2026年中考数学二轮复习 专题05 图形的性质(知识清单)

05图形的性质（必备知识&二级结论清单+技法清单内容导第一部 命题解 洞察命题意图，明确攻坚方考向聚考向聚 ►能力清第二部 技法清 构建思维框架，提炼通用解技法 全等三角形的性质与判定的综 技法 等腰三角形性质与判定的综技法 平面镶嵌问 技法 四边形性质与判定的综技法 四边型的综合问 技法 切线性质与判定的综合应技法 尺规作图在几何证明与计算的应 技法 常见最值问技法 垂直模型的应 技法 旋转模型的应技法 半角模型的应 技法 倍长中线模型的应第三部 分级实 分级强化训练，实现能力跃命题解技法01 全等三角形的性质与判定的综合：全等三角形是几何推理的核心工具，常与平移、轴对称、旋转等变换结合，考查学生在复杂图形中识别全等关系并进行推理证明的技法 技法 平面镶嵌问题：考查多边形内角和及正多边形内角计算，判断给定正多边形能进行平面镶嵌（密铺），技法 四边形性质与判定的综合：考查平行四边形及特殊平行四边形（矩形、菱形、方形）技法 四边型的综合问题：四边形与函数、动点、最值等问题的综合，常作为压轴题技法 切线性质与判定的综合应用：切线的判定与性质是圆部分的高频考点，常出现技法 尺规作图在几何证明与计算的应用：以无刻度的直尺和圆规作图为核心，要求技法 常见最值问题：几何图形中的线段最值、面积最值问题，常结合动点、函数模技法09 技法10 技法11 技法12 □□□□□□□□□□“□□□□”□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 运算求解能力：分类讨论意识：技法清技法 全等三角形的性质与判定的综HL（01】（2026·山东威海·模拟预测）如图1，∠CAE是VABC的外角，AD平分∠CAE，AD∥BC，则AB AC（填“”“”或“”）2，在VABCAD是VABCDDEABACEAEDE．3，在VABCABAC，0是VABCADB0MB00M，M作MNABACN，猜想MNNC的数量关系，并进行证明．（2）（3）由角平分线的定义得DAEDAC，由平行线的性质得DAEBDACCBCABAC由角平分线的定义得DABDAC，由平行线的性质得DABADEDACADEAEDE由角平分线的定义得DABDAC，根据SAS证明△AB0≌△AC0得AB0AC00B0C，然后证明CMNMCNMNNC．（1）QDAEDACQAD∥BCDAEB，DACCBCABAC（2）QAD平分BACDABDACQDE∥ABDABADEDACADEAEDE（3）MNNC，证明如下，连接CMC0，如图，QAD平分BACDABDACQABAC，A0A0AB0AC0，0B0CQB00M0M0C0MC0CMQMN∥ABAB00MNAC00MN∵CMN0MN0MC,MCN0CN0CMCMNMCNMNNC01】（2026·江苏苏州·一模）BECF分别是VABCACABBPCAABQC(2)APAQ【答案】(1)(2)根据题意易得BFPCEP90FPBEPC，则FBPECP，即可根据SAS根据全等三角形的性质得出QBAP，再根据∠Q∠QAF90QAPBAPQAF90APAQ（1）证明：BECF分别是VABCACAB∴BFPCEP90∴FPBFBPEPCECP∵FPBEPC∴FBPECP，在VABP和VQCA中， BPFBPECP AB（2）解：∵△ABP≌△QCA∴QBAPCF是VABCAB∴ABCQ，即AFQ90∴∠Q∠QAF90∴QAPBAPQAFQQAF90∴APAQ02】（2025·湖南长沙·一模）VABCADBCDBEACEBEFBFAC△ADC≌△BDFDF2，AF3BC【答案】(1)先证明BDFADC，CADFBD，然后根据AASDF2，AF3ADAFDF325，根据△ADC≌△BDFBDAD5，CDDF2（1）证明：ADBC∴BDFADC90∵BEAC∴BEC90∴CADACDACDDBF90∴CADDBF在△ADC和VBDFADCCADFBD AC（2）解：DF2，AF3∴ADAFDF325∵△ADC≌△BDF∴BDAD5，CDDF2∴BCBDDC527技法 等腰三角形性质与判定的综遇到等腰三角形，优先联想”三线合一”（顶角平分线、底边中线、底边高线重合用底角相等设未知数列方程；涉及线段证明时，常需构造全等三角形或利用等角对等边判定。01】（25-26八年级上·河北邯郸·期末【传统文化】“立表测影”尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表AB与“圭BC垂直，冬至时节“表AB的日影最长（BC的长AM平分BACDAC上一点，连接MDBD．证明：∵AM平分BACMDACMBAB，DM证明：∵AM平分BACMDACMBAB，DMBM（依据在RtVABM和Rt△ADMAMBM，△ABM≌Rt△ADM（依据2(2)若△ABD说明点MACBM的长为2BC(2)BC的长为6（1）DMBM，然后通过HL”（2）由△ABD是等边三角形，可得BAD60，则C30BAMCAM1BAD30，所以CAMC，从而得MAMC通过30（1）证明：∵AM平分BACMDACMBABDMBM（角平分线的性质）在RtVABM和Rt△ADM中，AMBMDM（2）∵△ABD∴BAD60∴C90BAD30AM平分BAC∴BAMCAM1BAD30∴CAMC∴MAMC∴点MAC在RtVABMBAM30AM2BM4由（1）知MAMC4BCBMMC6（米∴BC的长为601】（2025·江苏苏州·模拟预测）1，在VABCABACBAC2αD，EBC上（DE的左侧，且DAEα1，将△ABDA逆时针旋转2α得到△ACFEF△ADE≌△AFE2，若BAC90DE2BD2EC23，若BAC60ABAC5，BD1，求线段CE【答案】(1)（1）由旋转得△ABD≌△ACF，由BAC2αDAEα，可得BADCAEα，进而可得CAFCAEEAFαDAEFAEα，根据“边角边”可证△ADE≌△AFE；将△ABDA逆时针旋转90得到△ACFEFCF，先求出ABCACB45得ECFACBACF90，在RtVECFEF2FC2EC2，根据（1）△ADE≌△AFEDEFE将△ABDA逆时针旋转60得到△ACFEFCFFFGBCBC的延长线G，可得VABC是等边三角形，根据（1）△ADE≌△AFE，即DEEF4EC，根据旋转的性质有ABCACF60BDFC1，再证CFG30度角的直角三角形的性质和勾股定理解Rt△CFGRt△EFG（1）△ABD≌△ACF∴ADAF，BADCAF∴BADCAEα∴CAFCAEEAFαDAEFAEα，又∵ADAFAEAE证明：将△ABDA逆时针旋转90得到△ACFEFCF∵BAC90，ABAC∴ABCACB45ABCACF45BDFC∴ECFACBACF90∴在RtVECFEF2FC2EC2根据（1）中的方法，同理可证明△ADE≌△AFE∴DEFE，又BDFC，∴DE2BD2EC2证明：将△ABDA逆时针旋转60得到△ACFEFCFFFGBCBC的G，如图，∵BAC60，ABAC5∴VABC∵BD∴DEBCBDEC4EC根据（1）△ADE≌△AFE∴DEEF4ECABCACF60BDFC1∴ECFACBACF120∵FGBC∴在Rt△CFGCG1CF1 FG

3CF2CF2∴EGECCGEC1∵在Rt△EFGEF2EG2FG21 3∴4EC2EC 2 2 EC530度角的直角三角形的性质等知识，合理作出相应的辅助线是解答本题的关键．02】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在VABCABAC5，BC6，将VABCA按逆时针方向旋转，得到VADE，旋转角为α0α180BD，点CE．如图所ADBC交于点MDEBC,ACFN．(1)AMAN(2)当△MDFDF【答案】(1)(2)DF5 或DF的长度．（1）证明：Q将VABCA按逆时针方向旋转，得到VADEABACADAE\ÐABC=ÐACB=ÐADE=ÐAED在VABM和△AEN中，ABMABBAMAMAN（2）AAHBCH52QABAC5BHCH1BC352

4设ABCACBADEAEDαFDFM时，则点C、MF重合，构不成三角形，DMDF则DMFDFMAMB，而BD，BAMMFDBMA，AB=BM5，42由（1）BH3HM542AH2AH2DH

则MDADAM5 DF当MDMF则MFDDNFCCEα，则CAEEα，EFFNENANCNAC5，DFDEEF651，DF5

或【变式03】（25-26八年级上·山西长治·期末）“数学区别于其他学科最主要的特征是抽象和思维”．几何如图，在等腰VABCACBCDAB上的一动点（DA，B重合，以CD为边作等腰VCDECDCEACBDCEαBE．解答下列问题：①1，小明发现当α90ADBEADBE②2，当α60ACBE3VABCACB120°CACBP为VABCAPC120CP3AP6，请直接写出BP的长（温馨提示：顶角为120∘的等腰三角形三边之比为1: （2）将线段CPC逆时针旋转得到CHPHHB，根据①的方法证明VACP≌VBCH，得到BH6BHC120PH33，同时证明PHB90，即可根据勾股定理求出（1）即ACDBCE，又QACBCCDCEADBE，CADCBEQ∠ACB∠DCE90o，ACBC，CDCEADBE②ACBE即ACDBCE，QCACBACBA11806060在VACD和VBCEACACDBCECD将线段CPC逆时针旋转得到CHPHHB即ACPBCH，又QACBCCPCHCPHCHP18012030，PH

3PC 332332PH2PH2BH

技0平面镶嵌问360˚。先求正多边形每个内角度数（(n–2)×180˚/n360˚。常见能单独镶嵌的正多边形：正三角形、正方形、正六边形。01】（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考：请阅读下面小论文，并完成相应学习任务．nn边形分成n2n2180，则一个内角的度数就是n2180n，若一个内角度数能整除360n123，按4就是利用全等的四边形设15种能用于平面密铺的五边形．德国数学家莱因哈特（1895—1941）19185种五边形密铺方式．2015年，美国华盛顿大学数学教授卡西·155就是利用不规则填空：上面小论文中提到“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成n2个三角形，得到其内角和是n2180”，其中体现的数学思想主要是 （图3中角1的度数 65中的一个基本图形，其中A60BECD120ABAEBCDE【答案】(2)根据平面镶嵌的正多边形的内角能被360先证明VAEBBE∥CD，根据平行线间的距离相等可得CNDM，进而根据AAS证明VCBN≌VDEM，根据全等三角形的性质，即可得证．（1）nn边形分成n2个三角形，得到其内角和是n2180，可得体现的数学思想主要是转化思想，5（2）解：13603 36

62180

1203601203BE，分别过点CD作CNBEDMBENMQA60，ABCNDM01】（2025·广东清远·二模 某业主有个房间长4.5m，宽3m；如果业主选用一种长为150cm，宽为75cm该业主有个长为6.2m，宽为5.4m的大厅，业主个人认为，为了使装修的图案效果更为美观，选择了1图的两种边长均为60cm的正三角形地砖和正六边形地砖进行镶嵌，在镶嵌过程中缝隙忽略不计．若在不2图所示进行镶嵌，最后在四周用其它材料进行封边（每条封边的宽度小于30cm．若正三角形地砖每块5元，正六边形地砖每块32地砖的最少费用是多少元？（

（2）（3）（1）根据正三角形的每个内角度数60和拼接点的角度和是360ABCDEFBF、CEAAMBF于点MAM，交CEN，延长CBEFA作直线GHBGAG于点GFHAHH，通过等腰三角形的性质证明BMNC、四边形MFENAGBMAMFHBM的值，利AM的值，可得正六边形横长为120cm，竖宽为603cm地砖25块，正三角形地砖50（1）解：Q正三角形的每个内角为18060，且拼接点的角度和是360360606（块6．（2）解：Q150cm=1.5m75cm=0.75m①若矩形地砖是横铺，则4.51.5330.754需要3412②若矩形地砖是竖铺，则4.50.75631.52需要6212块矩形地砖；答：需要12块这样的地砖．（3）ABCDEFBF、CEAAMBF于点MAM，交N，延长CBEFA作直线GHBGAG于点GFHAHHABAF60cm，正六边形的每个内角为62180120QAMBF，BGAG，FHAHBMABMNFMNFMAGH90BAMFAM1BAF60，BMFMABMAFM90BAM30CBMMFEABCABM1203090GBMMFH90BCNFEN90QCBMBMNBCN90，FMNMFEFEN90GGBMBMA90，HFMAMFH90BMNC、四边形MFENAGBMAMFHBCMNFE60cm，GBAMHF，BMGABFGHQ∠BMA90，ABM30，AB60cm，cosABMcos30BM 3 BMGAABcos3060

3303cm602602303BF2BMGH603cmAB2BM在RtVABMAB2BMND30cmAD2AMMN120cm

30cm此大厅铺地砖时，在正六边形地砖之间上下铺正三角形地砖，在大厅四周边角时，各铺一块正三角形地此大厅横铺正六边形地砖1205600cm6m，即5块，铺正三角形地砖421210竖铺正六边形地砖6035 3001.73519cm=5.19m<5.4m，即5块，封费用为32255508002501050答：在镶嵌过程中，购买地砖的最少费用是105002】（2025·陕西西安·模拟预测）北宋时期的《营造法式》是中国古代第一部详细论述建筑工程技24个形状大小完全一样的菱形设计了如图所示的图案，则图中∠BAC的度数为 【答案】BDCADC1360ADBBAD45，等边对等角求出CAD求出BAC∴BDCADC1360ADB135，BAD45∴CAD1180ADC22.5，67.5技法 四边形性质与判定的综平行四边形的性质与判定、矩形/菱形/01】（2025·山东青岛·模拟预测）ABCDADBC，点0ACBD的交点，且点0AC的中点．(2)EABF为CDAECF①tan∠ADB1；②ACCB；③BACADC【答案】(1)(2)证△A0C≌△C0BADBCABCDAFCE是平行四边形；若选②③ACCB，得CE1ABAEAFCE是菱形；根据BACADCABCADC，推出△ACB①②：先证得CB20CACCB，进而可推出△ACB①③：先证CEABAFCE是矩形，再通过线段之间的关系和三角函数定义得到VA0D为直角三角形，且DA090AFCF，即可求证．∴DACBCA∵点0AC∴A0C0∵A0DC0B∴△A0C≌△C0B∴ADBC（2）解：由（1）AEFC，EABF为CDAE1AB1CDCF ∴AFCE是平行四边形；∵ACCB∴CE1ABAE∴AFCE∵BACADC，ABCADC∴BACABC∴ACBC∴△ACB∴EAF2CAB90∴AFCE是正方形；ADB0BC，ACCB，∴tan0BC0C1 ∴CB20C∵AFCE∴AC20CCB∴△ACB∴EAF2CAB90∴AFCE是矩形，又∵EAB的中点，∴∴AFCE是正方形；∵BACADC，ABCADC∴BACABC∴ACBC又EAB∴CEAB又∵AFCE∴AFCE∵AFCE∴AC2A0∴BC2A0∴AD2A0∴A01 又tan∠ADB1∴tanADBA0根据三角函数定义，∴VA0D为直角三角形，且DA090F为CD∴AFCF1DC∴AFCE01】（2025·上海·模拟预测）1RtVACB中ABC90DCFEDC∥EF．连BFDEP，连接CEPF于点0，满足0F20P0B．(2)2DCFEDA00A0B 【答案】(1)(2)DC∥EF0E0B，由0F20P0B0F0B0F0E

先证明VED0≌VEF0(SAS，得出3=40D0F，再证明V0BD∽V0AB0A0B0B （1）证明：∵DC∥EF∴0E0B 又0F20P0B∴0F0B ∴0F0E ∵P0EF0C∴VP0E∽VF0C∴0CF0EP（2）DCFE中12又0E

EF∴∴∠3=∠4，0D0F∵EFCDDC∥EF∠6∠AB46又B0D0A0B 0D0A0B 【变式02】（2024·湖南·模拟预测）如图，以VABC的三边为边分别作为等边VACD、等边VBCFVABEDEEF判断四边形CDEFACBC6AB

，求四边形CDEF【答案】(1)四边形CDEF（1）由VABE与VBCF△ABC≌△AED利用（1）DECFEFADDC，利用对边相等的四边形为平行四边形得到CDEF为平行四边形．如图，过C作CHABHDDMAC于MDCACCFBC6CDEF是菱形，证明CAH30，ÐACH60ÐBCHACF（1）证明：VABE、VBCF、△ADC∴ABBEAE，BCCFFB，ABECBF60∴ÐABE-ÐABF=ÐFBC-ÐABF在△EBF和VABC EBFBECBA BF∴VEBF≌VABCSAS△ABC≌△AED，∴VEBF≌VAED∴BF=DE=CF解：四边形CDEF∵VEBF≌VABC∴EFAC又∵△ADC∴CDADAC∴四边形CDEF解：如图，过C作CHABHDDMAC于M∵ACBC6∴DC=AC=CF=BC=6∵四边形CDEF∴四边形CDEF∵CHAB，AB ∴AHBH ∴cosÐCAB=33 3 ∴CAH30，ÐACH=60°=ÐBCH∴ACF∵ACD60，CD6，DM⊥AC∴DMDCsin6033∴四边形CDEF的面积为CF×DM= =18303】（2026·湖南衡阳·一模）在VABCDBCEFADCEBFBE、CF(1)(2)DE1BCBFCE【答案】(1)【分析】由ASADE1BCDBC边的中点得到VBDE和△EDC（1）证明：QCEBFECDFBDQDBC在VBDF和VCDEFBD BD FDBVBDF≌VCDEASAQDE1BCDBCBDCDEDVBDE和△EDCDBEDEB，DECDCE2DBE2DCE180DBEDCE90BEC180DBEDCE1809090Q△BDF≌△CDEBFCEQCE∥BFQBEC90技0四边型的综合问四边形的性质、动点问题、函数思想、最值模型（将军饮马、二次函数最值t的代数式表示相关线段，建立函数关系或方程。涉及最值时，常转化为二次函01】（2026·陕西宝鸡·一模如图1ABCDEBCAEEEFAE交边CDF若AB4，EC3，则BE的值 （2）如图2ABCDEFBCABAEFFGAE交CD边于点GAEFG；（3）如图3ABCD是某植物园规划的一个花圃，点MADBC边上分别设PEBMPEBPEM铺设两条石板小路，PB与MEAB2BM600 助植物园规划人员求出两条石板小路长度之和（PBME）（凉亭、游客服务中心的大小、所【答案（1）（2）（3）两条石板小路长度之和的最小值为20013（2）FGFBBMAEK，则BMFG，结合正方形性质证明VABE≌VBCM，再AEFG；（3）将线段PE沿PA平移至AG，则PEAG且PEAG，结合矩形性质证明VABG∽VBCM，再由相似PEEPEM平移至MNBN、PN，结合平行四边形的判定与性BNPBMEPBPNBN【详解】解（1）QABCDEFAEVABE∽VECFBEAB4 4（2）证明：如图2ABCDFGFBBMAEKBMABCD，ABBC，ABEC90，FGBMQFGAEBMAE∠BAECBM，在VABE和VBCM中，BAEAB ABEAEBMAEFG（3）如图3，将线段PE沿PA平移至AG，则PEAG且PEAGQPEBMAGBMQABCDQ∠AGB90∘∠CBM∠BMC△ABG∽△BCMAGAB2 QAGPE

2，PE2BM2600400 EPEM平移至MNBN、PNPEMNPNME，MNPE400QPEBM6002MN6002BM2BM2MN

PBMEPBPNBN 两条石板小路长度之和的最小值为2001301】（2026·江西·模拟预测1．在VABC中，D、EAB、ACDE操作操作1．将VADE绕F，使EFDE，连接CF．请结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理，EF、FG、GH、HEEFGHAC16BD20A0B60EFGH的点，且AABC90BC6AD8PQ的长度．（2）（3）5（1）BD∥CFBDADCF根据（1）HG1AC8FG1BD10EHFGBDHGEFAC EFGH为平行四边形，再根据平行线的性质求得HGFAIFA0B60HHMFGMHM43ACACM，连接QMPMPM1BC3QM1AD4PMBCQMADPMQ90（1）1：将VADEE按顺时针方向旋转180到△CFEEFDE∴AD∥CFBD∥CF∵DAB∴BDADCF∴DF∥BC，DFBC∴DE1DF1BC，DE∥BC 2DEFEFDE，连接CF∵EAC∴AD∥CFBD∥CF∵DAB∴BDADCF∴DF∥BC，DFBC∴DE1DF1BC，DE∥BC ∵ABCDAC、BD0E、F、G、H∴EHFG1BD，HG=EF=1AC，EH∥FG∥BD，HG∥EF∥AC ∴EFGH∵AC16，BD20∴HG1AC8，FG1BD10 ∵A0B60，FG∥BD，HG∥ACHHMFGMHMHGsin60

343∴四边形EFGH的面积为FGHM10 403ACACM，连接QMPM∵PQAB和边CDBC6AD8∴PM1BC3，QM1AD4，PM∥BC，QM∥AD ∴CMQCAD，APMB4242QM2QM2PM

502】（2025·河北石家庄·模拟预测）ABCDAB12AD10sinB4PABPCPCP逆时针旋转90PEBPx当CPAB①1PE（保留作图痕迹，不写作法②CP ；PC旋转到PE所扫过的面积 （结果保留π；E落在对角线CA的延长线上时，分别过点CEAB的垂线，垂足分别为MN①PCM≌△EPN②xPDPCPDP逆时针旋转90PFAEAF3△AEFx【答案】(1)①①见解析；x6或8（1）①CABPP为圆PCBAE，即为所求．②在Rt△BPCPCPCPE所扫过的面①利用直角互余求证EPNPCM，进而通过AAS”②利用△AEN∽△ACM分别讨论FEA90EFA90EAF90EFAB，利用EFAB再结合图形性质求解．（1）解：①②∵ABCD∴BCAD10∵PCAB∴PCBCsinB1048PCPE

90π

16π①PCPE∵CMAB，ENAB∴CMPENP90∴CPMPCM90∴CPMEPN90∴EPNPCM∴△PCM≌△EPN②解：由（1）得CM8BM

BC2BC2CMAMABBM6由①知△PCM≌△EPN∴PNCM8∵BPx∴ENPM6x，ANPNPA812xx4∵EN∥CM∴△AEN∽△ACM∴ANEN x46x x34PEPCPFPDDPFCPE90∴!PEF可看作△PCDP逆时针旋转90∴EFAB①当FEA90∵EFABEAB由（2）APBP6，x的值为6；∵EFAB∴FABPDP逆时针旋转90FAB上，所以不存在EFA90；BAEF于点GPPHCDHAAKCDKEFPGPHKA即CPHEPG，∵PCPE∴△PCH≌△PEG，同理△PDH≌△PFG，∴PHPG8，FGDH，EGCH∵BPxAD2AK∵DKAD2AKHDFGHKDK18xCHGECDHDx6，要使EAF90AF2AE2EF2，∵AF2AG2FG2，AE2AG2EG2∴AG2FG2AG2EG2EF2即x4218x2x42x62122化简得：x216x620，解得：x8 x6或8203】（2025·吉林长春·二模）ABCDAB8BC4ADEAE1FABEFEFMNN落在CD边上，点M落在ABCD内或其边上．EFMNAFVBFM面积的最大值 ；此时AF的长 在点F运动的过程中，请直接写出点M运动的路线长 【答案】(1)1232；8FNNDxVFBM由（3）可得MAB的距离为3，证明点MAB的线段，点MBF（1）解：QEFMNAFDEQAD4．AE1xAF3FNQABCDABDCQEFMNENFM即DNEMFB；解：如图，过点M作MGAB于点∴FGMVDNEMGDEADAE41MAB的距离为如图3AFxNDxBF最大，此时VFBMQADBC4，AE1EFDE413EF2在RtVAEFEF232 182231232

最 故答案为：1232； 如图，当MFAB时，过点MHBC，则四边形MHBF∴MHFB由（3）可得MAB的距离为3，又点MABCD点MABQAF 点M运动的路线长8故答案为：8 技法 切线性质与判定的综合应；②间接法【典例01】（2026·江苏南京·一模）1，在0中截掉一个圆心角为60的扇形，优弧C0DAB相切于点C，且0C10DAB2，优弧C0D上存在一动点M0M从0C出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒30，转动时间为t秒．当点M运动至点D处时，停止转动．过点M作直线l0C，直线l与优弧C0D交于另一点N．①当直线l与优弧C0D相切时，t的值 ②当t2在（2）3，过点M作直线MP0DABP的最大值 【答案】(1)5①3s或9s；②50π 先根据圆心角和半径相等判定V0CD为等边三角形，得到CD的长度和0CD性质得到0CAB，进而求出DCE的度数，最后利用直角三角形中30角对的直角边是斜边的一半，求DAB的距离．①分直线l在0C左侧和右侧两种相切的情况，结合切线的性质、平行线的性质得到0M0C，分别求出两种情况下0M旋转的角度，再结合转动速度求出对应的t值；②先根据t的值求出M0C三角形的性质求出MN的长度和圆心0到MN的距离，最后用扇形0MN的面积减去V0MN的面积，得到通过作辅助线构造矩形和直角三角形，将CP的长度转化为与0T相关的表达式，再根据垂线段最短的性质得到0T的最大值，进而求出CP的最大值．（1）解：如图，连接CDDDEBCE∵∠C0D60，0C0D∴V0CD∴∠0CD60，CD0C10∵优弧C0DAB相切于点C∴0CAB∴∠0CB90∴DE1CD5，DAB的距离为5①i如图，当直线l与优弧C0D相切，且直线l在0C∵直线l与优弧C0D∴0Ml∵直线l0C∴0M0C0M从0C出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒30，转动时间为t30t90，解得t3ii当直线l与优弧C0D相切，且直线l在0C∵直线l与优弧C0D∴0Ml∵直线l0C∴0M0C此时0M顺时针旋转的度数为3609027030t270，解得t9综上，当直线l与优弧C0Dt的值为3s或9s，3s或9s；②解：如图，连接0N，过点0作0FMNFlABK∵t2∴∠M0C30260∵优弧C0DAB相切于点C∴0CAB∵直线l0C∴直线lAB∵0FMN∴四边形0FKC∴∠F0C90∴∠F0M∠F0C∠M0C906030在RtV0FM0FM90F0M300M100M2FM∴FM10M0M2FM∵0FMN，0M0N

30M ∴FMFN5，∠M0N2∠F0M60∴MNFMFN1060π

∴阴影部分面积SS扇形0MNSV0MN

10

D0交MP于点T，过点C作CQMP于点Q，过点0作0RCQR∵MP0D，CQMP，0RCQ∴四边形0RQT∴0TRQ，∠T0R90在RtV0RC0RC90R0C300C10∴RC10C5∵0CAB∴∠0CP90∵0CR90R0C60∴∠QCP900CR30在RtVCQPCQP90QCP30PC2∴PQ1PCPC2CPCQ23

3PC ∵CQCRRQ，0TRQ，CR5∴CQ50T∴CP230T5∵MP0D0T为点0到直线MP∴0T0M∵0M10∴0T10当点T与点M0T取得最大值10此时CP的最大值为23105 故答案为 01】（2026·四川雅安·二模）如图e0是VABCABC45BCD，连接ADAD∥0CAB交0CE．(1)AD与e0(2)若AE ，CE2．求e0的半径和AB的长度【答案】(1)(2)4；16连接0A，通过圆周角定理，平行线的性质，得到0AD904作0HAB于点H，设e0的半径为R，根据勾股定理可得R4，利用三角形不同边上的高计算面积相等，得到0H ，继而根据勾股定理得到AH及4（1）证明：连接0AQABC45A0C2ABC90，又QAD0C，∠0AD180∠A0C18090900AADAD是e0解:如图，作0HABH设e0R，则0AR，0ER2QAE25在Rt△0AE0A20E2AE2R2R22252,R40E0CCE422Q0HABAHBH1ABQ10HAE10E0A 20H0E0A24452 0A20H在Rt0A20HAB2AH165

424245 802】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）12，在VAB0A0B90，AB B0A0DB0延长线上一点，以点0为圆心，以0D00DB0的左侧作半圆0A0于点MB0于点C1，点Q是半圆0上一点（可与点CD重合，当0D4AQABA顺时针旋转75AN①2DAN上时，求0D②在①的条件下，求半圆0AN在（2）的条件下，若半圆0与NAB的边相切于点TDT【答案】(1)AQ最大值①D0103；②

AQ最小值650π253152π

封闭图 （1）A0B010，点与圆的位置关系得到当点Q与点CAQ取得最大值，当点Q与点MAQ（2）①根据题意，0AD754530．在RtVA0D中，A010，tan0ADtan300D 3 ②2DAN上时，设半圆0ANE，连接0E，根据扇形面积的计算根据半圆0AB（1）解：当0D40C0D0M4在RtVABC中，B0A0,AB ∴A0B0

2AB10C02当点Q与点CC02

22942当点Q与点MAQAQ最小值AMA00M10442（2）解：①在RtVA0D中，A010，tan0ADtan300D 3 D0A0tan30103②2DAN上时，设半圆0ANE，连接0E，由①AD060D0E0，11032560110325 50π，S三角形D0E S扇形

2 S封闭图形

253 3，半圆0AB相切于点T，连接0TQBA045，0TA90，0A100T52，A0T45D0TDT长135π5152π 4，半圆0AN相切于点T，连接0TQ0AN30，0TA90，0A100T5，D0T30DT长30π55π DT的长为152π5π 03】（2026·湖南·模拟预测）AB是e0C是e0AC、BC，延长至点D，连接AD交e0于点E，过点E作EF⊥CD于点F，连接BE、CE 请从“ABEDBE；②ABBD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号，再解EF与e0AB^CECEAB5，设△BEF的面积为SACBE的面积为SS11BE【答案】(1)(2)(3)BE

连接0E，得0EB0BE，由BEFEBF900EB0BE证明VABE≌VDBEASAAEDE，再证明△ACECAB1CAD30CEACEF是VACDEFACEF1ACE0ACKCFEKEKCFS11BD5BF1，再证明△BEF∽△BDE 证明：连接0E0E0B0EB0BEQEFCDBEFEBF90∵0EB0BE0EBBEF90，即0EEF，又Q0E是半径，EF与e0解：AB是e0AEB90，则DEB90∴AEBDEB又ABEDBEBEBE∴AEDE又QAB∵AB^CE∴AC∴sinDAC∴D30

AC2 ∴△ACECAB1CAD30∴CEACCEACcos∠CABcos30 解：QEFCDCEACAEDEEF垂直平分CDCFDFEF是VACDEF∥ACEF1ACE0ACKEKAC，AKCKEFCK又QEF∥CKEFCK，CKE90四边形CFEKEKCF 1ACEK12EFCF

1BF

CFEF1BCEF1BFS1 1， CFEF1BCEF 11BF2CFBC2BCBFBCBC3BFCF4BFDFBD5BF，又QAB5，由（1）ABBDBD55BFBF又QEBFDBE，EFBDEB90△BEF∽△BDEBEBFBE2BDBF5 BE 技法 尺规作图在几何证明与计算的应（(2)在（1）AD2DB时，求tanCEB的值．【答案】(1)法一，利用SSS作全等三角形；法二：利用SAS作全等三角形；法三：通过作一次垂直构造全等三先利用等腰直角三角形的性质，说明CABCBAACFBCF45BDa，可用AD，接着用aBF，就可用aDF，然后利用全等三角形的性质证得CEB1，就可求得tanCEB的值．（1）BEADCECD．法二：作CBECABBEAD法三：作BEAD,BEAD． 法四：作BEAD,CECD．如图所示，△CBE即为所作的三角形．（2）过点C作CFABFQABCACB90∠CAB∠CBA∠ACF∠BCF45∘BDaAD2aAFBFCF3aDFBFBD1a∠CEB∠13tan∠CEBtan∠1CF 3 101】（2024·北京丰台·二模）如图，等边VABCAABAPBAPα60α90BEAPAEBE,CE，BECEAPD,F求AFEAFCFDF【答案】(1)AF2DFCF（1）BFAPFGFC，连接CG，证明VBCF≌VACGBFAGEF2DF（1）解：QBEAPBADEADα,ABAEQABACACAEAF2DFCFBFAPFGFC，连接CGCFCG,FCG60QVABCACBC,ACB60BCFACGBFAGQBEAPBFEF,AFBEQDEF90DFE30EF2DFBFAG2DFQAFAGFGAF2DFCF【变式02】（2024·辽宁盘锦·三模）如图，在ABCD中，AB5，BC8，以D为圆心，任意长为半ADF，交CDQF、Q1FQMDM长，交BC于点E，连接AE，恰好有AEBC，则ED的长 【答案】DE平分∠ADC，进而证明CDECED，易得CECD5BE3，再在Rt△ABEAE的长度，然后在Rt△AEDED【详解】解：∵ABCDAB5BC8ADBCCDAB5BCAD8，DE平分ADC，∴CECD5∴BEBCCE∵AEBC，即AEB90AB2AB2

452524242AE2∴在Rt△AE245

03】（2025·广东广州·二模）ABCDAB∥CDABBCADDCD尺规作图：作ABC的角平分线，交CDEAC于点0（不写作法，保留作图痕迹连接0DABBE3，求0D【答案】(1)0D33（1）（2）BE平分ABC，则ABEEBC，再根据平行线的性质得出ABEBECBCCE，（3）A0（1）BE平分ABC∴ABEEBC∵ABDC∴BCCE∵ABBC∴ABCE∴0B1BE3，A01AC，A0B90 AB2AB2∵ADDC

33323232∴0D1ACA033 技0常见最值问；②代数法01】（2023·河南南阳·二模）综合与实践如图①lPPABPAPB的和最；连接ME，NE，求MENE的最小值．小敏在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将线段MNEl的直线上运动”，请你参考小敏的思路求MENE的最小值；如图③，在矩形ABCD中，AD2AB ，连接BD，点E、F分别是边BC、AD上的动点，BEAFE、FEMBDFNBDM、NAM、AN（2）10（3） （1）AM、N看作定点，E看作动点，由（1）由相似得出MN为定值，再根据（2）AMAN（1）A关于lAAB，交直线lPAPAP∴PAPBPAPB∵PAPBPAPB如图②E作直线l1∥lN关于l1NNM，交l1PPMPN的EMEN的最小值，∵E到直线l的距离为4∵MN62∴MN62PMPN10EMEN的最小值为10如图③A作l∥BDAHBD，作M关于直线l的对称点M，连接MN由（2）MNAMAN∵AB ，AD AB2AB2∴AH

5525∴MM2AH4设MExEBMADBBMEBAD∴VABD∽VMEB∴ABBD

5 ∴BM2x，BE

2 2∴AF5x∴DF 2∴DNDF2 DN42x

25∴MN52x42x∵l∥BD，MM∴MM4242 【变式01】（2021·四川绵阳·二模）AB＝10cm，CAB上的一个动点（A、B重合ABAC、BC为边作正△ACD和正△BCEAECDMBDCE于N，AE、BDHCH.DEAD＝x，DE＝yyx把正△BCEC60°H到△DCEHC+HD+HE的值最小，HC+HD+HE的值总等于线段BD的长.若 ，旋转过程中某一时刻3DH，此刻△ADHPPA+PD+PH的最小值【答案】(1)3 （1）CCT⊥AET，CR⊥BDR，先证△ACE≌△DCB得∠CAM＝∠HDM，由直角三2DDP⊥CEPCP＝1CD＝1x，DP＝3x AB＝10cmCE＝CB＝（10﹣x）cmPE＝|10﹣x﹣1x|＝|10﹣3x| yx3AD为边向外作等边△ADWWHWHPA+PD+PHDHWWG⊥ADGHHK⊥ADKWWQ⊥HKQDH＝2kAH＝6，DH＝4，DS=23HK＝621DK＝27WQ＝KG＝57 WHPA+PD+PH

HQ＝1321（1）CCT⊥AET，CR⊥BD∵△ADC，△ECB在△ACE和△DCB CAACEDCB CE∴△ACE≌△DCB（SAS，∴CT＝CA•sinCAMCD•sinHDMCR∴CH平分∴sin∠AHC＝32DDP⊥CE∵AC＝CD＝x（cm，∠DCE＝60°，∴CP＝1CD＝1x，DP＝3 ∴PE＝|10﹣x﹣1x|＝|10﹣3DP2DP2

((3x)2(103

（0＜x＜10；3AD为边向外作等边△ADWWHWHPA+PD+PHDDS⊥AHHWWG⊥ADGHHK⊥ADKWWQ⊥HK∴∴SH＝1DH＝k，DS＝3 ）2＝（2k）2+（3∴AH＝6，DH＝4，DS=23∵1•AH•DS＝1 DH2KH∴HK＝DH2KH

＝274242(

WQKG-27＝57 ∴HQ＝KH+KQ＝1321(5(57)2(13wQ2wQ2

∴PA+PD+PH的最小值为 【变式02】（2025·四川广安·模拟预测）ABCDBAD75ABCADC90ABBC42E为边CDAEDDFAE，垂足FAFFPFDABCDP，使得△PBC的面积最小，则△PBC面积 【答案】16AC，证明VABCAC2AB8CADBADBAC30ADcosCADAC P是△APDD上的一个动点，故有当点0、P、GPG的长最小，则△PBCPPHABHPGBHPGBH

6，再由面积公式

V

1BCPGAC∵ABC90，ABBC42∴VABC∴AC2AB8，CADBADBAC30∴在RtVADCADcosCADAC

38 DP，由题意可知△PDF∴FPD45∴APD135∴P是△APDD上的一个动点，作△APD的外接圆e0，连接0A、0P、0D，∴A0D90∴△A0D∴0A

2AD PPGBC于点G当点0、P、GPG的长最小，则△PBC的面积最小，当点0、P、G0G∥AB，∴VA0P是等边三角形，AP0A PPHABHPGBH∴AH1AP ，BHABAH∵PGBH

6∴PGBH 6

1BCPG142

61643∴△PBC的最小面积为1643，故答案为：1643．【变式03】（2025·山东泰安·一模）如图，菱形ABCD的边长为4，∠B=60，E为BC边上的中点，P为直线BC上方AE左侧的一个动点，且满足PAEPEB，则线段CP长度的最大值是（

D． 【答案】PAC，先证出VABCAEBC，则可得APE90PAEAE的中点0，连接C0，并延长交e0于点Q，则线段CP长度的最大值是CQ，然后利用勾股定理求出0C CQ0C0Q AC∵ABCD4B=60EBC∴ABBC4，BECE1BC2∴VABC∴AEBCAB2BE∴AEAB2BE∵PAEPEB∴PAEAE的中点0，连接C0，并延长交e0于点Q，则线段CP长度的最大值是CQ∴0E0Q1AE3，0E2∴0C0E2∴CQ0C0Q 即线段CP长度的最大值 【变式04】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在VABCACB90，CAB30，BC6，△AEDGEFBG长的最小值是（

【答案】DEBBGAGAG于GG与GBG取得最小值，最小值为线段BG的长，再可证明VABC≌VABGBGBC6，从而求得最小值．DG，AGAG、DEDEDF，GEF∴ADAE，DAE60∴AGDE∴AGDE，DAG1DAE30∴GAHBBGAGAG于GG与GBG取得最小值，最小值为线段BG∵ACBBGA90，CABGAB30，ABAB∴VABC≌VABG∴BGBC6BG6，05】（2025·天津·一模）MABCBCPAP，将线段AP以点A为中心逆时针旋转60，得到线段AQ，连接MQ．若AB6，点M、P之间的距离为1，则MQ的最小值为 【答案

1/1

1/1AM,AMA逆时针旋转60AE,PMMEQE,AM

,证明△AME是等边三角形，得到MEAM

QEPM1,得出点QE为圆心、1AM,AMA逆时针旋转60AEPM、ME、QEQ点MABCBCBM1BC1AB3,AMBC AB2BMAMAB2BMAMAEAPAQPAQMAE60MEAM PAMQAEQEPM点QE为圆心、1为半径的圆上运动，当点Q在线段ME上时，MQ的值最小，最小值为 1，当点Q在射线ME上时，MQ有最大值，大值为 1，

1，

1.06】（2024·海南·三模）ABCD的边长为4EADFCD上，且线段EF4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG、DG，则DG ；BG最小值 【答案

CG的G的运动轨迹是解题关键．借助正方形性质得VEDFDG2先确定点G

CG转化为GI，结合“两点之间线段最短”BG1CG的最小值为5（1）解：QABCDEF4EDF90Q点GEFDG1EF142 2（2）解：如图，根据题意可知，点GDDGDCIDI1BI交eD于GQDG2，DI1，DC4DIDG1 QIDGGDCVIDG∽VGDCGI1，即GI1CG BG1CGBGGI可知当G运动到GB、GIBG1CGBIQBC4，ICDCDI413IC2IC2BC

532BG1CG325技0垂直模型的应识别图形中的垂直条件，构造”一线三垂直”K型全等或相似转化坐标关01】（22-23七年级下·广东深圳·期末【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在VABCABC90ABCBVDEF中，（1）1BDFA作AMDF，垂足为点M，过点C作CNDFN，①1QABC90∵AMDF，CNDFAMB90，CNB90ABMBAM90AMBCNB ②AM2，CN7，则MN （2）2BDEAEF上时，过点作CPDEPAEPECP（3）3ADEBEFAE5，BE1，连接CE，则△ACE的面积 （1）VABM≌VBCNAAS9（2）PEPCAE，理由见解析（3）10①②由①中VABM≌VBCNAASAMBN2BMCN7，即可得到MNMBBNCNAM9；根据两个三角形全等的判定定理，得到△ABE≌△BCPAEBPBECPBEBPPEFE，过点C作CPFEP，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到△ABE≌△BCP，PCBE1PBAE5PEAE，过点C作CFAEF，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得CFPE4，代入面积公式得SVACE∵AMDF，CNDFAMB90，CNB90ABMBAM90∵BAMCBN，AMBCNB90，ABBCAMBN,BMCN∵AM2，CN7MNMBBNCNAM9；9；PEPCAEQABC90QCPBEQAEB90∵ABBCAEBP，BEQBEBPPEFE，过点C作CPFEPEBCBAEQAEBCPB90，ABBC∴△ABE≌△BCPPCBE1，PBAE5AE，过点C作CFAEFQAFPE，CPPEAF∥CPQAFPE，CFAFPE∥CF由平行线间的平行线段相等可得CFPE4SV

1AECF15410 故答案为：1001】直模型”如图①，在VABCACB90ACBCAB向经过点C直线作垂线，垂足分别DE△ADC≌△CEB．ACBC，其他条件不变，如图②△ADC∽△CEB．请你说明理学以致用：如图③y1x与直线CD交于点M2,1α，且tanα3，请你求出直线CD拓展应用：如图④ABCDAB3BC5EBC边上—AEAEE顺时针旋转90APPABCDPCPD．若BE（2）（3）

17过点0作0N0M交直线CDN，分别过MN作MExNFx轴，由（1）△NF0∽△0EMNF0FN0NF3 0F3N分两种情形讨论：①1中，当∠PDC=90°时．②2中，当∠DPC=90°PF⊥BCF，PH⊥CDHBE=x．分别求解即可．（1）∵ACB90，ACDBCE又ADC∵ADCBEC90如图，过点0作0N0M交直线CDN，分别过MN作MExNFx轴由（1）得△NF0

∴NF0FN0 M坐标

∴0E2，ME∵tanα

∴ NF30F

∴N3, 2kb

k 得3kb3，解得 15

b ∴直线CDy4x 解：①1中，当∠PDC=90°∴A、D、P②2中，当∠DPC=90°PF⊥BCF，PH⊥CDHBAE在△ABE和△EFPBFAE∴CF=3-（5-x）=x-∴（x-2）2=x（3-x，∴x=7∴BE=7

777

17（舍弃综上所述，当△PDC是直角三角形时，BE377【变式02】如图，在△ABC中以AC，BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，连结DF，并过C点作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°，AC＝3，BC＝2，则MD的长为（ 【答案】

​

DDN⊥CFNDP⊥HMPFFQ⊥HMHMQ，依据DFFQ=DP，进而证明△FQM≌△DPM，MFDDM=1DDN⊥CFNDP⊥HMPFFQ⊥HMHM的延长线于Q，CD2CN∴CN1CD2CN2222(FN2DNFN2DN

7∵BCDE又∴△DCP≌△CBH（AAS，同理可得又∴△FQM≌△DPM（AAS，∴FM＝DMMFD∴DM1DF 7 技1旋转模型的应01】综合与实践课上，李老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转”为主题开展数学活动．数学兴趣小组将两块大小不同的等腰直角三角形A0B和等腰直角三角形C0D按图1A0BC0D90，随后保持VA0B不动，将△C0D绕点0按逆时针方向旋转α0α90BCADBCAD于点M如图1，直接写出线段BC和AD的关系 如图2，当CD∥B0时，则α 3，当0α90时，连接0M，兴趣小组认为不仅（1）中的结论仍然成立，而且在△C0D旋转过程中CM0的度数不发生变化，请给出推理过程并求出CM0的度数．3AMBM0M，之间是否存在某种特定的数量关系，若存在，直接写出数量关系【答案】(1)BCADBCAD(2)4545BMAM

（1）由条件根据三角形全等判定定理SAS得△B0C≌△A0D类比上面思路，通过构建三角形全等△B0N≌△A0M推出0N0M，进而易得C0M45根据（3）的结论，推导出△N0M是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质，化简即可（1）A0B0，0C0D，A0BC0D90BCAD，CB0DA0在RtVA0DD0AAD090CB0AD090BMD90BCAD，BCADBCAD（2）Q0CD0DC45，CD∥B0C0B0CD45，又A0B90，A0CA0BB0C45,即α4545如图，过0N00M，交MBN由（1）易知VB0C≌VA0DSASCB0DA0QB0NN0AN0AA0MB0NA0M，A0B0，易得△B0N≌△A0MASA0N0M又QN00MBM045，即CM045BMAM

20M理由如下：由（3）可知，△B0N≌△A0M(ASA)BNAMQVN0M0M0N20MMN0N20MBMBNMNAM20M01】在VABCACBC6ACB90，DAB边上的中点，EAC右侧的一点，且AEC90DEDDE的垂线交射线CEF．点C到AB的距离 1E在VABC①DEDF②2BEBEACAE与CE若sinDCE1AE【答案】(1)①见解析，②AE1AE4 或4（1）连CD，直接求CD可得CEANACBCCNAE1AN1CE E在CDE在CD下方两种情况，分别求得CFAE（1）解：连接CD∵在VABCACBC6ACB90，DABAC2AC2BC

62，CDBDAD2AB

，CD∴点C到AB的距离为CD3 故答案为：32；解：①设CE、AB交于点M∵DDE的垂线交射线CE∴EDF90∴DEDF∵DEDF，EDF90，AEC90∴△DFE△EDN∴DEDNDF∴VBED≌VCND∴BECN∵BE∴CNAC∴AE1AN∴VCED≌VAND∴CEAN∴AE1CEE在CDDDHCE∵sinDCE1DH，CD ∴DH ∴FHHE∴DHFHHE CD2DH∴CHCD2DH∴AECFCHFH42；E在CD下方时，同理，DHFHHE ，CH4，则AECFCHFH4 综上，AE4 或42数定义等知识，属于中考压轴题，综合性强，难度大，对学生要求很高；解题关键是熟练利用“手拉手模型”合理添加辅助线构造全等三角形．01】(1)如图1，在等边VABC内部有一点P，PA3，PB4，PC5，则APB (2)2ABCDEBCCDEDCDABC165AB3002m，CD400mBCED50mPQ和三AP，CQ，DQPQBCPQBC2a元和观光路修建费用每aPa的代数式表示出总费用【答案】(2)最小的总费用为

100a（1、将△BAPB60°得△BCP，则可得VBPP为等边三角形，由勾股定理逆定PPC90，即可求解；（2BE，BP，EP，将VBPEB60°得到△BPEPP由（1）APCQQDAPPPEPA，PPE四点共线时，由勾股定理求解即（1）3，将△BAPB60°得PAPC3BPBP4VBPP∴PPPB4QPC5∵PP2PC2PC2∴PPC90∴BPC6090150∴APBBPC150（2）4BE，BP，EP100a，修观光路费用为APDQCQa∵BC∥PQ∥DE，BCPQDE∴BCQPPQDE∴BPCQ，PEQD∴APCQQDAPBPPE将VBPEB60°得到△BPEPP∴VBPP∴BPPP，EPEP∴APBPPEAPPPEPA，PPEAPPPEP∴APPPEPAE5EBAAHEB∵ABC165，CBE90∴ABPPBE1659075∵PBE∴ABH180ABPPBPPBE45∵AB ∴AHHB300AH2QHEHBBE300400700，Rt△AH2∴最小的总费用为10058a502a

10058100a02】（2023·陕西西安·三模）ABCDABBC，ÐB如图1，已知D60，则AC的度数等 2ABCDABADBADBCD90ACAC63ABBCADC60，ÐB90°AD4CD

BD【答案】(1)(3)（1）根据四边形内角和为360延长CDEDECB，证明VADE≌VABC，得出△AEC是等腰直角三角形，进而即可求过点A作AECD于点E，得出CE 2，延长EA，使得CEAF，根据（2）可△BAF≌△BCE△BEFBBGEF于点GBBHDCDCH，证明VABG≌VCBHBG1EF

1BHBG

1，HDHCCD

1（1）解：∵ABCD中，ÐB90°D60AC3609060210，210．解：如图所示，延长CDEDECB∴BADC180又ADCADE180又∵AD∴EADCAB，AEAC∴EADDACCABDACDAB90∴△AEC是等腰直角三角形，又∵AC6，

SV

SV

SV

SV

SV

1AC218AAECDE∵ADC60，AD4∴AE

3AD23，DE2∵CD∴CE EA，使得CEAF∴FAB由（2）可得△BAF≌△BCE△BEF∴AFCE ∴EFFAAECEAE

2 BBGEF于点GBBHDCDCH∴GEHBGEBHE∴BGEH∴GBH∴GBAGBCGBCCBH90∴ABG又ABBC∴VABG≌VCBH∴GBBH，AGCH∵△BEF∴BG1EF4

1，∴BHBG

1，CHAGFGAF1EFCE

1

2则HDHCCD BH2在RtBH2

724431243技1半角模型的应01】如图（1ABCDABADABCCDEF，且EAF1BADEF，若BADBD90BEDFEF系为 （提示：延长CD到H，使DHBE，连接AH类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把BADBD90”（2解决问题：如图（3，在VABCBAC90ABAC4DEBC∠DAE45，若BD ，计算DE的长度【答案】(1)BEDF55（1）如图，将VABEA顺时针旋转90，得到△ADGBEDG设BADα，则EAF1α，如图，将VABEA顺时针旋转α得到VADHBEDH，可证△AEF≌△AHFSASEFHF如图，将△AECA逆时针旋转90，得到VAEBDE，可证△AED≌△AED(SASDEDE，在Rt△ABCABAC4BC的长，由此可表示出CDECCDDE

DE，在RtVBDE（1）BEDFEF，理由如下：如图，将VABEA顺时针旋转90，得到△ADG，QABCDABADBADBADC90EAF1BAD∴ADGB90，EAF1BAD45FDG180FDGAEAGBEDGBAEDAGEAFFAGQAFAF又QFGDGDFBEDFBEDFEFBEDFEF设BADα，则EAF1α如图，将VABEA顺时针旋转α得到VADHABEADH，BAEDAH，AEAH，BEDHQBADC180ADHADC180点CDHBAEFAD1αDAHFAD1αFAHEAF，又QAFAF，EFFHDFDHBEDF解：如图，将△AECA逆时针旋转90，得到VAEBBEEC，AEAE，CABE，EACEABQDAE45DAE904545DAEDAEQADADDEDE在Rt△ABCABAC4ABCACB45，BC42CDBCBD EB2BD2ED2QDEDE，ECCDDE

DE5DE2BD2EC2，即DE2(2)2(32DE)2，解得，DE 5【变式01】（1）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别为DC，BC边上的点，且满足EAF45，连接EF，则DE，BF，EF之间的数量关系为 2，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADCEFDCBCEAF1DABDEBFEF将两个全等的等腰直角VABC和VAFG3ABACAGF90AFAGBCDEDE2BD2CE2（1）DEBFEF（2）EFDEBF（3）【分析】(1)将VADEA顺时针旋转90到VABH的位置，证出HAFEAF45将VADEA顺时针旋转到VABH的位置，证出HAFEAF，进而证出△AEF≌△AHF，得出将△ACEA顺时针旋转90至VABH的位置，证出△EAD≌△HAD（1）DEBFEF如图，将VADEA顺时针旋转90到VABHAHAEBHDEHAE90QEAFHAFEAF45．在△AEF和△AHF中，AHHAFEAFAF∴EFHF∵HFBHBF∴EFDEBFEFDEBF如图，将VADEA顺时针旋转到VABHAHAEBHDE12∵ABHABFDABF9090180HBF∵EAF1DAB∴HAF∠1∠3∠2∠31∠BAD∴HAFEAF在△AEF和△AHFAHHAFEAFAF∴EFHF∵HFBHBF∴EFDEBF证明：如图，将△ACEA顺时针旋转90至VABH则CEHBAEAHABHC45，旋转角EAH90HD，在VEAD和△HAD∵AEAH，HADEAHFAG45EAD，ADAD∴VEAD≌VHADSAS∴DHDE∵HBDABHABD90∴BD2HB2DH2∴BD2CE2DE2（1EAF1BAD观察猜想如图（2，当BADBD90①四边形ABCD （填特殊四边形的名称②BE，DF，EF之间的数量关系 类比探究如图（1解决问题如图（3，在VABCBAC90ABAC4D，EBC∠DAE45，若BD ，求DE的长【答案】(1)①正方形；②BE+(3)（1）①②CDGDG=BE，证得△ABE≌△ADG，AEAG，由EAF1BADVAEF≌VAGFBE，DF，EF同