逆时针旋转AFFCDACFD，求出此时△ADF2，若BAC120D在VABCEFBCADEFEFF顺时针旋转120FHBHBDHDBHBD的数量关系，并证明；3，若BAC60DDC，将△ADCAD翻折得△ADQQBQNBN2DCEBCAEE 转120EKKNKN

【答案】(1)【答案】(1)SVADF9SVVABD3BDBH33Rt△CKF中，求出FK的长，最后求出 1ADFK93V证VHEB∽VHQD，最后运用相似三角形性质，特殊角的三角函数值等知识，得出3BDBHA，B，C，DD在圆eO上，在eOFBFCF 1，得到

FON在圆eOKKNSVABD333SV 【详解】（1）1，FFKACABCABACBAC60∵BE1AC23∴BE23，AC63AEA逆时针旋转60AF∴AEAF，EAF60BACEACEAFEAC，即BAECAF，在VBAE与VCAF中，BA∵BAECAFAE∴BECF23，ABEACF60∵FKACFKC90，在Rt△CKF∵FKC90，KCF60，CF23∴sinFCKsin60KF∴KFsin60CF

323DACAC63∴AD1AC33

1ADFK93 解：猜想：3BDBH2，AEDDQAEEFQHQHEFAD∴AFFD∵DQ∥AE∴AEFDQF在△AEF与△DQFAEF∵AFEDFQAF∴AEDQ，EFFQEFF顺时针旋转120FH∴EFFH，EFH120∴HEFEHF30，EFFHFQ，HFQ60∴△HFQ∴HQFFHQHFQ60∵HEFEHF30EHQEHFFHQ90，在RtVEHQ中，∵EHQ90，HEF30∴tanHEFHQ 3 ∴HQ 3 ABCABACBAC120ABACEBCAEBC，即AEB90，在RtVAEB中，∵AEB90，ABE30∴tanABEAE 3 ∴HQAE 3 ∵AEDQ∴HQDQ 3 设AEHα，则AEFHEQAEH30α∵DQ∥AE∴AEFDQF30α∵HQF60∴HQDHQFFQD90α∵AEB90，AEHα∴HEBAEBAEH90α∴HQDHEB∵HQDQ 3 ∴BHEDHQ，HDHQDQ ∴BHDEHQ90∴在RtVBHD∵BHD90∴tanHBDHD 3 ∴HBD30cosHBDcos30BH 3 ∴BH

3BDABCABACBAC60∵将△ADCAD翻折得△ADQ∴ACAQ，ACDAQD∵ABAC∴ABAQ∴ABQAQB∴ABQAQBACD∴A，B，C，DBC63mDOO为等边VABC的内心，3，作OXBC，连接OCOB，则OCOBBOC120CXBX1BC33m∴OXC90，OCX30，CX33m∴OC

33m

6m3，DOOC6m4，在eOFBFCFBF2DFNF ∵BN2，BF2，FBNFCD ∴VFBN∽FCD∴BFNCFD∴BFCNFD∴BFCNFD605，FOFOF点顺时针旋转60FO即OFO60FO2FO∵OFOBFC60，BF

FO ∴OFBOFC，BFOF ∴OB2，OBFOCF ∵OC6m∴OB4mN在以OOB4mOBFFBAOCFFCA，即OBAOCA30∴OBAABC306090OBC90，即OBBC∴OBBC，OB4mEBCAEE顺时针旋转120EKK6，EBCE1EBE2E1E2K1K2K1K2KK1K2KN∵ABK2AE1K1120，ABBK2，AE1E1K1E1BCVABC∴AK2BC，AE1E1K2E1K1∵AE1K1120∴K2E1K160∴VK2E1K1∴E1K2K1∵AK2BC∴E1SK130KKPBCP，设O¢KBC∵KPBC，OBBC∴KPLK ∵BON30，BOON∴OBNONB75∵OBBC，BON30∴OLB60∴NBLONBOLB756015∴ABDABCNBL601545AZBD∵ABBC63m，AZB90，ABD45∴AZBZABsinABZ36m∵AZ36m，AZD90，ADB60∴ZD

32m∴BDBZZD3632m BDAZ2793m ∵OB4m，OBL90，BOL30∴BLtanBOLOB43m，OL

sin

83m，BS2BC123m∴LSBSBL323m，LK1LS163m ∴OL1 ∴KPKL2 ∵OB4m∴KP8m

1BCKP243m2∴SVABD333SV 01】折叠变换应用（10题1．（2026•湖北•模拟预测）如图折叠一张长方形纸片，已知∠170，则2的度数是 A． B． C． 【答案】【答案】【分析】首先根据平行线的性质求出EFC180BEF110，然后根据折叠的性质得到2Q170BEF170QAB∥DCEFC180BEF1102EFG1EFC55．2．（2026•河南周口•一模）如图，在ABCD中，将△ADC沿对角线AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若AB2，BC4，则BE的长是（

B． C．

D．【答案】【答案】AC AD2CD223ABECACDACE，CDCE∠ACD∠ACE180ACDACE90ABCD，ABCD2，ADBC4∴ABCE∵ACD90，AD4,CD2∴AC=AD2-CD2=42-22=23又∵ACE90，∴BEAC233．（2026•）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OCxD为边上一点，连接CD．将菱形OABC沿CD折叠，点OECEABFF54D的坐标为（ 7A．15, 7

B．20,15 7 7

C．20,25 7 7

D．15,25 7 7【答案】【答案】F的坐标得OAABBC5A34y4x求得E5,Da,4则OD a由两点间距离公式得5 5 aa解得a7 3 3【详解】解：∵四边形OABC为菱形，边OCxABx∴OC5，CF4∴OAABBC5∴OHOA2AH23∴A3,4 解得a15∴4a41520 ∴D15,20 7设直线OAymx，把A3,4代入得3m4，∴m4∴直线OAy4x∴E5,5a，则OD∴5 5 a2a ∴DE5a4．（2026）ABCDAB3B120EAC一点，DEDEADDF，若△AEDE，F两点间的距离不可能为（） B．

【答案】【答案】【分析】先根据菱形的性质和折叠的性质可知DAE30DEDFFDAEDA，然后分三种情况讨论：AEDEAEADADDE，再根据30直角三角形的性质和勾股定理分别求解即可．∴DAE1BAD1180B30，ABADCD3 AEDEEFADMDEADDF∴DEDF，FDAEDA∴ADEF，FMME1EFAEDE∴AMMD1AD3 ∴AE2MEAM2ME2AE22ME2，即3ME24ME222∴ME 3∴EF2ME3AEAD3ADEFFMME1EF∴ME1AE3 ∴EF2ME3∴∴EF2ME33综上所述，A323∴MEDE2DM232 ∴DM1DE3ADEFFMME1EF5．（2022•江西赣州•模拟预测）如图，在VABC中，BAC60，C80，将VACD沿AD折叠，使点C与AB上的点E重合，若CD4，则BE的长为 【答案】【答案】外角性质得EDBAEDB40，即可得EDBB，最后利用等角对等边得BEDE4．∵EDBBAED∵EDBAEDB40∴∴EDBB∴BEDE4∠ADP3013045ABAP时，BPAB30∠ADP3017567.5BA∠ADP3013045ABAP时，BPAB30∠ADP3017567.5BABP时，BPABAP180B180307567.5或45或【分析】首先根据等腰三角形VABC的性质求出BPBA∠ADP180∠BDP1801501∠BPA301∠BPAQDAB在VBDPBDP180BBPD1501BPA∠BPD∠APD1∠BPA∠B∠C180∠BAC30BPDBPDPBPBQPBAPAB∠BPD∠APDBPDAPD1BPA，进而得出ADP与BPABABP、ABAP、PA三种情况讨论VPAB为等腰三角形时BPA∠ADP30112090ADP的度数为67.5或45或7．（2026•广东深圳•二模）如图，在VABC中，ÐB=90°，C30，D，F分别是BC，AC边上一点，将△ABD沿AD折叠得△AED，VCDF沿DF折叠得VEDF，若AB2，则EF FFGBC于点GEFaAEAB2，BDDECD1BCCFEFaADEADB1BDEEDFCDF1CDE，推出ÐADF90，根据含30直角三角形的性质及勾股定理得AC4，BC AC2AB223，AD2AB2BD27，GF1aCGCF2GF23a，DF2DG2FG232a21a2RtVADFAF2AD2DF建立关于aFFGBC于点GEFa∵将△ABDAD折叠得△AEDVCDFDF折叠得VEDFAB2∴AEAB2，BDDECD1BC，CFEFa，ADEADB1BDEEDFCDF1CDE∴ADFADEEDF1BDECDE118090EF61 在RtVADFAF2AD2DF2∴4a2732a21a2∴DGCDCG33a∴AC2AB4∴BC AC2AB2422223，AFACCF4a∴BDDECD1BC3∴AD2AB2BD222327∵FGBC，C30，CFa∴GF1CF1a在Rt△GCF中，CGCF2GF2a2a a2 2在DFDGFG 8．（2026•山东淄博•一模）VABCABAC2BCDAD，将VACDA为中心旋转，由于同DBAC的角度大小不同，产生了以下两种方案．如图1，小明发现，此时点C的对应点C与点A的连线恰好平分∠BAC，则线段CD的长 2，旋转VACD使点C的对应点CBVABCBDEH2中找出与ADE3，FADEFBCEF1BE，求CD【答案】(1)22(2)ADECADCAD【分析】（1）证明VADC≌VADBAAS，可得BADCAD，从而得到ADBBADBDAB2证明EDBC，可得DE∥AC证明△EFD∽△CDAEFBEEF1BE 【详解】（1）BAC90ABAC2∴B∠C45，BC

AB2AC222∵点CA的连线恰好平分BAC∴BACCAC45DACDACADCADCADAD∴ADDADD，DADDACDACDACDACCAC45∴ADCADB∴BADCAD∴BADBADDAD45∵ADBCCAD45CAD∴ADBBAD∴BDAB2∴CDBCBD222（2）ADECADCADEHBD∴BEDE∴∴ABD∵AB∴ABDC∴DEAC∴ADECAD∴ADECADCAD∴FEDEDB∴FEDC∵ADECAD∴EFBE ∴CDEF ∵EF1BE∴CD1 ∴CD1AC29．（2026•）在VABCDAB上，连接CD，将△BCD沿CD翻折得到VECD，BE是对应点．1，EACCEED 2，ABC90E落在VABCDEACF，若CF4AFDF3，在（2）的条件下，若CE平分ACBBD5AD【答案】(1)DF4 AD10156【分析】（1）BBMAC交CD的延长线于点M，证明VBMD∽VACDCEED AAN∥CDDFN△ANF∽△CDFDF4NFNDAN，ADDN5NF，据此求解即可；AAPBCDFPPD交CB的延长线于点QEFxDFx5，由（2）AD5DF5x5，证明VCEQ≌VCEFAASEFEQx 【详解】（1）BBMAC交CD的延长线于点M由折叠的性质得12CECBDEDB∵BM∥AC∴1M2∴BCBMCE∵BM∥AC∴VBMD∽VACD∴BMBD ∴CEED AAN∥CDDFNNFAF1DF4NF 由折叠的性质得12∴N2，1DAN∴NDAN∴ADDNDFNF5NF∴DF4NF4 AAPBCDFPPD交CB的延长线于点Q由折叠的性质得CEDCBD90CECBDEDB5，EFx，∴DFx5由（2）AD5DF5x5 CE平分ACB∴FCEQCE∵CEQ90∴AD5336510156x336（舍去负值∴EF336 ∴DPPFDF3x5∵AP∥BC∴PF1FQ1x ∴CEQCEF90∵CECE∴EFEQx∴DQEQDEx5，FQEFEQ2x∵AP∥BC10．（2026•山东德州•一模）ABCDEFADBC分别EF，点C的对应点记为CDD¢．1，BCCDADHBCD三点共线时，与BFC （写出一个即可2，FBC的中点时，点CADACDEFCDCAB于点G，连接GFBC，判断GFBC的位置关系，并说明理由．3，ABCD更换为平行四边形、ABC60AB2AD4FBC的中点，当ABCDDE【答案】(1)ABH或DEHACDEFCGFBCDE的值为23或623【分析】（1）由矩形的性质，可得AABCCD90DCF90D90，可得BCF90，由直角三角形的两个锐角互余，结合同（等）CECECFCFCFECFEADBCADBCFC1ADACDE1AD ACDEFC由矩形的性质，可得ABCBCD90DCF90CFCF，可得GCF90RtVGBF≌RtVGCFHL，可得GBGCFBFC，点GFBC的垂直平分线上，即可判断GFBC的位置关系；按照CDABCDBC∴AABCCD90ABHAHB90ABHCBH90，DCFC90DD90，AHBDHE，∴DEHABHB、CD∴BCF1809090∴BFCFBC90∵ABHFBC90∴ABHBFC∴DEHBFC∴与BFC相等的角为ABH或DEHACDEFCCECECFCFCFECFE∴CEFCFE∴CEFCFE∴CECF∴CECFCFCEFBC∴FCCECF1BC1AD ∴ACDEADCEAD1AD1AD ∴ACDEGFBC∴ABCBCD90FBC∴BFCFCFBFGFGF∴GBGC，FBFC∴点GFBC∴GFBC解：当CDAB时，如图，垂足为点G，过点C作CMED于MAFEDHABC60ABCD∴D60，BADC120，CDAB2，BCAD4FCDC120DD60CDCD2CFCFDEDE∵CMED∴CMDCMH90∴DM1CD1，MCF1203090∵CDAB∴NGD90∴DNG906030∴ANEDNG30∴AEN30∴ANEAEN∴ANAEFBC∴BFCFCF1BC2∴ABBF∵ABC60∴△ABF∴ÐAHN=90°∴MHFAHE90∴四边形CMHFMHCF2AHxAE2xEH∵DEDE∴DEAEDEAEAD

3x∴123x2x4x23∴AE2x423∴DEADAE442323当CDBC时，如图，垂足为点GBAEDHDD60FCDC120CDCD2DEDE，CFCF∴GCF60FBC∴BFCFCF1BC2∵CDBC∴BGMCGF90∵GCF60∴CFG30∴CG1CF1，∴FGCF2CG222123∴BG23∵ABC60∴BM2BG423，DMHBMG30∴MG

BM2BG2

42322

32233，MHD90∴CMCGMG1233423∴DMCDCM2423623∴DH1DM33∴MH

DM2DH2

62323

32333∵BM423，AB2∴AMABBM2423232∴AHMHAM333232∴EAH60∵∠AHE1809090

3∴AE2AH232∴EH

AE2AH2

2322

31233∴DEDHEH3

33

3623∴DE623DE的值为23或62302】旋转变换应用（11题11．（2026•）ABCDAB8BC4E是CDAEAEE顺时针旋转90EF，连接CF，则线段CF最小值为（A．

B．

C．

【答案】FFHCDHDEm，证明VFHE≌VEDAAASFHDEmEHAD4，在Rt△CFH中，根据勾股定理求出CF22m6272，然后根据二次函数的性质求出CF2的最小值，即ABCDAB8BC4ADBC4CDAB8ADC90，FFHCDHDEm，AEE顺时针旋转90EF∴FEHDAE90AED又FHEEDA90∴FHDEm，EHAD4∴CHEHCDED12m∴CF2FH2CH2m212m22m6272∴当m6CF2CF的最小值为726212．（2026•）ABCDABAAEBEC90，则cosBCE（

【答案】【答案】AEABBCAFBE，结合等腰三角形性质得BE2BF，再通过角的互余关系推得BAFCBEAAS证明VAFB≌VBECBFCE；设BFxBE2x、CExRtVBECBC5xcosBCE5∴ABBC,ABC90∴ABAE∴AEABBC∴BE2BFABC90，即ABFCBE90，RtVAFBAFB90，∴ABFBAF90BAFCBE，在VAFB和VBEC55∴cosBCE∵CEx，BC5xBFx，∵BE2BF∴BE2x∵CEBF∴CExRtVBEC中，根据勾股定理：BCBE2CE22x2x25x2ABBAFAFBBEC13．（2026•）ABDEAD，将含30VABCC30AB2ABCBABC个锐角，并且使ACAD，AC交BC于点F，求BF的长是（A．

B．

C． 【答案】【答案】BGAF，根据正方形的性质得ADB45，再根据平行线的性质得AFBADB45，ABDEBBGAFAF于点G∴∴ADB45∵ AD∴ABAB2，BACBAC903060BGsin60，BG3即3sin45BF614．（2026•）Rt△ABCC90A30AC

点，且CD ，P为边AB上的一个动点，连接PD，将PD绕点D顺时针旋转60得到线段DQ，连BQPABBQ的最小值为( B．

【答案】DDEABEDB，过点Q作QFDBF，则PEDQFD90DPABDPDP

3DDEABEDB，过点Q作QFDBFPEDQFDRt△ABCC90A30AC33CD∴BCACtanA33

33，ADACCD23，ABC在Rt△BCDDB∴DB∴DBAA

DC2BC2

32322∵DE⊥∴DE1AD3PDD顺时针旋转60DQ∴PDQ60EDF，PDQD∴PDEQDF60∴DF∴BFDBDF233∴DF而PDQD∴QBPDDPABDPDP3BQ【答案】AFAC，由旋转的性质可得△ACF等边三角形，可得CFACAFACABCDA逆时针旋转60【答案】AFAC，由旋转的性质可得△ACF等边三角形，可得CFACAFACABCDA逆时针旋转60AEFG∴CAF60，ACAF∴CFACABCDAB∴ABBC1，ABBC∴AC AB2BC212122∴∴CFAC216．（2026•）如图，VABC中，BAC90，BC10，DABB点为中心逆时针旋转90BD，连接若AC6，则BD长 CD长最大 517【分析】（1）（2）BC为直径画eOBBHBCBHBO5DHBHI为圆心，BI长为半径画eI，证明VDBH∽VABCBDH90D¢BH为直径的圆弧上，连接CI并延长，交eID¢，此时CD长最大，最后利用勾股定理进行求解．【详解】解：（1）∵BAC90BC10AC6ABBC2AC28∵DAB∴BD1AB4BDBD4（2）BC为直径画eO∵BAC90A在eOBHIBI长为半径画eI，∴∴CDCIID517551725由勾股定理得CIBI2BC2 102∴IDBI5连接CI并延长，交eID¢，此时CD∴BI1BH5∵DBDHBC90,BDBH1 ∴HBDCBA90ABH∴BDHBAC90GMDE于点M，GNDF于点N，则GMGN 【答案】【答案】DHABH，由平行四边形的性质及含30AH、DH的DE的长，由旋转的性质得出VDEF为等边三角形，最后利用面积法即可求GMGNDHABQABCDQA60ADH30AHDH AD2AH253EHAHAE1DEDH2EH219，QEDF60QSVDEFSVDEGSVDFG，GMDE，GNDF13DE21DEGM1DF 即GMGN 3DE57【答案】2AEEFAEF90，可证VABE≌VEHFAASABEHBEFHFFHBCBC【答案】2AEEFAEF90，可证VABE≌VEHFAASABEHBEFHFFHBCBC21121∴VEFC的面积1ECFH1∴ABEH，BEFHABBCCD∴EHBC∴BECH∴FHCH∵ABCDCF2∴FHCH∴EC21AEBBAE∴AEEF，AEF90∴AEBFEH90AEBBAE∴BAEFEH，在VABE和VEHF中，19．（2022•）1，在等腰直角三角形VABCBAC90E，F分别为AG，连接GC，BH．(2)2，连接GF，GH，GHAF于点QH的运动过程中，总有HFG90ABAC2EHVAQG【答案】(1)(2)①EH的长度为1或2VAQG【分析】（1）AHAGHAG90ABACBAH90CAHCAG，进而即可证明VAHB≌VAGCSASAQGAGQ453【详解】（1）AHA逆时针方向旋转90AG∴AHAG，HAG90又∵在等腰直角三角形VABCBAC90ABAC∴BAH90CAHCAG（2）解：①证明∵在等腰直角三角形VABCABACE，FAB，ACAEAFVAEF∴AEHAFE45∵AHAG，BAHCAG∴AEHAFG45HFGAFGAFE454590，即HFG90∴AEAF1AGH45VAQG3AH平分EAFHEF∴EH AE2AF211212 2 当GAQGQA18045267.5则EAHGAQ67.5∴EHEA当AQGAGQ45EH的长度为12VAQG20．（2026•江苏扬州•一模）AE并延长，使得CEEFAFBFACBF的形状，并说明理由．3，当RtVADEA90˚时，连接CD、BEBEPAP交QAP和CD的数量关系和位置关系，并说明理由．当RtVADEA90˚BE，MACDMADMBEGGBEAM【答案】(1)【答案】(1)(2)AP1CDAPCD(3)1【分析】（1）由旋转证明

是等边三角形，再证明CAF90，进而得到VAEFVBECCAF90AP至点F，使PFAPBF，证明VAPEVFPBAEFB，C、B、F共线，再证明VABFVDAC，得到CD2AP，再由角度的互余关系证明FQC90，则问题可证；延长CBEGF，证明VAGE∽VCGBEGAE，再有MDAG EAGMAG90证明EAGAMD，再证明MADABFADABVMAD≌VFBAAMBFGBE【详解】（1）解：QRtVABCRtVADEACBAED90ABC30BAC60，ACAEQ点E落在AB

ACAECAE60，CEAC，AEC60QCEEF

QAEF180AEC120EAFEFA30CAFCAEFAE603090QAEAC1AB∴E是ABAEBE在

和VBECCEEF，AEFBEC120VAEFVBECEAFEBC30，AFCBEFAECBACBFQCAFCAEEAF603090ACBFAP1CD，且APCDAP至点F，使PFAPBFQPBEBPPE在VAPE和VFPBAPEFPBPEPBVAPEVFPBAEFB，PAEPFBQRt△ADE是绕点A逆时针旋转90DAECAB,DABCAE90，ADAB∴C、B、FQCADCABDABCAD在△ABF和△DACABADBFAEACQAF2AP

AP1CD，QACFACDQCBBFAQCB90AQC18090BAFBAFAPCD解：延长CBEG

是绕点A逆时针旋转90ADAB，ACAEEGAE ∵AGDM∴AMDMAG90Q∴AMDFQMADMABDABMAD∵ADAMBF∵GBE∴当BG1

AMBFBG1 当当BG2BEAMBFBG2 AM1 或221．（2026•）综合与探究：菱形ABCDAB2A120BDPBD上的动点，将CP绕点C顺时针旋转120得到CQ．1，DQADDQ2，PQ交CDE，当△CEPBP3，PQ交CDEAP，记△CEP的面积为S，△APD的面积为SS1 【答案】(1)【答案】(1)(2)BP0BP43BP23(3)1S1【分析】（1）证明VBCPVDCQ，得CBPCDQ30，可证出ADQ90ADDQ得 的临界值，得出最终结果∴BCDA120，BCCD，AD∥BCABC180A60CP绕点C顺时针旋转120得到CQ∴PCQ120∴BCPDCQ，CPCQ∴CBPCDQ1ABC30

∴ADQ90∴ADDQPCQ120CPCQ∴CPQ30EQDPCCEPCPE∵CPECDP∴PCCEEP DPDC2ACBD于点OABCDAB2∴AC⊥BD，BOOD，ABO1ABC30∴cosABOcos30BO 3 ∴BO3∴BD2BO23∴BPBDDP232EPEC此时ECPEPC30∴BCPBCDECP90∴BP

43BP0BP43BP232APCP PC ∴1VPCE

CD PBDPC取得最大值2S11当CPBDPC取得最小值S11 1S11 03】平移变换应用（11题22（2026•应点FF的坐标是（）

1,

【答案】【分析】先由菱形的性质求出C50，由位似变换得10,0，根据点C82得平移方式为先向F(2m22n2)F与Fmn重合可得2m2m，2n2nF的坐标为(22)∴点O00AC∴C5,0OABCD2又点10,0平移后得到C(8,2)，22ABCD内任意一点Fmn，则Fmn经过操作后，对应点F(2m22n2)∵点F与Fmn∴∴2m2m，2n2n∴m2,n2∴点