2026年中考数学二轮复习 专题07 反比例函数的综合应用(高频考点专练)

专题07聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练）题型四反比例函数与圆的综合实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升8-12分，多以解答题、选择压轴题形式出现，少数地区会融入填空压轴考查，整体覆盖基础、中档、拔高三个难度层级。该专题侧重考查数形结合、转化、k是衔接代数与几何的关键题型，也是拉开分数差距的重要考点。基础知识必备：k2026算能力；压轴题侧重多模块综合（函数+几何+坐标），无偏题怪题，难点集中在数形转化与分类讨论，命题趋势：k01】（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系𝑂𝑥𝑦中，一次函数𝑦−𝑥2的图象与反比例函数𝑦=𝑘(𝑘≠0)的图象交于点𝐴和点𝐵(𝑎,−1)．(1)𝐶，连接𝑂𝐶．若△𝑃𝑂𝐶的面积为2，求点𝑃【答案】(1)𝑦=(2)𝑃【分析】（1）由题意，将𝐵(𝑎,−1)代入𝑦=−𝑥2，求得𝑎=3，再将点𝐵(3,−1)代入𝑦=𝑘(𝑘≠0)（2）设点𝑃

(𝑚0)，则𝐶(𝑚,−𝑚2)，则𝑃𝐶|3−(−𝑚2)|．可得

=1(−𝑚) 【详解】（1）解：由题意，将𝐵(𝑎,−1)代入𝑦=−𝑥2，可知−1=−𝑎+2，∴𝑎=又点𝐵(3,−1)在𝑦=𝑘(𝑘≠0)∴𝑘=∴反比例函数为𝑦=（2）设点𝑃

(𝑚<0)，则𝐶(𝑚,−𝑚∴𝑃𝐶=|−3−(−𝑚+

𝑦=− 𝑦=−𝑥+𝑥1=𝑦1=则

𝑥2= 𝑦2= ①由图可知，在第二象限当3>−𝑚+2时，−1<𝑚< = −(−𝑚2)|=5化简为𝑚−2𝑚2= 3 ∵Δ=(−2)2−4×2=−4<②由图可知，在第二象限当3<−𝑚+2时，𝑚< = −(−𝑚2)|=5化简为𝑚−2𝑚−8= 3 解得𝑚4或−2．又∵𝑚<−1，∴𝑚=综上，𝑃 01】如图，直线𝑦=𝑚𝑥+𝑛与双曲线𝑦=𝑥相交于𝐴(−1,3)，𝐵(𝑎,−1)两点，与𝑦轴相交于点若点𝐷与点𝐶关于𝑥𝐴𝐵𝐷【答案】(1)𝑘=−3,𝑎=利用待定系数法即可求解【详解】（1）解：∵直线𝑦=𝑚𝑥+𝑛与双曲线𝑦=𝑥相交于𝐴(−1,3)，𝐵(𝑎,−1)∴将𝐴(−1,3)，𝐵(𝑎,−1)两点代入𝑦=

𝑘=−1×3=−3=𝑎×𝑥∴𝑎=（2）解：将点𝐵(3,−1)，𝐴(−1,3)代入𝑦=𝑚𝑥+3𝑚+𝑛=则−𝑚+𝑛=3𝑚=解得𝑛=2∴一次函数解析式为𝑦=−𝑥2，令𝑥=0，则𝑦=2，∴𝐶𝐷=2−(−2)=

=

+ =1×4×1+1×4×3= =+象与反比例函数𝑦=𝑘(𝑘≠0)的图象交于𝐴(−4,𝑚)，𝐵两点，与𝑥轴交于点𝐶，与𝑦轴交于点(2)若𝐹为反比例函数图象上的点，且𝑆△𝐶𝑂𝐹=1𝑆△𝐸𝑂𝐶，求满足条件的𝐹【答案】(1)𝑦=（1）先求得点𝐴的坐标，待定系数法求得𝑦=−𝑥，进而求得𝐸的坐标和点𝐶（2）先求得𝑆△𝐸𝑂𝐶=25，则𝑆△𝐶𝑂𝐹=

=5，进而根据三角形的面积公式可得𝑦𝐹=±2【详解】（1）解：将点𝐴(−4,𝑚)代入𝑦=2𝑥10中，得𝑚=2×(−4)+10=2，∴将𝐴(−4,2)代入反比例函数𝑦=

𝑘=−4×2=𝑥则反比例函数的表达式为：𝑦=在𝑦=2𝑥10中，令𝑥=0，则𝑦=10𝐸(0,10)𝑂𝐸=10，令𝑦=0，则𝑥=−5∴𝐶(−5,0)∴𝑂𝐶=5．在Rt△𝑂𝐶𝐸中，tan∠𝐸𝐶𝑂=𝑂𝐸=由（1）得 ∴

=

=2𝑂𝐶⋅𝑂𝐸=2×5×10=∴×

|= ∴𝑦𝐹=±在𝑦=−8中，当𝑦=2时，𝑥=−4，此时𝐹(−4,2)；当𝑦=−2时，𝑥=4，此时𝐹(4,−2)．03】（2026·湖北黄石·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏𝑦=4的图象相交于点(3)根据图象，直接写出不等式𝑥<𝑘𝑥+𝑏<0【答案】(1)𝐴(1,4)(2)𝑦=2𝑥+(3)−2<𝑥<运用反比例函数解析式求出点𝐴、𝐵【详解】（1）解：将𝑥=1代入𝑦=𝑥，得𝑦=将𝑦=−2代入𝑦=𝑥，得𝑥=4=𝑘+（2）解：将𝐴(1,4)，𝐵(−2,−2)代入𝑦=𝑘𝑥+𝑏−2=−2𝑘𝑏𝑘=𝑏=2∴一次函数的解析式为𝑦=2𝑥+（3）解：不等式𝑥<𝑘𝑥+𝑏<0，意味着反比例函数图象低于一次函数的图象，且两个函数的图象都在𝑥将𝑦=0代入𝑦=2𝑥2，得0=2𝑥2，解得：𝑥=−1，由图象可知，不等式𝑥<𝑘𝑥+𝑏<0的解集为−2<𝑥<04（2026·山东临沂·模拟预测𝑦1=𝑘𝑥+𝑏与反比例函数𝑦2=1交于𝐴(𝑚,2)和𝐵(−3,𝑛)m、n(2)直接写出当𝑘𝑥+𝑏>−𝑥时，x△𝑚=【答案】 𝑛=𝑚= 1=3𝑥+(2)−3<𝑥<−2或𝑥>ABABm、nAB的坐标，再把AB的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；设直线𝐴𝐵xCC的坐标，根据𝑆△𝐴𝑂𝐵=𝑆△𝐴𝑂𝐶−𝑆△𝐵𝑂𝐶

=𝑘𝑥+𝑏与反比例函数

=−1交于𝐴(𝑚,2)和𝐵(−3,𝑛) ∴2=−𝑚，𝑛= ∴𝑚=−2，𝑛=∴𝐴−2,2

−1𝑘+𝑏=把𝐴−2,2𝑘=

−3𝑘+𝑏=1𝑏=7 1=3𝑥+ （2）解：由函数图象可知，当𝑘𝑥+𝑏>−𝑥时，x的取值范围为−3<𝑥<−2或𝑥>（3）解：如图所示，设直线𝐴𝐵x 1=𝑥+中，

1=0时，𝑥=∴𝑂𝐶=

=

△𝐵𝑂𝐶=2×3.5×2−2×3.5×3=04】（2025·江苏连云港·二模）如图，已知点𝐴(𝑎,6)在直线𝑦=3𝑥上，双曲线𝑦=𝑘(𝑘≠0)点𝑀(𝑥,𝑏),𝑁(𝑥,𝑏)分别在直线𝑦=3𝑥和双曲线𝑦=

𝑥>𝑥b 𝑥上，当 B在线段𝑂𝐴上（A点重合），AB顺时针旋转90⁰CC𝑦=𝑘(𝑥>0)C【答案】(1)𝑦=−6<𝑏<0或𝑏>𝑥（1）把𝐴(𝑎,6)代入𝑦=3𝑥可得𝑎=2，即𝐴(2,6)；把𝐴(2,6)代入𝑦=𝑥

kΔ𝐴𝐵𝐹，则设点𝐵(𝑛,3𝑛),𝐸𝐶=𝐵𝐹=6−3𝑛，𝐵𝐸=𝐴𝐹=2−𝑛，得到点𝐶(6−2𝑛,4𝑛−2)，根据反比例函数图象【详解】（1）解：把𝐴(𝑎,6)代入𝑦=3𝑥，得6=3𝑎，解得𝑎=把𝐴(2,6)代入𝑦= 𝑘=2×6=𝑥∴双曲线的函数表达式为𝑦=（2）直线𝑦=3𝑥

𝑥

交于点𝑦=𝑥(𝑘≠∴另一个交点为∵点𝑀(𝑥,𝑏),𝑁(𝑥,𝑏)分别在直线𝑦=3𝑥和双曲线𝑦= 𝑥当𝑥1>𝑥2时，−6<𝑏<0或𝑏>（3）𝐵作𝐸𝐹∥𝑦轴，过点𝐶作𝐶𝐸𝐸𝐹于点𝐸，过点𝐴作𝐴𝐹𝐸𝐹于点𝐹,∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐵𝐹𝐴=∴∠𝐸𝐶𝐵+∠𝐸𝐵𝐶=90⁰，∵点𝐴绕点𝐵顺时针旋转∴∠𝐴𝐵𝐶=90°,𝐵𝐶=∴∠𝐶𝐵𝐸+∠𝐴𝐵𝐹=∴∠𝐸𝐶𝐵=∴△𝐵𝐶𝐸≌△设点𝐵(𝑛,3𝑛),𝐸𝐶=𝐵𝐹=6−3𝑛,𝐵𝐸=𝐴𝐹=∴点∵点𝐶∴(4𝑛−2)(6−2𝑛)==解得 3𝑛=2=2∴6−2𝑛=3,4𝑛−2=∴点比例函数𝑦=𝑥的图象上，连接𝐴𝐵，且∠𝐵𝐴𝑂=k平移线段𝐴𝐵A的对应点C落在反比例函数𝑦𝑥B的对应点D落在x(3)在反比例函数𝑦=𝑥EE在直线𝐴𝐵的下方．设直线𝐴𝐸与直线𝑂𝐵F𝐴𝐹=2𝐸𝐹E【答案】(1)𝑘=𝐸(−2,−2)或𝐸−1,−8或（1）设线段𝐴𝐵交𝑦轴于点𝐺，得到𝐺(0,3)，求出𝐴𝐵的解析式为𝑦=𝑥3，求得𝐵(1,4)（2）求出𝐶(−1,−4)和𝐷(3,0)，得到𝐴𝐷=6（3）∵∠𝐵𝐴𝑂=45⁰，∠𝐴𝑂𝐺=𝐴𝑂𝐺∴𝐴𝑂=𝑂𝐺=设直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=𝑘′𝑥+𝑏𝑏=−3𝑘′+𝑏=0𝑏=𝑘′=1∴𝑦=𝑥+∴𝑚3=4，解得𝑚=1，∴4=∴𝑘=（2）解：∵𝐵(1,4)D落在𝑥∴𝐵(1,4)4∵𝐴(−3,0)的对应点为点∵C落在反比例函数𝑦=𝑥∴𝐴24∴𝐴𝐷=∴四边形𝐴𝐶𝐷𝐵的面积为2

1×6×4=（3）解：设𝐸

直线𝑂𝐵的解析式为𝑦=当点𝐸当点𝐸是𝐴𝐹的中点时，𝐹2𝑛+ ∴4(2𝑛+3)=解得𝑛=−2或𝑛=2（舍去 当𝐴𝐹2𝐸𝐹时，𝑛+3=3，4= ∴𝑥=3𝑛−1,𝑦=∴𝐹2∴42𝑛−1=8 解得𝑛=2（舍去） 𝑛=∴𝐸−2,−8当点𝐸 当𝐴𝐹2𝐸𝐹时，𝑛+3=3，4= ∴𝑥=3𝑛−1,𝑦=∴𝐹2∴42𝑛−1=8 解得𝑛=2或𝑛=−2（舍去当点𝐸是𝐴𝐹的中点时，𝐹2𝑛+ ∴4(2𝑛+3)=解得𝑛=−2（舍去）或𝑛=∴𝐸1,16，此时点E在直线𝐴𝐵的上方，不符合题意，舍综上可知，𝐸(−2,−2)或𝐸−1,−8或

𝑦=

Rt△OABCABDOAxRt△OAB8kx的不等式𝑘＞𝑚𝑥+𝑏【分析】（1）Rt△OAB=1×2m×2n＝8当∠AOB＝45OB的表达式为：y＝x，故（1）m＝n【详解】解：（1）C（m，n），Rt△OAB=1×mn＝4，OBmn＝m2＝4，C（2，2），由（1）知，反比例函数的表达式为：y=x＝4时，y＝1由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为 =−（3）观察函数图象知，不等式𝑘＞𝑚𝑥𝑏的解集为：x＞401】（2025·陕西渭南·一模）如图，一次函数𝑦1=𝑥+𝑏（b为常数）y轴交于点与反比例函数𝑦=

k为常数，且𝑘≠0）B、𝐶(1,𝑎)，连接 (1)【答案】(1)一次函数的表达式为𝑦1=𝑥+2，反比例函数的表达式为𝑦2=(2)存在，点𝑀的坐标为𝑀1(0,10)，𝑀2(0,−（2）分𝑂𝐶=𝑂𝑀，𝑂𝐶=𝑀𝐶【详解】（1）将𝐴(0,2)代入𝑦1=𝑥𝑏中，得𝑏=∴一次函数的表达式为𝑦1=𝑥𝐶(1,𝑎)∴𝑎=1+2=将𝐶(1,3)代入𝑦=

𝑘=3×1= 𝑥∴反比例函数的表达式为

=如图，过点𝐶作𝐶𝐷𝑥轴于点12+由勾股定理得：𝑂𝐶12+①如图，当𝑂𝐶=𝑂𝑀=10时，点𝑀的坐标为𝑀1(0,10)，𝑀2(0,−②如图，当𝑂𝐶=𝑀𝐶=10时，过点𝐶作𝐶𝐻𝑦轴于点𝐻，易证四边形𝐶𝐻𝑂𝐷为矩形，则𝑀𝐻=𝑂𝐻=𝐶𝐷=3，𝑂𝑀=2𝑂𝐻=6，点𝑀的坐标为综上所述，存在满足要求的点𝑀，点𝑀的坐标为𝑀1(0,10)，𝑀2(0,−02】（2024•章丘区一模）A，By=𝑘（x＞0）A⊥xCBBD⊥xD，OD＝DCAO，BO，ABAOBDE，OA=5，tan∠AOC=求△ABEABm（m＞0）y=𝑘（x＞0）m【分析】（1）AC，OCADEBEAB的函数解析式，再确定平移后的函数解析式，和反比例函数联立，转化为一元二次方程，根据Δ＝0求得．【详解】解：（1）Rt△AOC∵tan∠AC=𝐴𝐶= ∴k2+（2k）2＝（∴1=∴𝑦=∴y=2=2=

=1，

=𝐴𝐶= ∴BE＝BD﹣DE＝2 ∴𝑆△𝐴𝐵𝐸

− =×× =3；（3）AB𝑚+𝑛=∴2𝑚+𝑛=𝑚=∴𝑛= 由﹣x+（3﹣m）=2∴m1＝3﹣22，m2＝3+22（舍去∴𝑚=3−2【变式03】Rt△𝐴𝐵𝐶在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函

在第一象限内的图象与𝑦=𝑥(𝑘>边交于点𝐷(𝑚,2)，与𝐵𝐶边交于点𝐸(𝑛,4)𝐵𝐷𝐸𝑚与𝑛(2)当tan∠𝐵𝐴𝐶=2时，求反比例函数的解析式和直线𝐴𝐵(3)𝑃是线段𝐴𝐵边上的点，在（2）𝑃，以𝐵，𝐶，𝑃为顶点的三角形与𝐵𝐷𝐸相似？若存在，求出此时点𝑃的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)𝑚=(2)𝑦=𝑥，𝑦=（1）根据反比例函数𝑦=𝑥上点的横纵坐标之积为𝑘，得𝑘=2𝑚=4𝑛，化简得𝑚= （2）过𝐷作𝐷𝐹⊥𝐵𝐶于𝐹，由tan∠𝐵𝐴𝐶=2得𝐷𝐹=2，结合△𝐵𝐷𝐸面积为2列方程求𝑛=1，进而得𝑚=2𝑘=4B、𝐷两点坐标求直线𝐴𝐵分𝐵𝐸𝐷𝐵𝐶𝑃𝐵𝐸𝐷𝐵𝑃𝐶两种情况，作𝑃𝐺𝐵𝐶，利用相似三角形的对应边成比例求𝑃𝐺的【详解】（1）解：∵点𝐷(𝑚,2)、𝐸(𝑛,4)在反比例函数𝑦=𝑥∴𝑘=𝑥𝑦，即𝑘=2𝑚，𝑘=∴2𝑚=4𝑛，化简得𝑚=（2）如图，过点D作𝐷𝐹𝐵𝐶𝐹在Rt△𝐵𝐷𝐹中，tan∠𝐵𝐷𝐹=tan∠𝐵𝐴𝐶=𝐵𝐹= 由点𝐷(𝑚,2)、𝐸(𝑛,4)知𝐷𝐹=4−2=2，𝐸𝐹=𝑚−𝑛=2𝑛−𝑛=故𝐵𝐹=∵

2×𝐷𝐹

1×2=1，𝐵𝐸=𝐸𝐹+𝐵𝐹=𝑛+△𝐵𝐷𝐸=2𝐵𝐸⋅𝐷𝐹=2(𝑛+1)⋅2=∴𝑛=∵点𝐸(𝑛,4)在反比例函数𝑦=𝑥∴𝑘=4𝑛=∴反比例函数的解析式𝑦=由𝐸(𝑛,4)知，𝐶𝐸=1，则𝐵𝐶=𝐵𝐸𝐶𝐸=𝑛+1+1=设直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=𝑝𝑥+𝑞BD3𝑝+𝑞=2𝑝𝑞=2，解得𝑝=2,𝑞=∴直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=（3）如图，作𝑃𝐺𝐵𝐶𝐺 ①当△𝐵𝐸𝐷∽△𝐵𝐶𝑃时，∠𝐵𝐸𝐷=∠𝐵𝐶𝑃，𝐵𝐶=∴𝐷𝐹⊥𝐵𝐶，𝑃𝐺⊥∴∴△𝐵𝐷𝐹∽△ ∴𝐵𝐶= 𝐵𝐶=𝑃𝐺即3=∴𝑃𝐺=∴ ②当△𝐵𝐸𝐷∽△𝐵𝑃𝐶时，𝐵𝑃= ∴𝐵𝑃=6∴𝐵𝑃= 𝑃𝐺=𝐵𝑃即

5=∴𝑃𝐺=∴04】在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，反比例函数𝑦=𝑘(𝑥>0)的图象与等腰直角三角形𝑂𝐴𝐵∠𝑂𝐵𝐴=90⁰，𝑂𝐴=1，若反比例函数的图象恰好经过𝑂𝐴𝐵B在（1）A作𝐴𝑄𝑂𝐵Q，连接𝐵𝑄𝑂𝐵𝑄Q的 2，若反比例函数的图象交△𝑂𝐴𝐵的边𝑂𝐵C，且𝑂𝐵=3P满足𝑂𝐶𝑃3P的坐标【答案】(1)𝑦=9，点Q的坐标为3+32,32−3【分析】（1）B作𝐵𝐻𝑂𝐴HB的坐标，利用待定系数法求（2）Q作𝑄𝑀𝑥M，求出直线𝑂𝐵的解析式是𝑦𝑥和直线𝐴𝑄的解析式为𝑦=𝑥−6，与反比例函数解析式联立得到点Q的坐标为3+32,32−3，则𝑄𝑀=32−3,𝑂𝑀=3+32，利用𝑆△𝑂𝐵𝑄=𝑆△𝑂𝐵𝐻+𝑆梯形𝐵𝐻𝑀𝑄−𝑆△𝑂𝑀𝑄=𝑆梯形𝐵𝐻𝑀𝑄（3）求出𝑂𝐶=2𝑂𝐵=22C作𝐶𝑁𝑂𝐴N，得到𝐶𝑁=𝑂𝑁=2P作𝑃𝑅𝑥R出反比例函数解析式为𝑦=𝑥，由（2）可知，𝑆△𝑂𝐶𝑃=𝑆梯形𝐶𝑁𝑅𝑃=3mP的坐标【详解】（1）B作𝐵𝐻⊥𝑂𝐴𝑂𝐴𝐵是等腰直角三角形，∠𝑂𝐵𝐴=90⁰，𝑂𝐴=∴𝑂𝐻=𝐵𝐻=𝐴𝐻

1𝑂𝐴=∴B的坐标为∵反比例函数的图象恰好经过𝑂𝐴𝐵∴3=解得𝑘=∴反比例函数的表达式为𝑦=Q作𝑄𝑀⊥𝑥设直线𝑂𝐵的解析式是𝑦=𝑘𝑥B3=解得𝑘=∴直线𝑂𝐵的解析式是𝑦=∵𝐴𝑄∥∴可设直线𝐴𝑄的解析式为𝑦=𝑥𝑏A的坐标(6,0)0=6+𝑏，解得𝑏−6，∴直线𝐴𝑄的解析式为𝑦=𝑦=

𝑦=+3+3解得𝑦=

𝑥=3−3𝑦=−32−3（不合题意，舍去∴点Q的坐标为3+32,32−3∴𝑄𝑀=32−3,𝑂𝑀=3+3∴𝑆△𝑂𝐵𝑄=𝑆△𝑂𝐵𝐻+𝑆梯形𝐵𝐻𝑀𝑄=𝑆梯形𝐵𝐻𝑀𝑄

2(𝑂𝑀−𝑂𝐻)(𝑄𝑀+𝐵𝐻)

3+32−332−3+3=𝑂𝐴𝐵是等腰直角三角形，∠𝑂𝐵𝐴=90⁰，𝑂𝐴=∴𝑂𝐵=2𝑂𝐴=3∵𝐵𝐶= ∴𝑂𝐶= ∴𝑂𝐶

2𝑂𝐵=2C作𝐶𝑁⊥𝑂𝐴N，则𝐶𝑁=𝑂𝑁=2𝑂𝐶=2P作𝑃𝑅⊥𝑥∴C的坐标是∴2=2，解得𝑘=∴反比例函数解析式为𝑦=设点P的坐标为 则𝑃𝑅=4,𝑁𝑅=由（2）可知，𝑆△𝑂𝐶𝑃=𝑆梯形𝐶𝑁𝑅𝑃=2×|𝑚−2|×2

=解得：𝑚=−1（不合题意，舍去）或𝑚=4或𝑚=1或𝑚=−4（不合题意，舍去∴P的坐标为(1,4)或【变式例函数𝑦=2(𝑥>0)的图象上一点，点𝑁是一次函数𝑦=−𝑥+2(1)连接𝑂𝐴，与一次函数𝑦=−𝑥+2的图象相交于点连接𝐴𝑀,𝑀𝑁，若点𝑀在直线𝑂𝐴的上方，当四边形𝐴𝑀𝑁𝐵是矩形时，求𝑀𝑁(2)连接𝐴𝑀,𝑀𝑁,𝐴𝑁，是否存在点𝑁𝐴𝑀𝑁为等边三角形？若存在，求出满足条件的点𝑁的坐标；若不【答案】(1)𝐴𝐵的长为2，𝐵(1,1)；𝐴𝑀(2)满足条件的点𝑁的坐标为(3−3,3−1)或(3−1,3−（1）①先利用点𝑂(0,0)和𝐴(2,2)的坐标求出直线𝑂𝐴的解析式为𝑦=𝑥，再将其与一次函数𝑦=−𝑥+2联立，是矩形的性质，得出𝑀𝑁=𝐴𝐵且𝑀𝐴⊥𝑂𝐴；再由直线𝑂𝐴的解析式𝑦=𝑥推出直线𝐴𝑀的解析式为𝑦=−𝑥+4，将其与反比例函数𝑦=𝑥联立求解，结合点𝑀在直线𝑂𝐴上方的条件确定𝑀𝑀𝐺⊥𝑙点𝐺)，利用等边三角形的性质和直线与直线的交点求解(联立直线方程得𝐺坐标)，推导𝐴𝑀与𝑀𝐺的数量关系；接着分点𝑀在直线𝑂𝐴下方和上方两种情况，结合对称性(直线𝑦−𝑥2与反比例函数关于𝑦𝑥对称，点𝐴在𝑦=𝑥上)，通过坐标关系(如𝑥𝑁+𝑥𝑀=4)和方程求解(代入反比例函数表达式列方程)，最终确定【详解】（1）解：(i)设直线𝑂𝐴的解析式为𝑦=𝑘𝑥2=2𝑘+ 𝑏= 𝑘=𝑏=0∴直线𝑂𝐴的解析式为𝑦=联立𝑂𝐴与一次函数𝑦=−𝑥+2𝑦=𝑦=−𝑥+2𝑥=𝑦=1所以点𝐵的坐标为(2−1)2+∴𝐴𝐵的长为𝐴𝐵(2−1)2+(ii)∴𝑀𝑁=𝐴𝐵=2，𝑀𝐴∥∵直线𝐵𝑁的表达式为𝑦=−𝑥∴设直线𝐴𝑀的表达式为𝑦=−𝑥∴2=−2𝑏，解得𝑏=∴直线𝐴𝑀的表达式为𝑦=−𝑥𝑦=−𝑥+联 𝑦=𝑥=2

𝑥=解得𝑦= 或𝑦=2 2−2− +2−2 2−2− +2−2+∴𝐴𝑀

=∴𝐴𝑀=

=（2）解：存在点𝑁使得𝐴𝑀𝑁为等边三角形，理由如下：设直线𝑦=−𝑥+2为直线𝑙，令𝑦=0得，0=−𝑥+2，令𝑥=0得，𝑦=−0𝑥= 𝑥=∴𝑦=0，𝑦=2∴直线𝑙与两坐标轴的坐标为(0,2)，(2,0)即直线𝑙与两坐标轴围成了等腰Rt∵直线𝑂𝐴的解析式为𝑦=∴𝑂𝐴⊥𝑙，𝐵𝐶=𝐷𝐶，过点𝑀作𝑀𝐺𝑙点∴𝑀𝐺𝑙，设点𝑀𝑡,

(𝑡>0),，设直线𝑀𝐺的表达式为𝑦=𝑥

=

+

=

+𝑡2−4𝑡−𝑡+8=

+𝑡2−2𝑡−𝑡+4,𝑚=𝑦=𝑥+2联 𝑦=−𝑥+𝑥=𝑡+2− 𝑦=−𝑡+2+1

−1,−𝑡+2

则

=2+𝑡2−2𝑡−𝑡∴𝐴𝑀2=2𝐺𝑀2，即𝐴𝑀=①如图，当点𝑀在直线𝑂𝐴下方时.过点𝑀作𝑀𝐻𝑥轴，交直线于点∴∠𝐻𝑀𝐺=∴在Rt𝐻𝑀𝐺∴𝐻𝑀=2𝐺𝑀=𝐴𝑀𝑁∴𝐴𝑀=𝑀𝑁=𝐴𝑀𝑁是等边三角形，𝑀𝐻𝑥

=𝑥𝑁+𝑥𝑀即

+

=

∴设𝑁(𝑛,−𝑛2)，则𝑀(4−𝑛,−𝑛∵点𝑀在双曲线𝑦=

2(2>0)∴(4−𝑛)(−𝑛+2)=解得𝑛1=3−3,𝑛2=3+3(舍去∴𝑁1(3−3,∵直线𝑦=−𝑥+2和反比例函数图象都关于直线𝑦=𝑥对称，点𝐴(2,2)在直线𝑦=𝑥∴由对称性得点𝑁1关于直线𝑦=𝑥的对称点也满足题意，∴𝑂𝑁1=𝑂𝑁2，𝐵𝑁2=∵𝐵𝐶=∴𝐶𝑁2=∵𝑂𝐶=𝑂𝐷=∴△𝑂𝐶𝑁2≌△∴△𝑂𝐶𝑁2与△𝑂𝐷𝑁1对应边𝑂𝐶与𝑂𝐷边上的高相等，即𝑁1的纵坐标等于𝑁2∴将𝑥=3−1代入𝑦=−𝑥+2中得𝑦=−(3−1)+2=3−∴𝑁2(3−1,3−综上所述，满足条件的点𝑁的坐标为(3−3,3−1)或(3−1,3−题型 反比例函数与四边形的综

的图象上．𝐴𝐷𝑥轴，点

𝑦=2𝑥+𝑦=𝑥(𝑥>若将▱𝐴𝐵𝐶𝐷向下平移，当点C落

𝑦=𝑥(𝑥>【答案】(1)𝑦=1𝑥−1，𝑦=

𝑦=，设点向下平移的距离为【详解】（1）解：∵点𝐵(3,1)在一次函

𝑦=2𝑥+ ∴1=2×3+𝑏，解得𝑏= ∴一次函数解析式为𝑦=𝑥点𝐵(3,1)在反比例函数𝑦=𝑥∴1=3，解得𝑘=∴反比例函数的解析式为𝑦=（2）四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴𝐴𝐷∥𝑥∴𝐵𝐶𝑥∵点∴A当𝑦=2时 2=∴𝑥=∴𝐴𝐷=𝐵𝐶=8−5=∴点𝐴𝐵𝐶𝐷C落在𝑦=

(𝑥>0)∴a，则平移后的点6(1−𝑎)=3，解得𝑎=∴平移的距离为01】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数𝑦=2𝑥+𝑚x轴，y𝐴(−3,0)，B两点，与反比例函数𝑦=𝑘(𝑘≠0)的图象交于点mk已知四边形𝑂𝐵𝐷𝐸P在反比例函数𝑦𝑘(𝑘≠0)𝑂𝐵𝑃方形𝑂𝐵𝐷𝐸P【答案】(1)𝑚=6，𝑘=(2)（1）把𝐴的坐标代入𝑦=2𝑥+𝑚，即可求出𝑚=6，把𝐶(1,𝑛)代入𝑦=2𝑥+6，求出𝑛=8，把𝐶(1,8)𝑦=𝑥，求出𝑘=（2）设𝑃

8，由△𝑂𝐵𝑃的面积等于正方形𝑂𝐵𝐷𝐸面积的一半，得到

1𝐵2，求解 2𝑂𝐵⋅(−𝑏)=【详解】（1）一次函数𝑦=2𝑥+𝑚的图象过∴2×(−3)+𝑚=∴𝑚=𝐶(1,𝑛)在函数𝑦=2𝑥6∴𝑛=2×1+6=∵𝐶(1,8)在函数𝑦=𝑥∴𝑘=（2）解：设𝑃的坐标是8𝑂𝐵𝑃的面积等于正方形𝑂𝐵𝐷𝐸∴ 12𝑂𝐵⋅(−𝑏)= ∴𝑏=−𝑂𝐵= ∴𝑏=∴𝑃的坐标是(−6,−02】如图，在矩形𝑂𝐴𝐵𝐶中，𝑂𝐴=8，𝑂𝐶=6，反比例函数𝑦=𝑘(𝑥>0)的图象与𝐵𝐶，𝐴𝐵𝑀，𝑁两点，且𝑀𝐵=(2)设点𝑃为线段𝑂𝐴上一点，若𝐶𝑃=𝑃𝑁，求点𝑃【答案】(1)𝑦=（1）根据矩形的性质以及𝑀𝐵=2𝑀𝐶M8,6，然后代入𝑦= 𝑥（2）N的坐标为(8,2)，可得𝐴𝑁2P的坐标为(𝑚,0)，则𝑂𝑃=𝑚，𝐴𝑃=8−𝑚，根据勾股定理以及𝐶𝑃=𝑃𝑁m的方程，即可求解．【详解】（1）解：在矩形𝑂𝐴𝐵𝐶中，∵𝑂𝐴=8，𝑂𝐶=∴𝐵𝐶=𝑂𝐴=8，𝐵𝐶𝑦∵𝑀𝐵=∴𝑀𝐶=∴点M的坐标为8,6∵M在反比例函数𝑦=𝑘(𝑥>0)∴6=8，解得：𝑘=∴反比例函数的解析式为𝑦

𝑥（2）解：当𝑥=8时，𝑦=16=∴N的坐标为∴𝐴𝑁=P的坐标为(𝑚,0)，则𝑂𝑃=𝑚，𝐴𝑃=∵𝑃𝐶2=𝑂𝑃2+𝑂𝐶2=𝑚2+36，𝑃𝑁2=𝐴𝑃2+𝐴𝑁2=(8−𝑚)2∵𝐶𝑃=∴𝑚2+36=(8−𝑚)2+4，解得：𝑚=2，∴P的坐标为【变式03】（2025·甘肃临夏·二模）如图，反比例函数𝑦=𝑘(𝑘≠0)的图象与正比例函 4的图象相 𝑦=于点点D的坐标

4的解集 𝑥> 已知𝐴𝐵𝑥轴，以𝐴𝐵,𝐴𝐷为边作菱形𝐴𝐵𝐶𝐷，求菱形𝐴𝐵𝐶𝐷【答案】(1)

3𝑥<−3或0<𝑥< 作𝐴𝐻𝐶𝐷于𝐻，由勾股定理求出𝐴𝐷【详解】（1）解：将𝐴(𝑎,2)

𝑎=𝑦=3𝑥得∴𝑎=∴𝐴3,2∴𝐷−2,−22,−2（2）解：将𝐴3,2代入𝑦=𝑘(𝑘≠0)

𝑘=2×2=即反比例函数解析式为：𝑦= 由图象知，当𝑥<−或0<𝑥<

4 2时，𝑥> 故答案为：𝑥<−2或0<𝑥<（3）解：作𝐴𝐻𝐶𝐷于

2,2,𝐷−2,−2∴𝐴𝐻=4,𝐷𝐻=𝐴𝐻2+由勾股定理得，𝐴𝐷𝐴𝐻2+∴𝐷𝐶=𝐴𝐷=∴菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为5×4=04】（2026·四川成都·一模）如图，反比例函数𝑦=

𝑦=𝑚𝑥+𝑛的图象相交于𝐴(𝑎,1)𝑥 (2)如图，直线𝑂𝐴与反比例函数𝑦=𝑥的图象的另一个交点为点𝐶，点𝑀在反比例函数𝑦=𝑥当𝐴𝐶𝑀8时，求点𝑀=【答案】(1)𝑦=−𝑥，𝑦=𝑥+M

或Q3𝑥【分析】（1）将点𝐵(−1,3)代入𝑦=𝑥

𝐴(−3,1)A、B代入𝑦=𝑚𝑥+

=2×|3−𝑡|1

=4tM（3）设𝑃(𝑥,0)，𝑄

【详解】（1）解：将点𝐵(−1,3)代入𝑦=∴𝑘=∴𝑦=∴𝑎=A、B代入𝑦=𝑚𝑥+−3𝑚+𝑛=∴−𝑚+𝑛=3𝑚=解得𝑛=4∴𝑦=𝑥+（2）解：连接∵直线𝑂𝐴C∴A、C∴O是𝐴𝐶𝐴𝐶𝑀𝑂𝐶𝑀=设𝑀 𝐶𝑂𝑀

=2×|3−𝑡|

1

=当𝑡>3时，解得𝑡=∴𝑀 当0<𝑡<3时，解得𝑡=综上所述：M

或设𝑃(𝑥,0)，𝑄 1=解得𝑏=∴𝑄−2,2

−𝑏=

1−𝑏=解得𝑏=∴𝑄3,−2∵点𝑄在反比例函数𝑦=−𝑥∴𝑄3,−205】（2025·河北唐山·模拟预测）矩形𝐴𝑂𝐵𝐶中，𝑂𝐵=4，𝑂𝐴=1．分别以𝑂𝐵，𝑂𝐴xy1所示的平面直角坐标系．F是𝐵𝐶边上一个动点（B，C重合），F𝑦=𝑘(𝑘>0)的图象与边𝐴𝐶F运动到边𝐵𝐶E2，将𝐶𝐸𝐹沿𝐸𝐹C恰好落在边𝑂𝐵G【答案】(2)tan∠𝐸𝐹𝐶=(3)𝑦=【分析】（1）根据题意易得点𝐵、𝐶F的坐标，利用待定系数法求出𝑘的E的坐标；F、E的坐标，进而得到𝐶𝐹、𝐶𝐸的值，再利用tan∠𝐸𝐹𝐶𝐶𝐹E作𝐸𝐻𝑂𝐵H，则𝐸𝐻=𝑂𝐴、∠𝐸𝐻𝐺=∠𝐺𝐵𝐹=90⁰，根据折叠的性质得到𝐸𝐺=𝐶𝐸 𝐹𝐺=𝐶𝐹、∠𝐸𝐺𝐹=∠𝐶=90⁰，易证得△𝐸𝐻𝐺∽△𝐺𝐵𝐹，根据相似三角形的性质得到𝐵𝐺=𝐹𝐺=𝐶𝐹到𝐵𝐺=4，在Rt△𝐹𝐵𝐺k【详解】（1）𝑂𝐵=4、𝑂𝐴=𝐵(4,0)、F是边𝐵𝐶∴𝐹 ∵F在反比例函数𝑦=𝑘(𝑘>0) ∴4=∴𝑘=∴反比例函数的解析式为𝑦= 将𝐸点的纵坐标1代入𝑦=𝑥得：𝑥=∴𝑥=∴∵𝐹点的横坐标为∴𝐹 ∴𝐶𝐹=𝐵𝐶−𝐵𝐹=1−4

4∵𝐸点的纵坐标为∴∴𝐶𝐸=𝐴𝐶−𝐴𝐸=在Rt△𝐶𝐸𝐹中，tan∠𝐸𝐹𝐶=𝐶𝐸=4−𝑘=

E作𝐸𝐻𝑂𝐵H∴𝐸𝐻=𝑂𝐴=1、∠𝐸𝐻𝐺=∠𝐺𝐵𝐹=90⁰，∴∠𝐸𝐺𝐻+∠𝐻𝐸𝐺=由折叠可知，𝐸𝐺=𝐶𝐸、𝐹𝐺=𝐶𝐹、∠𝐸𝐺𝐹=∠𝐶=∴∠𝐸𝐺𝐻+∠𝐵𝐺𝐹=∴∠𝐻𝐸𝐺=∵∠𝐸𝐻𝐺=∠𝐺𝐵𝐹=∴△𝐸𝐻𝐺∽△ ∴𝐵𝐺=𝐹𝐺=∴

=∴𝐵𝐺=在Rt△𝐹𝐵𝐺中，𝐹𝐺2−𝐵𝐹2=

∴𝑘=8∴此时反比例函数的解析式为𝑦=题型 反比例函数与圆的综【典例01】如图，点𝑃在反比例函

的图象上，以点𝑃为圆心的⊙𝑃与两坐标轴都相切，𝐸为𝑦=𝑥(𝑥>轴负半轴上的一点，𝑃𝐹𝑃𝐸交𝑥轴于点𝐹，连接点𝑃的坐标 若𝑂𝐸⋅𝑂𝐹=3，则𝐸𝐹的长 【答案 【分析】（1）过点𝑃分别向𝑥轴、𝑦轴作垂线，垂足分别为点𝐴,𝐵，根据𝑃𝐴=𝑃𝐵且𝑃𝐴𝑃𝐵=4𝑃𝐴=𝑃𝐵=2（2）先证明△𝐵𝑃𝐸≌△𝐴𝑃𝐹，得出𝐴𝐹=𝐵𝐸，根据𝐸𝐹2=𝑂𝐹2+𝑂𝐸2=(𝑂𝐹−𝑂𝐸)2+2𝑂𝐸⋅𝑂𝐹𝑂𝐹−𝑂𝐸=𝑂𝐴+𝐴𝐹−𝑂𝐸=𝑂𝐴+𝑂𝐵=4，求出𝐸𝐹2=42+2×3=22，即可得出𝐸𝐹=由题意，得𝑃𝐴=𝑃𝐵且𝑃𝐴𝑃𝐵=∴𝑃𝐴=𝑃𝐵=即点𝑃的坐标为（2）∵∠𝑃𝐵𝑂=∠𝑃𝐴𝑂=∠𝐴𝑂𝐵=∵𝑃𝐴=∴∠𝐴𝑃𝐵=∵𝑃𝐹⊥∴∠𝐸𝑃𝐹=∴∠𝐵𝑃𝐸+∠𝐴𝑃𝐸=∠𝐴𝑃𝐸+∠𝐴𝑃𝐹=∴∠𝐵𝑃𝐸=∵∠𝑃𝐵𝐸=∠𝑃𝐴𝐹=90⁰，𝑃𝐵=∴△𝐵𝑃𝐸≌△∴𝐴𝐹=∴𝑂𝐹−𝑂𝐸=𝑂𝐴+𝐴𝐹−𝑂𝐸=𝑂𝐴+𝐵𝐸−𝑂𝐸=𝑂𝐴+𝑂𝐵=∵𝐸𝐹2=𝑂𝐹2+𝑂𝐸2=(𝑂𝐹−𝑂𝐸)2+2𝑂𝐸⋅∴𝐸𝐹2=42+2×3=22，即𝐸𝐹=22，负值舍去．故答案为：22．【变式01】（2025河南驻马店三模）如图，反比例函数𝑦=𝑘(𝑥>0)图象经过点 𝐵(43,1)，已知⊙𝐴By轴相切于点𝐶(0,2)，连接𝑂𝐴⊙𝐴DP为⊙𝐴(3)𝐶𝑂𝑃44由题意，当𝑃𝐶为𝐴𝐶𝑂𝑃【详解】（1）解：∵反比例函数𝑦=𝑘(𝑥>0)图象经过点𝐵43,1∴𝑘= ×1=44∴𝑦=（2）连接𝐴y轴相切于点∴𝐴𝐶𝑦∴𝑦𝐴=4∴𝑥𝐴 =24∴𝐴23,2(23)(23)+

=4，𝐴𝐶=2∵𝑂𝐴𝐴∴𝐴𝐷=𝐴𝐶=2∴𝑂𝐷=𝑂𝐴−𝐴𝐷=4−2（3）作𝑃𝐻𝑦轴，由（2）𝐴的半径为23，则：𝑃𝐻≤𝑃𝐶， ∴𝑆△𝑂𝐶𝑃=2𝑂𝐶⋅𝑃𝐻≤2𝑂𝐶⋅∴当𝑃𝐶⊥𝑦轴，且𝑃𝐶最大时，𝑆△𝑂𝐶𝑃∴当𝑃𝐶为𝐴的直径时，此时𝑃𝐶𝑦轴，且𝑃𝐶的值最大为4𝐶𝑂𝑃

2𝑂𝐶⋅𝑃𝐶

2×2×

=4

的图像与直线𝑦=𝑥−2交于点𝐴(3,𝑚)𝑦=𝑥(𝑥>𝑦=𝑥−2x轴，yC、B（2）已知点𝑃(𝑛,𝑛)P

𝑦=𝑥(𝑥>

的图像上时，求△POA（3）Q在函数𝑦𝑘(𝑥>0)Q2为半径的⊙Q，当⊙Q与直线𝑦=Q【答案】（1）k=3，m=1；（2）3；（3）(3，3)或(2+7，【分析】（1）AmAA代k的值；到△POA的面积；（3）先通过直线𝑦𝑥−2B,COB=OC得出∠𝑂𝐵𝐶=∠𝑂𝐶𝐵=45⁰，然后分两种情况：当⊙Q在直线左侧与直线𝑦𝑥−2相切时和当⊙Q在直线右侧与直线𝑦=𝑥−2QM∥x轴交【详解】（1）∵点𝐴(3,𝑚)在直线𝑦=𝑥−2∴𝑚=3−2= 上𝑦=𝑥(𝑥>∴𝑘=3×1=3（2）∵点P在函

𝑦=𝑥(𝑥>∴𝑛2=3∴𝑛=3或𝑛=−3（舍去∴𝑃(∴𝑃(3,∴

△𝑃𝑂𝐴=3×

×3×

×(3−3)(

（3）当𝑥=0时，𝑦=𝑥−2=−2∴𝐵(0,−2),𝑂𝐵=2当𝑦=0时，𝑦=𝑥−2=0，解得𝑥=2,∴𝐶(2,0),𝑂𝐶=2∵𝑂𝐵=𝑂𝐶,∠𝐶𝑂𝐵=90⁰∴∠𝑂𝐵𝐶=∠𝑂𝐶𝐵=45⁰当⊙Q在直线左侧与直线𝑦=𝑥−2QM∥x轴交直线𝑦=𝑥−2M，QN⊥直线𝑦=𝑥−2∵QM∥x∴∠𝑄𝑀𝑁=∠𝑂𝐶𝐵=45⁰∵𝑄𝑁 ∴𝑄𝑀

=2 𝑄(𝑥,)，则

则有𝑥+2−𝑥=2解得𝑥=3或𝑥=−3（舍去当𝑥=3

𝑦=𝑥∴此时𝑄(3,同理，当⊙Q在直线右侧与直线𝑦=𝑥−2

+2)=解得𝑥=2+7𝑥=2−7（舍去当𝑥=2+7时 𝑦=𝑥=∴此时𝑄(27,综上所述，Q的坐标为(3,3)或(2+7,03y=2xy=𝑘(k＞0)A、BPC(-2，0)为圆心，1为半径的圆上，QAP的中点AO=5kOQ长的最大值为2kCy=ax2+bx+c同时满足以下两个条件：①a+b+c=0；②a≤x≤a+1y的4aa的值．【答案】（1）2；（2）25；（3）a的值为-32或-4设

𝑚2+𝑛2=𝑛= Ay=𝑥kOQPBPC时，BPB(t，2t)，则CD=t-(-2)=t+2，BD=-2ttk的值；根据题意写出抛物线的解析式为：y=ax2+ax-2a=a(x+1)2- a≤x≤a+1范围外，故存在，即可判定在 ，即可判定在x=a4ax=a+14a【详解】（1）∵AO=∵y=2xA∵A∵点∵点A在反比例函数y=(k＞0)的图象上∵QAP∵OQ长的最大值为∴BP∴BP长的最大值为2BPC时，BPBBD⊥x∵By=2xRt△BCD ∴B(-5，-∵点∵点B在反比例函数y=(k＞0)的图象上 8∴k=-5×(-又∴y=ax2+ax-2a=a(x+1)2- ∵-2＜a≤x≤a+1a≤x≤a+1＜-x=a4a，a•a2+a•a-2a=4a，a=-3x=a+14a，a(a+1)2+a(a+1)-2a=4a，a=-4a的值为-32或-404】（2025·河南漯河·二模）如图，在平面直角坐标系中，点𝑃

𝑦=𝑥(𝑥>

𝑃与𝑦A，B两点，与𝑥轴相切于点𝐶．连接𝑃𝐴，𝑃𝐵𝑃𝐴𝐵是等边三角形，且𝑃𝐴=过点𝐵作𝐵𝐷𝑥轴，交⊙𝑃于另一点𝐷，点𝐷⊙【答案】(1)𝑦=83(𝑥>（1）运用等边三角形的性质得𝐴𝐵𝑃𝐵𝑃𝐴4,∠𝐴𝑃𝐵60⁰8=23，结合切线的性质得点P的坐标为23,4，再代入求出反比例函数的表达式为𝑦=𝑥8（2）先证明四边形𝑀𝐵𝑁𝑃是矩形，得𝐵𝑁=𝑀𝑃=23D的横坐标为43M的坐标为得𝑂𝐵=𝑂𝑀−𝐵𝑀=2，即点D的坐标为43,2，根据 ×2=83，即可作答8（3）因为⊙𝑃与反比例函数的图象交于点E，F，故设点𝐹的坐标为 ，由（1）得点P823,4，运用两点的距离公式，列式(𝑚−23)

83

=16，得点𝐹43,2(0+43)×1=23,(2+6)×1=4，即𝐴,𝑃,𝐹90 【详解】（1）解：𝑃𝐴𝐵是等边三角形，且𝑃𝐴=∴𝐴𝐵=𝑃𝐵=𝑃𝐴=4,∠𝐴𝑃𝐵=1P作𝑃𝑀𝑦M，连接由三线合一得𝐴𝐵2𝐵𝑀，即𝑃𝐵=2𝐵𝑀，∴𝐵𝑀=则𝑃𝑀 =2𝑃与𝑦A，B两点，与𝑥轴相切于点∴𝑃𝐶𝑥∴P∴点P的坐标为23,4∵P 2∴把23,4代入𝑦=𝑥，得42解得𝑘=88∴反比例函数的表达式为𝑦=𝑥8∵𝑃𝐶𝑥轴，𝐵𝐷∥𝑥∴𝑃𝐶⊥𝐵𝐷，∠𝐴𝐵𝐷=∴𝐵𝑁=∵∠𝑃𝑀𝐵=∠𝑀𝐵𝑁=∠𝐵𝑁𝑃=∴𝐵𝑁=𝑀𝑃=23，即𝐵𝑁=𝑀𝑃=2∴𝐵𝐷=2𝐵𝑁=4D的横坐标为43，由（1）得𝐵𝑀=2，∴M的坐标为(0,4)，则𝑂𝐵=𝑂𝑀−𝐵𝑀=∴点D的坐标为43,2 ×2=8（3）解：∵⊙𝑃8∴设点𝐹的坐标为8由（1）得点P的坐标为23,4∴𝑃𝐹= 8 即(𝑚−23)

=∴解得𝑚=43（另一个小于𝑥𝑃=23，故舍去∴点𝐹的坐标为43,2∵由（1）得𝐵𝑀=2，且𝐴𝐵=∴𝐴的坐标为∵点P的坐标为23,4 (2+6) ∵(0+43)×2=2 ×2=∴∠𝐴𝐸𝐹90⁰．【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数与圆综合，求反比例函数的解析式，圆周角定理，等边三角051B，D是直线𝑦=𝑎𝑥（𝑎>0）两个动点（𝑂𝐷>𝑂𝐵），以线段𝐵𝐷为对角线作矩形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐷∥𝑥轴．反比例函数𝑦=𝑥(1)求证：函数𝑦=𝑥PO为圆心，𝐴𝐶长为半径作𝑂．若𝑂𝑃32，当⊙𝑂与△𝐴𝐵𝐶k的取值范【答案】(1)(2)𝑘=(3)6≤𝑘≤【分析】（1）设𝐵(𝑚,𝑚𝑎)，则𝐴 ，求出点 ，𝑚𝑎，代入函数解析式中，得出函数的图象必（2）证明𝐷𝐻𝐸𝐸𝐹𝐵k（3）根据⊙𝑂ABk

，𝑚𝑎∴D点的横坐标为 ∴将𝑦=𝑚代入𝑦=𝑎𝑥中得：𝑚=∴𝑥=

𝑚𝑎

，𝑎𝑚 将𝑥=𝑚𝑎代入𝑦=𝑥∴𝑦=∴函数𝑦=𝑥（2）解：∵点𝐵(2,1)在直线𝑦=𝑎𝑥∴𝑎=∴𝑦

∴A2，C∵函数𝑦=𝑥∴𝐶(𝑘,1)，𝐴2，∴𝐷𝑘，∴𝐴𝐵=𝐷𝐶

𝑘−1，𝐴𝐷=𝐵𝐶=∵把矩形𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐵𝐷A∴𝐵𝐸=𝐴𝐵

𝑘−1，∠𝐵𝐸𝐷=∠𝐵𝐶𝐷=

𝑘 = ==

D作𝐷𝐻⊥𝑥B作𝐵𝐹𝑥∴H，F，E∴∠𝐻𝐸𝐷+∠𝐵𝐸𝐹=90⁰，∠𝐸𝐵𝐹+∠𝐵𝐸𝐹=∴∠𝐻𝐸𝐷=∵∠𝐸𝐻𝐷=∠𝐸𝐹𝐵=∴△𝐷𝐻𝐸∽△

𝐵𝐹

=∵𝐵𝐹=1，𝐷𝐻=∴𝐻𝐸=2，𝐸𝐹=∴𝐻𝐹=2+由图知，𝐻𝐹=∴2+

=∴𝑘=3（3）解：∵把矩形𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐵𝐷CEE，A∴𝐴𝐶⊥∴∠𝐴𝐵𝑃=∠𝐷𝐵𝐶=∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐷𝐴

=2𝐴𝑃，𝐴𝑃=𝑃𝐶=𝐵𝑃

1𝐴𝐶，𝐴𝐶⊥∴直线𝑦=𝑎𝑥∴𝑦=当⊙𝑂BD作𝐷𝐻∥𝑥y∴H，A，D∵O为圆心，𝐴𝐶长为半径作⊙𝑂𝑂𝑃=3∴𝑂𝑃=𝑂𝐵+𝐵𝑃=𝐴𝐶+𝐵𝑃=2𝐴𝑃+𝐴𝑃=3𝐴𝑃=3∴𝐴𝑃=∴𝐴𝐵=𝐴𝐷=2𝐴𝑃=2，𝐷𝐵=2𝐴𝑃=22，𝐵𝑂=𝐴𝐶=2𝐴𝑃=2∴△𝐷𝐻𝑂∽△

∴𝐴𝐵=𝐴𝐷=∴𝐻𝑂=𝐷𝐻=22+2 2∴𝐻𝑂=𝐻𝐷=∴𝐻𝐴=𝐻𝐷−𝐷𝐴=4−2=∴𝑘=2×4=当𝑂AA，C关于直线𝑂𝐷𝑂C，如图所示，连接𝐴𝑂，𝐶𝑂D作𝐷𝐻∥𝑥yH，∵𝐴𝑂=𝑂𝐶=𝐴𝑂𝐶∴𝑂𝑃⊥∴∠𝐴𝑂𝑃

1×60⁰=∴𝐴𝑃=tan30⁰×𝑂𝑃=3×

=𝑃𝐷，𝐴𝐶=𝐵𝐷=2𝐴𝑃=2∴𝐴𝐵=𝐴𝐷=2𝐴𝑃=23，𝑂𝐷=𝑂𝑃+𝑃𝐷= +∴△𝐷𝐻𝑂∽△

∴𝐴𝐵=𝐴𝐷=22∴𝐻𝑂=𝐷𝐻=32+222∴𝐻𝑂=𝐻𝐷=3+∴𝐻𝐴=𝐻𝐷−𝐷𝐴=3+ =3−∴𝐴3−3，3 ∴𝑘=(3−3)×(3+3)=∴当𝑂与△𝐴𝐵𝐶的边有交点时，k的取值范围为6≤𝑘≤01】（2025·宁夏石嘴山·一模）如图，直线

=−𝑥+

都与双曲线𝑦= (1,𝑚)xB，C

2=4𝑥+

𝑥分别求出函数𝑦2与𝑦3 直接写出当𝑥>0时，不等式4𝑥+𝑏<𝑥Py轴上的一个动点，当𝐴𝑃𝐵𝑃P【答案】

=𝑥+ = (2)0<𝑥<(3)𝑃

A的坐标代入

=−𝑥+4mA的坐标代入𝑦=

，而求得𝑦2

𝑥

2=4𝑥+B、By轴对称点𝐵′(−4,0)，待定系数法求得直线𝐴𝐵′的解析式，进而求得𝑃的坐标，即【详解】（1）解：把𝐴(1,𝑚)代入𝑦1=−𝑥+4，可得𝑚=−14=把𝐴(1,3)代入双曲线𝑦=

𝑘=1×3=𝑥∴𝑦x之间的函数关系式为：𝑦=把𝐴(1,3)代入𝑦2=3𝑥+

，可得3=3∴𝑏= ∴𝑦2=4𝑥+（2） ∴当𝑥>0时，不等式4𝑥𝑏<𝑥的解集为：0<𝑥<（3）解：𝑦1=−𝑥+4，令𝑦=0，则𝑥=∴B的坐标为(4,0)By轴对称点 设直线𝐴𝐵′的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘1≠0)，代入 𝑘1+𝑏1=∴−4𝑘1+𝑏1=0

==12， ∴𝑦𝐴𝐵′=5𝑥+5当𝑥=0时，𝑦=5∴𝐴𝑃+𝐵𝑃=𝐴𝑃+𝐵′𝑃≥𝐴𝐵′，当𝐴𝑃+𝐵𝑃最小，即𝐴𝑃+𝐵𝑃=𝐴𝑃+𝐵′𝑃=𝐴𝐵′时，𝑃 【变式01】如图，平面直角坐标系中，直线𝑦=𝑎𝑥+𝑏交y轴于点𝐴0，−6，交x轴于点𝐵8，0，交反比例函数𝑦=𝑘(𝑥>0)C，其中𝐵𝐶=1． (2)P为线段𝐴𝐶P作𝑃𝑄𝑥Q，连接𝑂𝑃，𝑂𝑄𝑂𝑃𝑄面P的坐标．

；反比例函数的解析式为𝑦=𝑦= 𝑥(2)P4，−3【分析】（1）C作𝐶𝐹⊥𝑥F，通过证得△𝐵𝑂𝐴∽△𝐵𝐹𝐶

𝐵𝐹=2𝐵𝑂=

𝐶𝐹=2𝑂𝐴=即可求得𝑂𝐹=12，即可求得𝐶12，3，代入𝑦=𝑘(𝑥>0)即可求得反比例函数的解析式，把点𝐴0，−6𝐵8，0分别代入𝑦=𝑎𝑥+𝑏（2）Q的坐标，即可利用三角形面积公式得到

−𝑥+6，然后利用二次函数的△𝑂𝑃𝑄=2𝑥⋅ 【详解】（1）解：∵点𝐴0，−6，𝐵8，0∴𝑂𝐵=8，𝑂𝐴=C作𝐶𝐹𝑥∴∠𝐵𝑂𝐴=∠𝐵𝐹𝐶=∵∠𝐴𝐵𝑂=∴△𝐵𝑂𝐴∽△∵𝐵𝐶= ∴𝐵𝐹

1𝐵𝑂=4，𝐶𝐹

1𝑂𝐴=∴𝑂𝐹=∴𝐶12，3∴𝑘=12×3=∴反比例函数的解析式为𝑦

𝑥把点𝐴0，−6，𝐵8，0分别代入𝑦=𝑎𝑥+𝑏𝑎=

8𝑎+𝑏=𝑏= 解 4𝑏=∴直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=

（2）解：∵P为线段𝐴𝐶∴设𝑃𝑥，3𝑥−6，(0<𝑥≤∵𝑃𝑄𝑥∴𝑄 3 ∴𝑆△𝑂𝑃𝑄=2𝑥

−𝑥+6=−

+3𝑥+18=−

当𝑥=4时，△𝑂𝑃𝑄的面积最大，其最大值为24，点P的坐标为4，−302】如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，直线𝑦=𝑥+𝑏与反比例函数𝑦=𝑥的图像的一个交点为(𝑚,3)x轴的交点为若点𝑃是𝑦𝑀𝑁𝑃的周长最小时，求点𝑃𝑄为𝑥轴上一点，直线𝑀𝑄交反比例函数的图像于点𝑅（异于𝑀），连接𝑅𝑁△𝑁𝑅𝑄的面积为2，求点【答案】(1)𝑚=−1，𝑘=点𝑃点𝑅2（1）把𝑁(−4,0)代入𝑦=𝑥+𝑏求出𝑏值，把𝑀(𝑚,3)代入可求出𝑚的值，代入𝑦=

𝑘𝑥作点𝑁关于𝑦轴的对称点𝑁1，连接𝑀𝑁1，交𝑦轴于𝑃，根据轴对称的性质得出△𝑀𝑁𝑃𝑀𝑁𝑀𝑁，利用待定系数法可求出直线𝑀𝑁

𝑥=0，求出𝑦 𝑦=−𝑥+，设𝑅 ，直线𝑀𝑄的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，利用待定系数法得出直线𝑀𝑄的解析式 𝑦=−𝑡𝑥3𝑡−3，求出𝑄(𝑡−1,0)，根据𝑁𝑅𝑄的面积为3得出1|𝑡3||3|=3

==

𝑥∴−4𝑏=0，𝑚𝑏=3，解得：𝑏=4，𝑚=−1，∴3=解得：𝑘=（2）解：如图，作点𝑁关于𝑦轴的对称点𝑁1，连接𝑀𝑁1，交𝑦轴于∴𝑃𝑁=∴𝑀𝑃+𝑃𝑁=𝑀𝑃+∴𝑀、𝑃、𝑁1三点共线时𝑀𝑃+𝑃𝑁有最小值，为𝑀𝑁𝑃的周长最小，为𝑀𝑁设直线𝑀𝑁1的解析式为𝑦=𝑝𝑥+4𝑝+𝑞=∴−𝑝+𝑞=3𝑝=−

𝑞=12∴直线𝑀𝑁

𝑦=−𝑥+当𝑥=0时，𝑦=5∴点𝑃的坐标为 （3）解：由（1）得𝑘=∴反比例函数解析式为𝑦=∴设𝑅

，直线𝑀𝑄的解析式为𝑦=𝑘𝑥𝑏

+

=−𝑡−𝑘1+𝑏1=

=−=∴直线𝑀𝑄的解析式为𝑦=−𝑥

𝑡当𝑦=0时，

=−𝑡𝑥+解得：𝑥=∴𝑄𝑁=|𝑡−1−(−4)|=|𝑡+𝑁𝑅𝑄的面积为∴𝑄𝑁 |=|𝑡+3|⋅|−|=

当𝑡<−3时，(−𝑡−3) =3，整理得𝑡+3=𝑡（舍去当𝑡>0

，整理得𝑡+3=𝑡（舍去(𝑡+3)⋅𝑡=当−3≤𝑡<0时，(𝑡+3)

=解得：𝑡=

=∴点𝑅2,2【变式03】如图，一次函数𝑦=−𝑥+𝑏与反比例函

𝑦=𝑥(𝑥>m请根据图象，直接写出不等式𝑥≥−𝑥+𝑏PS的最小值．【答案】(1)𝑦=−𝑥+4；𝑦=𝑥；𝑚=(2)0<𝑥≤1或𝑥≥(3)P的坐标为(1,3)或(3,1)，S的最小值为（1）将𝐵(3,1)代入𝑦=−𝑥+𝑏得b，即得一次函数的解析式，将𝐵(3,1)代

𝑦=𝑥(𝑥>（2）由图象可得，一次函数𝑦=−𝑥+𝑏与反比例函

𝑦=𝑥(𝑥>（3）由点P是线段𝐴𝐵上一点，可设𝑃(𝑥,−𝑥+4)，且1≤𝑥≤3，可

𝑆=2𝑂𝐷⋅𝑃𝐷=2⋅【详解】（1）一次函数𝑦=−𝑥+𝑏图象过点1=−3𝑏，解得𝑏=4，一次函数解析式是𝑦=−𝑥+把𝐵(3,1)代入𝑦=(𝑥>0)得1=解得𝑘=∴反比例函数解析为𝑦=∴−𝑚+4=∴𝑚=（2）由图象可得，一次函数𝑦=−𝑥+𝑏与反比例函

𝑦=𝑥(𝑥>则𝑥≥−𝑥+𝑏得解集为：0<𝑥≤1或𝑥≥（3）∵P是线段𝐴𝐵上一点，设𝑃(𝑥,−𝑥∴1≤𝑥≤∴𝑆=1𝑂𝐷⋅𝑃𝐷=1⋅𝑥(−𝑥+4)=−1(𝑥2−4𝑥)=−1(𝑥−2)2 ∵1<0，抛物线的对称轴为直线𝑥=∵|1−2|=|3−2|，1≤𝑥≤∴当𝑥=1或𝑥=3

(1−2)2+2=P的坐标是(1,3)或

𝑆=−05】（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，一次函数𝑦𝑘𝑥𝑏(𝑘0)的图象与反比例函数𝑦8(𝑥A，与𝑥B，与𝑦C，𝐴𝐷𝑥D，𝐶𝐵=𝐶𝐷C关于直线𝐴𝐷的对称E．(1)E②P在𝑦轴上，当|𝑃𝐸−𝑃𝐵|P【答案】(1)E(2)①𝑘=1，𝑏=（1）设点𝐴

𝑂𝐶=

，得到点𝐸（2）①由四边形𝐴𝐶𝐷𝐸为正方形得到𝐴𝐷=𝐶𝐸，𝐴𝐷垂直平分𝐶𝐸，设点𝐴 和点𝐶②延长𝐸𝐷交𝑦P，此时点𝑃即为所求，设直线𝐷𝐸的解析式为𝑦=𝑎𝑥𝑛【详解】（1）解：点𝐸设点𝐴 ∵C关于直线𝐴𝐷∴𝐴𝐷⊥𝐶𝐸，𝐴𝐷平分𝐶𝐸，∴𝐶𝐻=∵𝐵𝐶=𝐶𝐷，𝑂𝐶⊥∴𝑂𝐵=∴𝑂𝐶

∵𝐴𝐷𝑥∴𝐶𝐸𝑥∴𝐸 ∵2𝑚×

=∴E∴𝐴𝐷=𝐶𝐸，𝐴𝐷垂直平分∴𝐶𝐻

设点𝐴 ∴𝐶𝐻=𝑚，𝐴𝐷= ∴𝑚=2×∴𝑚=2（负值舍去代入𝑦=𝑘𝑥𝑏得，2𝑘+𝑏=𝑏= 𝑘=𝑏=2∴𝐵𝐶=𝐶𝐷，𝑂𝐶⊥∴𝑂𝐵=∴𝑃𝐵=∴|𝑃𝐸−𝑃𝐵|=|𝑃𝐸−𝑃𝐷|≤𝐷𝐸，当且仅当𝑃、𝐷、𝐸三点共线时取等号；延长𝐸𝐷交𝑦PP即为符合条件的点；由①设直线𝐷𝐸的解析式为𝑦=𝑎𝑥+2𝑎+𝑛=∴4𝑎+𝑛=2𝑎=∴𝑛=−2∴直线𝐷𝐸的解析式为𝑦𝑥−2，当𝑥=0时，𝑦=−2，故当|𝑃𝐸−𝑃𝐵|P的坐标为

𝑦=𝑥(𝑥>(1)

图像上的一动点，过点𝑀作𝑥轴的平行线，与直线𝑦=𝑥(𝑥>△【答案】(1)𝑦=(2)最大值是10，𝑀的坐标为 别交𝑦轴于点𝐸，𝐹，证明𝑀𝑃𝐹𝐶𝑂𝐸，推出𝑃𝐹的长，最后三角形面积公式求出𝑃𝑀𝑁，配方求出最值【详解】（1）∴𝑂𝐴=∴𝑂𝐴𝐵𝐶𝑥轴，𝑂𝐴=𝐵𝐶=∴点𝐶的横坐标：7−6=1，纵坐标与𝐵∵𝑦=𝑥经过点∴𝑘=1×5=∴反比例函数表达式是𝑦=（2）∵设直线𝐴𝐶的解析式为：𝑦=𝑘1𝑥+𝑏1(𝑘1≠0)，𝑘1+𝑏1=5①6𝑘1+𝑏1=0②，由②−①5𝑘1=𝑘1=将𝑘1=−1代入①中，得−1+𝑏1=5，即𝑏1=∴直线𝐴𝐶的解析式为：𝑦=−𝑥∵设𝑀 又∵𝑀𝑁𝑥∴𝑁=𝑀=∴𝑁6−5 ∴𝑀𝑁=

5∵𝐶(1,5)，𝐸𝐶𝑦∴𝐸𝐶=∴𝑂𝐸=∵𝑀 ∴𝑀𝐹=∵𝐸𝐶∥𝑀𝐹，𝐶𝑂∥∴∠𝐶𝐸𝑂=∠𝑀𝐹𝑃，∠𝐸𝐶𝑂=∴△𝑀𝑃𝐹∽△ ∴𝑃𝐹=𝑂𝐸=∴𝑃𝐹=5𝑀𝐹=∴𝑆△𝑃𝑀𝑁=2𝑃𝐹⋅=2×

6−5=1(30𝑚−25−5𝑚2)，=

+15𝑚−2=−5(𝑚−3)2∴当𝑚=3时，𝑆△𝑃𝑀𝑁的最大值是∵将𝑚=3代入𝑀 中∴𝑀 （限时训练：40分钟1．（2026·河南·一模）如图，点𝐴是反比例函数𝑦=𝑥的图象上一点，𝐵是直线𝑂𝐴𝑂𝐴:𝐴𝐵=1∶2，过点𝐵作𝑥轴的平行线交反比例函数𝑦=

=𝑥的图象于 (1) (2)𝑃是线段𝐴𝐵△𝑂𝐵𝐶沿𝑥轴向左平移2个单位长度后，点𝑃恰好落在反比例函数𝑦=𝑥求平移前点𝑃【答案】(1)反比例函数的解析式为𝑦=(2)平移前点𝑃的坐标为设点𝐴的坐标为

，根据𝑂𝐴:𝐴𝐵=1∶2，可得点𝐵的坐标为

，进而求出点𝐶的坐标为𝑎 结合𝑆△𝑂𝐵𝐶=4，计算出𝑘点𝐴

，结合题干可求出点𝑃

3

，将点坐标代入反比例函数的解析式，求出𝑎的值，从而得到平移前点𝑃【详解】（1）解：设点𝐴的坐标为 ∵𝐵是直线𝑂𝐴延长线上的一点，且𝑂𝐴:𝐴𝐵=∴点𝐵的坐标为 ∵𝐵𝐶𝑥∴𝑦𝐶=𝑦𝐵

𝑎 把𝑦=

𝑎代入𝑦=𝑥 𝑎=解得，𝑥=∴点𝐶的坐标为𝑎 ∴𝐵𝐶=3𝑎−3∵𝑆△𝑂𝐵𝐶=

31

⋅

=解得，𝑘=∴反比例函数的解析式为𝑦=（2）解：设点𝐴的坐标为 由（1）可知，点𝐵的坐标为 ∴点𝑃的坐标为 将点将点 向左平移2

3 将𝑥=2𝑎−2，𝑦=𝑎代入𝑦=𝑥 𝑎=2𝑎−解得，𝑎=如图，在平面直角坐标系中，𝑂△𝐴𝐵𝑂的边𝐴𝐵垂直𝑥轴于点𝐵，反比例函数𝑦=𝑘(𝑥>0)图像经过𝐴𝑂的中点𝐶，与边𝐴𝐵相交于点𝐷，若𝐷的坐标为(4,𝑚)，𝐴𝐷=（1）反比例函数𝑦=𝑥的解析式 （2）设点𝐸是线段𝐶𝐷上的动点，过点𝐸且平行𝑦轴的直线与反比例函数的图像交于点𝐹𝑂𝐸𝐹【答案 𝑦= 【分析】（1）ACC，D（2）m＝1C，DEF坐标，n的函数关系式即可得出结论．【详解】∵COA∴𝐶 ∵C，Dy＝𝑥4𝑚=∴2×𝑚+3=𝑘𝑘=∴𝑚=1CD2=2𝑎+∴1=4𝑎+𝑏𝑎=− 𝑏=∴直线CD的解析式为𝑦=−𝑥+故答案为 𝑦=−𝑥+如图，设点𝐸𝑛,2𝑛+3∵∵EF∥y轴交双曲线𝑦=𝑥∴𝐹

1 ∴S△OEF＝2−2𝑛+

×𝑛

−

+ =−(𝑛−3)+ ∵2≤𝑛≤∴n＝3时，S△OEF最大，最大值为S△OEFn3．（2025·陕西汉中·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线𝑦=2𝑥𝑏（𝑏为常数）与𝑥轴、𝑦点𝐴、𝐶(0,2)，且与反比例函数𝑦=

k为常数，且𝑘≠0，𝑥>0）的图象交于点(2)点𝑄在反比例函数𝑦=𝑘(𝑥>0)的图象上，点𝐸的坐标为(2,0)，连接𝑂𝐵、𝐴𝑄、𝐸𝑄，若𝑆△𝐴𝐸𝑄=求点𝑄【答案】(1)𝑦=(2)(2)3𝑥（1）先求出一次函数的解析式，再得出𝐵(1,4)，然后代入𝑦=𝑥（2先求出𝐴(−1,0)𝐴𝑂1,则𝑆△𝑂𝐴𝐵1×𝐴𝑂𝑦=2𝑆△𝐴𝐸𝑄=2𝑆△𝑂𝐴𝐵得𝑆△𝐴𝐸𝑄=4𝐴𝐸 再把数值代入

=×𝐴𝐸

=4，进行计算，得

=，最后代入反比例函数𝑦=进行计算，即

【详解】（1）解：∵直线𝑦=2𝑥+𝑏（𝑏为常数）与𝑥轴、𝑦轴分别交于点𝐴、∴把𝐶(0,2)代入𝑦=2𝑥𝑏，得2=2×0+𝑏，解得𝑏=2，∴𝑦=2𝑥+把点𝐵(1,𝑎)代入𝑦=2𝑥2，得𝑎=2×1+2=4，依题意，把𝐵(1,4)代入𝑦=得4=解得𝑘=∴𝑦=（2）解：由（1）得𝑦=2𝑥2，𝐵(1,4)，𝑦=4；依题意，令𝑦=0，则0=2𝑥+2，解得𝑥=−1，即∴𝐴𝑂=则

=2×𝐴𝑂×𝐵=2×1×4=∵𝑆△𝐴𝐸𝑄=∴𝑆△𝐴𝐸𝑄=2×2=∴𝐴𝐸=2−(−1)==×𝐴𝐸则 𝑦=1×3=×𝐴𝐸解得

=

∵点𝑄在反比例函数𝑦=𝑥 ∴3=∴𝑥𝑄=∴点𝑄的坐标为3 4．（2025·四川广元·模拟预测）如图，反比例函数𝑦=𝑘(𝑘>0,𝑥>0)的图象经过正方形𝑂𝐴𝐵𝐶（𝑂原点）的顶点𝐵，直线𝑙1:𝑦=𝑎𝑥+1经过边𝐵𝐶的中点求直线𝑙1将直线𝑙1向下平移2个单位长度，得到直线𝑙2，当直线𝑙2在双曲线𝑦=𝑘(𝑘>0,𝑥>0)的上方时，求𝑥将𝐴𝐵𝐷绕点𝐴顺时针旋转90⁰，点𝐷的对应点为点𝐸，判断点𝐸【答案】(1)直线𝑙1的函数解析式为𝑦=𝑥+1；反比例函数的解析式为𝑦=𝑥>𝐸(4,1)根据平移的性质得到直线𝑙的解析式，联立直线𝑙与反比例函数𝑦=4 进而根据函数图象的特征求得𝑥根据旋转的性质得到点𝐸的坐标，将点𝐸的坐标代入反比例函数解析式中验证点𝐸【详解】（1）∵点𝐷(1,2)在直线𝑙1:𝑦=𝑎𝑥+1∴2=𝑎+1，解得𝑎=∴直线𝑙1的函数解析式为𝑦=𝑥+点𝐷(1,2)是正方形𝑂𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶∴将点𝐵(2,2)代入反比例函数𝑦=

𝑘=𝑥∴反比例函数的解析式为𝑦=（2）解：将直线𝑙1:𝑦=𝑥+1向下平移2个单位长度，得𝑙2:𝑦=𝑥+1−2=设直线𝑙2与双曲线𝑦=4(𝑥>0)交于点𝑦=联 𝑦=

，解得𝑥=

−−∴点𝐹的横坐标 ∴当直线𝑙2在双曲线𝑦=4(𝑥>0)的上方时，𝑥> （3）解：由（1）易知，𝐴(2,0)，𝐴𝐵=2，𝐵𝐷=将𝐴𝐵𝐷绕点𝐴顺时针旋转90⁰𝐷的对应点为点∴点𝐸的坐标为对于反比例函数𝑦=当𝑥=4时，𝑦=点𝐸(4,1)=为(2,1)，点𝐴在𝑦轴上，且𝐴𝐷∥𝑥轴，𝑆▱𝐴𝐵𝐶𝐷=填空：点𝐴的坐标 【答案】 (2)𝑦=𝑥；−3𝑥+(3)𝑦𝑥+利用两点平行𝑥【详解】（1）解：根据题意，𝐷(2,1)，且𝐴𝐷𝑥（2）把𝐷(2,1)代入到𝑦=得𝑘=2，所以𝑦=∵𝐴𝐷=2，𝑆▱𝐴𝐵𝐶𝐷=∴𝐴𝐷×𝐴𝐸=∴𝐴𝐸=2.5，即𝑂𝐸=𝐴𝐸−𝐴𝑂=2.5−1= 把𝑦=−1.5代入𝑦=𝑥，则−1.5=则𝑥=即𝐵3,−1.5（3）设直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，由𝐴、𝐵𝑘=

𝑏=−4𝑘+𝑏=−1.5

8𝑏=∴直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=

𝑥+6．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图