2026年中考数学二轮复习 高频考点06 反比例函数的图象与性质综合五大题型专练

高频考点 反比例函数的图象与性质综合专命题探源·考向解密（3年中考考向与命题特征根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等考点一反比例函数的定义考点二1231234考点三反比例函数的性质考点四反比例函数k123451已知比例系数求特殊图形的面积2k1234每个考点中考预测题3好题速递·分层闯关（7道最新名校模拟试题+9道中考闯关题布位置），k的取值范围；3~6k的符号与图象象限的对应关系，数形k的取值范围；反比例函数对称性的应用（点中心对称）中档考点，选择、填空、解答小题均考查，分值4~8分；的增减性，侧重区分数k5~10 =|𝑘|,𝑆=1|𝑘|的应用是反比例矩 kk8~15分，平行四边形）10~18考点一反比例函数的定义1.化标准式：将函数整理为𝑦=𝑥或𝑦=𝑘𝑥−13.排除干扰项：形如𝑦=𝑘,𝑦=𝑘,𝑦=𝑘+𝑏𝑏≠0)题型命题点01【典例】（2025·云南临沧·一模）下列函数不是反比例函数的是（A．𝑦=2025𝑥−1B．𝑥𝑦= D．𝑦=𝑦=

D：𝑦 ，可改写为𝑦=3，符合反比例函数的形式，其中𝑘=C：𝑦=−𝑥，直接符合𝑦=𝑥的形式，其中𝑘=B：𝑥𝑦=2025，可变形为𝑦=𝑥，符合反比例函数的形式，其中𝑘=【详解】解：A：𝑦=2025𝑥−1，为一次函数，形如𝑦=𝑘𝑥+𝑏（𝑘≠0），【分析】本题考查反比例函数的定义，形如𝑦=𝑥（𝑘为常数，𝑘≠0）【答案】【变式1】（2025·云南丽江·模拟预测）下列y关于x的函数中，是反比例函数的是 A．𝑦=

B．𝑦=−

C．𝑦=

D．𝑦=【答案】【答案】【详解】解：A：𝑦=2B：𝑦=−2𝑥CC：𝑦=2+𝑥D：𝑦=𝑥21】（2026·江西·模拟预测）FSP越小．在下列图象中，能描述这一变化规律的图象是（）【答案】【详解】解：结合物理知识可得𝑃=∴F【答案】【详解】解：结合物理知识可得𝑃=∴FPS命题点02【典例】（2026·广西贵港·一模）若点𝑃(−13)在反比例函数𝑦=𝑘(𝑘≠0)的图象上，则𝑘的值是（

【答案】【答案】点𝑃(−1,3)在反比例函数𝑦=𝑘(𝑘≠0)∴将𝑥=−1，𝑦=3代入𝑦=𝑥中，得3=∴𝑘=3×(−1)=

和点

都在反比例函数𝑦=

(𝑘≠的图象上，则𝑚= ∴==÷=把点𝐵(2,𝑛)代入𝑦=𝑘(𝑘≠0)得𝑛=【详解】解：把点𝐴(𝑚,5)代入𝑦=𝑘(𝑘≠0)得5=𝑘，𝑚=的方程，再通过等量代换求出𝑚【答案】【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征，将点𝐴(𝑚,5)和点𝐵(2,𝑛)m 【答案】∴点𝐵(2,𝑎)在第一象限，即𝑎>对于反比例函数𝑦=𝑘(𝑘≠0)，图象上任意点的横纵坐标乘积等于𝑘，即𝑘=若反比例函数同时经过𝐴和𝐶，可得：𝑘𝐴=(−1)×(−6)=6，𝑘𝐶=3×(−2)=−6，则𝑘𝐴≠因此反比例函数不可能同时经过𝐴和①若反比例函数经过𝐴和𝐵，则𝑘=(−1)×(−6)=6，将𝐵(2,𝑎)代入得2𝑎=6，解得𝑎=3，此时点𝐵(2,3)在第一象限，三点分别在三个不同象限，符合题意；②若反比例函数经过𝐵和𝐶，则𝑘=3×(−2)=−6，将𝐵(2,𝑎)代入得2𝑎=−6，解得𝑎=−3，此时点𝐵(2,−3)在第四象限，与点𝐶同象限，不符合题意，舍去；综上，𝑎的值为命题点03【典例】（2025·陕西商洛·模拟预测）P、Q两点分别在反比例函数𝑦=2𝑚和𝑦=3−𝑚(𝑚<0) 若点𝑃与点𝑄关于y轴对称，则m的值 【答案】【答案】【详解】解：设∵点𝑃与点𝑄y∴点∵P、Q两点分别在反比例函数𝑦=2𝑚(𝑚≠0)和𝑦=3−𝑚(𝑚<0)2𝑚= −𝑎𝑏=3−𝑚∴2𝑚=解得：𝑚−3， 【答案】【答案】【详解】解：由条件可知点𝐷的坐标为(−6,1)∴𝑘=∴反比例函数解析式为𝑦=当𝑦=3时，𝑥=−6=∴∴2】（2025·北京·三模）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，若函数𝑦=𝑘(𝑘≠0)的图象经过点𝐴(𝑎,3)和(𝑏,−3)，则𝑎+𝑏的值 ∴𝑎+𝑏=+(−)=∴𝑎=3，𝑏=【答案】∴3=𝑎，−3=𝑥(𝑘≠0)的图象经过点𝐴(𝑎,3)和∵函数𝑦= 𝑥(𝑘≠0)之中得𝑎=，𝑏=−，由此可得𝑎+𝑏表达式是解决问题的关键．将点𝐴(𝑎,3)和𝐵(𝑏,−3)代入𝑦=电阻𝑅（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当𝐼=3𝐴时，电阻𝑅的值为 【答案】【答案】设反比例函数解析式为𝐼=𝑅，将(9,4)【详解】解：设反比例函数解析式为𝐼=将(9,4)代入可得𝑘=4×9=即反比例函数解析式为𝐼=𝑅∴𝐼=3A𝑅𝑅 =中考预测题𝑂的半径为𝑥cm，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为𝑦cm，阴影部分的面积为𝑆cm2．下列说法中，不正确的是（）若𝑂与正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长之和为定值，则𝑦关于𝑥若𝑂与正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长之和为定值，则𝑆关于𝑥若𝑂与正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积之积为定值，则𝑦关于𝑥若𝑂与正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积之积为定值，则𝑆关于𝑥【答案】𝑂与正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长之和𝐿=(2𝜋𝑥4𝑦)cm，面积之积𝑆1=𝑦2×𝜋𝑥2𝑆=𝑦2−𝜋𝑥2cm2

1，𝑆=1𝜋2−𝜋𝑥2

1𝐿2，𝑦=𝑆1𝜋

𝑦=−2𝜋𝑥+

−𝜋𝐿𝑥

【详解】解：𝑂的半径为𝑥cm，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为𝑂与正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长之和为𝐿=(2𝜋𝑥+⊙𝑂与正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积之积为𝑆1=𝑦2×𝜋𝑥2，阴影部分的面积为𝑆=𝑦2−𝜋𝑥2cm2，∴𝑦=−𝜋𝑥

1𝐿，𝑆

1𝜋2−𝜋

−𝜋𝐿𝑥

1

，𝑦

∴若⊙𝑂与正方形𝐴𝐵𝐶𝐷L为定值时，yx的函数关系式为∶𝑦=−𝜋𝑥

1𝐿ASx的函数关系为∶𝑆=1𝜋2−𝜋

−𝜋𝐿𝑥

1𝐿2B若⊙𝑂与正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积之积即𝑆1为定值，yx的函数关系为∶𝑦=𝑆1𝜋Sx的函数关系为∶𝑆=𝑆1−𝜋𝑥2D A．𝐼与𝑅的关系式为𝐼=

B．当𝑅=24时，𝐼=C．当𝐼>6时，𝑅可能为 D．当𝑅>12时，0<𝐼<【答案】【答案】【详解】解：设𝐼=把(9,4)代入，得4=解得𝑘=∴𝐼=𝑅A当𝑅=24时，𝐼=36=3B当𝐼=6时，6=𝑅，解得𝑅=观察图象，当𝐼>6时，𝑅<∴𝑅6.5C当𝑅=12时，𝐼=36=观察图象，当𝑅>12时，0<𝐼<3D密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度𝜌（单位：kgρV符合𝜌=𝑉，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（A．容器内气体的质量（质量𝑚=𝜌𝑉）5kgB．当𝑝>5kg/m3时，𝑉>2m3D．当0m3<𝑉<20m3【答案】【答案】mAxB，D；然后求出当𝑉4m3时的函数C．【详解】解：∵𝑚=A不正确；当𝜌=5kg/m3时，𝑉=所以当𝜌>5kg/m3时，0m3<𝑉<2m3，B不正确；当𝑉=4m3时，𝜌=10=所以当容器的体积4m3，气体的密度是C当0m3<𝑉<20m3时，气体的密度随着容器体积的增大而减小，D不正确．考点二反比例函数的图象定义：形如y=k(k为常数,k≠0)等价形式：y=kx−1(k≠0)或xy=k定义域：x0，函数值y0x轴、y轴无交点。①当k>0②当k<0轴对称：关于直线𝑦=𝑥和𝑦=−𝑥命题点01【典例】（2025·西藏·中考真题）一个三角形花坛的面积是6m2a（单位：m）（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（ 【答案】【答案】ah之间的关系式，再结合ℎ的范围逐项判断即可．【详解】解：由题意得2𝑎ℎ=∴∴ah的函数关系式为𝑎=ℎ∵边上的高为∴ℎ>0，1】（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数𝑦𝑎𝑥−𝑏(𝑎≠0)和𝑦=−𝑐(𝑐≠0)象大致如图所示，则函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的图象大致为（ 【答案】【答案】根据一次函数与反比例函数的图象可得𝑎<0,𝑏<0，𝑐>0，再根据二次函数的图象特点即可得．【详解】解：∵一次函数𝑦=𝑎𝑥−𝑏(𝑎≠0)∴𝑎<0,−𝑏>0，即𝑎<0,𝑏<∵反比例函数𝑦=−𝑐(𝑐≠0)∴−𝑐<0，即𝑐>∴函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的开口向下，与𝑦轴的交点位于𝑦轴的正半轴，对称轴为直线𝑥=−𝑏<2】（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数𝑦𝑘𝑥−𝑘(𝑘≠0)与𝑦=𝑘的大致图象为（） 【答案】【答案】【详解】解：∵𝑦=𝑘𝑥−𝑘(𝑘≠当𝑘0时，一次函数经过第一、二、三象限，当𝑘>0时，一次函数经过第一、三、四象限一次函数中𝑘<0，则当𝑥>0时，函数𝑦=|𝑥|一次函数中𝑘>0，则当𝑥>0时，函数𝑦=|𝑥|C选项正确，D命题点02（2026·河南许昌·一模在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦𝑦=𝑘(𝑘≠0,𝑥>0)的图象经过点和点(1)𝑘= ，𝑚= (2)在同一坐标系内作出反比例函数𝑦=𝑘(𝑥>0)的图象与直线(3)平面内有点𝐶(𝑛,0)(2<𝑛<6)C作𝐶𝐷⊥𝑥轴，交𝐴𝐵DE，当𝐷𝐸= n【答案】(2)(3)𝑛=m的值；n的方程即可．【详解】（1）解：∵反比例函数𝑦=𝑘(𝑘≠0,𝑥>0)的图象经过点∴3=2，解得𝑘=∴反比例函数解析式为𝑦=∴B代入反比例函数解析式得：𝑚=

6=∴𝑘=6，𝑚=（2）解：如图所示，反比例函数𝑦=𝑘(𝑥>0)的图象与直线𝐴𝐵（3）解：设直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=𝑎𝑥+∴𝐶𝐸∴𝐶𝐸=𝑛，𝐷𝐸∵n的取值范围是2<𝑛<∴n2𝑎+𝑏=6𝑎𝑏=1𝑎=−𝑏=2∴直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=−𝑥∵点𝐶(𝑛,0)，𝐶𝐷𝑥∴D𝑛,2𝑛+4E𝑛𝑛−𝑛+4− ∵𝐷𝐸=∴3−2𝑛+4−解得：𝑛===𝑦=𝑥−3(1)第一步：对函数𝑦=𝑥−3−−求出表格中𝑎的值 第二步：通过描点、连线在如图所示的同一直角坐标系中画出𝑦=𝑥−3 (2)【观察发现】函数𝑦=𝑥−3的图象可由𝑦=𝑥的图象平移得到，请描述这个平移的过程：；若将𝑦=𝑥−3图象向左平移2个单位，向上平移1个单位，请写出平移后新函数的解析式： (3)【能力提升】函数𝑦=𝑥−3与𝑦=𝑥𝑦=𝑥−3(4)【拓展应用】若直线𝑦=𝑘𝑥+2(𝑘≠0)与𝑦=8的图象有且只有一个交点，求𝑘∴𝑎∴𝑎=【详解】（1）解：将𝑥=1代入𝑦 ，得𝑦=8=（3）根据𝑦=𝑥的对称中心坐标和对称轴的解析式，结合平移过程，得出𝑦=𝑥−3【分析】（1）将𝑥=1代入函数表达式，求出𝑎（2）(4)−22−87或−22+8(3)对称中心为(3,0)，对称轴为直线𝑦=𝑥−3和直线𝑦=−𝑥+(2)向右平移3个单位长度得到；𝑦 （2） 函数𝑦=𝑥−3的图象可由𝑦=𝑥3将𝑦=8 2个单位，向上平移1个单位，则平移后新函数的解析式为𝑦=

3个单位长度；𝑦=

（3）解：∵𝑦=8的对称中心为(0,0)，对称轴为直线𝑦=± 又∵函数𝑦=𝑥−3的图象可由𝑦=𝑥3∴𝑦 ∴𝑦 𝑥−3的对称中心 ，对称轴为直线𝑦=𝑥−3和直线𝑦=−𝑥+𝑥−3（4）解：当直线𝑦=𝑘𝑥+2(𝑘≠0)与双曲线𝑦=𝑥−3𝑘𝑥+2=化简，得𝑘𝑥2+(2−3𝑘)𝑥−14=𝑥−3∵直线𝑦=𝑘𝑥+2(𝑘≠0)与双曲线𝑦=𝑥−3∴判别式Δ=(2−3𝑘)2−4𝑘(−14)=0，化简，得9𝑘2+44𝑘+4=0，解得𝑘=−22−87或𝑘=−22+8 2】（2025·山东菏泽·模拟预测）已知反比例函数的关系式为𝑦=根据图象回答：当0<𝑥<2时，y的取值范围是【答案】(1)𝑦>𝑥>2或【答案】(1)𝑦>𝑥>2或𝑥<x轴上找到0<𝑥<2y（3）找到𝑦=2这一条直线，在这一直线下方的部分都是𝑦<2x轴上找到对应的部分即【详解】（1）−由图象可得：当0<𝑥<2时，y的取值范围是𝑦>故答案为：𝑦>（3）由图象可得：当𝑦<2时，x的取值范围是𝑥>2或𝑥<故答案为：𝑥>2或𝑥<命题点03【典例】（2025·浙江衢州·一模）如图，是三个反比例函数𝑦𝑘1,𝑦=𝑘2,𝑦=𝑘3x轴上方的图象，则𝑘,𝑘

21的大小关系为（A．𝑘1<𝑘2< B．𝑘1<𝑘3< C．𝑘2<𝑘1< D．𝑘2<𝑘3<∴𝑘∴𝑘1<𝑘2< 当𝑥=1时，𝑦 =𝑘，𝑦 ，由图象可知，𝑘 ∵𝑦=𝑥，𝑦=𝑥∴𝑘2>0,𝑘3>∵𝑦=𝑥∴𝑘1<【答案】kC、D，再取𝑥=1，通过作图，数形结合的方式，得出𝑘2,𝑘31】（2025·江苏盐城·三模）小军借助几何画板软件研究函数𝑦=(𝑥−𝑛)2m，nm，n的值满足（A．𝑚<0，𝑛<0B．𝑚<0，𝑛> C．𝑚>0，𝑛< D．𝑚>0，𝑛>【答案】【答案】【分析】本题考查函数的图象；能够通过已学的反比例函数图象确定𝑏的取值是解题的关键．由图象可知，当𝑥>0时，𝑦<0，可知𝑚<0；根据函数解析式自变量的取值范围可以知道𝑥≠𝑛，结合图象可以知道函数的𝑥取不到的值为负数，所以𝑛<0．【详解】解：由图象可知，当𝑥>0时，𝑦<∴𝑚<𝑥≠𝑛，结合图象可以知道函数的𝑥𝑛0．2】（24-25九年级上·河南濮阳·期末）反比例函数

=

=

如图所示，则𝑘1，𝑘2，𝑘3的大小关系 ．（用“<”连接【答案】𝑘【答案】𝑘1<𝑘2<【分析】本题考查反比例函数图像与性质，由图可知𝑦3=𝑥图像在第三象限，𝑘3>0；𝑦1=𝑥，𝑦2=𝑥像在第四象限，𝑘2<0、𝑘1<0；再取𝑥=1，如图所示，即可比较𝑘1，𝑘2𝑦3=𝑥图像在第三象限，𝑘3>0；𝑦1=𝑥，𝑦2=𝑥图像在第四象限，𝑘2<0𝑘1<取𝑥=1∴∴𝑘2>综上所述，𝑘1<𝑘2<𝑘3，故答案为：𝑘1<𝑘2<命题点04【典例】（2025·云南·模拟预测）𝑦=𝑘1(𝑘1≠0)𝑦=𝑘𝑥(𝑘2≠0)A，B 点，若A点坐标为(1,2)，则B点坐标为 【答案】【答案】ABAB∵A的坐标是∴B的坐标为(−1,−2)．B．1】（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，已知函数𝑦1=𝑘1𝑥和𝑦2=𝑘2𝑥−1的图像交于点𝐴、𝐴𝐵=10，过点A作𝐴𝐸垂直于x轴于点E，𝐴𝐸=4，则𝑘1𝑘2的值 【答案】【答案】根据反比例函数图象关于原点对称的性质，可得𝐴𝑂=5，利用勾股定理求出𝑂𝐸A代入解析式求出𝑘1、𝑘2【详解】解：由题得𝐴𝑂=1𝐴𝐵=∵𝐴𝐸𝑥∴𝑂𝐸 𝐴𝑂2−𝐴𝐸2 52−42=∴把𝐴(3,4)代入𝑦1=𝑘1𝑥和𝑦2=得4=14==𝑘2=3∴𝑘1𝑘2=12×3=2】（2025·陕西西安·模拟预测）A，B两点分别在反比例函数𝑦=3𝑎(𝑎≠0)和𝑦=𝑎+1(𝑎≠−的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则a的值

B坐标代入𝑦=𝑎+1(𝑎≠−1)A𝑚,𝑚，则𝐵𝑚−𝑚x轴、yA𝑚,𝑚，则𝐵𝑚−𝑚a【答案】解得解得𝑎=−中考预测题用函数模型来描述这种植物在1～5年内的生长规律．若选择𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，则 选择函数𝑦=𝑎+𝑏，则 0．依次填入的不等号为 A．<，>，<， B．<，>，>，C．>，<，<， D．>，>，<，【答案】【答案】【详解】解：若选择𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+由函数图象可知，此抛物线的开口向下，对称轴为直线𝑥=−𝑏>∴𝑎<0，𝑏>若选择函数𝑦=𝑎由函数图象可知，将反比例函数𝑦=𝑥（𝑎<0）的图象从第四象限向上平移𝑏个单位即可得到函数𝑦=𝑥∴𝑎<0，𝑏><><>2．如图，点𝐴(2,1)在反比例函数𝑦=𝑘(𝑥>0)上，点𝐵在反比例函数𝑦=𝑘(𝑥>0)和𝑦=5(𝑥>0)𝐵𝐴⊥𝑥轴，写出一个符合条件的点𝐵的坐标

【详解】解：∵𝐵𝐴𝑥∵点𝐵在反比例函数𝑦=𝑘(𝑥>0)和𝑦=5(𝑥>0)的图象之间，点𝐴(2,1)在反比例函数𝑦=𝑘(𝑥>0)∴点𝐵的纵坐标小于𝑥=2时，𝑦=5(𝑥>0)的值，即点𝐵3．如图，双曲线𝑦=𝑘1（𝑘

≠0）与直线𝑦=𝑘𝑥（𝑘

0）相交于𝐴、𝐵

【答案】【答案】∵点𝐴、𝐵𝐵点的坐标为(−1,−2)，考点三反比例函数的性质解｜题｜策｜解｜题｜策｜k①当𝑘>0时：函数图像在第一、三象限，在每个象限内，yx②当𝑘<0时：函数图像在第二、四象限，在每个象限内，yx牢记关键前提：增减性必须限定在每个象限内(即𝑥>0或𝑥<0的区间内),绝对不能直接说“在全体实数k②不能跨象限比较函数值(如𝑥1<0<𝑥2时，不能用同一象限的增减性直接比较𝑦1和𝑦2)。2k的取值范围(选择/填空/解答基础题)kyc增大而减小→𝑘>yc增大而增大→𝑘<0列不等式求解：结合函数表达式，列出关于参数的不等式(𝑚−2>0或𝑚−2<0)验证反比例函数定义：必须同时满足比例系数𝑘0(k>0k<0中)x的次数为−1，避命题点01【典例】（2026·湖南娄底·一模）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，若反比例函数𝑦=象限，则𝑘的取值范围

的图象位于的图象位于的图象位于【详解】解：∵反比例函数𝑦=的图象位于第二、四象限得到𝑘−2026<0【分析】由反比例函数𝑦=【答案】𝑘<∴𝑘−2026<解得𝑘<=三象限．写出一个满足条件的𝑘的值 【答案】【答案】1（答案不唯一【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，即反比例函数𝑦=𝑥𝑘>0，反比例函数𝑦=𝑥的图象分别位于第二、第四象限，则𝑘<0【详解】解：∵反比例函数𝑦=𝑥∴𝑘>0∴𝑘=故答案为：1（答案不唯一2】（2025·河北邯郸·三模）反比例函数𝑦=𝑚−2(𝑥<0)m 【答案】【答案】𝑚<【分析】本题主要考查了反比例函数的性质的知识，对于反比例函数𝑦=𝑥，当𝑘>0yx的增大而减小，当𝑘<0yx【详解】解：由图像可知：𝑘<0，即𝑚−2<0，解得：𝑚<2．故答案为：𝑚<命题点02【典例】（2025·浙江·中考真题）已知反比例函数𝑦=−𝑥．下列选项正确的是（ B．y随x的增大而减C．函数图象在第二、四象 D．y随x的增大而增【答案】【答案】【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据性质逐一判断即可．根据反比例函数【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据性质逐一判断即可．根据反比例函数𝑦=𝑥的性质，当𝑘<0【详解】解：反比例函数𝑦=−𝑥中，𝑘=−7<0C当𝑘<0时，在第二象限（𝑥<0）和第四象限（𝑥>0）内，𝑦随𝑥D未明确“而减小”与𝑘<0时的性质矛盾，错误．𝑥的图象在（1】（2025·广东广州·中考真题）若|𝑘|=−𝑘(𝑘≠0)，反比例函数𝑦=𝑥的图象在（ C．第二、四象 【答案】【答案】k的符号，再根据反k由题设条件|𝑘|=−𝑘且𝑘≠0，根据绝对值的非负性，右边−𝑘≥0，即𝑘≤0．又因𝑘≠0，故𝑘∵反比例函数𝑦=𝑥的图象位置由𝑘当𝑘>0当𝑘<0C．2】（2025·湖南·中考真题）对于反比例函数𝑦=𝑥，下列结论正确的是（C．当𝑥<0时，𝑦随𝑥D．当𝑥>0时，𝑦随𝑥【答案】【答案】【详解】A、当𝑥=2时，𝑦=1，所以点(2,1)B、由𝑦=𝑥可知2>0C、当𝑥0时，𝑦随𝑥D、当𝑥>0时，𝑦随𝑥命题点03【典例】（2025·江苏镇江·中考真题）已知点𝐴(−1,𝑦)、𝐵(𝑎,𝑦)在反比例函数𝑦=1的图像上，若𝑦>𝑦 则𝑎的取值范围是（A．𝑎<−1或𝑎> B．−1<𝑎<C．𝑎> D．𝑎<>>−1∴当𝑎>0时，解得𝑎>∴𝑎>当𝑎<0时，解得𝑎<综上所述，则𝑎的取值范围是𝑎<−1或𝑎>0．∴1>∴𝑦1=−1=−1，𝑦2=∵𝑦2>【详解】解：∵点𝐴(−1,𝑦1)、𝐵(𝑎,𝑦2)在反比例函数𝑦=𝑥【答案】首先将𝐴(−1,𝑦1)，𝐵(𝑎,𝑦2)代入𝑦=求出𝑦1=1=−1，𝑦2=，然后根据𝑦2>𝑦11】（2025·内蒙古·中考真题）已知点𝐴(𝑚,𝑦)，𝐵(𝑚1,𝑦)

𝑦=列结论一定正确的是（A．𝑦1> B．𝑦1<C．当𝑚<0时，𝑦1< D．当𝑚<−1时，𝑦1<【答案】【答案】𝑦=−𝑥的性质，分情况讨论𝑚的取值范围，比较𝑦1和𝑦2【详解】解：对于反比例函数𝑦=−𝑥的图象上，在各个象限内，𝑦随𝑥∵𝑚<𝑚+当𝑚<𝑚1<0时，即𝑚<−1时，则𝑦1<𝑦2，当0<𝑚<𝑚1时，即𝑚>0时，则𝑦1<𝑦2，当𝑚<0<𝑚1时，即−1<𝑚<0时，则𝑦1>𝑦2，D2】（2025·甘肃兰州·中考真题）若点𝐴(2,𝑦)与𝐵(−2,𝑦)在反比例函数𝑦=2的图象上，则𝑦与𝑦 大小关系是（A．𝑦1< B．𝑦1≤ C．𝑦1> D．𝑦1≥【答案】【答案】>>𝑦>0，当𝑥<0时𝑦<0【详解】解：∵𝑘=2>∴反比例函数图象分布在一、三象限，当𝑥>0时𝑦>0，当𝑥<0时𝑦<∵2>0>∴𝑦1>0>即𝑦1>𝑦2，【变式3】（2024·山东济宁·中考真题）已知点𝐴(−2,𝑦),𝐵(−1,𝑦),𝐶(3,𝑦3)在反比例函

上，则𝑦1,𝑦2,𝑦3的大小关系是（

𝑦=𝑥(𝑘<A．𝑦1<𝑦2<𝑦3B．𝑦2<𝑦1< C．𝑦3<𝑦1< D．𝑦3<𝑦2<【答案】【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数𝑦=𝑘(𝑘<0)【详解】解：∵𝑘<∴函数𝑦=𝑘(𝑘<0)【答案】【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数𝑦=𝑘(𝑘<0)【详解】解：∵𝑘<∴函数𝑦=𝑘(𝑘<0)的图象分布在第二、四象限，在每一象限，yx∵−2<−1<0<∴𝑦3<0<𝑦1<∴𝑦3<𝑦1<𝑦2，时，𝑦2−𝑦1<0．该函数的解析式可能是（A．𝑦= B．𝑦=C．𝑦= D．𝑦=−𝑥2−2𝑥+【答案】【答案】由题意可得当1<𝑥<2时，yx【详解】解：∵当1<𝑥2<𝑥1<2时，𝑦2−𝑦1<0，即𝑦2<∴当1<𝑥<2时，yxA、对于函数𝑦=−2𝑥，yxB、对于𝑦=𝑥，当𝑥>0时，yxC、函数𝑦=𝑥2−𝑥−1的图象开口向上，对称轴为𝑥= =则当𝑥>2，yxD、函数𝑦=−𝑥2−2𝑥+1的图象开口向下，对称轴为𝑥==则当则当𝑥−1，yx命题点04【典例】（2025·陕西榆林·模拟预测）若反比例函数𝑦=𝑥（k为常数，且𝑘≠0）且点(−2,𝑚),(1,𝑛)均在该函数图象上，则 【答案】【答案】【详解】解：∵反比例函数𝑦=𝑥（k为常数，且𝑘≠0）∴𝑚<0，𝑛>∴𝑚<1】（2024·江苏徐州·中考真题）若点𝐴(−3,𝑎)、𝐵(1,𝑏)、𝐶(2,𝑐)都在反比例函数𝑦𝑥a、b、c的大小关系 𝑥【答案】【答案】𝑎>𝑐>数𝑦=𝑥yxB，Ca，b，c【详解】解：∵在反比例函数𝑦=𝑥中，𝑘=−4<∴反比例函数𝑦=𝑥yx∴A在第二象限，B，C∴𝑎>0，𝑏<0，𝑐<∵1<∴𝑏<𝑐<∴𝑎>𝑐>故答案为：𝑎>𝑐>命题点05【典例】（2025·四川巴中·中考真题）如图，直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏与双曲

𝑦=𝑥(𝑥<(1)m(2)根据函数图象直接写出不等式𝑘𝑥+𝑏>𝑥(3)𝐴𝐵𝑂又∵𝐵(−6,𝑎)在双曲线𝑦=𝑥【详解】（1）∵点𝐴(−2,6)在双曲线𝑦=𝑥∴𝑚=−2×6=转化为𝐴𝐶𝑂𝐵𝐶𝑂（3）可先求出直线𝑦=𝑘𝑥𝑏x轴的交点𝐶，然后根据三角形面积公式𝑆=1×底×高，将𝐴𝐵𝑂（2）根据函数图象，找出直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏在双曲线𝑦=𝑥上方时𝑥的取值范围，即为不等式𝑘𝑥+𝑏>𝑥（1）已知双曲线𝑦𝑥过点𝐴(−2,6)，将点𝐴的坐标代入双曲线方程，即可求出𝑚的值，先将点𝐴双曲线方程求出𝑎的值，再将点𝐴和𝐵的坐标代入直线方程，联立方程组求解𝑘和𝑏【答案】(1)𝑚=−12；𝑦=𝑥+(2)−6<𝑥<∴𝑆△𝐴𝑂𝐵=2×|−8|×6−2×|−8|×2=24−8=当𝑦=0时．𝑥+8=∴𝑥=∴所以不等式𝑥8>−𝑥的解集为−6<𝑥<根据函数图象，直线𝑦=𝑥+8在双曲线𝑦=−𝑥上方时，𝑥的取值范围是−6<𝑥<所以不等式𝑘𝑥𝑏>𝑥可化为𝑥+8>𝑥（2）解：由（1）可知𝑘=1，𝑚=𝑘=−2𝑘+𝑏=−6𝑘𝑏=2𝑏=8∴𝑦=𝑥+−6𝑎=−12，解得𝑎=1】（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，反比例函数𝑦𝑘(𝑥>0)与一次函数𝑦=2𝑥𝑚𝐴(1,4)，𝐵𝐶𝑦DB、(1)(2)连接𝐴𝐵，若𝑂𝐷=1，求𝐴𝐵𝐶【答案】【答案】(1)𝑦=𝑥，𝑦=2𝑥+ ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=2×2×(4−1)=4 ∴𝐵𝐶=4− =∴𝐶−2,1将𝑦=1代入𝑦=2𝑥+2得𝑥=∴将𝑦=1代入𝑦=𝑥得𝑥=∴4=2×1+𝑚，解得𝑚=∴一次函数解析式为：𝑦=2𝑥+（2）解：∵𝐵𝐶𝑦D，𝑂𝐷∴𝑦𝐵=𝑦𝐷=𝑦𝐶=∴反比例函数解析式为：𝑦=∵𝑦=2𝑥+𝑚的图象过点（2）将𝑦1B、C∴𝑘=1×4==+例函数𝑦=𝑥的图像相交于点

、

y连接𝑂𝐴𝑂𝐴𝐶【答案】(1)𝑦=2𝑥+4；𝑦=（1）先将𝐵(−3,−2)代入𝑦=

𝐴(1,𝑛)代入𝑦=6，求出𝐴(1,6)，将𝑥求出反比例函数解析式，再 (−3,−2)代入𝑦=𝑘𝑥+𝑏

=2𝑂𝐶

|𝑥𝐴|【详解】（1）解：∵一次函数𝑦=𝑘𝑥𝑏的图像与反比例函数𝑦=

𝑥𝑥∴将𝐵(−3,−2)代入𝑦=𝑥得：−2=解得：𝑚=∴反比例函数的解析式为𝑦=将𝐴(1,𝑛)代入𝑦=得：𝑛=将𝐴(1,6)，𝐵(−3,−2)代入𝑦=𝑘𝑥6=𝑘+−2=−3𝑘𝑏𝑘=𝑏=4∴一次函数的解析式为𝑦=2𝑥+（2）解：当𝑥=0时，𝑦=2𝑥+4=∴𝑂𝐶=

△𝑂𝐴𝐶=2𝑂𝐶

=2×4×1=中考预测题已知点𝐴(−2,𝑦)和点𝐵(3,𝑦)在反比例函数𝑦= 𝑘为常数）的图象上，若𝑦<𝑦，则𝑘的取值范围 𝑥 ∴𝑘∴𝑘>故答案为：𝑘> <33∴𝑦1=−2，𝑦2∵𝑦1<𝑥【详解】解：∵点𝐴(−2,𝑦1)和点𝐵(3,𝑦2)在反比例函数𝑦=𝑦1=−2，𝑦2=3，再利用𝑦1<𝑦2𝑥【分析】本题考查反比例函数的图象与性质；由点𝐴(−2,𝑦1)、点𝐵(3,𝑦2)在反比例函数𝑦【答案】𝑘>一张卡片，把上面的数字记为𝑎，则𝑎恰好使得抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑥−1的对称轴在𝑦轴左侧，且双曲线𝑦=经过二、四象限的概率 【答案】【答案】a【详解】解：∵𝑎恰好使得抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑥−1的对称轴在𝑦 <解得𝑎>∵双曲线𝑦=𝑥∴𝑎−3<解得𝑎<∴0<𝑎<∴概率是4= 3．已知反比例函数𝑦

(2,𝑦

(−2,𝑦𝑥（k为常数，且𝑘≠3）的图象经过点𝐴(−1,2)，点

1、

2例函数𝑦=

𝑘≠0）的图象上，则

𝑦．（填“>”“<”或

1 2 因为2>−2，所以1>点𝐶(−2,𝑦)在该函数上，代入得𝑦=1=点(2,𝑦1)在该函数上，代入得𝑦1=则反比例函数𝑦=𝑥为𝑦=代入得：2=−1，解得𝑘=【详解】解：由题意，点𝐴(−1,2)在反比例函数𝑦=𝑥=【答案】已知点求出常数k的值，再代入点的坐标计算函数值并比较大小．考点四反比例函数k解｜题｜策｜解｜题｜策｜1kk值/图形面积(选择/填空基础题)过反比例函数𝑦=𝑘(𝑘≠0)P(x,y),x轴、y○两垂线与坐标轴围成的矩形面积：𝑆=|𝑥||𝑦|=|𝑥𝑦|=oOP,形成的直角三角形面积：𝑆=2=①先由图形面积求|k|：矩形面积直接等于|k|,2得k的符号：图像在一、三象限→𝑘>0；图像在二、四象限→𝑘<k双反比例函数图像：𝑦 与𝑦 ，同象限内矩形面积比|k|:|k 命题点01【典例】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点𝐴，𝐵的坐标分别为(2,6)，过点𝐵作𝐵𝐶∥𝑥轴交𝑦轴于点𝐶，点𝐷为线段𝐴𝐵上的一点，且𝐵𝐷=2𝐴𝐷．反比例函 的𝑦=𝑥(𝑥> 【答案】【答案】意义，作𝐵𝑀⊥𝑥轴于𝑀，作𝐷𝑁⊥𝑥轴于𝑁，则𝐷𝑁∥𝐵𝑀，由点𝐴，𝐵的坐标分别为(5,0)，(2,6)得𝐵𝐶=𝑂𝑀=2，𝐵𝑀=𝑂𝐶=6，𝐴𝑀=3，然后证明△𝐴𝐷𝑁∽△𝐴𝐵𝑀得𝐵𝑀=𝐴𝑀=𝐴𝐵，求出𝐷𝑁=2 𝑂𝑁=𝑂𝐴−𝐴𝑁=4，故有𝐷点坐标为(4,2)，求出反比例函数解析式𝑦=𝑥，再求出𝐸3,6𝑆四边形𝑂𝐷𝐵𝐸=𝑆梯形𝑂𝐴𝐵𝐶−𝑆△𝑂𝐶𝐸−𝑆△𝑂𝐴𝐷【详解】如图，作𝐵𝑀𝑥轴于𝑀，作𝐷𝑁𝑥轴于𝑁，则∴𝐵𝐶=𝑂𝑀=2，𝐵𝑀=𝑂𝐶=6，𝐴𝑀=∴△𝐴𝐷𝑁∽△∴𝐷𝑁=𝐴𝑁=

∵𝐵𝐷=∴𝐷𝑁=𝐴𝑁= ∴𝐷𝑁=2，𝐴𝑁=∴𝑂𝑁=𝑂𝐴−𝐴𝑁=∴𝐷点坐标为(4,2)，代入𝑦=

𝑘=2×4=𝑥∴反比例函数解析式为𝑦=∴𝐸4,6∴𝐶𝐸=

=

(2+ 4 四边形

梯形

△𝑂𝐴𝐷=2

×6−2×6×

×5×2=1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，点𝐴是反比例函数𝑦=𝑥 动点，过点𝐴作𝐴𝐵垂直𝑥轴交反比例函数𝑦=−𝑥的图象于点𝐵，连接𝐵𝑂并延长，交反比例函数𝑦=−𝑥于点𝐶，连接𝐴𝐶，则△𝐴𝐵𝐶的面积 【答案】【答案】【分析】根据反比例函数𝑘【详解】解：如图，连接∵点𝐴在反比例函数𝑦=𝑥的图象上，𝐴𝐵⊥𝑥∴𝑆△𝐴𝑂𝐷=2×4=∵点𝐵在反比例函数𝑦=−𝑥∴𝑆△𝐵𝑂𝐷=2×2=∴𝑆△𝐴𝑂𝐵=𝑆△𝐵𝑂𝐷+𝑆△𝐴𝑂𝐷=1+2=∵点𝐶与点𝐵∴𝐶𝑂=∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝑆△𝐴𝑂𝐵=2×3==⊥足为点𝐵，线段𝐴𝐵交反比例函数𝑦=𝑥的图象于点𝐶，则△𝑂𝐴𝐶的面积 【答案】【答案】k【详解】解：∵𝐴𝐵𝑥A是反比例函数𝑦𝑥B是反比例函数𝑦𝑥∴𝑆△𝐴𝑂𝐵=2=3，𝑆△𝐵𝑂𝐶=2=∴𝑆△𝐴𝑂𝐶=𝑆△𝐴𝑂𝐵−𝑆△𝐵𝑂𝐶=3−1=2，3】（2025·江西赣州·一模）如图，A、B两点在双曲线𝑦=𝑘(𝑘>1)A、B轴作垂线段，已知𝑆阴影=1，则𝑆1+𝑆2= （用含k的代数式表示【答案】2𝑘−2【答案】2𝑘−2/−2【分析】本题考查了反比例函数中𝑘的几何意义．理解反比例函数中𝑘根据𝑦=𝑘(𝑘>1)中𝑘【详解】解：由图可知，点𝐴对应的垂线段围成的矩形面积为点𝐵对应的垂线段围成的矩形面积也为∴𝑆1+𝑆2=2𝑘−𝑆×2=2𝑘−2．命题点02根据图形面积求比例系数【典例】（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数𝑦=𝑘(𝑘<0)交于𝐴(−3,𝑚)，𝐵(𝑛,2)两点，点𝐸在𝑥轴上，满足∠𝐴𝐸𝐵=90°，𝐴𝐸=2−𝑚，则𝑘= 【答案】明△𝐴𝐸𝐺≌△𝐵𝐹𝐺，再证明△𝐴𝑀𝐸∽𝐸𝑁𝐵，最终用𝑚表示出𝐴𝐸，在Rt△𝐴𝑀𝐸中用勾股定理解决问题．∴∠𝐴𝑀𝑁=∠𝐴𝑁𝑀=∠𝐴𝐹𝑁=∴𝐹𝑁=𝐴𝑀，𝐴𝐹=∴𝐵𝐹=∵𝐴𝐸=∴𝐴𝐸=∵∠𝐴𝐺𝐸=∠𝐵𝐺𝐹，∠𝐴𝐸𝐺=∠𝐵𝐹𝐺=∴△𝐴𝐸𝐺≌△∴𝐴𝐺=𝐵𝐺，𝐸𝐺=∴𝐴𝐺+𝐺𝐹=𝐵𝐺+即𝐵𝐸=又∵𝐴，𝐵两点在𝑦=𝑥∴𝑘=−3𝑚=解得𝑚==∴𝑚2在Rt△𝐴𝑀𝐸中，𝐴𝑀2+𝑀𝐸2=∴𝑀𝐸=𝑁𝐵== 2+2∴𝑀𝐸=𝐴𝐸=2−𝑚即𝐵𝐸=𝐴𝐹=𝑛+又∵∠𝐴𝐸𝐵=∴∠𝐴𝐸𝑀+∠𝐵𝐸𝑁=∵∠𝐴𝑀𝐸=∠𝐵𝑁𝐸=∴∠𝐵𝐸𝑁+∠𝐸𝐵𝑁=∴∠𝐴𝐸𝑀=∴△𝐴𝑀𝐸∽△∴𝐵𝐹=𝐵𝑁−𝐹𝑁=𝐵𝑁−𝐴𝑀=2−𝑚=2+𝑛，𝑀𝑁=𝑛+∴𝑚=−∴𝑘=−3𝑚=1】（2026·陕西商洛·一模）如图，在平面直角坐标系中，点𝑀、𝑁

4(𝑥>𝑦=𝑦= 𝑦=𝑘(𝑘≠0,𝑥<0)的图象上，连接𝑂𝑀、𝑂𝑁、𝑀𝑁，𝑂𝑀⊥𝑂𝑁,𝑀𝐴⊥𝑥轴于点𝐴，𝑁𝐵⊥𝑥轴于点𝐵，若𝑂𝑁 2，则𝑘的值 △𝐴𝑂𝑀4(𝑥>3= 𝑂𝑁 【答案】∴𝑘=∴|𝑘|=由图可知点𝑁在第三象限，𝑘>∴|𝑘|=∴𝑆△𝐵𝑁𝑂=4𝑆△𝐴𝑂𝑀==×|−4|=∴4(𝑥>0)∵点𝑀在𝑦==3𝑂𝑁 ∴△𝐵𝑁𝑂【详解】解：∵𝑂𝑀𝑂𝑁，𝑀𝐴𝑥轴，𝑁𝐵𝑥∴∠𝑀𝑂𝑁=∠𝑀𝐴𝑂=∠𝑂𝐵𝑁=90°，∠𝐴𝑂𝑀+∠𝐵𝑂𝑁=90°，∠𝐴𝑂𝑀+∠𝐴𝑀𝑂=∴∠𝐴𝑀𝑂=∴△𝐴𝑂𝑀∽△，即可求出|𝑘|=9𝑁在第三象限，𝑘>0，则𝑘=𝑆△𝐴𝑂𝑀×|−4|=2，则𝑆△𝐵𝑁𝑂若反比例函数𝑦=𝑥（𝑥<0）的图象经过𝑂𝐵D且与边𝐵𝐶E，连接𝐷𝐸、𝑂𝐸，若𝑂𝐷𝐸为3，则k的值 【答案】【答案】【分析】设𝐵(𝑎,𝑏)，𝐷2𝑎2𝑏，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为𝑘程进行求解即可 【详解】解：设𝐵(𝑎,𝑏)，则𝐷2𝑎2𝑏 ∵反比例函数𝑦=𝑥（𝑥<0）的图象经过𝑂𝐵D且与边𝐵𝐶E，四边形𝑂𝐴𝐵𝐶𝑏==2∴𝑎𝑏=∴𝑆△𝐵𝑂𝐶−𝑆△𝐸𝑂𝐶=2|𝑎𝑏|−2=2|𝑘|−2 = ∴|𝑘|=由图象可知，𝑘<∴𝑘=3】（2026·广东深圳·一模）如图，过反比例函数𝑦1=𝑘(𝑥0)图象上一点𝐴作𝐴𝐷垂直于𝑥𝐷，交反比例函数

=𝑥(𝑥>

的图象于点𝐵，连接𝑂𝐴交𝑦2于点𝐶，连接𝐶𝐷△𝑂𝐶𝐷的面积为6，则𝑘=【答案】【答案】【分析】过点𝐶作𝐶𝐸𝑂𝐷于点𝐸，根据𝑘的几何意义结合已知可得𝑆△𝑂𝐶𝐸=𝑆△𝐷𝐶𝐸，进而证明𝐴𝐶=𝐶𝑂𝑆△𝐴𝑂𝐷=2𝑆△𝑂𝐶𝐷=12，进而根据𝑘【详解】解：如图，过点𝐶作𝐶𝐸𝑂𝐷于点∵点𝐶在𝑦2=6(𝑥>∴𝑆△𝑂𝐶𝐸=2×6=又𝑂𝐶𝐷的面积为∴𝑆∴𝑆△𝑂𝐶𝐸=∴𝑂𝐸=∴𝐶𝑂=∵𝐴𝐷⊥𝑂𝐷，𝐶𝐸⊥∴𝐴𝐶=𝐷𝐸= ∴𝐴𝐶=∴𝑆△𝐴𝑂𝐷=2𝑆△𝑂𝐶𝐷=∵点𝐴在𝑦1=𝑥(𝑥>∴𝑘=2𝑆△𝐴𝑂𝐷=中考预测题 1𝑂𝐴𝐵𝐶的顶点𝐵在双曲线𝑦𝑥𝐶在双曲线𝑦𝑥𝐵𝐶与𝑦轴交于点𝑃且𝐵𝑃 【答案】【答案】【分析】连接𝐵𝑂BCy轴的垂线段𝐵𝐸和𝐶𝐷△𝐵𝐸𝑃∽△𝐶𝐷𝑃，求出𝑆△𝐵𝑂𝑃，𝑆△𝐶𝑂𝑃𝑆△𝐶𝐷𝑃的值，根据反比例函数的比例系数的几何意义得到2|𝑘|+2=4【详解】解：连接𝐵𝑂BCy轴的垂线段𝐵𝐸和𝐶𝐷∵∠𝐵𝑃𝐸=∠𝐶𝑃𝐷，∠𝐵𝐸𝑃=∠𝐶𝐷𝑃=∴△𝐵𝐸𝑃∽△∵𝐵𝑃=∴𝑆△𝐵𝑂𝑃

3𝑆△𝐵𝑂𝐶

1𝑆平行四边形𝑂𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐶𝑂𝑃=𝑆△𝐵𝑂𝐶=𝑆平行四边形𝑂𝐴𝐵𝐶=

= ∵B在双曲线𝑦=

𝑥∴𝑆△𝐵𝑂𝐸=2×20=∴𝑆△𝐵𝑃𝐸+𝑆△𝐵𝑂𝑃=𝑆△𝐵𝑂𝐸=∴𝑆△𝐵𝑃𝐸=10−𝑆△𝐵𝑂𝑃= ∴𝑆△𝐶𝐷𝑃=4𝑆△𝐵𝑃𝐸=∵C在双曲线𝑦=𝑥上，且由图象可知𝑘< ∴𝑆△𝐶𝑂𝑃=𝑆△𝐶𝑂𝐷+𝑆△𝐶𝑃𝐷=2|𝑘|+2=解得𝑘=±∴𝑘= A是反比例函数𝑦=−𝑥B是反比例函数𝑦=𝑥上一点，直线AB与y轴交于点C，且𝐴𝐶=1𝐵𝐶，连接OA、OB，则△𝐴𝑂𝐵的面积 根据题意可得根据题意可得𝐴−𝑎𝑎，𝐵2𝑎𝑎=𝑆梯形 𝑎+×(𝑎+2𝑎)×2−𝑎×𝑎×2−2𝑎×𝑎× =2=设𝑂𝑀=𝑎，则𝑂𝑁=∴𝑂𝑀=∵𝐴𝐶=𝑂𝑁=2𝑎，根据𝑆△𝐴𝑂𝐵=𝑆梯形𝐴𝑀𝑁𝐵−𝑆△𝐴𝑀𝑂−𝑆△𝐵𝑁𝑂【详解】解：作𝐴𝑀𝑥轴于点𝑀，𝐵𝑁𝑥轴于点𝑁，则𝐴𝑀𝑂𝐶【分析】作𝐴𝑀𝑥轴于点𝑀，𝐵𝑁𝑥轴于点𝑁，则𝐴𝑀∥𝑂𝐶𝐵𝑁，可得𝑂𝑀=1𝑂𝑁，设𝑂𝑀=𝑎【答案】=>与函数𝑦=𝑥的图象分别交于点△𝐴𝑂𝑀与△𝐶𝑂𝑁的面积之和 若△𝑀𝑂𝑁为直角三角形，则该三角形的直角顶点的横坐标 【答案 2或2【分析】（1）根据𝑘（2）设𝐶𝑎

，则𝑁𝑎,

，𝐵0,

，𝑀𝑎,

4 【详解】解：依题意，𝑆△𝐴𝑂𝑀=

△𝐵𝑂𝑁=

△𝐵𝑂𝐶=2×4=∴△𝐴𝑂𝑀△𝐶𝑂𝑁的面积之和为𝑆△𝐴𝑂𝑀+𝑆△𝐶𝑂𝑁=𝑆△𝐵𝑂𝑁+𝑆△𝐶𝑂𝑁=𝑆△𝐵𝑂𝐶=（2）解：设𝐶𝑎

，则𝑁𝑎,

，𝐵0,

，𝑀𝑎, 4 ∴𝑂𝐵

,𝐵𝑁

,𝑁𝐶=𝑎−

4，𝐶𝑀

4 −=𝑎，𝑀𝐴

,𝑂𝐴= 𝑎 ∵∠𝑂𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐴=∠𝑂𝑁𝑀=∴∠𝐵𝑂𝑁=90°−∠𝐵𝑁𝑂=∴△𝐵𝑂𝑁∽△∴𝐵𝑂= ∴𝑎= 解得：𝑎=2∴𝑁2,2或 解得：𝑎=∴4= ∴𝑁𝐶=同理可得𝑁𝐶𝑀考点四解｜题｜策｜解｜题｜策｜②已知两个函数解析式：联立方程组：𝑦= ①已知一个点：直接代入反比例函数𝑦=𝑥求𝑘𝑦=𝑘𝑥+①反比例函数：一个点即可确定，用𝑘=𝑥𝑦y=kx+bk、bx注意：反比例函数图像被yk的几何意义：𝑆设点坐标：反比例函数上可设命题点01【典例】（2026·广西南宁·一模）如图，过点𝐶(1,2)分别作𝑥轴、𝑦轴的平行线，交直线𝑦−𝑥6于𝐴，𝐵点，若反比例函数𝑦=𝑘(𝑥>0)的图象与△𝐴𝐵𝐶有公共点，则𝑘的取值范围是A．2≤𝑘≤ B．2≤𝑘≤ C．5≤𝑘≤ D．5≤𝑘≤【答案】【答案】例函数与点𝐶相交时，设反比例函数与线段𝐴𝐵相交于点(𝑥,−𝑥+6)时𝑘值最大，得出𝑘=−(𝑥−3)2+9，根据点𝐶(1,2)，𝐵𝐶𝑦轴，𝐴𝐶𝑥∴当𝑥=1时，𝑦=−16=当𝑦=2时，−𝑥+6=2，解得𝑥=点𝐴、𝐵的坐标分别为𝐴(4,2)、根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点𝐶相交时，𝑘=1×2=2最小，设反比例函数与线段𝐴𝐵相交于点(𝑥,−𝑥+6)时𝑘值最大，则𝑘=𝑥(−𝑥+6)=−𝑥2+6𝑥=−(𝑥−3)2∵1≤𝑥≤∴当𝑥=3时，𝑘值最大为因此，因此，𝑘的取值范围是2≤𝑘≤1】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，一次函数𝑦1=𝑘𝑥𝑏(𝑘≠0)的图象与反比例函数𝑦2𝑥（𝑚为常数且𝑚≠0）的图象都经过

，结合图象，则不等式𝑘𝑥+𝑏<𝑥的解集是（A．𝑥<−1或0<𝑥< B．−1<𝑥<0或𝑥>C．0<𝑥< D．𝑥>【答案】【答案】用数形结合是解题的关键．根据一次函数图象在反比例函数图象下方的𝑥的取值范围便是不等式𝑘𝑥𝑏<【详解】解：由函数图象可知，当一次函数𝑦1=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)的图象在反比例函数𝑦2=𝑥（𝑚𝑚≠0）的图象下方时，𝑥的取值范围是：−1<𝑥<0或𝑥>∴不等式𝑘𝑥+𝑏<𝑥的解集是−1<𝑥<0或𝑥>2】（2025·黑龙江大庆·三模）给出下列命题及函数𝑦=𝑥与𝑦=𝑥2和𝑦=1①如果1>𝑎>𝑎2，那么0<𝑎<②如果𝑎2>𝑎>1，那么𝑎>1或−1<𝑎<③如果1>𝑎2>𝑎，那么−1<𝑎<

>𝑎>

，那么𝑎<−1．则（ B．正确的命题有C．错误的命题有 【答案】【答案】【详解】解：∵当𝑥=1∴由对称性可知，𝑦=𝑥和𝑦=𝑥在第三象限的交点坐标为∴如果>𝑎>𝑎2，那么0<𝑎<1，命题①如果𝑎2>𝑎>1，那么𝑎>1或−1<𝑎<0，命题②如果>𝑎2>𝑎a无解，命题③如果𝑎2>1>𝑎，那么𝑎<−1，命题④3】（2025·青海西宁·一模）反比例函数𝑦=

𝑦=𝑚𝑥 𝑥和正比例函数满足𝑦1<𝑦2的𝑥的取值范围是（A．𝑥> B．0<𝑥<1或𝑥<C．−1<𝑥<0或𝑥> D．𝑥>2或𝑥<【答案】【答案】先根据正比例函数和反比例函数图象的性质得反比例函数𝑦1=𝑥和正比例函数𝑦2=𝑚𝑥为(−1,−2)，然后观察函数图象得到当−1<𝑥<0或𝑥>1即即𝑦1<【详解】解：∵反比例函数𝑦1=𝑥和正比例函数𝑦2=𝑚𝑥∴反比例函数𝑦1=𝑥和正比例函数𝑦2=𝑚𝑥的另一个交点坐标为∴当−1<𝑥<0或𝑥>1时，𝑦1<命题点02=轴，yAC，与反比例函数𝑦=(1)(2)点𝐷(−6,𝑛)是反比例函数𝑦=

(𝑥<0)的图象交于点𝐵𝐷,𝐶𝐷𝐵𝐶𝐷𝑥(3)Py轴上，满足△𝑃𝐴𝐵是以𝐴𝐵P（3）设𝑃(0,𝑡)，则𝑃𝐴2=𝑡2+16,𝑃𝐵2=(𝑡−3)2+4,𝐴𝐵2=45，当∠𝐴𝑃𝐵=90°时，𝑃𝐴2+𝑃𝐵2=𝐴𝐵2轴，交直线𝐷𝐶E，求出直线𝐶𝐷的解析式为𝑦1𝑥2，得到𝐸−25𝐵𝐹⊥（2）利用一次函数𝑦−𝑥2求得𝐴、𝐶的坐标，利用反比例函数𝑦=−求得点𝐷B（1）(3)0,3+41或0,3−41【答案】(1)一次函数为𝑦=−1𝑥+2，反比例函数为𝑦=程并解得𝑡=3+41或𝑡=3−41 【详解】（1）解：∵一次函数𝑦=𝑘𝑥+2的图象与与反比例函数𝑦=

(𝑥<0)的图象交于点∴3=−2𝑘+2，3=∴𝑘=−2，𝑚=−6 ∴一次函数为𝑦=−𝑥2，反比例函数为𝑦=

𝑦=−𝑥+

的图象分别与𝑥轴、𝑦轴交于点𝐴、点当𝑦=0时，𝑥=4，当𝑥=0时，𝑦=∴

𝑦=∴𝑛=

=∴B作𝐵𝐹𝑥轴，交直线𝐷𝐶设直线𝐶𝐷的解析式为𝑦=𝑚𝑥𝑛，把𝐷(−6,1)，𝐶(0,2)𝑛=−6𝑚+𝑛=𝑛=𝑚=∴直线𝐶𝐷的解析式为𝑦=

𝑥+∵点𝐵(−2,3)，𝐵𝐹𝑥当𝑥=−2

(−2)+2=∴𝐸−2,

𝑦=6 P0,3+410,3−41解得：𝑡=3+41或𝑡=3− （3）解：设则𝑃𝐴2=𝑡2+16,𝑃𝐵2=(𝑡−3)2+4,𝐴𝐵2=(−2−4)2+(3−0)2=45，当∠𝐴𝑃𝐵=90°时，𝑃𝐴2+𝑃𝐵2=𝐴𝐵2即𝑡2+16+(𝑡−3)2+4=45，得到𝑡2−3𝑡−8=𝐵𝐶𝐷=1𝐵𝐸⋅0−(−6)=1×4×6= ∴𝐵𝐸=3−3=【变式1】（2025·甘肃临夏·二模）如图，反比例函数𝑦=𝑘(𝑘≠0)的图象与正比例函 4的图象相交 𝑦=点(1)点D的坐标

的解集 不等式𝑥> (3)已知𝐴𝐵𝑥轴，以𝐴𝐵,𝐴𝐷为边作菱形𝐴𝐵𝐶𝐷，求菱形𝐴𝐵𝐶𝐷【答案】【答案】(1)3(2)𝑥<−或0<𝑥<作𝐴𝐻𝐶𝐷于𝐻，由勾股定理求出𝐴𝐷【详解】（1）解：将𝐴(𝑎,2)

𝑎=𝑦=3𝑥得∴𝑎=∴𝐴3,2∴𝐷−2,−22,−2解：将𝐴3,2代入𝑦=𝑘(𝑘≠0)

𝑘=2×2=即反比例函数解析式为：𝑦= 由图象知，当𝑥<−或0<𝑥<

4 2时，𝑥> 故答案为：𝑥<−2或0<𝑥<解：作𝐴𝐻𝐶𝐷于

2,2,𝐷−2,−2∴𝐴𝐻=4,𝐷𝐻=由勾股定理得，𝐴𝐷 𝐴𝐻2+𝐷𝐻2=∴𝐷𝐶=𝐴𝐷=∴菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为5×4=2】（2025·吉林松原·模拟预测）如图，反比例函数𝑦=𝑘(𝑥>0)的图象与一次函数𝑦=𝑥−3第一象限内交于点m的值 (3)直线𝑥=2B，C，请直接写出△𝐴𝐵𝐶所以所以𝐴𝐵𝐶的面积为：2×[2−(−1)(4−2)=将𝑥=2代入𝑦=𝑥−3得，𝑦=所以点𝐶的坐标为（3）解：将𝑥=2代入𝑦=𝑥得，𝑦=所以点𝐵的坐标为则反比例函数的解析式为𝑦=将点𝐴坐标代入𝑦=𝑥得，𝑘=4×1=将点𝐴坐标代入一次函数解析式，即可求出𝑚将点𝐴分别求出点𝐵和点𝐶【详解】（1）解：将点𝐴坐标代入𝑦=𝑥−3得，𝑚=4−3=1，（2）解：由（1）知，点𝐴的坐标为(2)𝑦=【答案】3】（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数𝑦𝑚𝑥𝑛与反比例函数𝑦=𝑥图象在第一象限内交于𝐴(𝑎,4)和𝐵(4,2)两点，直线𝐴𝐵xC，连接𝑛=2𝑚+𝑛=𝑛=2𝑚+𝑛=把𝐴(2,4)，𝐵(4,2)代入𝑦=𝑚𝑥𝑛4𝑚+𝑛=2𝑚=∴把𝐴(𝑎,4)代入𝑦=𝑥得：4=解得𝑎=∴反比例函数的表达式为𝑦=【详解】（1）解：把𝐵(4,2)代入𝑦=𝑥得：2=解得𝑘=（2）C为圆心，任意长为半径作弧交𝐶𝐴E，交𝐶𝑂FB为圆心，𝐶𝐸长为半径作弧交𝐵𝐴GG为圆心，𝐸𝐹H，作射线𝐵𝐻交𝑂𝐴DD即为所求；求𝑂𝐴𝑦=2𝑥B作𝐵𝐷x轴，交𝑂𝐴D，𝐵(4,2)，可得𝐷(1,2)，𝐵𝐷=4−1=3，由𝐴𝐵𝑦=−𝑥+6，可得𝐶(6,0)，𝑂𝐶=6（1）把𝐵(4,2)代入𝑦=𝑥可得𝑘=8，故反比例函数的表达式为𝑦=𝑥，再求出𝐴(2,4)次函数的表达式为𝑦=−𝑥+【答案】(1)反比例函数的表达式为𝑦=𝑥，一次函数的表达式为𝑦=−𝑥+(2)一次函数的表达式为𝑦=−𝑥+∵𝐴(2,4)，设𝑂𝐴的解析式为：𝑦=𝑘1𝑥，则4=2𝑘1，解得𝑘1=2，∴𝑂𝐴的解析式为：𝑦=∵𝐵𝐷∥∴𝑦𝐷=∴2𝑥𝐷=∴𝑥𝐷=1，即∴𝐵𝐷=4−1=∵𝐴𝐵为𝑦=−𝑥+当𝑦=0，则𝑥=6，即∴𝑂𝐶=∴梯形𝑂𝐶𝐵𝐷的面积为：2(3+6)×2=4】（2025·河南商丘·二模）已知反比例函数𝑦=𝑘(𝑥<0)与一次函数𝑦=𝑚𝑥+𝑏相交于点𝐴(−2,3)设𝑃是𝑥𝐴𝑂𝑃𝐴𝑂𝐵面积相等时，求点𝑃【答案】(1)

；反比例函数表达

𝑦=4𝑥+

𝑦=（2）求出直线𝐴𝐵与𝑥轴交点𝐶的坐标为(−6,0)，得到𝑂𝐶=6，根据𝐴𝑂𝑃𝐴𝑂𝐵【详解】（1）解：将点𝐴的坐标代入反比例函数表达式得：𝑘=−23=将点𝐵(−4,𝑛)代入反比例函数表达式𝑦=−6得𝑛=3，则𝐵−4 将点𝐴、𝐵−2𝑘+𝑏=−4𝑘+𝑏=𝑘=𝑏= ∴一次函数解析式为：𝑦=4𝑥+（2）当𝑦=0

，解得，𝑥=0=4𝑥+∴直线𝐴𝐵与𝑥轴交点𝐶的坐标为(−6,0)，故𝑂𝐶=∴

△𝐴𝑂𝐵=2×6

3−3= ∴

△𝐴𝑂𝑃=2

|𝑂𝑃|×3=∴|𝑂𝑃|=𝑂𝑃=3或𝑂𝑃=𝑃点坐标为(3,0)或命题点03【典例】（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，函数𝑦=𝑘(𝑥>0)的图像过点𝐴(4,𝑛)和点𝐵2𝑛+ (1)求𝑛和𝑘(2)将直线𝑂𝐴向上平移得到直线𝐷𝐸，交𝑥轴于点𝐷，交𝑦轴于点𝐸，交𝑦=𝑘(𝑥>0)于点𝐶，若𝑆△𝐴𝐶𝑂=6在（2）的条件下，第二象限内是否存在点𝐹𝐷𝐸𝐹为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点【答案】【答案】(1)𝑛=2，𝑘=(2)𝑦=1𝑥+(3)点𝐹的坐标为(−9,6)或(−3,9)2,9【分析】（1）将𝐴(4,𝑛)和点𝐵2𝑛+ 两点，代入函数𝑦=𝑘(𝑥>0)，得到二元一次方程组，求解即可（2）先利用待定系数法求出直线𝑂𝐴的解析式为，过点𝐶作𝐶𝐻𝑥轴，交𝑥轴于点𝐻，交𝑂𝐴于点𝐺，设𝑚,8，则𝐻(𝑚,0)，𝐺𝑚1𝑚，进而得到𝐶𝐺=8𝑚𝑚，𝑂𝐻=𝑚，再根据𝑆△𝐴𝐶𝑂= + =6【详解】（1）解：函数𝑦=𝑘(𝑥>0)的图像过点𝐴(4,𝑛)和点𝐵2𝑛1,8𝑘=𝑘=8(2𝑛+1)𝑛=𝑘=8∴𝑛=2，𝑘=（2）解：由（1）可知，𝑛=∴设直线𝑂𝐴的解析式为𝑦=𝑎𝑥，则4𝑎=解得：𝑎=直线𝑂𝐴的解析式为𝑦=

过点𝐶作𝐶𝐻𝑥轴，交𝑥轴于点𝐻，交𝑂𝐴于点设𝐶𝑚,8，则𝐻(𝑚,0)，𝐺𝑚1𝑚∴𝐶𝐺

8−𝑚，𝑂𝐻=𝑚∴

=

+

|=

△𝐴𝐶𝐺=2𝐶𝐺·𝑂𝐻+2𝐶𝐺· 1

1 即

𝑚−2𝑚·𝑚−

−𝑚∙|4−𝑚|= 解得：𝑚=2，𝑚=−8（舍∴直线𝐷𝐸由直线𝑂𝐴沿𝑥设直线𝐷𝐸的解析式为𝑦=

1𝑥+将

代入得：2×2+𝑏=解得：𝑏=直线𝐷𝐸的解析式为𝑦=

1𝑥+解：存在，点𝐹的坐标为(−9,6)或(−3,9)9,

2直线𝐷𝐸交𝑥轴于点𝐷，交𝑦轴于点∴令𝑥=0，则𝑦=3；令𝑦=0，则0∴

1𝑥+3，解得：𝑥=∴𝑂𝐷=6，𝑂𝐸=∵△𝐷𝐸𝐹①当点𝐷为直角顶点时，此时𝐷𝐸=𝐷𝐹，∠𝐸𝐷𝐹=过点𝐹作𝐹𝑀𝑥轴于点∴∠𝐹𝑀𝐷=∴∠𝐷𝐹𝑀+∠𝐹𝐷𝑀=∵∠𝐹𝐷𝑀+∠𝐸𝐷𝑂=180°−∠𝐸𝐷𝐹=∴∠𝐷𝐹𝑀=在𝐷𝑀𝐹和𝐸𝑂𝐷∠𝐹𝑀𝐷=∠𝐷𝑂𝐸=∠𝐷𝐹𝑀= 𝐷𝐹=∴△𝐷𝑀𝐹≌△∴𝐹𝑀=𝑂𝐷=6，𝐷𝑀=𝑂𝐸=∴𝑂𝑀=𝑂𝐷+𝐷𝑀=6+3=∵点𝐹∴②当点𝐸为直角顶点时，此时𝐸𝐹=𝐷𝐸，∠𝐷𝐸𝐹=过点𝐹作𝐹𝑁𝑦轴于点同①𝐸𝐹𝑁≌△∴𝐹𝑁=𝑂𝐸=3，𝐸𝑁=𝐷𝑂=∴𝑂𝑁=𝐸𝑁+𝑂𝐸=6+3=∵点𝐹∴③当点𝐹为直角顶点时，此时𝐸𝐹=𝐷𝐹，∠𝐸𝐹𝐷=过点𝐹作𝐹𝑄𝑥轴于点𝑄，𝐹𝑃𝑦轴于点∴∠𝑃=∠𝑄=∠𝑃𝑂𝑄=四边形𝑃𝐹𝑄𝑂∴∠𝑃𝐹𝑄=90°，即∠𝑃𝐹𝐸∠𝐸𝐹𝑄=∵∠𝑄𝐹𝐷+∠𝐸𝐹𝑄=∴∠𝑃𝐹𝐸=在𝐸𝐹𝑃和𝐷𝐹𝑄∠𝑃𝐹𝐸=∠𝑄=∠𝑃=90°𝐷𝐹=∴△𝐸𝐹𝑃≌△∴𝑃𝐸=𝐷𝑄，𝐹𝑃=矩形𝑃𝐹𝑄𝑂∴𝑂𝑃=∴𝑂𝐸+𝐸𝑃=𝑂𝐷−𝐷𝑄=∴𝐷𝑄=𝐸𝑃=1(𝑂𝐷−𝑂𝐸)= ∴𝑂𝑃=𝑂𝑄=𝑂𝐷−𝐷𝑄=6−2=∵点𝐹∴𝐹

9,2综上可知，第二象限内存在点𝐹，使得△𝐷𝐸𝐹为等腰直角三角形，点𝐹的坐标为(−9,6)或(−3,9)2,29综上可知，第二象限内存在点𝐹，使得△𝐷𝐸𝐹为等腰直角三角形，点𝐹的坐标为(−9,6)或(−3,9)2,29(1)连接𝑂𝐴，与一次函数𝑦=−𝑥+2的图象相交于点连接𝐴𝑀,𝑀𝑁，若点𝑀在直线𝑂𝐴的上方，当四边形𝐴𝑀𝑁𝐵是矩形时，求𝑀𝑁【答案】(1)𝐴𝐵的长为2，𝐵(1,1)；𝑀𝑁=【答案】(1)𝐴𝐵的长为2，𝐵(1,1)；𝑀𝑁=(2)满足条件的点𝑁的坐标为(3−3,3−1)或(3−1,3−（1）①先利用点𝑂(0,0)和𝐴(2,2)的坐标求出直线𝑂𝐴的解析式为𝑦=𝑥，再将其与一次函数𝑦=−𝑥+2联立，是矩形的性质，得出𝑀𝑁=𝐴𝐵且𝑀𝐴⊥𝑂𝐴；再由直线𝑂𝐴的解析式𝑦=𝑥推出直线𝐴𝑀的解析式为𝑦=−𝑥+将其与反比例函数𝑦=𝑥联立求解，结合点𝑀在直线𝑂𝐴上方的条件确定𝑀𝑀𝐺⊥𝑙点𝐺)，利用等边三角形的性质和直线与直线的交点求解(联立直线方程得𝐺坐标)，推导𝐴𝑀与𝑀𝐺的数量关系；接着分点𝑀在直线𝑂𝐴下方和上方两种情况，结合对称性(直线𝑦−𝑥2与反比例函数关于𝑦𝑥对称，点𝐴在𝑦=𝑥上)，通过坐标关系(如𝑥𝑁+𝑥𝑀=4)和方程求解(代入反比例函数表达式列方程)，最终确定【详解】（1）解：(i)设直线𝑂𝐴的解析式为𝑦=𝑘𝑥2=2𝑘+ 𝑏= 𝑘=𝑏=0∴直线𝑂𝐴的解析式为𝑦=联立𝑂𝐴与一次函数𝑦=−𝑥+2𝑦=𝑦=−𝑥+2𝑥=𝑦=1所以点𝐵的坐标为∴𝐴𝐵的长为𝐴𝐵 (2−1)2+(2−1)2=(ii)∴𝑀𝑁=𝐴𝐵=2，𝑀𝐴∥∵直线𝐵𝑁的表达式为𝑦=−𝑥∴设直线𝐴𝑀的表达式为𝑦=−𝑥∴2=−2𝑏，解得𝑏=∴直线𝐴𝑀的表达式为𝑦=−𝑥𝑦=−𝑥+联 𝑦=𝑥=2+

𝑥=2−解得𝑦=2−2𝑦=2+2∴点𝑀2−2,2+2 ∴𝐴𝑀 2−2− +2−2+ =∴𝐴𝑀=2= （2）解：存在点𝑁使得𝐴𝑀𝑁理由如下：设直线𝑦=−𝑥+2为直线令𝑦=0得，0=−𝑥+2，令𝑥=0得，𝑦=−0𝑥= 𝑥=∴𝑦=0，𝑦=2∴直线𝑙与两坐标轴的坐标为(0,2)，(2,0)即直线𝑙与两坐标轴围成了等腰Rt∵直线𝑂𝐴的解析式为𝑦=∴𝑂𝐴⊥𝑙，𝐵𝐶=过点𝑀作𝑀𝐺𝑙点∴𝑀𝐺∥设点𝑀𝑡

(𝑡>0),，设直线𝑀𝐺的表达式为𝑦=𝑥

∴𝐴𝑀=(2−𝑡)+2− =𝑡+𝑡2−4𝑡−𝑡+8=22+𝑡2−2𝑡−𝑡+4,𝑚=𝑦=𝑥+2联 𝑦=−𝑥+𝑥=𝑡+2− 𝑦=−𝑡+2+1 1

−

1

则𝐺𝑀=

=2+𝑡2−2𝑡−𝑡∴𝐴𝑀2=2𝐺𝑀2，即𝐴𝑀=①如图，当点𝑀在直线𝑂𝐴下方时.过点𝑀作𝑀𝐻𝑥轴，交直线于点∴∠𝐻𝑀𝐺=∴在Rt𝐻𝑀𝐺∴𝐻𝑀=2𝐺𝑀=𝐴𝑀𝑁∴𝐴𝑀=𝑀𝑁=𝐴𝑀𝑁是等边三角形，𝑀𝐻𝑥

=𝑥𝑁+𝑥𝑀即

+

=

∴设𝑁(𝑛,−𝑛2)，则𝑀(4−𝑛,−𝑛∵点𝑀在双曲线𝑦=

2(2>0)∴(4−𝑛)(−𝑛+2)=解得𝑛1=3−3,𝑛2=3+3(舍去∴𝑁1(3−3,22】（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数𝑦=1𝑥+1函数𝑦=𝑘(𝑘≠0)A，ByC，连接𝑂𝐴△𝐴𝑂𝐶∵直线𝑦=−𝑥+2和反比例函数图象都关于直线𝑦=𝑥对称，点𝐴(2,2)在直线𝑦=𝑥∴由对称性得点𝑁1关于直线𝑦=𝑥的对称点也满足题意，∴𝑂𝑁1=𝑂𝑁2，𝐵𝑁2=∵𝐵𝐶=∴𝐶𝑁2=∵𝑂𝐶=𝑂𝐷=∴△𝑂𝐶𝑁2≌△∴△𝑂𝐶𝑁2与△𝑂𝐷𝑁1对应边𝑂𝐶与𝑂𝐷边上的高相等，即𝑁1的纵坐标等于𝑁2∴将𝑥=3−1代入𝑦=−𝑥+2中得𝑦=−(3−1)+2=3−∴𝑁2(3−1,3−综上所述，满足条件的点𝑁的坐标为(3−3,3−1)或(3−1,3−𝑃𝐸𝑦yE，若𝑃𝐷+𝑃𝐸=6PMx轴负半轴上一点，NA，B，M，N为顶点的四边形是平行四边N的坐标．【答案】(1)𝑦=(2)𝑃−5+17,−(3)(4,1)4过点𝐴作𝐴𝐻𝑦轴于𝐻，由△𝐴𝑂𝐶1，可得𝐴𝐻的长，从而得出点𝐴设𝑃𝑠

，则𝐷𝑠2𝑠+1，，利用坐标与图形的性质表示出𝑃𝐷和𝑃𝐸首先求出点𝐵的坐标，设𝑀(𝑚,0)，𝑁𝑛4，再利用中点坐标公式可得点𝑁【详解】（1）解：过点𝐴作𝐴𝐻𝑦轴于对于一次函 𝑦=2𝑥+当𝑥=0时，𝑦=∴𝑂𝐶=∵△𝐴𝑂𝐶∴2𝑂𝐶⋅𝐴𝐻=𝐴𝐻=2，当𝑥=2∴

𝑦=2×2+1=𝑥将点𝐴(2,2)代入反比例函数𝑦=𝑥𝑘=2×2=∴反比例函数解析式为𝑦=解：设𝑃𝑠

，则𝐷𝑠2𝑠+1 ∴𝑃𝐷=𝑠+1−𝑠，𝑃𝐸=∵𝑃𝐷+𝑃𝐸= ∴2𝑠+1−𝑠−𝑠=解得𝑠=−5点𝑃在直线𝐴𝐵∴−4<𝑠<当𝑠=−517时，𝑦=

4=

−5+∴𝑃−5+17,−17+5解：所有符合条件的点𝑁的坐标为(4,1)4,3 当2𝑥+1=𝑥解得𝑥=2或经检验，𝑥=2或−4∴设𝑀(𝑚,0)，𝑁𝑛4，其中𝑚<以𝐴，𝐵，𝑀，𝑁当𝐴𝐵、𝑀𝑁2−4=𝑚+𝑚=

2−1= 解得𝑛=4∴𝑚=−

2+𝑚=−4+2=−1+ 解得𝑛= ∴𝑁∴𝑁3,32+𝑛=−4+2+4=𝑛=−𝑚=3（舍去综上所述，点𝑁的坐标为(4,1)3,3命题点04例函数𝑦=𝑥的图象上，连接𝐴𝐵，且∠𝐵𝐴𝑂=k平移线段𝐴𝐵A的对应点C落在反比例函数𝑦𝑥B的对应点D落在x(3)在反比例函数𝑦=𝑥EE在直线𝐴𝐵的下方．设直线𝐴𝐸与直线𝑂𝐵F𝐴𝐹=2𝐸𝐹E【答案】【答案】(1)𝑘=(3)𝐸(−2,−2)或𝐸2,−8或（1）设线段𝐴𝐵交𝑦轴于点𝐺，得到𝐺(0,3)，求出𝐴𝐵的解析式为𝑦=𝑥3，求得𝐵(1,4)（2）求出𝐶(−1,−4)和𝐷(3,0)，得到𝐴𝐷=6（3）∵∠𝐵𝐴𝑂=45°，∠𝐴𝑂𝐺=𝐴𝑂𝐺∴𝐴𝑂=𝑂𝐺=设直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=𝑘′𝑥+𝑏𝑏=−3𝑘′+𝑏=0𝑏=𝑘′=1∴𝑦=𝑥+∴𝑚+3=解得𝑚=∴4=∴𝑘=解：∵𝐵(1,4)D落在𝑥∴𝐵(1,4)4∵𝐴(−3,0)的对应点为点∵C落在反比例函数𝑦=𝑥∴𝐴24∴𝐴𝐷=∴四边形𝐴𝐶𝐷𝐵的面积为2

1×6×4=解：设𝐸𝑛

直线𝑂𝐵的解析式为𝑦=当点𝐸当点𝐸是𝐴𝐹的中点时，𝐹2𝑛+3,8∴4(2𝑛+3)=解得𝑛=−2或𝑛=2（舍去 当𝐴𝐹2𝐸𝐹时，𝑛+3=3，4= ∴𝑥=3𝑛−1,𝑦=∴𝐹2𝑛−1, ∴42𝑛−1=8 解得𝑛=2（舍去） 𝑛=∴𝐸−2,−8当点𝐸 当𝐴𝐹2𝐸𝐹时，𝑛+3=3，4= ∴𝑥=3𝑛−1,𝑦=∴𝐹2𝑛−1, ∴42𝑛−1=8 解得𝑛=2或𝑛=−2（舍去当点𝐸是𝐴𝐹的中点时，𝐹2𝑛+3,8∴4(2𝑛+3)=解得𝑛解得𝑛=−2（舍去）或𝑛=∴𝐸2,8E在直线𝐴𝐵综上可知，𝐸(−2,−2)或𝐸2,−8或1】（2026·广东东莞·模拟预测）反比例函数𝑦=𝑥和一次函数𝑦=𝑎𝑥+𝑏ABA作𝐴𝐶𝑥CB作𝐵𝐷𝑦D，ACBD1，当𝑏=0时，当△𝐴𝐵𝐸4k2b为任意值时，连接𝐶𝐷，猜想𝐶𝐷与𝐴𝐵(3)当𝑏=01中，延长𝐷𝐶交反比例函数𝑦=𝑥MM作𝑀𝑁⊥𝑥【详解】（1）解：当𝑏=0时，反比例函数𝑦=𝑥和一次函数𝑦=𝑎𝑥A【详解】（1）解：当𝑏=0时，反比例函数𝑦=𝑥和一次函数𝑦=𝑎𝑥A （3）令𝐴 ，则𝐵−𝑡,−𝑘,𝐷0,−𝑘,𝐶(𝑡,0)，求出线段𝐶𝐷的解析式为𝑦=𝑘𝑥−，联立解析式求出交点∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐴𝐵𝐸21（2）设𝐴𝑥,𝑘,𝐵𝑥,𝑘【答案】(1)𝑘=𝐶𝐷𝐴𝐵【分析】（1）结合反比例函数和正比例函数的交点，得出点𝐴与点𝐵关于原点对称，𝑂𝐴=𝑂𝐵△𝐴𝑂𝐶∽△𝐴𝐵𝐸，利用相似三角形的性质得出𝑆△𝐴𝑂𝐶=1，即可求出𝑘∴𝑂𝐴=又∵𝐴𝐶𝑥C，𝐵𝐷𝑦∴△𝐴𝑂𝐶∽△∴𝑆△𝐴𝑂𝐶

1 =

△𝐴𝐵𝐸=4×4=∴𝑆△𝐴𝑂𝐶

=1∴𝑘=解：𝐶𝐷𝐴𝐵设𝐴𝑥,

,𝐵𝑥,𝑘22∵𝐴𝐶𝑥C，𝐵𝐷𝑦ACBD∴𝐶(𝑥,0),𝐷0,𝑘，𝐸𝑥,𝑘

1∴𝐴𝐸=𝑘−𝑘=𝑘(𝑥2−𝑥1)，𝐵𝐸=𝑥−𝑥

𝑥

−

𝐶𝐸=−𝑥,𝐷𝐸=∴tan∠𝐶𝐷𝐸=𝐷𝐸

𝑥2=

tan∠𝐴𝐵𝐸

𝑘

=

∴∠𝐶𝐷𝐸=∴𝐶𝐷∥令𝐴𝑡

，则𝐵−𝑡,

,𝐷0,−

假设直线𝐶𝐷的解析式为𝑦=𝑎𝑥+将𝐷0,

=−𝑡𝑎𝑡+𝑏1=

=−解得𝑎=𝑘 ∴𝑦=𝑦=𝑦=𝑘𝑥𝑘 𝑥=1+5解得𝑦=5−1

（负值已舍∴𝑀1+5 5−1𝑘 ∵𝑀𝑁𝑥∴𝑁1+5𝑡,0∴𝑂𝑁=1+5𝑡，𝑂𝐶=∴𝑂𝐶

1+5 ∴C为线段𝑂𝑁∵𝐴𝑃⊥𝑦轴，𝐴𝑡𝑘∴直线𝐴𝑃的解析式为𝑦=∵Q为𝐴𝑃和𝑁𝑀∴𝑄1+5𝑡,𝑘

5−1

3−5

5−1∴𝑁𝑄=𝑡,𝑀𝑄=

,𝑁𝑀

∴𝑁𝑀

5−1

∴M为线段𝑁𝑄2】（2026·山东济南·一模）一次函数𝑦=3𝑥+3的图象与反比例函数𝑦=𝑘(𝑘>0)的图象交于点 𝑃为反比例函数图象上的一点，设其横坐标为𝑎(𝑎>①1，过点𝑃作𝑦轴的垂线，垂足为𝑀，交直线𝐴𝐵于𝑁，当𝐵𝑁=2𝐴𝑁时，求𝑃𝑁②2，连接𝑂𝐴,𝑂𝑃，若∠𝐴𝑂𝑃=45°，求𝑎∴𝑘∴𝑘=2×3=（2）①过点𝐴作𝐴𝐷𝑥轴于𝐷交𝑃𝑁于点∵𝑃𝑁𝑦∴𝑃𝑁∥∴△𝐴𝑁𝐻∽△∵𝐴(2,3)在反比例函数𝑦=𝑘(𝑘>0)∴3=4𝑚+2，解得：𝑚=【详解】（1）解：∵𝐴(𝑚,3)在直线𝑦=3𝑥+3②过点𝑃作𝑃𝐸𝑂𝑃交𝑂𝐴的延长线于点𝐸，过𝑃作𝑃𝐺𝑥轴于𝐺，过点𝐸作𝐸𝐹𝑃𝐺于点𝐹𝐸𝑃𝐹𝑃𝑂𝐺，得出𝐸 （2）①过点𝐴作𝐴𝐷⊥𝑥轴于𝐷交𝑃𝑁于点𝐻△𝐴𝑁𝐻∽△𝐴𝐵𝐷，列出𝐴𝐵=𝐴𝐷，求出𝑎，进而得到点坐标，根据𝑦𝑁=𝑦𝑃=【分析】（1）将点𝐴坐标代入直线解析式求出𝑚，再代入反比例函数解析式求得𝑘①②【答案】𝑚=2，𝑘=∴𝐴𝑁