2026年中考数学二轮复习 专题10 解直角三角形的实际应用(高频考点专练)

专题 解直角三角形的实际应聚焦题型精准解密（6大题型精讲+变式拔高训练）实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升解直角三角形的实际应用是中考数学必考核心题型，分值稳定在8～12分，多以解答题形式转化—计算”三步解题思路。2026难度：命题趋势：2026年命题贴合新课标理念，背景素材更贴近生活测量、工程建设、航海搜救等题型一仰角、俯角问题【典例01】（2025·广东·模拟预测）如图，某广场主楼楼顶立有广告牌𝐷𝐸，小辉准备利用所学的三角函数知识估测该主楼的高度．由于场地有限，不便测量，所以小辉沿坡度𝑖=1：0.75的斜坡从看台前的B处步行50米到达C处，测得广告牌底部D的仰角为45°，广告牌顶部E的仰角为53°（小辉的身高忽略不计），已知广告牌𝐷𝐸=15米，则该主楼𝐴𝐷的高度约为（ ）（结果精确到整数，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3） 【答案】【答案】⊥G，则四边形𝐴𝐹𝐶𝐺是矩形．解Rt𝐵𝐶𝐺，得𝐶𝐺40（米），设𝐷𝐹=𝑥米，解Rt𝐷𝐶𝐹，得出𝐶𝐹=𝐷𝐹=𝑥米．再解Rt△𝐸𝐶𝐹，根据1.3𝑥−𝑥=15，求出𝑥=50，即可求解．C作𝐶𝐹𝐴𝐸F，𝐶𝐺𝐴𝐵G∴𝐴𝐹=∵斜坡𝐴𝐵的坡度𝑖=1∶0.75 =，𝐵𝐶=50米 ∴𝐵𝐺=∴𝐵𝐺=30（米），𝐴𝐹=𝐶𝐺=40（米），设𝐷𝐹=𝑥米．在Rt△𝐷𝐶𝐹中，∠𝐷𝐶𝐹=∴𝐶𝐹=𝐷𝐹=𝑥在R𝑡𝐸𝐶𝐹中，∠𝐸𝐶𝐹=∴𝐸𝐹=tan53°⋅𝐶𝐹=1.3𝑥（米∵𝐷𝐸=15∴1.3𝑥−𝑥=∴𝑥=∴𝐷𝐹=50∴𝐴𝐷=𝐴𝐹+𝐷𝐹=40+50=90（米），据，求旗杆𝐴𝐵的高．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin54.5°≈0.81，cos54.5°≈0.58，tan54.5°≈【分析】由题意得，∠𝐶=35°,∠𝐷=54.5°,𝐴𝐵𝐶𝐷，然后根据锐角三角函数列出等式，得到𝐵𝐶=2𝐵𝐷，最后由𝐶𝐷=15m即可求解．【详解】解：由题意得，∠𝐶=35°,∠𝐷=54.5°,𝐴𝐵∵在Rt𝐴𝐵𝐶中，tan∠𝐶=∴𝐴𝐵=𝐵𝐶⋅tan∠𝐶=𝐵𝐶⋅tan35°=∵在Rt𝐴𝐵𝐷中，tan∠𝐷=∴𝐴𝐵=𝐵𝐷⋅tan∠𝐷=𝐵𝐷⋅tan54.5°=∴0.70𝐵𝐶∴0.70𝐵𝐶=∴𝐵𝐷=0.70=1，即𝐵𝐶= ∵𝐶𝐷=∴𝐶𝐵+𝐵𝐷=∴2𝐵𝐷𝐵𝐷15m，解得𝐵𝐷=5m，∴𝐴𝐵=1.40𝐵𝐷=1.40×5=(参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈

≈

≈【答案】【答案】【详解】（1）解：在Rt△𝐴𝐵𝐸中，∠𝐴𝐸𝐵=90°，∠𝐵𝐴𝐸=15°，𝐴𝐵=sin∠𝐵𝐴𝐸=∴𝐵𝐸=𝐴𝐵⋅sin15°≈80×0.26=（2）解：过点𝐵作𝐵𝐹𝐶𝐷于点解得解得𝑥≈3∴𝑥+56.83≈ 在Rt△𝐴𝐶𝐷中，∠𝐶𝐴𝐷=30°，tan30°=𝐶𝐷∴𝐴𝐷=77.6+(𝑥−20.8)=(𝑥+在Rt△𝐴𝐵𝐸中，cos∠𝐵𝐴𝐸=∴𝐴𝐸=𝐴𝐵⋅cos15°≈80×0.97=∵𝐵𝐸⊥𝐴𝐷，𝐹𝐷⊥∴𝐹𝐷=𝐵𝐸=20.8m，𝐵𝐹=设山体的垂直高度𝐶𝐷=𝑥m，则𝐶𝐹=𝐶𝐷−𝐹𝐷=∵∠𝐶𝐵𝐹=45°，∠𝐵𝐹𝐶=∴△∴𝐵𝐹=𝐶𝐹=D的仰角为30°47B处，已知山坡坡角∠𝐶𝐵𝐸=37°，𝐵𝐶=50米．（ 各点均在同一平面内，参考数据：sin37°≈5，cos37°≈5，tan37°≈

≈【答案】【答案】(1)30(2)19.3(2)19.3【分析】（1）在Rt𝐶𝐸𝐵中，由𝐶𝐸=𝐵𝐶sin∠𝐶𝐵𝐸求出𝐶𝐸（2）先求出𝐵𝐸的长，再求出𝐴𝐸的长，在Rt𝐴𝐸𝐷中，由𝐷𝐸=𝐴𝐸tan∠𝐷𝐴𝐸求出𝐷𝐸𝐶𝐷=𝐷𝐸−𝐶𝐸，求得信号塔𝐶𝐷∴∠𝐶𝐸𝐵=∵∠𝐶𝐵𝐸=37°，𝐵𝐶=50（米∴在Rt𝐶𝐸𝐵𝐶𝐸=𝐵𝐶sin∠𝐶𝐵𝐸=𝐵𝐶⋅sin37°=50×≈30（米（2）解：∵∠𝐶𝐸𝐵=90°，∠𝐶𝐵𝐸=37°，𝐵𝐶=50（米∴在Rt𝐶𝐸𝐵𝐵𝐸=𝐵𝐶⋅cos∠𝐶𝐵𝐸=𝐵𝐶cos37°=50×≈40（米∵𝐴𝐵=47（米），𝐵𝐸≈40（米∴𝐴𝐸=𝐴𝐵+𝐵𝐸≈47+40≈87（米∵∠𝐷𝐸𝐴=90°，∠𝐷𝐴𝐸=30°，𝐴𝐸≈87（米∴在Rt𝐴𝐸𝐷𝐷𝐸=𝐴𝐸⋅tan∠𝐷𝐴𝐸=𝐴𝐸⋅tan30°≈87×3≈49.3（米∴𝐶𝐷=𝐷𝐸−𝐶𝐸≈49.3−30≈19.3（米方案设计：如图②，商字高度为𝐴𝐵C，E分别在商字两侧（A，C，E在同一水平线上）．𝐶𝐷，𝐸𝐹均FB的仰角为60°DB的仰角为40°，𝐸𝐶=𝐶𝐷=𝐸𝐹=(1)请根据上述方案及测量数据计算出商字的高度（结果保留一位小数，参考数据：sin40°≈40°≈0.77,tan40°≈ ≈(2)为使测量结果更加准确，你认为他们在测量过程中应注意哪些事项．（写出一条即可【答案】(2)（1）设𝐴𝐵=𝑥m，则𝐵𝑀=(𝑥−1.5)m，根据题意得到方程𝑥−1.5+𝑥−1.5=34.5（2）设𝐴𝐵=𝑥m，则𝐵𝑀=(𝑥−1.5)m．在Rt𝐵𝑀𝐹中，∠𝐵𝐹𝑀=

∴tan60°=𝐹𝑀，即𝐹𝑀=在Rt𝐵𝑀𝐷中，∠𝐵𝐷𝑀= ∴tan40°=𝑀𝐷，即𝑀𝐷=∵𝐷𝐹=𝐸𝐶=∴𝑥−1.5+𝑥−1.5= 解得𝑥≈答：商字的高度约为（2）多次测量角度求其平均值；皮尺应拉直等．（答案不唯一围内才能被识别)2所示，摄像头的仰角、俯角均为15°，摄像头的高度𝑂𝐴150cm，识别的最远水平距离𝑂𝐵=150cm．(参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈(1)若直立站在离摄像头水平距离130cmC整为20°(3)，此时小兰能被识别吗？请计算说明．【答案】(2)再利用三角形全等可求出𝐸𝐹=𝐷𝐹=35.1cm，最后利用矩形的性质求出𝐶𝐸的长度，从而求出最大身高；如图：过点𝐵作𝑂𝐵M，NP，则𝐵𝑃𝑂𝐴=150cm，根据正切值求出𝑀𝑃长度，再利用三角形全等可求出𝑃𝑁=𝑀𝑃=54.0cm，再求出𝐵𝑁长度，然后与头部以下【详解】（1）C作𝑂𝐵E、D在Rt𝐴𝐸𝐹中，tan∠𝐸𝐴𝐹=∴𝐸𝐹=𝐴𝐹⋅tan15°=130×0.27=∵𝐴𝐹=𝐴𝐹,∠𝐸𝐴𝐹=∠𝐷𝐴𝐹,∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐴𝐹𝐷=∴△𝐴𝐷𝐹≌△∴𝐸𝐹=𝐷𝐹=∴𝐶𝐸=𝐶𝐹+𝐸𝐹=150+35.1=（2）如图：过点𝐵作𝑂𝐵M，NP，则𝐵𝑃=𝑂𝐴=在Rt△𝐴𝑃𝑀中，tan∠𝑀𝐴𝑃=𝐴𝑃∴𝑀𝑃=𝐴𝑃⋅tan20°=150×0.36=∵𝐴𝑃=𝐴𝑃,∠𝑀𝐴𝑃=∠𝑁𝐴𝑃,∠𝐴𝑃𝑀=∠𝐴𝑃𝑁=∴△𝐴𝑀𝑃≌△∴𝑃𝑁=𝑀𝑃=∴𝐵𝑁=𝐵𝑃−𝑃𝑁=150−54.0=∵120−15=∴105>题型二方位角问题路．甲侦测员在𝐴处测得点𝑂位于北偏东45°，乙勘测员在𝐵处测得点𝑂位于南偏西73.7°，测得𝐴𝐶= 𝐵𝐶=500m，请求出点𝑂到𝐵𝐶的距离（）m（参考数据sin73.7°≈25，cos73.7°≈25，tan73.7°≈7 【答案】【答案】𝑂𝑀𝐵𝐶于𝑀，𝑂𝑁𝐴𝐶于𝑁，设𝑂𝑀=𝑥，根据矩形的性质用𝑥表示出𝑂𝑀、𝑀𝐶，根据正切的定义用𝑥【详解】解：作𝑂𝑀𝐵𝐶于𝑀，𝑂𝑁𝐴𝐶于∴𝑂𝑁=𝑀𝐶，𝑂𝑀=设𝑂𝑀=𝑥，则𝑁𝐶=𝑥，𝐴𝑁=840−𝑥，在Rt△𝐴𝑁𝑂中，∠𝑂𝐴𝑁=45°，𝑂𝑁=𝐴𝑁=840−𝑥，则𝑀𝐶=𝑂𝑁=在Rt𝐵𝑂𝑀中，𝐵𝑀= 由题意得，840−𝑥𝑥=解得，𝑥=即点𝑂到𝐵𝐶的距离约为480m，02（2026·安徽·模拟预测𝐴处时测得灯塔𝐵在货轮的北偏西方向，灯塔𝐶在货轮的北偏东4°方向．当货轮到达𝐷处时，测得灯塔𝐵在货轮的正西方向，灯塔𝐶在货轮的正东方向，且灯塔𝐵，𝐶相距60海里．𝐷处与灯塔𝐵当货轮到达𝐸处时，测得货轮与灯塔𝐶600海里，此时灯塔𝐶在货轮的什么方向上？（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈所以所以∠𝐶𝐸𝐷=37°，即灯塔𝐶在货轮的南偏东37° 在Rt△𝐶𝐷𝐸中，sin∠𝐶𝐸𝐷=𝐶𝐷=360=解得𝐵𝐷≈270（海里故𝐷处与灯塔𝐵270（2）由（1）可得𝐶𝐷=630−270=360（海里≈ 在Rt△𝐴𝐷𝐵中，tan37°=𝐵𝐷【详解】（1）解：根据题意可知，∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝐶=90°，∠𝐵𝐴𝐷=37°，∠𝐷𝐴𝐶=45°，则𝐴𝐷=灯塔𝐵，𝐶相距630∴𝐴𝐷=𝐶𝐷= （2）由题意得△𝐶𝐷𝐸为直角三角形，利用正弦函数定义，sin∠𝐶𝐸𝐷=𝐶𝐷=360=0.6，故∠𝐶𝐸𝐷=37°【答案】(1)𝐷处与灯塔𝐵270（1）由题意得∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝐶=90°，∠𝐵𝐴𝐷=37°，∠𝐷𝐴𝐶=45°，则𝐴𝐷=根据灯塔𝐵，𝐶相距630海里，可得𝐴𝐷=𝐶𝐷=630−𝐵𝐷，在Rt𝐴𝐷𝐵中，已知∠𝐵𝐴𝐷=37°，利用三角函数【答案】EA作𝐹𝐴𝐴𝐵AC作𝐹𝐶𝐶𝐵，交𝐹𝐴F，交𝐴𝐷GD作𝐷𝐸根据题意，得∠𝐹𝐴𝐺=48°，∠𝐷𝐶𝐻=58°，四边形𝐴𝐵𝐶𝐹是矩形，𝐷𝐸𝐹𝐴∴∠𝐺𝐷𝐸=【答案】EA作𝐹𝐴𝐴𝐵AC作𝐹𝐶𝐶𝐵，交𝐹𝐴F，交𝐴𝐷GD作𝐷𝐸根据题意，得∠𝐹𝐴𝐺=48°，∠𝐷𝐶𝐻=58°，四边形𝐴𝐵𝐶𝐹是矩形，𝐷𝐸𝐹𝐴∴∠𝐺𝐷𝐸=∠𝐹𝐴𝐺=48°，∠𝐸𝐷𝐶=∠𝐷𝐶𝐻=58°，𝐴𝐹=𝐵𝐶=1km，𝐴𝐵=∵小明以2.8km/hC打卡点沿𝐶→𝐷D打卡点用了60min=∴𝐶𝐷=2.8×1=∴𝐸𝐶=𝐶𝐷sin58°≈2.8×0.85≈𝐷𝐸=𝐶𝐷cos58°≈2.8×0.53≈∵tan∠𝐺𝐷𝐸=∴𝐺𝐸=𝐷𝐸tan∠𝐺𝐷𝐸=1.48×tan48°≈1.48×1.11≈∵tan∠𝐹𝐴𝐺=∴𝐹𝐺∴𝐹𝐺=𝐹𝐴tan∠𝐹𝐴𝐺=1×tan48°≈1×1.11≈∴𝐹𝐶=𝐹𝐺+𝐺𝐸+𝐸𝐶=1.11+1.64+2.38=5.13≈∴𝐴𝐵≈【答案】过点𝐷作𝐷𝐻⊥𝐴𝐶，垂足为𝐻，通过解Rt△𝐷𝐶𝐻和Rt△𝐷𝐵𝐻得𝐶𝐻=tan37°和𝐵𝐻=tan45°，根据𝐵𝐶=求得𝐷𝐻，再解Rt𝐷𝐴𝐻求得𝐴𝐷【详解】解：如图，过点𝐷作𝐷𝐻𝐴𝐶，垂足为在Rt△𝐷𝐶𝐻中，∠𝐶=【答案】过点𝐷作𝐷𝐻⊥𝐴𝐶，垂足为𝐻，通过解Rt△𝐷𝐶𝐻和Rt△𝐷𝐵𝐻得𝐶𝐻=tan37°和𝐵𝐻=tan45°，根据𝐵𝐶=求得𝐷𝐻，再解Rt𝐷𝐴𝐻求得𝐴𝐷【详解】解：如图，过点𝐷作𝐷𝐻𝐴𝐶，垂足为在Rt△𝐷𝐶𝐻中，∠𝐶=∵tan37°=∴𝐶𝐻=在Rt𝐷𝐵𝐻中，∠𝐷𝐵𝐻=∵tan45°=∴𝐵𝐻∴𝐵𝐻=∵𝐵𝐶= tan37°=∴𝐷𝐻≈在Rt△𝐷𝐴𝐻中，∠𝐴𝐷𝐻=∵cos26°=∴𝐴𝐷=cos26°≈05】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，202593日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式．如图，𝐴、𝐵、𝐶、𝐷是长安街沿线的四个观看点 ≈≈ ≈【答案】(2)（1）延长𝐴𝐶交𝐵𝐻于𝐻，由题意𝐴𝐻𝐵𝐻,∠1=60°,∠2=30°,∠3=75°,∠𝐵𝐶𝐻=45°，则在Rt𝐵𝐻𝐶中，可求𝐶𝐻=𝐵𝐻=3002，进而在Rt△𝐵𝐻𝐴中，可求𝐴𝐻,𝐴𝐵长，利用𝐴𝐶=𝐴𝐻−𝐶𝐻题目可解．（2）作𝐵𝑃𝐶𝐷，可求∠𝐷𝐶𝐵60°，∠𝐷45°，在Rt𝐵𝑃𝐶和在Rt𝐵𝑃𝐷中利用三角函数则线段𝐶𝐷,𝐵𝐷由题意𝐴𝐻𝐵𝐻,∠1=60°,∠2=30°,∠3=75°,∠𝐵𝐶𝐻=45°，在Rt△𝐵𝐻𝐶中，∵∠𝐵𝐶𝐻=45°,∠𝐵𝐻𝐶=90°,𝐵𝐶=600∴𝐵𝐻=𝐵𝐶sin45°=600×2=3002𝐶𝐻=𝐵𝐻=3002米，在Rt△𝐵𝐻𝐴中，∵∠1=∴∠𝐵𝐴𝐻=90°−60°=∴𝐴𝐻=

=3002=3006米，𝐴𝐵=2𝐵𝐻=6002∴𝐴𝐶==3006−300=300 ≈300×≈311（2）∠3=75°,∠𝐵𝐶𝐻=45°,∠2=∴∠𝐷𝐶𝐻=90°−75°=15°，∠𝐶𝐵𝐻=90°−45°=∴∠𝐷𝐶𝐵=15°+45°=60°，∠𝐶𝐵𝐷=45°+30°=∴∠𝐷=180−75°−60°=作𝐵𝑃⊥𝐶𝐷，在Rt𝐵𝑃𝐶中，∴𝐶𝑃=𝐵𝐶⋅cos60°=600×

=300𝐵𝑃=𝐵𝐶⋅sin60°=600×3=3003在Rt𝐵𝑃𝐷𝐵𝐷=

=3003=3006𝐷𝑃=𝐵𝑃=3003𝐶𝐷=𝐶𝑃+𝑃𝐷=(300+3003)𝐴𝐶𝐶𝐷=311+300+ ≈1131小明用时：1131÷1=𝐴𝐵+𝐵𝐷=

≈1583小亮用时1583÷1.5≈∵1055<题型三坡度、坡角问题01】（2026·湖北·模拟预测）如图，斜坡𝐶𝐷的坡度𝑖=1∶2415−25水平地面的平行线，交𝐴𝐵的延长线于点𝐻，设𝐵𝐻=𝑥米，𝐸𝐻=2𝑥米，勾股定理求出𝑥=25，解直角三角形求出𝐴𝐻=tan∠𝐴𝐸𝐻·𝐸𝐻=3𝐸𝐻=415，进而求解即可．【详解】解：过点𝐸作水平地面的平行线，交𝐴𝐵的延长线于点𝐻，则∠𝐵𝐸𝐻=在Rt△𝐵𝐸𝐻中，tan∠𝐵𝐸𝐻=tan∠𝐵𝐶𝐹=𝑖=𝐵𝐻=设𝐵𝐻=𝑥米，𝐸𝐻=2𝑥∴𝐵𝐸 𝐸𝐻2+𝐵𝐻2=5𝑥=∴𝑥=2∴𝐵𝐻=25，𝐸𝐻=4∵∠𝐸𝐴𝐻=180°−60°−90°=∴𝐴𝐻=3𝐸𝐻=4∴𝐴𝐵=𝐴𝐻−𝐵𝐻=415−25答：大树𝐴𝐵415−25【答案】4【分析】本题考查坡度问题，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据坡度为1∶2，得𝐴𝐻=2 求得𝐴𝐻，进而用勾股定理求出【答案】4【分析】本题考查坡度问题，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据坡度为1∶2，得𝐴𝐻=2 求得𝐴𝐻，进而用勾股定理求出【详解】解：作【详解】解：作𝐵𝐻∴𝐵𝐻=即𝐴𝐻=∴𝐴𝐻= ∴𝐴𝐵 42+82=4故答案为：402】（2026·四川巴中·模拟预测）如图，𝐴𝐵是斜坡𝐵𝐶上的一个仿真树信号塔，斜坡𝐵𝐶20米，坡角为30°CA的仰角为60°DA的仰角为37°（图中的A，B，C，D，E，F均在同一平面内，𝐵𝐸∥𝐷𝐹，𝐴𝐵⊥𝐵𝐸）．求C，D两点之间的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据 ≈1.731.73，sin37°≈37°≈0.80，tan37°≈【答案】【答案】(1)仿真树信号塔𝐴𝐵20(2)C，D两点之间的距离约为22.7【分析】（1）延长𝐴𝐵交𝐷𝐹G，根据已知易得：𝐴𝐺⊥𝐷𝐹，然后在Rt△𝐵𝐶𝐺30度角的直角三角形的性质可得𝐵𝐺=10米，𝐶𝐺=103米，从而在Rt△𝐴𝐶𝐺中，利用锐角三角函数的定义求出𝐴𝐺的长，（2）在Rt𝐴𝐷𝐺中，利用锐角三角函数的定义求出𝐷𝐺的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解∴𝐶𝐷∴𝐶𝐷=𝐷𝐺−𝐶𝐺=40−103≈22.7（米∴C，D两点之间的距离约为22.7 =40（米 ∴𝐷𝐺在Rt△𝐴𝐶𝐺中，∠𝐴𝐶𝐺=∴𝐴𝐺=𝐶𝐺tan60°=103×3=30（米∴𝐴𝐵=𝐴𝐺−𝐵𝐺=30−10=20（米（2）解：在Rt△𝐴𝐷𝐺中，∠𝐴𝐷𝐺=37°，𝐴𝐺=30∴𝐵𝐺=𝐵𝐶=10（米），𝐶𝐺=𝐵𝐺⋅3=103（米∵𝐵𝐸∥𝐷𝐹，𝐴𝐵⊥∴𝐴𝐺⊥在Rt△𝐵𝐶𝐺中，∠𝐵𝐶𝐺=30°，𝐵𝐶=2003】（2025·安徽淮南·二模）某铁路路基的横断面是四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，其中𝐴𝐷𝐵𝐶，路基顶宽𝐴𝐷=8m，路基底宽𝐵𝐶32m，斜坡𝐴𝐵的坡度𝑖3∶5，斜坡𝐶𝐷的坡度𝑖1∶1，因路基一侧靠近河流，现需要对斜37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈【答案】【答案】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—A，D作𝐴𝐹𝐵𝐶，𝐷𝐺𝐵𝐶，垂足F，G．设𝐴𝐹=3𝑥，则𝐵𝐹=5𝑥，根据𝐶𝐷的坡度𝑖=1∶1，可得𝐷𝐺=𝐺𝐶=𝐴𝐹=3𝑥，∠𝐷𝐶𝐺=45°，∠𝐸=45°−8°=37°，从而得到𝐷𝐺=3𝑥=9m．在Rt△𝐷𝐺𝐸由题意知𝐹𝐺=𝐴𝐷=8m，𝐴𝐹=𝐴𝐵的坡度𝑖=∴tan𝐵=𝐵𝐹=可设𝐴𝐹=3𝑥，则𝐵𝐹=𝐶𝐷的坡度𝑖=∴𝐷𝐺=𝐺𝐶=𝐴𝐹=3𝑥，∠𝐷𝐶𝐺=45°，∠𝐸=45°−8°=𝐵𝐹+𝐹𝐺+𝐺𝐶=5𝑥+8+3𝑥=32，解得𝑥=∴𝐷𝐺=3𝑥=在Rt△𝐷𝐺𝐸中，𝐸𝐺=𝐷𝐺 = ∴𝐵𝐸=𝐵𝐹+𝐹𝐺+𝐸𝐺=5×3+8+12=坡度𝑖=2∶3，𝐴𝐵=14米，𝐴𝐸=26米，求广告牌𝐶𝐷的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米） 参考数据：sin53°≈5，cos53°≈5，tan53°≈

≈作作𝐵𝐻𝐴𝐸交𝐴𝐸H，作𝐵𝐹𝐷𝐸交𝐷𝐸F，设垂直高度𝐵𝐻=2𝑘，水平距离𝐴𝐻3𝑘𝑘≈3.882，求出𝐵𝐻=7.764米，，进而求出𝐵𝐹=37.646米，根据三角函数求出𝐶𝐹=37.646米，𝐷𝐸≈米，进而根据𝐶𝐷=𝐶𝐹𝐵𝐻−𝐷𝐸设垂直高度𝐵𝐻=2𝑘，水平距离𝐴𝐻=由勾股定理得：(2𝑘)2+(3𝑘)2=解得𝑘=1413≈𝐵𝐻=2𝑘=2×3.882=7.764𝐴𝐻=3𝑘=3×3.882=11.646∴𝐵𝐹=𝐴𝐸+𝐴𝐻=26+11.646=37.64645度，tan45°=𝐶𝐹=𝐵𝐹=37.646∵𝐷𝐸=𝐴𝐸×tan53°≈34.667∴𝐶𝐷=𝐶𝐹+𝐵𝐻−𝐷𝐸=37.646+7.764−34.667=10.743≈10.7米．坡道𝐴𝐵的坡比𝑖=1：2.4，𝐴𝐶7.2米，𝐶𝐷0.4米．(2)（D到𝐴𝐵【答案】(1)2.6(2)2.4（1）根据𝑖=1：2.4，得出tan∠𝐶𝐴𝐵=

=，即=，求出𝐶𝐸=3米，得出𝐷𝐸=3−0.4=2.6（米

（2）D作𝐷𝐻⊥𝐴𝐵H，证明∠𝐸𝐷𝐻=∠𝐶𝐴𝐵，得出tan∠𝐸𝐷𝐻=tan∠𝐶𝐴𝐵=12，设𝐸𝐻=𝐷𝐻2+𝐷𝐻𝐷𝐻2+

=13𝑥，根据𝐷𝐸=2.6(12𝑥)2+(12𝑥)2+【详解】（1）解：由题意可知，𝐴𝐶∵𝑖= ∴tan∠𝐶𝐴𝐵=2.4=∴𝐶𝐸=5 ∵𝐴𝐶=7.2∴𝐶𝐸=3∵𝐶𝐷=0.4∴𝐷𝐸=3－0.4=2.6（米（2）D作𝐷𝐻⊥𝐴𝐵H∵∠𝐸𝐷𝐻＋∠𝐷𝐸𝐻=∠𝐶𝐴𝐵＋∠𝐷𝐸𝐻=∴∠𝐸𝐷𝐻=∵tan∠𝐶𝐴𝐵=∴tan∠𝐸𝐷𝐻=tan∠𝐶𝐴𝐵=∴𝐸𝐻=5 ∴设𝐸𝐻=5𝑥，𝐷𝐻=𝐷𝐻2+𝐷𝐻2+

=(12𝑥)2+(12𝑥)2+∴13𝑥=2.6，解得𝑥0.2，∴𝐷𝐻=12𝑥=12×0.2=2.4（米），2.4米题型四测量高度与距离问题仪测出大门顶端𝐴的仰角𝛼=仪测出大门顶端𝐴的仰角𝛼=刚好看到大门的顶端𝐴，𝐶𝐷=1.6m，𝐵𝐷=37m，𝛽=sin55°≈0.82，cos55°≈0.57tan55°≈sin29°≈0.48，cos29°≈29°≈0.55，3≈数学老师看了他们的测量报告后说：“其中一个小组的测量报告存在问题，不能得到测量结果．” 请根据正确的测量报告计算出中国文字博物馆大门的高度（结果精确到答：中国文字博物馆的大门高度约为答：中国文字博物馆的大门高度约为在直角𝐴𝑂𝐵中，tan∠𝐴𝑂𝐵=∴𝐴𝐵=𝑂𝐵⋅tan∠𝐴𝑂𝐵=34.1×tan29°≈∴𝑂𝐵=𝐵𝐷−𝑂𝐷=37−2.9=≈ ∴𝑂𝐷 在直角𝑂𝐶𝐷中，tan𝛽=（2）解：由题意可知∠𝐴𝑂𝐵为反射角，且∠𝐶𝑂𝐷=∴∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐶𝑂𝐷=建议：应测量出𝐵𝐷的距离，才能利用tan𝛼=𝐴𝐸=𝐴𝐸求出𝐴𝐸的长，进而求出大门𝐴𝐵(2)中国文字博物馆大门的高度约为甲的报告没有𝐴𝐶𝐸先在直角𝑂𝐶𝐷中利用正切函数求出𝑂𝐷的长，然后求出𝑂𝐵𝐴𝑂𝐵中，利用正切函【详解】（1）【答案】(1)甲，建议：应测量出𝐵𝐷的距离，才能利用tan𝛼=𝐴𝐸=𝐴𝐸求出𝐴𝐸的长，进而求出大门𝐴𝐵01】（2026·安徽阜阳·一模）【问题背景】如图，在一块三角形铝板中裁剪出一个矩形配件【测量过程】在𝐴𝐶边上选取一点𝐸，量得𝐴𝐸3.5dm，𝐶𝐸4dm，矩形的一个顶点𝐷在𝐴𝐵边上，另两个顶点𝐹，𝐺均在𝐵𝐶边上，测得∠𝐵=35°，∠𝐶=65°．【数据信息】用计算器计算得如下参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1．【分析】作𝐴𝐻⊥𝐷𝐸H，解Rt△𝐶𝐸𝐹求出𝐸𝐹，解Rt△𝐴𝐸𝐻求出𝐸𝐻，𝐴𝐻，解Rt△𝐴𝐷𝐻求出𝐷𝐻，得出𝐷𝐸，【详解】解：如图，作𝐴𝐻𝐷𝐸于𝐻，在Rt𝐶𝐸𝐹中，sin∠𝐶=∵∠𝐶=65°，𝐶𝐸=∴𝐸𝐹≈4×0.9=在Rt𝐴𝐸𝐻中，cos∠𝐴𝐸𝐻=∵矩形𝐷𝐸𝐹𝐺，𝐴𝐸=∴∠𝐴𝐸𝐻=∠𝐶=65°，∠𝐵=∠𝐴𝐷𝐸=∴𝐸𝐻≈3.5×0.4=∵sin∠𝐴𝐸𝐻=∴𝐴𝐻=𝐴𝐸×sin∠𝐴𝐸𝐻≈3.5×0.9=在Rt𝐴𝐷𝐻中，tan∠𝐴𝐷𝐻=tan∠𝐵=tan35°=∴∴𝐷𝐻≈3.15÷0.7=∴𝐷𝐸=𝐸𝐻+𝐷𝐻=1.4+4.5=02】（2026·贵州·一模）（1）如图1，在锐角△𝐴𝐵𝐶中，为证

如图，过𝐴点作𝐴𝐷𝐵𝐶于𝐷在Rt△𝐴𝐵𝐷∵sin𝐵=𝐴𝐵∴𝐴𝐷=在Rt△𝐴𝐶𝐷∵sin𝐶=𝐴𝐶∴𝐴𝐷= ∴𝑐·sin𝐵=𝑏·sin𝐶，∴sin𝐵=𝑎 请继续完

（22“贵阳第一观景台”3𝑁，他们在塔底𝑁的正东方的点𝐴处测得塔顶𝑀的仰角为3°，然后从点𝐴处出发，沿着南偏西2°的方向行进了9m到达点𝐵（𝐵𝑁三点位于同一水平面内），且点𝐵在点𝑁南偏东3°方向上．根𝑁（1mn5°≈0.2n6°≈0.13≈1.3）【分析】（1）过𝐶作𝐶𝐸𝐴𝐵于𝐸（2）根据方向角信息算出∠𝐵和∠𝐵𝑁𝐴，用正弦定理求𝐴𝑁，再在Rt𝐴𝑀𝑁中求【详解】解：（1）如图，过𝐶作𝐶𝐸𝐴𝐵于𝐸在Rt𝐵𝐶𝐸∵sin𝐵=∴𝐶𝐸=在𝑅𝑡𝐴𝐶𝐸∵sin∠𝐵𝐴𝐶=∴𝐶𝐸=∴𝑎·sin𝐵= ∴sin𝐵= ∴sin𝐵=sin𝐴=（2）如图，根据题意，∠𝐵𝐴𝑁=90°−25°=65°，∠𝐵𝑁𝐴=90°−35°=∴∠𝐵=180°−65°−55°= 由（1）的结论得sin𝐵= 即sin60°=92×∴𝐴𝑁= 2≈在Rt𝐴𝑀𝑁∵tan∠𝑀𝐴𝑁=𝐴𝑁∴𝑀𝑁=97.05×tan30°≈03】（2026·山西长治·一模）长治潞州六府塔，始建于隋代，塔身为八角形状，青砖砌筑，为密檐竖直上升20sEB的俯角为22°．𝐴𝐵⊥sin32.5°≈0.54，cos32.5°≈0.84，tan32.5°≈0.64，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40．请根据上述报告数据，求潞州六府塔新塔𝐴𝐵的高度．（1米【答案】【答案】91【分析】延长𝐷𝐺交𝐴𝐵M，延长𝐸𝐹交𝐴𝐵N𝑁𝐸=𝐷𝑀，𝐷𝐸=𝑀𝑁=78米．利用锐角三角函数的定义，设𝑀𝐷𝑀𝐵𝑥米，进而在Rt𝑁𝐸𝐵和Rt𝑀𝐷𝐴𝑁𝐵≈0.4𝑥米，𝑀𝐵=𝑥=7米，𝑀𝐴≈0.64𝑥由题可知由题可知∠𝑀𝐷𝐴=32.5°，∠𝑀𝐷𝐵=45°，∠𝑁𝐸𝐵=22°，四边形𝑁𝐸𝐷𝑀∴𝑁𝐸=𝐷𝑀，𝐷𝐸=𝑀𝑁=3.9×20=78（米）．在Rt△𝐵𝑀𝐷中，∠𝑀𝐷𝐵=45°，∴设𝑀𝐷=𝑀𝐵=𝑥在Rt△𝑁𝐸𝐵中，∠𝑁𝐸𝐵=22°，𝑁𝐸=𝑀𝐷=𝑥∴𝑁𝐵=𝑁𝐸⋅tan22°≈0.4𝑥（米𝑀𝑁=𝑀𝐵𝑁𝐵=78∴𝑥+0.4𝑥=78，𝑥=7在Rt△𝑀𝐷𝐴中，∠𝑀𝐷𝐴=32.5°，𝑀𝐷=𝑥𝑀𝐴=𝑀𝐷tan32.5°≈0.64𝑥（米∴𝐴𝐵=𝑀𝐴+𝑀𝐵≈𝑥+0.64𝑥=1.64𝑥≈91（米）．答：潞州六府塔高度约为91米．04】（2026·山西运城·一模）12侧面示意图，底座是矩形𝐵𝐶=25cm，𝐸𝐹=𝐶𝐸=125cm，∠𝐸𝐶𝐷=∠𝐹𝐸𝐶=【答案】点𝐹到地面的高度约为形𝐸𝑀𝑁𝑃为矩形，在Rt【答案】点𝐹到地面的高度约为形𝐸𝑀𝑁𝑃为矩形，在Rt△𝐶𝑀𝐸中，求出𝐸𝑀=121.25(cm)，再求出𝑃𝐹，即可解答．【详解】解：如图，过点𝐸,𝐹分别作𝐸𝑀𝐶𝐷，𝐹𝑁𝐶𝐷，垂足分别为𝑀,𝑁，过点𝐸作𝐸𝑃𝐹𝑁，垂足为∴𝐸𝑀=𝑃𝑁，∠𝑀𝐸𝑃=在在Rt△𝐶𝑀𝐸中，sin∠𝐸𝐶𝑀=𝐸𝑀=𝐸𝑀=sin75°≈ ∴𝐸𝑀=∴𝑃𝑁=∵∠𝐸𝑀𝐶=90°，∠𝐸𝐶𝑀=∴∠𝐶𝐸𝑀=∴∠𝐹𝐸𝑃=∠𝐶𝐸𝐹−∠𝑃𝐸𝑀−∠𝐶𝐸𝑀=135°−90°−15°= ∴𝑃𝐹=𝐸𝐹=×40=∴𝑃𝐹+𝑃𝑁+𝐵𝐶=20+121.25+25=166.25≈05】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽测得𝐶𝐸=15cm，∠𝐴𝐵𝐶=37°．在图2中，∠𝐵𝐶𝐷= ①∠𝐴𝐶𝐷= ②（参考数据：tan37°≈3，tan53°≈4，sin37°≈3，sin53°≈ 【答案】【答案】（1）作𝐵𝐹𝐶𝐷，由题意可知𝐴𝐵𝐵𝐹，则∠𝐶𝐵𝐹=53°．结合𝐵𝐹𝐶𝐷，可以计算出∠𝐵𝐶𝐷=（2）①根据平行线的性质可得∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐶𝐵𝐹=②G点作𝐺𝐻𝐴𝐵H𝐺𝑀𝐶𝐷交𝐴𝐵MM点作𝑀𝑁𝐶𝐷N点，则𝐺𝐻=𝑀𝐺=𝑁𝐸，𝐺𝐸=𝑀𝑁．在Rt△𝐻𝑀𝐺中，利用三角函数的定义可得𝑀𝐺≈0.75cm，则可得𝑁𝐸≈𝐶𝑁𝐶𝐸−𝑁𝐸=14.25cm．在Rt𝑀𝐶𝑁中，利用三角函数的定义可得𝑀𝑁≈19cm，进而可得杯子的高度为19+0.7=19.7cm．【详解】（1）解：如图，作𝐵𝐹由题意可知𝐴𝐵∴∠𝐴𝐵𝐹=∵∠𝐴𝐵𝐶=∴∠𝐶𝐵𝐹=90°−∠𝐴𝐵𝐶=90°−37°=∵𝐵𝐹∥∴∠𝐵𝐶𝐷=180°−∠𝐶𝐵𝐹=180°−53°=（2）解：①∵𝐵𝐹∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐶𝐵𝐹=②G点作𝐺𝐻⊥𝐴𝐵H点，𝐺𝑀∥𝐶𝐷交𝐴𝐵MM点作𝑀𝑁⊥𝐶𝐷N点，则𝐺𝐻=𝑀𝐺=𝑁𝐸，𝐺𝐸=∵𝐵𝐹∥𝐶𝐷，𝐺𝑀∥∴∠𝑀𝐶𝑁=∠𝐶𝐵𝐹=53°，∠𝐻𝑀𝐺=∠𝑀𝐶𝑁=∵𝐺𝐻⊥∴∠𝐺𝐻𝑀= ∵sin∠𝐻𝑀𝐺=𝑀𝐺≈∴0.6≈ 解得解得𝑀𝐺≈∴𝑁𝐸≈∵𝐶𝐸=∴𝐶𝑁=𝐶𝐸−𝑁𝐸=15−0.75=∵𝑀𝑁⊥∴∠𝑀𝑁𝐶=∵tan∠𝑀𝐶𝑁=𝐶𝑁≈∴𝑀𝑁≈解得𝑀𝑁≈∴19+0.7=01】69．（25-26九年级上·河南信阳·期末）2025BOT》的舞蹈，机器人为了完美的②∠𝑁𝐴𝐵45°，胳膊𝐴𝐵=40cm，𝑂𝐵=30cm，旋转的手绢近似圆形，半径𝑂𝐶=25cm，𝑂𝐶与手臂𝑂𝐵保持垂直．∠𝐶𝑂𝐷=(1)BO之间的水平宽度（𝐵𝐷的长度(2)C与舞者安全距离范围为30cm~40cm．在图②C在𝑂𝐷与舞者之间，机器人与舞者之间距离为100cmC与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留整数）（参考数据：sin66.4°≈0.92,cos66.4°≈0.40,sin23.6°≈ ≈【答案】(2)【分析】（1）作𝐶𝐸𝑂𝐷E，则∠𝑂𝐸𝐶=90°,由条件可知∠𝐶𝑂𝐷=∠𝑂𝐵𝐷=66.4°根据cos∠𝑂𝐵𝐷==0.4（2）作𝐶𝐸𝑂𝐷E，则∠𝑂𝐸𝐶=90°,（1）𝐶𝐸𝑂𝐷E，则∠𝑂𝐸𝐶90°,由条件可知∠𝐶𝑂𝐷∠𝐵𝑂𝐷∠𝑂𝐵𝐷∠𝐵𝑂𝐷∴∠𝐶𝑂𝐷=∠𝑂𝐵𝐷=由题意可得：𝑂𝐵=∴cos∠𝑂𝐵𝐷

=∴𝐵𝐷=（2）如图，作𝐶𝐸𝑂𝐷E，则∠𝑂𝐸𝐶=由（1）可得：∠𝐶𝑂𝐸=∠𝑂𝐵𝐷=∴𝐶𝐸=𝑂𝐶⋅sin∠𝐶𝑂𝐸≈25×0.92=∠𝐵𝐴𝑁=∴𝐵𝑁=𝐴𝐵⋅sin∠𝐵𝐴𝑁≈40×0.705=∴C与舞者距离为100−(28.2+12+23)=36.8≈∴C01】（2025·河南焦作·二模）如图，小红想测量在斜坡𝐵𝐶上的古塔𝐴𝐵的高，为了测出斜坡的坡角，𝐷𝐸𝐶𝐷𝐶𝐸 1.61.612米的斜坡上，一部分在平地𝐶𝐸E出古塔的高．（精确到0.1米，参考数据 ≈【答案】【答案】(2)5.4（1）由“等边对等角”得∠𝐸𝐷𝐶∠𝐷𝐸𝐶15°，再由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”计（2）先在Rt𝐵𝐶𝐻中，利用锐角三角函数解直角三角形计算出𝐵𝐻、𝐶𝐻的长，再由身高影长之比得阳光与地面夹角是45°，从而得出△𝐴𝐸𝐻是等腰直角三角形，易得𝐴𝐻=𝐸𝐻，最后𝐴𝐻−𝐵𝐻计算出古塔𝐴𝐵的高．【详解】（1）𝐶𝐷=1米，𝐶𝐸=1∴𝐶𝐷=∴∠𝐸𝐷𝐶=∠𝐷𝐸𝐶=∠𝐵𝐶𝐻△𝐶𝐷𝐸∴∠𝐵𝐶𝐻=∠𝐷𝐸𝐶+∠𝐸𝐷𝐶=斜坡𝐵𝐶的坡角为（2）∠𝐵𝐶𝐻=30°，∠𝐵𝐻𝐶=90°，𝐵𝐶=12∴𝐵𝐻=𝐵𝐶=×12=6（米 在Rt𝐵𝐶𝐻中，tan30°=𝐶𝐻=3，解得𝐶𝐻=63∵𝐶𝐸=1 𝐸𝐻=𝐶𝐻+𝐶𝐸=63+1≈6×1.73+1=11.38≈11.4（米∴太阳光与地面的夹角为∴∠𝐴𝐸𝐻=∴∠𝐴=∠𝐴𝐸𝐻=∴𝐴𝐻=𝐸𝐻≈11.4∴𝐴𝐵=𝐴𝐻−𝐵𝐻≈11.4−6=5.4（米）．答：古塔的高约为5.4米．(1)求这条最近的简易公路𝐶𝐷的长（3个有效数字(2)每修建116000(

≈

≈【答案】(1)5.20(2)83200=（2）【详解】（1）解：如图：过𝐶作𝐶𝐷𝐴𝐵于𝐷，𝐶𝐷设𝐶𝐷=𝑥在Rt𝐴𝐷𝐶中，∠𝐴𝐷𝐶=90°，∠𝐴= ∵tan30°=𝐴𝐷=∴𝐴𝐷=同理：𝐵𝐷=∵𝐴𝐵=𝐴𝐷−𝐵𝐷= ∴

=tan30°解得：𝑥=33≈5.20（2）5.20×16000=83200(元=米，宽𝐵𝐶2米，初始时点𝐴、𝐵、𝐹在同一水平线上，车厢底部𝐴𝐵1.3米．说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈ ≈(2)CC作𝐶𝐻𝐴𝐹HB作𝐵𝑃𝐴𝐹，垂足为△△⊥⊥个直角三角形，分别为Rt△𝐴𝐵𝑁，Rt△𝐵𝐶𝐾，Rt△𝐵𝐾𝐼，Rt△𝐴𝑀𝐼，然后进行计算即可．⊥Q，∴𝐵𝑃=在Rt𝐴𝐵𝑃中，𝐵𝑃=𝐴𝐵sin37°=4×0.6=∴𝐵𝑃=𝑄𝐻=∵𝐵𝑄∥∴∠𝐵𝐴𝐹=∠𝑄𝐵𝐴=∴∠𝐶𝐵𝑄=∠𝐶𝐵𝐴−∠𝑄𝐵𝐴=90°−37°=∵∠𝐵𝑄𝐶=∴∠𝐵𝐶𝑄=90°−∠𝐶𝐵𝑄=在Rt𝐵𝐶𝑄中，𝐶𝑄=𝐵𝐶cos37°=2×0.8=∴1.6+2.4+1.3=C离地面的距离是5.3（2）G作𝐺𝑂⊥𝐴𝐹OC作𝐶𝑀⊥𝐴𝐹M，交𝐴𝐵IB作𝐵𝑁⊥𝐴𝐹，NB作𝐵𝐾⊥𝐶𝑀K，∴𝐵𝑁=在Rt△𝐴𝐵𝑁中，𝐵𝑁=𝐴𝐵sin45°=4×2=2∴𝐵𝑁=𝐾𝑀=2∴∠𝐵𝐴𝑁=∠𝐾𝐵𝐴=∴∠𝐶𝐵𝐾=∠𝐶𝐵𝐴−∠𝐾𝐵𝐴=90°−45°=在Rt△𝐵𝐶𝐾中，𝐵𝐾=𝐵𝐶cos45°=2×2=∵0.7∵0.7= ∴𝐴𝑂=𝑂𝑀=𝐴𝑀 ≈∵𝐴𝐺=∴𝐴𝐺=∴𝐵𝐾=𝐶𝐾=在Rt𝐵𝐾𝐼∵∠𝐾𝐵𝐴=∴𝐵𝐾=𝐾𝐼=∴𝐼𝑀=𝐾𝑀−𝐾𝐼=2(m)，在Rt△𝐴𝑀𝐼中，∵∠𝐵𝐴𝐹=∴𝐼𝑀=𝐴𝑀=04】（2025·重庆·模拟预测）A出发到公园广场C450E360米处，AB的南偏西30°方向，DA东南方向，C、EB、D的正东方向且𝐵𝐶=400米．（求路线①的长度．（结果精确到个位

≈

≈【答案】(1)1369(2)选择路线【答案】(1)1369(2)选择路线（1）B作𝐵𝑀𝐴𝐹M．由题意知，四边形𝐵𝑀𝐹𝐶是矩形，𝐶𝐹=450m，∠𝐴𝐵𝑀=30°𝐵𝑀=𝐶𝐹=450m（2）D作𝐷𝑁𝐴𝐹N，由题意，四边形𝑁𝐷𝐸𝐹是矩形，𝐸𝐹=360m，∠𝐷𝐴𝑁=45°𝐷𝑁=𝐸𝐹=360m,𝐷𝐸=𝑁𝐹【详解】（1）B作𝐵𝑀𝐴𝐹由题意知，四边形𝐵𝑀𝐹𝐶是矩形，𝐶𝐹=450m，∠𝐴𝐵𝑀=∴𝐵𝑀=𝐶𝐹=∵在Rt𝐴𝑀𝐵∴𝐴𝐵=cos∠𝐴𝐵𝑀

=3003（米𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐹=3003+400+450=850+3003≈1369m．答：路线①1369米．（2）D作𝐷𝑁⊥𝐴𝐹由题意，四边形𝑁𝐷𝐸𝐹是矩形，𝐸𝐹=360m，∠𝐷𝐴𝑁=∴𝐷𝑁=𝐸𝐹=360m,𝐷𝐸=在Rt△𝐴𝑁𝐷中，∴𝐴𝑁

= 𝐴𝐷

=3602由（1）知，𝐴𝑀=𝐵𝑀tan∠𝐴𝐵𝑀=450×3=1503（米𝑀𝐹=𝐵𝐶=400∴𝑁𝐹=𝐴𝑀+𝑀𝐹−𝐴𝑁=1503+400−360=(40+1503)∴𝐷𝐸=𝑁𝐹=(40+1503)=400+3602+1503≈ 路线①=850+3003≈ ∵978<05】（2026·上海金山·一模以下关键要求：最大坡度为112，这是123．4．折返形坡道（坡道𝑂𝑉一休为110，水平长度最大560cm，休息平𝐹𝐺=𝐷𝐸=109cm，𝐴𝐶=𝑁𝐾=𝑁𝑀=𝐶′𝑄=𝑃𝑄=𝑉𝑅，轮椅入口宽为𝑂𝑇，𝐴′𝑇=30cm，点𝑇到连廊的距离𝑇𝐼为根据三组同学收集的数据，求原坡道的坡度和坡高（𝐵𝐶或𝐵′𝐶′），【答案】(1)坡度𝑖=7【答案】(1)坡度𝑖=724，坡高𝐵𝐶=70cm(2)坡道𝑂𝑉的坡高为22cm，坡度为1∶10，坡道𝑉𝐶′的坡高为48cm，坡度为48∶（1）根据题意可知𝐷𝐻=39cm，𝐵𝐶=70cm，由勾股定理可得𝐴𝐵=240cm，即可求出坡度，再跟通用标（2）ISV作𝑉𝐽⊥𝐵′𝐶′，可知四边形𝑉𝑊𝐵′𝐽先求出𝑂𝑊、𝑉𝑊，即可求出坡道𝑂𝑉的坡高和坡度，再求出𝑉𝐽、𝐶′𝐽，即可求出坡道𝑉𝐶′【详解】（1）1可知𝐷𝐻=𝐹𝐺=39cm，𝐵𝐶=𝐸𝐻=𝐷𝐸−𝐷𝐻=109−39=∵∠𝐴𝐵𝐶=∴𝐴𝐵 𝐴𝐶2−𝐵𝐶2 2502−702=故原坡道的坡度为𝑖=𝐵𝐶𝐴𝐵=70∶240=7∶∵∴（2）IS重合时，过点𝐶′作𝐶′𝐵′⊥𝑂𝑇V作𝑉𝐽𝐶′，可知四边形𝑉𝑊𝐵′𝐽根据题意可知𝑂𝑇=150cm，𝑅𝑉=𝑆𝑊=∵𝑇𝐼=∴∴𝑂𝑊=𝐼𝑇−𝑂𝑇−𝑆𝑊=当坡道𝑂𝑉的坡度为1∶10时，𝑉𝑊=220×1=由（1）可知𝐴′𝐵′=240cm，𝐵′𝐶′=∵四边形𝑉𝑊𝐵′𝐽∴𝐵′𝐽=𝑉𝑊=22cm，𝑉𝐽=𝑊𝐵′=𝑂𝑊+𝑂𝑇−𝐴′𝑇+𝐴′𝐵′=∴𝐶′𝐽=𝐵′𝐶′−𝐵′𝐽=故坡道𝑉𝐶′的坡度为𝐶′𝐽∶𝑉𝐽=48∶∵580<答：坡道𝑂𝑉的坡高为22cm，坡度为1∶10，坡道𝑉𝐶′的坡高为48cm，坡度为48∶（限时训练：30分钟1．（2025·广东深圳·二模）航天员也能“点外卖”202411152313分，搭载天舟八号APA点的仰角∠𝐷𝑃𝐴为30°，AP10B处PB点的仰角∠𝐷𝑃𝐵为45°AB处的距离𝐴𝐵的长为（）（参考数

≈

≈ 【答案】【答案】千米，𝐷𝑃53千米，再在Rt𝐵𝐷𝑃中，利用锐角三角函数的定义求出𝐵𝐷【详解】解：由题意得：𝐵𝐷在Rt𝐴𝐷𝑃中，∠𝐷𝑃𝐴=30°，𝐴𝑃=10𝐴𝐷=𝐴𝑃=5（千米）)，𝐷𝑃=3𝐴𝐷=53（千米在Rt△𝐵𝐷𝑃中，∠𝐵𝑃𝐷=𝐵𝐷=𝐷𝑃tan45°=53（千米𝐴𝐵=𝐵𝐷−𝐴𝐷=53−5≈3.5（千米 梯𝐴𝐵5米，调整后的楼梯𝐴𝐶会加长（）（参考数据：sin37°≈5，cos37°≈5，tan37°≈A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】【答案】【详解】解：由题意得：sin37°=5∴𝐴𝐷≈5×=∴调整后的楼梯长𝐴𝐶==∴调整后的楼梯会加长：6−5=【答案】2+53/53【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据𝐴𝑂𝐸𝐷，𝐵𝐸=𝑂𝐸tan∠𝐵𝑂𝐸，𝐵𝐷=𝐵𝐸𝐸𝐷【答案】2+53/53【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据𝐴𝑂𝐸𝐷，𝐵𝐸=𝑂𝐸tan∠𝐵𝑂𝐸，𝐵𝐷=𝐵𝐸𝐸𝐷∴𝐴𝑂=在Rt𝐵𝑂𝐸中，tan∠𝐵𝑂𝐸=∴𝐵𝐸=𝑂𝐸⋅tan∠𝐵𝑂𝐸=𝑂𝐸⋅tan60°=5∴𝐵𝐷=𝐵𝐸𝐸𝐷=2+53，故答案为：2+53．【答案】(24Q作𝑄𝐵⊥𝑃𝐴B，在Rt△𝐴𝐵𝑄和Rt△𝑃𝐵𝑄中，根据正切的定义可得出𝐴𝐵=𝐵𝑄，𝑃𝐵=3𝐵𝑄，结合𝐴𝑃【答案】(24Q作𝑄𝐵⊥𝑃𝐴B，在Rt△𝐴𝐵𝑄和Rt△𝑃𝐵𝑄中，根据正切的定义可得出𝐴𝐵=𝐵𝑄，𝑃𝐵=3𝐵𝑄，结合𝐴𝑃=𝐴𝐵𝑃𝐵=24，可求出𝐵𝑄=123−12，然后根据含30°Q作𝑄𝐵⊥𝑃𝐴故答案为：故答案为：(24∴𝑃𝐵=∵𝐴𝑃=𝐴𝐵+𝑃𝐵=∴𝐵𝑄+3𝐵𝑄=∴𝐵𝑄=12∴𝑃𝑄=2𝐵𝑄=24即小岛𝑄与港口𝑃相距(243−24)∴tan30°=3=在Rt△𝑃𝐵𝑄中，tan∠𝐵𝑃𝑄=∴𝐴𝐵=∴tan45°=1=在Rt△𝐴𝐵𝑄中，tan𝐴=根据题意，得∠𝑄𝑃𝐵=90°−60°=30°，∠𝐴=5．无人机表演时，一架无人机由𝐴处飞至𝐵处，飞行路径恰好位于地面上两个观测点𝐶，𝐷∥ 𝐶，𝐷之间的距离为10米，求𝐴，𝐵两点之间的距离．（参考数据：tan68.2°2，tan42.3°11，tan59°【答案】30【答案】30【分析】作𝐴𝐸𝐶𝐷于点𝐸，𝐵𝐹𝐶𝐷于点𝐹，则𝐴𝐸=𝐵𝐹，设𝐶𝐸=𝑥米，𝐷𝐹=𝑦(10(10+解得𝑥=8，𝑦=∴𝐴𝐵=𝐸𝐹=𝐸𝐶+𝐶𝐷+𝐷𝐹=8+10+12=𝑥= 5𝑥=10(10+∴ 5∴𝐵𝐹=𝐷𝐹×tan59°≈在Rt𝐵𝐷𝐹中，tan59°=∴𝐵𝐹=𝐶𝐹×tan42.3°在Rt𝐵𝐶𝐹中，tan42.3°=∴𝐴𝐸=𝐶𝐸×tan68.2°≈在Rt𝐴𝐸𝐶中，tan68.2°=设𝐶𝐸=𝑥米，𝐷𝐹=𝑦利用三角函数的比值关系表示出𝐴𝐸，𝐵𝐹的长，利用𝐴𝐸𝐵𝐹【详解】解：如图，作𝐴𝐸𝐶𝐷于点𝐸，𝐵𝐹𝐶𝐷于点𝐹，则𝐴𝐸=6．（2026·陕西·模拟预测）∠𝐴𝐸𝐹=30°,∠𝐴𝐶𝐵=58°,𝐶𝐺=10m，𝐸𝐺=≈cos58°≈0.53,tan58°≈1.6,3≈∴𝐴𝐵=∴𝐴𝐵=1.6𝑥≈∴1.6𝑥+10=103+3𝑥，解得：𝑥≈∵𝐴𝐵+𝐵𝑀=∴𝐴𝑀=𝐸𝑀⋅tan30°=3(30+𝑥)=103+3𝑥由题意得：𝐶𝐺=𝐵𝑀=10m，𝐶𝐵=𝐺𝑀，设𝐶𝐵=𝐺𝑀=𝑥m，则𝐸𝑀=𝐸𝐺𝐺𝑀=(30+在Rt𝐴𝐶𝐵中，∠𝐴𝐶𝐵=∴𝐴𝐵=𝐶𝐵⋅tan58°≈1.6𝑥m．在Rt𝐴𝐸𝑀中，∠𝐴𝐸𝑀=30°，𝐴𝐵+𝐵𝑀=𝐴𝑀，得1.6𝑥+10=103+3𝑥x值，然后由𝐴𝐵=1.6𝑥𝐴𝐵=𝐶𝐵⋅tan58°≈1.6𝑥m；解Rt△𝐴𝐸𝑀，得𝐴𝑀=𝐸𝑀tan30°=3(30+𝑥)=103+3𝑥m【分析】延长𝐴𝐵交𝐸𝐹于点𝑀，设𝐶𝐵=𝐺𝑀=𝑥m，则𝐸𝑀=𝐸𝐺𝐺𝑀=(30+𝑥)m．再解Rt△𝐴𝐶𝐵的仰角为26.7°，且斜坡𝐶𝐷的坡度𝑖=5∶12，其中点𝐴，𝐶，𝐺，𝐹在同一条水平直线上．求：旗杆𝐴𝐵的高．（精确到1米）（参考数据：sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈【答案】【答案】(1)5过点𝐷作𝐷𝑀𝐴𝐵，结合45°仰角得到𝐴𝐶=𝐴𝐵，再利用26.7°仰角的正切值，列出关于𝐴𝐵的方程，依【详解】（1）斜坡𝐶𝐷的坡度𝑖=设𝐷𝐺=5𝑥，则𝐶𝐺=∵𝐶𝐷=13，𝐷𝐺2+𝐶𝐺2=∴(5𝑥)2+(12𝑥)2=132，解得𝑥=∴𝐷𝐺=（2）解：如图，过点𝐷作𝐷𝑀𝐴𝐵，垂足为𝑀，设𝐴𝐵=解得𝑦≈ ≈在Rt𝐵𝐷𝑀tan26.7°=∴𝐷𝑀=𝐴𝐺=𝐴𝐶+𝐶𝐺=(𝑦+=∴𝐴𝐶在Rt𝐴𝐵𝐶tan45°=由（1）得𝐷𝐺=5(m)，𝐶𝐺=12(m)，𝐵𝑀=𝐴𝐵−𝐴𝑀=𝐴𝐵−𝐷𝐺=组长 组员组长 组员方向，测得：𝐴𝐶168米，𝐵𝐷=80BA的北偏东30°方向上，DE的北偏东53°方向上． sin53°≈5，cos53°≈5，tan53°≈3，3≈【答案】(1)210(2)865.6D作𝐷𝐹𝐴𝐸交𝐴𝐸F【详解】（1）D作𝐷𝐹𝐴𝐸交𝐴𝐸由题意可知：∠𝐹=90°，𝐷𝐹=𝐴𝐶=在Rt𝐷𝐸𝐹sin∠𝐹𝐸𝐷=∴𝐷𝐸=sin53°

=步道𝐷𝐸210解：在Rt𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐸𝐴𝐵=30°，𝐴𝐶=∴𝐴𝐵

=336，𝐵𝐶

=168在Rt△𝐷𝐸𝐹中，𝐸𝐹=

=∴𝐴𝐸=𝐵𝐷+=80+168==168围栏长度为：𝐴𝐵+𝐵𝐷𝐷𝐸=336+80+210+168=580+168≈865.6（米和汽车折臂升降机的折臂底座𝐶𝐷都垂直于地面𝐸𝐹，且它们之间的水平距离𝐵𝐷=