2026年中考数学二轮复习 专题04 函数实际应用(知识清单)

04内容导第一部 命题解 洞察命题意图，明确攻坚方考向聚考向聚 ►能力清第二部 技法清 构建思维框架，提炼通用解技法技法技法技法技法技法技法技法 一次函数行程问技法 二次函数实物建模问第三部 分级实 分级强化训练，实现能力跃命题解技法01 解决营销问题：主要考查将销售中的数量关系抽象为函数模型的能力。常以求一次函数或二次函数解析式为基础，结合不等式求自变量取值范围，最终利用函数性质技法02 函数方案问题：重点考查方案设计与择优的建模能力。常以“租车方案”“进货方案”等形式出现，要求根据限制条件列出函数关系式，通过不等式组确定可行方案技法03 一次函数行程问题：考查从函数图象中获取信息解决行程问题的能力。常以两车（或两人）运动为背景，图象表示距离与时间的关系，要求求速度、相遇时间、相距技法 一次函数其他应用问题：涉及用其它等实际情景。常考查分段函数的理解与技法 二次函数图形问题：考查利用二次函数解决几何图形中的面积最值问题。常技法 二次函数实物建模问题：以抛物线形实物（如拱桥、喷泉、投篮轨迹）为技法 二次函数的其它应用问题：包括二次函数运动轨迹综合问题等。常与方程、不技法 与反比例函数有关的跨学科问题：常与物理（压强与受力面积、电流与电阻）技法09 反比例函数与其它函数的实际应用：考查反比例函数与一次函数综合的实际问题。如工程问题（工作量一定，人数与时间关系）、行程问题（路程一定，速度与时间系），□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□数学建模能力：实际意义解释能力：技法清技0解决营销问（注意顶点是否在范围内【典例01（2025·山东青岛·模拟预测）在中国大陆长达1.8万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（510月水（1）①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于6元/②x（元/瓶）y（箱的数据：发现当售价为3元瓶时，该矿泉水的需求量为100箱，售价每上涨0.5元，需求量就减少5箱．③y（箱x（元/瓶）x（元/瓶y（箱

（元/瓶）关于月份tx

1t1

1t27t372 y（箱y（箱x（元/瓶）x利润（元/瓶）【答案】(1)y

10x130；

6x利润该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为4元，按照该价格出售获得的总利润为2160x

x

1t623 10x130360x4，进而求得t7（1）解：∵当售价为3元瓶时，该矿泉水的需求量为100箱，售价每上涨0.5元，需求量就减少y

100x3510x130，3x6根据信息③y（箱x

=kx3y120k360

供给∴y

360，3x6解：6x利润依题意， 1t1，

1t27t售

成 x

x

x

1t11t27t371t23t391t62 ∴当t66x利润y10x

供 10x130x14x29（舍去x4y需求y供给90

1t14t7 1t27t371727737 总利润为4390242160（元答：该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为4元，按照该价格出售获得的总利润为216002（2025·云南·模拟预测）为传承云南本土非遗文化，某学校开展“非遗文化进校园”A、B两种非遗文创用品（A为傣族织锦书签，蕴含对称、比例等数学元素；B为永子围棋迷你(1)yxW元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？【答案】(1)y30x0x50且x为整数(2)A150B505500yxx（1）解：当0x50yxykxk0，把50,1500代入得，50k1500，解得k30当0x50yxy30xx50yxyaxba050ab 150ab解得

abx50yxy10x1000y

30x0x50且x为整数（2）解：QA60B3 x x3200解得60x150W10x100060200x50x13000Q400Wxx150时，W最小，最小值为50150130005500（元B20015050（件A150B50550003（2024·广东·模拟预测(1)y

，当x1时，y的取值范围是；当y1时，x的取值范围是的季风爬过大坡才能抵达北京，极易丢失水汽．19512019年，北京平均每年大雪以上天数仅有0.4天．20231213日这场大雪可谓是个稀罕事．北京特色茉莉香茶成本为40元/y（元）与降雪量k（毫米）降雪量k(毫米y（元p（袋）与降雪量k（毫米）p2000k0①y与k②仅看下雪天的情况，其中k③在②的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为8.0毫米）进行“买三送一”活动，并调整了【答案】(1)3y0x3x0(2)①y0.5k48；②115000元；③60①②设销售利润为w，根据利润（销售单价成本）ykpk的关系，得到wk的关系式，然后根据反比例函数的性质即可求解；③设此时店铺的一袋茉莉香茶为m元，则依题意得15m442020（1）解：Qy

，30yxx1y

33x1时，y的取值范围是3y0y1x33y1时，xx3x0；3y0x3x0；（2）解：①yakba2kb得6kb45k解 b∴y0.5k48②设销售利润为wwy40p0.5k484020001600010001k8 ∵160000∴在1k8w随着k∴当k1w取得最大值，最大值为16000100015000115000③∵降雪量为8.0∴44∵进行“买三送一”20设此时店铺的一袋茉莉香茶为m元，则依题意得，15m442020，解得m6060【变式01（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）某公司销售一种新型节能产品，现准备从线上和线下两种y

x1502062500元，设月利润为W（元（利润＝销售额-成本-广告费150a元（a为常数，且10a40x件时，每月还需缴纳利润为W线下（元（利润＝销售额-成本-附加费．当x1000件时，y ；W线上 分别求出W、Wx之间的函数表达式（x的取值范围

x2x为何值时，W的值最大？若W的最大值与Wa5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策：选择在线上销售还是在线下销售才【答案】(1)140元，57500

x2130x62500

x6500时，Wax1000y

x150y140x1000x5000时，W

500065002360000337500（元x5000

x25000a500000x1000yy140（元W线上yx20x

x150

x150x20x62500 故W

x2130x62500x1000时，W

1000213010006250057500（元解：根据题意，得W

x2130x62500

x2，其中10a40解：根据题意，得W

x2130x

x213000xx6500时，W360000由W

x2

41100又W的最大值与W 1360000 4100 整理得150a236004故150a120或150a120，解得a30或a270，又10a40，则a270舍去，故a30．解：根据题意，得W

x2130x

x213000xx5000W线上

500065002360000337500（元x5000时，W

x25000a500000当W线下W时，则5000a500000337500，解得a32.5，当W线下>W时，则5000a500000>337500，解得a<32.5，当W线下<W时，则5000a500000<337500解得a>32.5又10a40故当a32.5当10a<32.5时，选择线下销售获利更多；当32.5<a4002（2025·安徽亳州·一模）学校计划租用客车送师生到金寨县某红色教育基地，参加主题为“缅怀A，B2A32204A1B240人．材料二：A2400元/辆；B2000元/辆．10辆．任务一：A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少?m的取值范围；wwm之间的函数表达式，并求本次研学活动学校【答案】任务一：A50人，B40任务二：m的取值范围是3m6m任务三：wm之间的函数表达式是w100m21000m1400016100A，Bx，yAmB型客车10m430人，列不等式50m4010m4306A型客车，即可解答；任务三：根据租车费用公式计算总费用，利用二次函数的图像与性质解答即可【详解】解：任务一：设：A，B2x3y根据题意得4xyx解得y答：A50人，B40AmB型客车10m430人，则50m4010m430即10m30解得m6Am的取值范围是3m6m任务三：根据题意得w2400m100mm200010m即w100m21000m14000函数图像开口向下，关于m因为3m6

2

5所以当m3时w100m21000m14000100m21000m10032100039003000答：wm之间的函数表达式是w100m21000m1400003（2024·湖北·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务．140元/2】据调查，该商品的网上销售价为60元/200x0x2020x380元/1y（单位：元）xW（单位：元）x（总毛利润网上毛利润实体店毛利润3】拟定价格方案：经综合分析，该公司认为总毛利润在814010元时，是每天销售这种商品的最1：①y20x2200x4000；②W20x2120x80002：当该小商品的网上销售价是每件57元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大，最大总毛利润是81803x1.5x322.5均可，例如网上销售价为58.5元，总毛利润为81351：①根据毛利润单件利润销售量，计算即可得解；②根据总毛利润网上毛利润实体店毛利23813020x3281808150，求出1.5x322.51：解：①y6040x20020x20x2200x4000②由题意可得：Wy80401002x20x2200x4000400080x20x2120x8000；2：W20x2120x800020x328180，∵200∴x3时，W最大为818060357（元故当该小商品的网上销售价是每件5781803813020x3281808150∴1.5x322.5∴x符合1.5x322.5均可，例如网上销售价为58.5元，总毛利润为8135技0函数方案问一次函数解析式与性质、一元一次不等式（组【典例01（2025·山东青岛·模拟预测）A型、B8A5B4404A6B304元．(1)AB(2)AB75AB3倍，则【答案】(1)AB40元，24(2)A57个，B182712ABx元，yAaaa（1）ABx元，y8x5y x可得4x6y304y24 AB40元，24（2）AaB型放大镜75aa375aa56.25（a为整数a的最小值为57，w40a2475a16a1800，∵160∴wa∴当a572712∴A57个，B18271202（2025·广东广州·一模）15755天试x（元/千y（千克）x（元/千克）之间的函数关系，并求出这个函数关系式（x(2)y（千克）x（元/千克）之间都满足（1）510元/10天后，该商户为清空库2天的时间全部售完，则新的售价最高定为多少元/2天都按新的售价【答案】(1)y(2)6元/2900yx成反比例函数，再利用待定系数法求出反比例函数解析300a元/900a（1）yxyk把1850代入，得k1850900yxy900（2）6天共销售苹果50607590100375千克10元/90千克，10天后，还剩下苹果15753759010300（千克由2y300y150．y150y900x6Q9000yxy150x66元/6元/203（25-26九年级上·河北·期末）为了提高检票效率，减少运营成本，某高铁站的调配团队研究了y（人）x（分钟、开放检票通道数量n（个）之间的关系，有以下发现：发现1：候车总人数（人）y1x230x50发现2：已检票人数（人）y26nx发现3：排队人数（人）yy1-y2（其中0x150n10x为整数）当开放4条检票通道，排队人数y（人）与检票时间x（分钟）的函数关系式为在（1）y（人）若要求排队人数最晚在第7分钟后（包括第7分钟）开始减少，且尽量少安排检票通道，以节省开支，【答案】(1)yx26x50y（人）在第3分钟达到最大值，最大值是59至少应打开3（1）（2）由（1）y（人）x（分钟）yx26x50，然后通过二（3）yx230x506nxx2306nx50，因为要求排队人数最晚在第7（包括第7分钟）x306n7，即153n （1）解：当开放4y（人）x（分钟）yx230x5064xx26x50，yx26x50；解：由（1）y（人）x（分钟）yx26x50∴yx26x50x3259∵10∴x3y达到最大值，最大值是59∴y（人）在第3分钟达到最大值，最大值是59yx230x506nxx2306nx50∵要求排队人数最晚在第7分钟后（包括第7分钟）2∴x306n7，即153n7，32n82.67，n∴n3∴至少应打开301（2025·河南开封·一模）活动二：所购商品按原价．20050(1)若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需 元，选择活动二时需 元(2)x元，当400x600y（元）（元）【答案】(2)y10.8xy2x当500x600x500400x50020050320x的函数表达式，再通过比较两个函数的大小，分情况讨论哪（1）320元的该商品，选择活动一时需付0.8320256（元3202001…120，则选择活动二时需付320501270（元（2）当400x600y1xy10.8x，y2xy2x100，y1y2时，得0.8xx100xy1y2时，得0.8xx100xy1y2时，得0.8xx100x∴当500x600当400x500时，选择活动二更省钱．02（2025·天津西青·二模）某校八年级（1）班共有学生50的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用780x（元桶）与年y（桶）之间满足如图所示关系．yx若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算，从计算结果看，你有何感想？（不超过字【答案】(1)y80x48ykxb，根据题意得出kbyx设该班每年购买纯净水的费用为W元，解出二次函数求出W（1）ykxbQx4y400x5y3204004kb解之，得k3205k byxy80x720解：该班学生买饮料每年总费用为501206000(元)，y38038080x720x4.25．该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为3804.257802395元)．解：设该班每年购买纯净水的费用为WWxyx80x72080(x9)21620当x9时 1620则50aW最大值780，即50a1620780，解之，得a48元．所以a至少为48100元；公司基于运营数据和区域需求预测，规定AB20辆BAAxB区域时，B区域共享滑板车的日租借率为50%5%xB区域的停车空间和市场容量，日租借率最高不超过80%10AxBx的式子表示调配这些滑板车的y（元x的取值范围BWx的函数关系式，并求出W的最大值．40元．8001y100x0x202：W0.5x215x1000x6；W208；问1yx2：根据日租借率最高不超过80%x6W1020x50%5%x0.5x215x1003：分别求出当40x800x20，当40x800x20，当40x800x20，然后进行1y100x0x20；2：∵日租借率最高不超过80%，∴50%5%x80%x6W1020x50%0.5x215x100x

2

15∴当0x6时，Wx∴W0.5621561002083：当40x800x20，当40x800x20，Q20∴当40x800x20∴2020辆时，选择方案一或方案二都技0一次函数行程问一次函数图象与性质、待定系数法、行程问题中的路程＝【典例01（2025·黑龙江·模拟预测）甲、乙两名学生同时从同一地点出发，前往同一学校．甲骑单车，541是甲、乙行驶的路程S与时间t的函数图象．分别写出甲、乙的行驶路程S与时间t求途中甲乙相遇时的时间t设甲到校前，甲、乙两人之间的距离为W，图2是W关于t的函数图象，则a ，b 【答案】(1)甲的行驶路程S与时间tS250t；乙的行驶路程S与时间t521850，1得出甲行驶的时间和路程，计算出甲行驶的速度，即可得到甲的行驶路程S与时间t的函数表达式，再分别求得乙行驶两段的时间和路程，计算两段路程的速度，即可得到乙的行驶路程S与时间t的1得出当甲、乙行驶的路程一样的时候是甲乙两人相遇的时候，即OABC相交时，求得交点的坐标即为甲乙相遇时的时间t；2a，b1（1）解：由题意，∵424∴20∴甲的速度5000250（米／分∴甲的行驶路程S与时间tS250t，1知，乙的行程分成OBBC两段，当0t5时，乙的速度3100620（米／分∴此时表达式为S620t当5t24时，乙的速度50003100100（米／分24∴S100tb将点245000代入表达式，即S100t2600∴乙的行驶路程S与时间t的函数表达式为故：甲的行驶路程S与时间tS250t，乙的行驶路程S与时间t解：由题意，设甲行驶了t∴250t100t2600t52（分2得，5分钟时两人相距最大，当tb∴当t5时，根据乙的行程减去甲的行程可以得a310052501850∵1D∴bt52故答案为：185052【变式01（2025·天津·一模）AB地，甲骑行20min后因事停留了20min，然后继续按原速骑行40minB地；乙骑行75minBA，B相距15kmx表示时间，yAA地的距离与时间之①图中a ，b ②甲出发50min离A地的距离 km③乙骑行的速度 Ayxx当甲乙相距1.5km时，甲出发的时间是多少？（直接写出结果即可【答案】0.25x0xy520x 0.25x540x65min或70min（1）①a的值；根据“速度＝路程÷时间”求出甲骑行的速度，再由“路程＝速度×时间”求出20minb的值；A（1）解：①Q甲骑行20min后因事停留了20min，然后继续按原速骑行40minBa202040∵甲骑行的速度为1580200.25km/min，甲骑行20min的路程为0.25205km∴b5②甲骑行的速度为 0.25km/min80甲出发50minA地的距离是50200.257.5km，解：当0x20ykx，将205520k，求得k0.25，当0x20y0.25x；当20x40y5；当40x80ymxn40mn80mn

m，解得n 当40x80y0.25x0.25x0x综上，甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式为y520x 0.25x540xyex，把75,15代入，得1575e，解得e0.2，∴y0.2xAyxy0.2x0x75．A地的距离与时间的图象如图所示：当0x200.25x0.2x1.5x30（舍去当20x4050.2x1.5x35（舍去）x65 当40x750.25x50.2x1.5x70x130（舍去当75x800.25x5151.5x74（舍去）x86（舍去x65∴当甲乙相距1.5km65min或70min【变式02（2025·山东青岛·三模）小明元旦从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，比妈妈返回商店早5分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为t（分钟，图1表示两人之间的距离s（米）与时间t（分钟）的函数关系的图象；图2ABy1（米）与时间t（分钟）的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息解答下列问题：点M的坐标 请求出图2ABy1（米）与时间t（分钟）t的取值范围；在图2y2（米）与时间t（分钟）直接写出t为何值时，两人相距180【答案】(1)y160t18000t309分钟或11分钟或33.5（1）分别求出小明和妈妈的速度，再求出妈妈到家所用时间和在家停留的时间，从而求出点M的横坐标，求出此时小明离开家的距离，即M的纵坐标，进而得到M的坐标即可；根据路程速度y1与ty2与t根据t的取值范围，当两人相距180米时分别列关于t的方程并求解即可．（1）解：小明的速度为18003060(米分钟，则妈妈的速度为1800601010120(米分钟，妈妈到家所用时间为180012015(分钟)妈妈在家停留的时间为3051525分钟15520(分钟点M的坐标为2060201200(米点M的纵坐标为1200点M的横坐标是20,1200．20,1200．y1180060t60t1800y1米与时间t分钟的函数关系式及自变量ty160t18000t30．当0t15y2120t，当15t20y21800当20t35y21800120t20120t4200y2与t的函数关系式为

120t0t1800(15t 120t4200(20t在图2y2米与时间t分钟解：当0t15时，两人相距18060t1800120t180，解得t9或11，当20t30时，两人相距180米时，得120t420060t1800180解得t37舍去或43舍去当30t35时，两人相距180米时，得120t4200180，解得t33.5．t为9分钟或11分钟或33.5分钟时，两人相距180技0一次函数其他应用问一次函数解析式、分段函数、待定系数法、方程（组）与不等式（组01（2026·陕西·一模《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，（小时（小时（厘米yx之间的函数关系式；100厘米【答案】(1)y6x(2)下午6（1）（2）把代入（1）x（1）yxykxb由0,6，2,18得 b 182kk解 b∴y6x6（2）y66666x6∴x10则81018∴下午601（2025·江苏连云港·二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路y(千米/时）x（辆）的关系如图所示．(1)yx(2)50千米/①②23辆．已知该高架路上车辆的平均速度小20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．为了避免严重拥堵，那么最晚多少分钟需启动限流【答案】(1)y2x(2)①15辆，②10yxykxb（k、b为常数，且k0，将坐标1060和2040x①y50，列方程求解即可；②y20x30，再计算301532（1）yxykxb（k、b为常数，且k0将坐标1060和2040yx的函数解析式，10kb得20kb40k解 byxy2x80（2）解：①y50时，得2x8050，x15，15②y20时，得2x8020，x30，30153210（分钟1002（25-26八年级上·山东济南·期中）1展示了两种水杯的外形，1号2号水杯为底部厚度忽略不计的普通圆柱形。图2描述的是1号水杯中水的体积V1求V1与h（不需要写出自变量的取值范围h与h（不需要写出自变量的取值范围h/V2/h【答案】(1)V1与h之间的函数表达式为V130h作图见解析，V2与h之间的函数表达式为V2当h为8cm或4cm时，1号杯和2号杯中水的体积相差通过观察函数图像确定一次函数的两组对应值，利用待定系数法求出V1与h根据表格数据判断V2与h分“V1V2”和“V2V1”两种情况，列方程求解满足体积差为10mL时的h（1）解：设V1与h之间的函数表达式为V1khb（k、b为常数，且k0，将10和11300分别代入V1khb，0k得 30011k得10k300k30把k30代入①得30b0，b30，二元一次方程组的解为k30bV1h之间的函数表达式为V130h30解：描点并连线如图2V2与h之间的函数表达式为V225h|V1V2|10①当V1V21030h3025h10，h8②当V2V11025h30h301025h30h3010h4，答：当h为8cm或4cm时，1号杯和2号杯中水的体积相差10ml．技0二次函数图形问01（2024·湖北·模拟预测）如图①D，E分别是VABCABACDEBCAD1BD，则VADE与的高之比 F、GBCDGxxDEFG面积最大．AB50mBC100mCD60m，且B∠C45ABCD内建造一PQMNM、NBCQ、PAB、CD上，为了满足居民需PQMN10040【答案（1）4（2）x10（3）绿化改造所需费用至少为 xPQMN（1）∵∴△ADE∽△ABC∵AD1∴AD：AB4∴VADE和VABC1∴VADE与VABC14ANBCNDE∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴DE：BCAM：AN∵VABC的面积1BCAN100BC10∴AN20∵DGx∴MNx，AM20xD10）20∴DE101x∴DEFG的面积DEDG101xx1x10250 2 ∴x10DEFGBA，CDEEFBCFPQGPN∵B∠C45∴BEC90∴EF50m∴CEBE502m

1BECE1502

2500m2∵AB50m，CD60m∴AE 50m，ED 60m

1AEDE1

50

60400027502m2∴ABCD的面积SVBECSVAED2500400027502PQMN的面积最大时，费用最小，PNxm，则GFxm,EG50xm，∵PQ∥BC∴△EQP∽△EBC∴EGPQ50xPQ

∴PQ1002xPQMN的面积PQPN1002xx2x2100x2x2521250∴x25PQMN的面积最大，最大值为1250m2 150012502750 1m2所以，绿化改造所需费用至少为2750 1100125040 22500001（2025·陕西·模拟预测）如图①，在学校实践基地矩形MNKL中，一个花坛的轮廓可近似看成ABAB在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，如图②AB6ABPAB交于点OP是抛物线的顶点，且OP9米．根据种植需求规划方案如下：第一步：在线段OP上确定点C，使ACB90ACBC分隔出VABC区域，种植牡第二步：在线段CPF（不与CP重合FABDE，用篱笆DECFACBC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．为方便记录划分数据，在图②中以点OABxOPy(1)(2)6DE与CF【答案】(1)yx²9(3x(2)DE4CF2在Rt△ABCOAOB，则OC1AB163得到CFOFOCm293m26 （1）解：如图QOPABAB6OAOB1AB163 B的坐标为(30)QOP9P的坐标为(09)QPyax29QB(30)yax299a9ayx²9(3x3（2）解：QD，Eyx²9E的坐标为(mm29)QDE∥AByFDFEFm，OFm29DE2mQ在Rt△ABCACB90，OAOBOC1AB163 .CFOFOCm293m26DECF6m262m6m12，m20(不符合题意，舍去m2DE2m4，CFm26226DE4CF2【变式02（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，用一段长为36mAD靠墙（无需篱笆）ABCDEFEF∥AB，墙长15mABxmABCD面积为ym2y关于x的函数解析式 （写化简后结果，x的取值范围 ABCDBC在（2）ABFEEFCD分别种植甲、乙两种农作物．甲农作物的年收入（单位：元）与种植面积S（m2）的函数关系式为W12S2210S，乙农作物的年收入W（位：元）与种植面积S（m2）的函数关系式为W270S8918元，BFam，求a的取值范围．【答案】(1)y3x236x7xABCD面积的最大值为105m2BC的长为2aABxmBC363xyABBC可得解析式，根据0BC15x将（1）xBFam，则CF15amaABFEEFCDW1W28918，“乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍”a的不等式，解不等（1）BC363x，且0BC15，解得7x12，yABBCx363x3x236x，y3x236x7x12；解：Qy3x236x3x62108x6，开口向下，在对称轴右侧，yxQ7x12x7y3762108105m2，BC363715m，ABCD面积的最大值为105m2BC的长为15mBFam，则CF15amABFEABBF7am2EFCDEFCF715am2

27a22107a98a21470aW270715a490a7350，由题意得：W1W28918，即98a21470a490a73508918，化简得a210a160，解得2a8Q解得a5，a的取值范围为2a5技0二次函数实物建模问根据题意合理建立平面直角坐标系（y轴（顶点式或01（2025·贵州遵义·一模1L1L1AB为200mL1最高点（顶点）到桥面的距离为90m23L1在（1）的条件下，在主拱与桥面之间设置等距的吊杆（垂直于桥面9根吊杆，求从左到3根吊杆的长度；4L1右边修建副拱为抛物线L2L2ABK、F（KF左边80BF120L2的顶点需在一个正方形MNPQ内（PN右边MNDDN20，DM30，BD40，求抛物线L2（2）（3）

（1）2yax1002903yax290x60设抛物线Lyaxh2k，则其顶点为hk，则140h15020k30h140k30代入a

，得a

；把h150k20a

，得a

(220

(220

L1ya(x100)290，A00a(0100)2900解得a

∴L1y

(x100)290L1yax290，A1000a1002900解得a

∴L1y

x2902y

(x100)2909AB10等份，每一份的距离为20m．3x值为32060m．x60y

601002903根吊杆的长度是75.6m3y

x2909AB10等份，每一份的距离为20m．3x值为40m．x40y

4029075.63根吊杆的长度是75.6m3的坐标系，设抛物线Lyaxh2k，则其顶点为hk QL2的顶点在正方形MNPQDN20DM30BD40B1000，则140h15020k30．Q80BF120∴x10080x100120y0把1800把(2200)

180h2k0，220h2k0，

(220FF把h140k30代入

，得a2

3把h150k20代入

(220

，得a2

(220

1∴抛物线L2二次项系数的取值范围为

12BB(00设抛物线Lya(xh)2k，则其顶点为(hk QL2的顶点在正方形MNPQDN20DM30BD40，则40h5020k30．Q80BF120∴x80x120y0把(80,0)代入ya(xh)2k，得a(80h)2k0，a 把(120,0)代入ya(xh)2k，得a(120h)2k0，a FF把h40k30代入

，得a2

3把h50k20代入

，得a2

1∴抛物线L2二次项系数的取值范围为

101（25-26九年级上·山西大同·期末）Oy（m）x（m）yaxh2b(a0)xy①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离 m②在水平距离5m处放置一个高1.55m的球网，羽毛 yxy0.2x4.525.22.75m时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为d1，第二次接球的起跳点的水平距离为d2，请比较d1，d2（1）4；②能（2）y1x425（3）dd ①②根据图象和二次函数性质推出4n5由（1）yaxh2b(a0)y2.75时，分别代入（2（3）中的解析式中求出d1和d2（1）①yaxh2b(a0)xh264当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是4m，4；②Qx4y5x6y4x54n5n1.55羽毛球能过网；解：Qx4y5b5yax425Qyax425过点0,1a0425解得a1y1x425y2.75时，有1x4252.75x11x27Qd17my2.75时，有0.2x4.525.22.75，x11x28，Qd28mQ87d1d202（2025·湖北·一模）如图①是一个圆形喷水池，其以vm/sh（m）t（s）hvt5t2任务一：当v30m/s时，求水流从喷出到落地需要的时间，并在图②中画出函数的图象；任务二：根据设计需求，水流从喷出到落地的时间需保持在4sv的最小值；h的范围为20h25【答案】任务一：时间为6s20m/s20m/s£v£105m/s把h0代入二次函数解析式中，可得v5t根据最大高度为25时或者最大高度20当v30m/sh30t5t2，令30t5t20，解得t10（舍去t26∴水流从喷出到落地需要的时间为6s令vt5t20，则v5t，vt∴当t4sv最小5420m/s；∵h=vt-5t2=-æ

v10

+20∵50当最大高度为20

20解得v20（不合题意，舍去）或v20当最大高度为25

25v105（不合题意，舍去）或v105；故水流速度的取值范围为20m/s£v£105m/s．技法 二次函数的其它应用问01（2025·湖北襄阳·模拟预测）某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是．刹车后行驶的时间刹车后行驶的时间发现：①开始刹车后行驶的距离s（m）与刹车后行驶的时间t（s）②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停求s关于t当汽车刹车后行驶了63m时，求t当汽车司机发现正前方处有一辆抛锚车停在路面时立刻刹车，若刹车时汽车距离抛锚车76m，问该车在【答案】(1)s3t2当汽车刹车后行驶了63mt求出s63时，ts（1）解：设sat2btca0abc则4a2bc48ca解得b30c∴s3t230t3t230t63，解得t13,t27，∵s6372∴t4∴t3答：当汽车刹车后行驶了63mt3∵s3t230t3t5275，30∴当t5s有最大值，最大值为75∵7576∴01】250毫升低度白酒后，其血液中酒精含量（毫克/百毫升）随时间的增加逐步增yxy表示血液中酒精含量（毫克/百毫升，x表示饮酒后的时间（小时．xOy中，以上表中各对数值为坐标描点，图中已给出部分点，请你描出剩余的yx变化的函数图象；x320毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上2030250毫升低度白酒，第二天早上700能否驾【答案】(1)当0x3y200x2400xx3y x3y20x（1）解：根据题意得：当0x3时，yxx3时，yx 5当0x2时，此时二次函数的图象的对称轴为直线yxyax12200

把点2,150代入得：150a1200 a200y200x12200200x2400x；x3yxyk， 将点545k225∴y225y20y225x11.25∵晚上2030经过11.25小时为第二天早上745∴第二天早上745∴第二天早上70002（2025九年级下·广东佛山·学业考试）【发现问题】“速叠杯”1所示：每层都是杯口朝下排成yxx22中点的分布情3，再借助yx的关系式．yx284NDMANDMAAB长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过108cm，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数．【答案】(1)y1x21 7945个；杯子叠放达到的最大高度是603，再借助yx的关系式；y28代入（1）根据弧长公式先求得MA6cm9个，进而求得总数，根据MDMA得出VOND∽VOMA，勾股定理求得OM的长，利用相似三角形的性质得出MN的长，进而即（1）y123x1x1x1x21x y281x21x28 x17,x28（舍去7BMA6cm∵第一层摆放杯子的总长度不超过108cm，x个，则62x108，x9,x9，9∴y191945（个4OA18cm,OD8cmNDODON84182 182OA2AMRtOA2AMON4OM162cm MNOMON202(cm)∴9MN602cm

122(cm)技法 与反比例函数有关的跨学科问反比例函数的图象与性质、跨学科公式（物理、化学k值，再解决相关问题。注意单位统一。01（2025·宁夏·模拟预测阻力臂=动力×动力臂，如图1FAL1FBL2杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点OL11mL20.4m80NA若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力 BL2B

L2ymy关于x的函数解析式 ②x/y/a ；b ③在图2【答案】①y80x04，1.6③(1)FAL1FBL22)①FAL1FBL2y80②根据①所求求出a、b③（1）解：FAL1FBL2∴FBFAL1801200N ∴B所受拉力为200N，200．（2）解：FAL1FBL2LFAL1y80180 y80x0②由①x20a804x50b801.64，1.6③01（2025·吉林·三模）如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定ρ（kgm3）V（m3）变化的关系图象如图②所示．结合图③该容器内氧气的质量 kgρ关于体积V若该容器的体积V为25m3ρ【答案】ρρ为0.32kgρmρ，V把V25m3代入（2）（1）m248kg，（2）ρk(k0)由图可知，该函数过点(42)kxy428ρ8．V为25m3，ρρ为0.32kgm3

80.32(kg/m3)【变式02（2026·上海闵行·一模）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购pPa46Sm21.26p（Pa2.42.5(1)pPa关于接触面积Sm2的函数表达式（不写定义域(2)【答案】(1)PpPa关于接触面积Sm2的函数表达式为pF木地板的2.4107Pa。当压强最大时，接触面积最小。p2.4107代入（1）中所求函数表达式中，即可求（1）pPa关于接触面积Sm2pF将4104,1.2103pFF41041.210348pPa关于接触面积Sm2p48（2）解：值，即木地板的2.4107Pa。当压强最大时，接触面积最小。p2.4107p48S 2.4

2106答：该机器人与地面的接触面积至少为210603（2025·浙江杭州·三模）112为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量R（k）RR1R2R210kΩ．体质量为1.2kg时，电流表显示为0.2mA．当放置物体质量为1.2kgRIR为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为0.15I0.5（mA，求该电子秤所称物品质量的【答案】(1)IR1kxbk0x1.2R1RR1R2即可R的值；由（1）R30kI0.2mA（1）3R1（k）x（kg）R1kxbk0 3.2kbb解得k10R110x32x1.2R1101.23220kΩ，RR1R2201030kΩ，R的值为30kΩImAR（k）Im由（1）R30kI0.2mAmIR0.2306IRI6解：QI6R6RIQ0.15I0.5I0.5R60.512，R1取最小值，最小值为：12102kΩ，QR110x32R12时，x取最大值，令10x322x3，即该电子秤所称物品质量的最大值为3kg技法 反比例函数与其它函数的实际应01（2025·广东广州·二模）如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度随时间变化的部分示意图.该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到4C时开始制冷，温度开始逐渐下降；当温度下降到20C时停止制冷，温度开始逐渐上升；当温度上升到4C时，再次开始制冷，L按照以上方式循环工作.通过研究发现，当0x4yx的一次函数；当4xtyx的反比.(1)求当4xt时的反比例函数关系式，并求出t(2)若规定温度不高于8C【答案】(1)y80t(2)9由函数图象可知当时间为4xt时，温度与时间之间是反比例函数关系，由图象上点420求出y4t的值即可；y8x（1）解：设当4xtyk由图象可知，点(420)k20k80当4xty80y4480t20（2）y8808设当0x4ymxn，由图象可知，点(04)，点(420)在函数图象上， n则4mn20mn当0x4y4x4，y84x48，x11019（分钟9【变式01（2024·浙江台州·三模）某综合实践小组准备研究心率（每分钟心跳次数）与跳绳活动（每分160次左右）持续时间的关系，用实测心率占最大心率的百分比（也叫相对心率）来描述运动后的即yyyx之间的函数表达式．【答案】(1)y3600x（1）y100

，分别把(0403060)x300；根据样本估计总体，全校男生跳绳中的相对心率与持续跳绳时间的关系也符合这一变化规（1）xyxy增加值的差不相同，所以该函数不是二次函数；xy的乘积不是一个定值，所以该函数不是反比例函数（说理方法不唯一．y100

xa

40100分别把0,40，30,60代入，得， 60100 ak3600y3600100x解：Qy3600100x

30x

100

60y50x12；y60x30；y70x60；y80x120；y90x300连续跳绳12s30s是热身运动；连续跳绳30s~60s5502（2025·江苏泰州·二模）综合实践项目主题：从函数角度探究“大型滑滑梯的设计”．12所示．其次，建立平面直角CD为降速部分．A(05B(22)C4,1)yax2bxc(a0)a图像的“曲度”yk(k0)

称作该反比例函数图像的“曲度”PP(x0y0x0从二次函数及反比例函数图像特征看，降速部分 （只需填序号：①二次函数图像的一部②反比例函数图像的一部分根据曲度的定义，为使滑梯更安全，曲线AB所在的函数图像“曲度”应该 ”；兴趣小组发现整条曲线各段所在函数图像的“曲度CB降速部分曲线CDC上一点到这两段曲线所在函数图像的竖直距离，通过比较距离大小来判断（距离越小，则属于该函数的图像的可能性越大．现测得缓冲E,1.3)C更可能是哪段曲线所在函数图像的一部分．【答案】BC更可能是CD根据抛物线的性质，曲度的定义，为使滑梯更安全，“曲度”a待定系数法求得反比例函数解析式，进而可得a1A(05B(22)（1）解：CD段的函数值越来接近0AB“曲度a应该调小，解：C4,1yk(k0)4k∴k∴a 1∵y1x2bxc(a0)A(05B(22)∴c∴12bccb∴y1x22xx3y4y4 ∴d1 1.33x3y1x22x5y5 ∴d2 1.33∴d1BC段更可能是CD【变式)xmin的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从30℃加热到60℃需要10min；自然求材料加热到90℃yx90℃，①从30①从30℃加热到①从30℃加热到②自然降温到③再次加热到90℃；加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60（注：自然【答案】(1)20y（1）y90（2）（3）（1）yx∴ykxb， b

k，解得 10kb b∴yxy3x30，∴第一次加热到90时间为20yxym将(2090)代入，得m1800∴yxy1800解：由题意可知，加热时长为10分钟．恒温阶段86010470（分钟，y1800y60x30除第一次加热到60℃需要10分钟，后续60℃加热到90℃，自然降温到60℃一轮需要20分钟，一天8小时中，加热时间为10231010250（分钟，∴1（2025·触，已知电源电压恒定且压力表量程为06V，压力表示数U1R22R2（）m（单位：kg）R22m240(0m120)（当U14VR2的阻值为当托盘上货物的质量为110kg时，U1在一定范围内，U1R2因为压力表量程为06V，所以该模型可测量检测物的最大质量是【答案】A、C，再求出当m110kgR2B，当U1R2的阻值为10，此时m2得，当U14VR2的阻值为30A说法正确；当托盘上货物的质量为110kg时，令m110kgR2211024020，R220时，U1在4V和6V之间，B说法错误，符合题意；在一定范围内，U1R2C当U16R2的阻值为10，最小，此时m有最大值，即102m240即电压表量程为06V，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是115kgD正确；2（2025·20元，根252501元，每天的销售量就减101018元．1本该科幻小说，就捐赠a0<a61960a【答案】(1)y10x50030x(2)352250元设可获得利润为wWx351时，W1960（1）解：∵101820∴30xy25010x2510x50030x38解：设可获得利润为w∵100∴x35时，w352250WWx20a10x50010x210a700x500a1000030x∴x351a∴35351a38∵100∴x351a时，W∴351a20a10351a5001960 2 a12,a258（不合题意舍去∴a23（2025·速度减少了50千米BAy1（千米y2（千米）与x（小时）之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题：(1)a的值 ；甲车的速度 千米/时(2)EFyx(2)乙车减速前的速度为90千米y40x1804.5x7（1）根据图象求出a的值，由速度路程（2）设乙车减速前的速度为v千米小时，则减速后的速度为v50千米小时，根据乙车减速前后路程A、B两地之间的距离，据此列关于vE的坐标和减速后乙车的速度，根据路程速度EFyx的函数关系式．甲车的速度为46040760（千米小时 （2）解：设乙车减速前的速度为v千米小时，则减速后的速度为v50千米小时，根据图象，得4v74.5v50460，解得v90∴乙车减速前的速度为90千米904360（千米乙车减速后的速度为905040（千米小时y36040x4.540x180，∴EFyxy40x1804.5x7ABCAABCAC两点相距1200Ⅰ型和ⅡAC两点同时出发，匀速相向而行，分别到达目的地CA后停止运动．ODEF分别表示Ⅰ型和ⅡAy（米）x（分）ODEF相交于点Gmn求点G的坐标，并解释点GⅡB点比ⅠB点少用时1.2BC在ⅡB点前，求Ⅰ型和Ⅱ型两款机器人运动过程中相距不超过300x的取值范【答案】(1)G4400；点G的实际意义为当两款机器人出发4A地4003x（1）通过分析图象得到Ⅰ型、ⅡAG设ⅡB点时间，根据Ⅰ型、ⅡA、C间距关系列方程，求出时间后计B、C间距．根据“相距不超过300米”建立不等式，结合ⅡB（1）yOD100xyEF200x1200联立

yODEF200xx解得y∴G4,400∴点G的实际意义为当两歙机器人出发4A地400解：设ⅡB8点运动时间为t分钟，根据题意得200t100t1.21200，解得t3.63.6200720（米BC两个记录点间的距离为720∴Ⅰ型和Ⅱ型两款机器人运动过程中相距不超过300x的取值范围为3x3.65（2025·y（分）xkg的函数关系如图所示，已知投放纸张超过10kg后，奖励积分为25分/kg，规定积分满400分，可以兑换智能扫地机器人一台．求投放8kg求a若投放mkg

倍，求一次性投放mkg塑料和(2)18(3)1y40x100x82根据投放纸张超过10kg后，奖励积分为25分/kg，从10到a增加了8kg，可知a18（1）yxykxbk0Qx5y100，x10y300，5kb10010kbk解得 byxy40x100x8y40x100408100220，答：投放8kg塑料的奖励积分220分；解：由图可知投放10kg纸张奖励积分100Q投放纸张超过10kg后，奖励积分为25分/kga10818kg解：当0m5投放mkg的塑料的积分为1005m20m分，投放mkg的纸张的积分为10010m10m分，Q20m10m2，投放mkg的塑料的积分为40m100投放mkg的纸张的积分为10010m10mQ540m100510mm2040m10010m50m1005020100700 Q700400，不能兑换扫地机器人；当m10时，投放mkg的塑料的积分为40m100投放mkg的纸张的积分为10025m1025m150Q540m100525m150m11040m10025m15065m250651102504900 Q4900400，6（25-篮球从距地面2m的球员手中投出，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面3.8m，最高点与篮球出手点的水平距离为3m．xAy轴，建立平面直角坐标系，O为原点．E如图，若球员原地垂直起跳0.25mBAB0.25mD，求起跳点OD的水平距离OD的长；O水平距离5.8m，垂直高度3.082m处是篮框．若该球员向篮筐方向沿直线OC运球一定距离后，再垂直起跳0.25m投篮，篮球可准确落入篮筐内，请直接写出该球员向篮框方向沿直线OC运球（2）（3）y0.2(x3)2kB02.25y0.2(x3)24.05y0y0.2(xh)24.05y2.25（1）又出手点距地面2m，即出手点坐标为02，a(03)23.89a3.82，解得a0.2，y0.2(x3)23.8，E33.8y0.2(x3)23.8y0.2(x3)2k，又QB02.25，0.2032k2.25，解得k4.05y0.2(x3)24.05，y0，即0.2(x3)24.050，整理得x3220.254.52x7.5x1.5（舍去，所以，水平距离OD的长为7.5m；由（2）y0.2(x3)2y0.2(xh)24.05，O水平距离5.8m，垂直高度3.082m处，0.2(5.8h)24.053.082，(5.8h)24.842.22，解得h3.6或h8（舍去y0.2(x3.6)24.05，y2.250.2(x3.6)24.052.25，整理得(x3.6)29该球员向篮筐方向沿直线OC运球0.6m7（2025·y（元）x（亩）y2x180；小李种植水果所得报酬s（元）与种植面积xx①小李种植水果的面积为亩②小张种植蔬菜所得的总工资为元③小李种植水果所得的报酬为元若农庄支付小张和小李的总费用为4332【答案】(1)30x2x2180x120x39001812x164348根据小张和小李的总费用为4332w元，根据题意列函数解析式，根据二次函数的性质即可得到（1）解：①小李种植水果的面积为30x②xyx2x1802x2180x③小李种植水果所得的报酬为t120n30012030x300120x3900元；30x2x2180x120x3900；2x2180x120x39004332x118x212x21218亩，小李种植的水果面积为(30x)12亩；1812亩；ww2x2180x120x39002x260x39002x1524350∴x16时，农庄支付给小张和小李的总费用的最大，最大值为w216152435043488（2025·1500米的直线型路口实施绿波带，绿波控制系统设定：车辆在第1030秒，为保证安全，该路段限速60kmh（

ms．为确保车辆能连续通过第二个路口的绿灯（车身长忽略不计经过查阅相关资料，可知汽车在匀加（减）速直线运动过程中，行驶的速度v与行驶时间t满足一次函数关vv0at，其中v0a为加速度，当汽车加速行驶时a的值为正数，当汽车减速行驶时a的值为负数；行驶的路程s与行驶时间tsvt1at2 2，假设当车辆从第一个绿灯亮起时出发，先进行匀加速直线运动，4秒时间加速到速度为v1ms后，进行匀速直线运动，为确保经过路口的安全性，在接近第二个红绿灯时进行匀减速直线运动，2秒时间减1vm/s时恰好到达第二个路口．2当v50

判断当v50 求出汽车在加速行驶与减速行驶过程中，行驶的路程s与行驶时间t分别满足的二次函数关系式（用含v1的式子表示，不用写自变量的取值范围，并直接写出要连续通过第二个绿灯，则v1的取值范围为 （2）（3） 2s由题易知在加速阶段a1v，进而代入即可得解，在减速阶段a1v 4 4（1） ∴50425ms2 由题可知在减速行驶过程中的加速度为25ms22525 50341700500 ∴

0a4，则

1v 4∴s01at211vt21vt22 4 81vva2，则a1v2 4∴svt1at2vt11vt21vt2vt 2

4

8 在加速阶段，当t4s1v422v8 在减速阶段，当t2s1v22v23v8 2∴2v3v103042

500 2 ∴v40 ∴40

50 40

50 9（2025·1，砗磲(chēqúx单位：岁yμm天12A1点的分布情况，猜想其函数图象是过026.0yax2bx262Bxy的乘积分别为k1140k142.5k140k137.5x10yxy 为减少偏差，取kk1k2k3k435（2）（3） （1）400a20b26400a20b26a1 b y1x229x261(x29)2 29x10k140142.5140137.5140y1x29时，yx2x10时，yx选择模型2x35y14035岁时的平均日生长速率为4μm/10（2025·【问题情境】小明在海边看到一艘装有四根大圆筒的轮船（1图所示，通过查阅资料了解到这是马格时，会受到一个垂直于运动方向的力，这种物理现象被称为马格努斯效应（2图所示．生活中的足球3图所示，圆柱体模拟转子船的圆筒（圆柱体半径和高度都可以调节Fkωvk例系数（A有关，实验条件下关系近似为k0.5A）ω(2)ω10rads①100N②已知初始时圆柱体半径r0.5m，请设计一个改变圆柱体半径的方案（高度不变，使得装置在最高旋100N（2π3）角速度下能产生100N推力②根据k0.5AF100N时求得k（1）解：QFkωvk

ω

4

1.2F48N481.25ω，解得旋转角速度ω8rad/s；（2）解：①Fkωv1.210560100现有装置不能产生100N②Qk0.5A0.52πrh3rh1.230.5h解得圆柱体的高h0.8mF100Nk又k0.52πrh22.4r，解得r0.83m

10

21（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用．1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间t(s、运动快慢v(cm/s)y(cm的数据．运动时间运动快慢v(cm/【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：v与t之 函数表示，y与t之间的关系可以近似地用 （【检验】根据猜想求出v与ty与tAB点处有一辆电动小车以3cm/s的速度在匀速向前直线运AB的最大值是多少？v1t12y1t212t AB最大为ABd，由题意，得到1t212td3t，得到d1t29t v与ty与t4km【检验：设vktm，把0,12,4,104kmk 解得： 2∴v1t12，验证：当t20v120122，符合题意；

cyatbtc，把点008,80444，代入，得16a4bc4464a8bcc 解得a∴y1t212t验证：当t20y12021220140y1t212tABd1t212td3t∴d1t29t，t∴

1

d最大为1182918812 2（2025·［（1剖面图如图（3）AAAO2.4m，球网上端BBC1.55m，人与球网之间的距离OC1.6mB正上方0.05mDEF．请在图（3）［模型应用网前吊球的落点到球网的距离CE的长 A处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36ms．网前吊球时，羽毛球下降的高度hm与时间ts之间的关系式为h5t2．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要0.5s．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球．（1）y1x12； （2）（3） 以OOFxOAyE坐标，则OE可求，利用CEOEOC解答即可得出结0.5（1）ADykxnn 1.6knk ny1x12 yax22.4a5y5x212 y0，则5x2120 Qx>08x8E83,0 OE83mCEOEOC838m838y1x12y0，则1x120 x24F24,0 OF4.8OF2OF2

m2424 12 5 512Q扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s125 5（秒12 Q50.5，QA125t2Qt0t23Q230.53（2025·比乙早出发6minNN处．两人之ym与甲行走的时间tmin的函数图像如图所示．乙步行的速度 m/min,MN之间的路程 当18t50y关于t甲出发多长时间时，两人之间的路程为450m【答案】y30t当甲出发33min或58.5min时，两人之间的路程为观察图像可知，甲6min走了360m，甲行走18min时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走50minN点，求出乙的总路程即为MN之间的路程；求出CBC分18t50和t50两种情况，求出t故乙的速度为90m/min；MN905063960m18kb50kb

k，解得 b∴y30t540当18t50y30t540450t33；当t5060t3960450t58.5；综上：当甲出发33min或58.5min时，两人之间的路程为450m4（2025·yax2bx1.8（ab为常数）y（米）x（米）（秒（米x（米）与时间t（秒（（秒（米yx当t为1.6y0.02x2px（pm为常数）y（米）x（米）在点的横坐标x为2，纵坐标y大于等于1.8时，p的取值范围 （直接写出结果【答案】(1)y0.05x20.8x网球被击出后经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5px（米）与时间t（秒）x10t先求出击球点位置为16,1.8，再将16,1.8y0.02x2pxmy0.02x2px6.9216px2y1.84a2b1.816a4b1.84.2a解得 byxy0.05x20.8x1.8解：由表格可知t0x0∴x（米）与时间t（秒）xktk0，代入0.440.4k4，k10y0.05x20.8x1.8a0.050∴∵x

2 ∴当x8时， 0.05820.881.85此时10t8，t0.8，∴网球被击出后经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5∴y0.051620.8161.81.8将16,1.8y0.02x2pxm，则0.0216216pm1.8，∴m6.9216px2y1.8p0.36，p0.365（2025·伸时两手中指指尖之间的距离）20名男生，测量a．20身高臂展身高臂展b．20①（165a170,170a175,175a180,180a185d．20名男生臂展与身高的散点图如图②，活动小组发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长带形区域ycmxcm之间关联关系的直线l．写出表中m、n的值：m，n图②中直线ly1.2x40，根据直线l反映的趋势，估计身高为185cm男生的臂展108身高为185cm男生的臂展长度约为182cm170cm

x185y1.2x40即可得到答案（1）m1174175174.5cm240170cm240

108（人解：∵y1.2x40x185y1.218540182∴身高为185cm男生的臂展长度约为182cm6（2025·yx之间的关系如图②F物线C，且C:yax2bxc，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点GC2，且

:y1x2mxn（略不计如图②，当