2026年中考数学二轮复习 专题03 相似三角形与全等模型(重难专练)

专题 相似三角形与全等模速度提 技巧掌 手感养锁定目标精准打击：授予利器瓦解难点：模拟实战挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感近三年：近三年：全等三角形的判定与性质（1˜2道，6˜10分相似三角形的判定与性质（1˜2题，6˜10分全等与相似的综合应用（1道，8˜12分全等、相似与几何图形（三角形、矩形、菱形等）的综合（1˜21道，8˜10分考向考向 全等三角1全等三角形的判定与性质：SSS1（2026·四川广元·一模）𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵90°，𝐵𝐶8，𝐴𝐶6，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，过点𝐴𝐵𝐷的垂线，交𝐵𝐷的延长线于𝐸，交𝐵𝐶的延长线于𝐹，则𝐴𝐹的长为（

【答案】【答案】【分析】先利用勾股定理求得𝐴𝐵=10，再证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐹𝐵𝐸(ASA)得到𝐹𝐵=𝐴𝐵=10，则𝐶𝐹=2，在Rt△𝐴𝐶𝐹中，利用勾股定理求解即可．【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐵𝐶=8，𝐴𝐶=∴𝐴𝐵 𝐴𝐶2+𝐵𝐶2 62+82=∴∠𝐴𝐵𝐸=∴𝐵𝐸𝐴𝐹，则∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐹𝐸𝐵=90°，在△𝐴𝐵𝐸和△𝐹𝐵𝐸中，∠𝐴𝐵𝐸=𝐵𝐸=∠𝐴𝐸𝐵=∴△𝐴𝐵𝐸≌△∴𝐹𝐵=𝐴𝐵=10，则𝐶𝐹=𝐵𝐹−𝐵𝐶=10−8=在Rt△𝐴𝐶𝐹中，𝐴𝐹 𝐴𝐶2+𝐶𝐹2 62+22=22（2026·M，交𝐴𝐵N；②M，N为圆心，以大于2𝑀𝑁的长为半径画弧，两弧在∠𝐶𝐴𝐵P；③作射线𝐴𝑃交𝐵𝐶D；④A，D为圆心，以大于2𝐴𝐷G，H点；⑤作直线𝐺𝐻，分别交𝐴𝐶,𝐴𝐵E，F．依据以上作图，若𝐴𝐹=10，𝐶𝐸=6，则𝐴𝐶𝐷（ 【答案】【答案】𝐷𝐸，设𝐴𝐷与𝐸𝐹0，然后可证△𝐴𝑂𝐸≌△𝐴𝑂𝐹，则有𝐴𝐸=𝐴𝐹=10，进而根据线段垂直平分线的性质可得𝐷𝐸=𝐴𝐸=10，再根据勾股定理求出𝐶𝐷，最后利用三角形面积公式求解．【详解】解：连接𝐷𝐸，设𝐴𝐷与𝐸𝐹0∴∠𝐸𝐴𝑂=∠𝐹𝐴𝑂，∠𝐴𝑂𝐸=∠𝐴𝑂𝐹=90°，𝐴𝐸=∵𝐴𝑂=∴△𝐴𝑂𝐸≌△∴𝐴𝐸=𝐴𝐹=𝐷𝐸=∵𝐶𝐸=∴在Rt△𝐷𝐶𝐸中，由勾股定理可得：𝐶𝐷 𝐷𝐸2−𝐶𝐸2=∴△𝐴𝐶𝐷的面积为2𝐴𝐶⋅𝐶𝐷=2(𝐴𝐸𝐶𝐸)⋅𝐶𝐷=2×(10+6)×8=3（2026·安徽滁州·一模）𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵2𝐴𝐶2𝑚，𝐴𝐷𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐶𝐸𝐴𝐷，垂足为点𝐸，则𝐷𝐸的取值范围是（） A．0<𝐷𝐸< B．0<𝐷𝐸< C．0<𝐷𝐸≤ D．0<𝐷𝐸≤【答案】【分析】延长𝐶𝐸交𝐴𝐵于点𝐹𝐶𝐴𝐸𝐹𝐴𝐸(ASA)，有𝐴𝐹=𝐴𝐶和𝐸𝐹=𝐸𝐶 𝐴𝐹=𝐴𝐶=𝑚和𝐵𝐹=𝑚，作𝐹𝑄∥𝐴𝐷，则𝐵𝐷=𝐴𝐵=2，可证明𝐹𝑄△𝐴𝐵𝐷的中位线，可得𝐹𝑄=2𝐴𝐷 理可证𝐸𝐷△𝐶𝐹𝑄的中位线，则𝐷𝐸=2𝐹𝑄=4𝐴𝐷，那么有𝐷𝐸=3𝐴𝐸𝐴𝐸<𝐴𝐶，有3𝐷𝐸<𝑚则∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐴𝐸𝐹=∵𝐴𝐷𝐴𝐵𝐶∴∠𝐶𝐴𝐸=∵𝐴𝐸=∴△𝐶𝐴𝐸≌△∴𝐴𝐹=𝐴𝐶，𝐸𝐹=∵𝐴𝐵=2𝐴𝐶=∴𝐴𝐹=𝐴𝐶=∴𝐵𝐹= 作𝐹𝑄∥𝐴𝐷，则𝐵𝐷=𝐴𝐵=∴Q为𝐵𝐷∴𝐹𝑄𝐴𝐵𝐷∴𝐹𝑄=∵𝐸𝐹=∴同理可证𝐸𝐷𝐶𝐹𝑄 ∴𝐷𝐸=2𝐹𝑄=则则𝐴𝐸=∵𝐷𝐸=∵𝐴𝐸<∴3𝐷𝐸<则𝐷𝐸<3那么，0<𝐷𝐸<4（2026·河南许昌·一模）如图，在Rt𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵90°，𝐴𝐶𝐵𝐶5，点𝐷在射线𝐵𝐶𝐴𝐷绕点𝐴顺时针旋转45°得到线段𝐴𝐸，过点𝐸作𝐸𝐹∥𝐵𝐶，交𝐴𝐵于点𝐹．若𝐸𝐹=2，则𝐵𝐷的长 【答案】5−【答案】5−2或5+【分析】过点𝐸作𝐸𝐺𝐴𝐵交𝐴𝐵于点𝐺𝐴𝐶𝐷𝐴𝐺𝐸，得𝐸𝐺=𝐷𝐶，由𝐸𝐹𝐵𝐶，可得∠𝐸𝐹𝐺45°，由勾股定理可得出𝐸𝐺的长度，由点𝐷的位置不确定，故可做分类讨论，当点𝐷在点𝐶左右【详解】解：过点𝐸作𝐸𝐺𝐴𝐵交𝐴𝐵于点𝐺∴𝐴𝐸=𝐴𝐷，∠𝐷𝐴𝐸=∴∠𝐺𝐴𝐸+∠𝐷𝐴𝐵=45°，又∵∠𝐶𝐴𝐷∠𝐷𝐴𝐵=45°，∴∠𝐺𝐴𝐸=又∵𝐴𝐸=𝐴𝐷，∠𝐴𝐶𝐷=∴△𝐴𝐶𝐷≌△∴𝐸𝐺=∵𝐸𝐹∥∴∠𝐸𝐹𝐺=∠𝐴𝐵𝐶=∴𝐸𝐺=由勾股定理由勾股定理𝐸𝐺2+𝐺𝐹2=解得𝐸𝐺=∴𝐷𝐶=∴𝐵𝐷=𝐵𝐶−𝐷𝐶=5−当点𝐷在点𝐶右侧时，同理可得𝐷𝐶=∴𝐵𝐷=𝐵𝐶+𝐷𝐶=5+综上，𝐵𝐷的长为5−2或5+5（2026·𝐶𝐴=𝐶𝐵=4，∠𝐶=90°𝐴𝐷𝑃𝐴𝐶𝑃关于边𝐴𝑃成轴对称，将线段𝑃𝐴P逆时针旋转90°（1）若𝑃𝐴=2𝑃𝐶，则∠𝐵𝑃𝐸的度数 点P在运动的过程中，𝐷𝐸的最小值 30°/302（1）解直角三角形得出∠𝐴𝑃𝐶=60°，由旋转的性质可得∠𝐴𝑃𝐸=90°（2）由轴对称的性质可得𝐴𝐷=𝐴𝐶=4，∠𝐴𝐷𝑃=∠𝐶=90°，𝑃𝐶=𝑃𝐷，作𝐸𝐹𝑃𝐷，交𝑃𝐷𝐹，则∠𝐴𝐷𝑃=∠𝑃𝐹𝐸=90°，由旋转的性质可得∠𝐴𝑃𝐸=90°，𝐴𝑃=𝐸𝑃𝐴𝑃𝐷≌𝑃𝐸𝐹(AAS)出𝐸𝐹=𝑃𝐷，𝑃𝐹=𝐴𝐷=4，设𝐸𝐹=𝑃𝐷=𝑥(0<𝑥<4)，则𝐷𝐹=4−𝑥，再由勾股定理计算即可得出结（1）=∴cos∠𝐴𝑃𝐶=𝐴𝑃=∴∠𝐴𝑃𝐶=∵将线段𝑃𝐴P逆时针旋转90°得到线段∴∠𝐴𝑃𝐸=∴∠𝐵𝑃𝐸=180°−∠𝐴𝑃𝐶−∠𝐴𝑃𝐸=（2）𝐴𝐷𝑃𝐴𝐶𝑃关于边𝐴𝑃∴𝐴𝐷=𝐴𝐶=4，∠𝐴𝐷𝑃=∠𝐶=90°，𝑃𝐶=𝑃𝐷，如图，作𝐸𝐹⊥𝑃𝐷，交𝑃𝐷的延长线于点𝐹，则则∠𝐴𝐷𝑃=∠𝑃𝐹𝐸=∴∠𝐴𝑃𝐸=90°，𝐴𝑃=∵∠𝑃𝐴𝐷+∠𝐴𝑃𝐷=∠𝐴𝑃𝐷+∠𝐸𝑃𝐹=∴∠𝑃𝐴𝐷=∴△𝐴𝑃𝐷≌△∴𝐸𝐹=𝑃𝐷，𝑃𝐹=𝐴𝐷=设𝐸𝐹=𝑃𝐷=𝑥(0<𝑥<4)，则𝐷𝐹=𝑃𝐹−𝑃𝐷=∴𝐷𝐸 𝐷𝐹2+ (4−𝑥)2+ 16−8𝑥+𝑥2+ 2𝑥2−8𝑥+ 2(𝑥−2)2+∵(𝑥−2)2≥∴当𝑥=2时，𝐷𝐸的值最小，为8=2【分析】先根据角平分线的定义得∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐷=30°，再根据三角形内角和定理求出∠𝐵𝐷𝐶∠𝐴𝐷𝐶、∠𝐶𝐷𝐸𝐵𝐶𝐷𝐸𝐶𝐷(ASA)6（2026·【分析】先根据角平分线的定义得∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐷=30°，再根据三角形内角和定理求出∠𝐵𝐷𝐶∠𝐴𝐷𝐶、∠𝐶𝐷𝐸𝐵𝐶𝐷𝐸𝐶𝐷(ASA)【详解】证明：【详解】证明：∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴𝐶𝐷=∴∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐷=30°，又∵∠𝐵=50°，∴∠𝐵𝐷𝐶=180°−∠𝐵𝐶𝐷−∠𝐵=∴∠𝐴𝐷𝐶=180°−∠𝐵𝐷𝐶=∵∠𝐴𝐷𝐸=∴∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐴𝐷𝐶∠𝐴𝐷𝐸=100°，在△𝐵𝐶𝐷和△𝐸𝐶𝐷中，∠𝐵𝐶𝐷=𝐶𝐷=∠𝐵𝐷𝐶=∴△𝐵𝐶𝐷≌△∴𝐵𝐶=7（2026·1，P为等边𝐴𝐵𝐶内一点，∠𝐴𝑃𝐵=123°，∠𝐴𝑃𝐶=113°，求：以𝑃𝐴，𝑃𝐵，𝑃𝐶为解：如图2，把△𝐴𝑃𝐵绕点A旋转到△𝐴𝐶𝑃′，连接𝑃𝑃′3，已知线段𝑎=4，𝑏=5，𝑐=6用无刻度的直尺和圆规求作等边△𝐴𝐵𝐶𝐴𝐵𝐶P到𝐴𝐵𝐶4，5，6（保留作图痕迹，不写作法4，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中∠𝐴𝐵𝐶=30°，∠𝐴𝐷𝐶=60°，𝐴𝐷=𝐶𝐷．探索线段𝐵𝐷、𝐵𝐶、𝐵𝐷2=𝐵𝐶2+𝐵𝐴2（1）由等边三角形的性质得到∠𝐵𝐴𝐶=60°，由旋转的性质可得𝐴𝑃′=𝐴𝑃，𝐵𝑃=𝐶=∠𝐴𝑃𝐵=123°△𝐴𝑃𝑃′是等边三角形，得到𝑃𝑃′=𝐴𝑃，∠𝐴𝑃′𝑃=∠𝐴𝑃𝑃′=60°∠𝐶𝑃𝑃′和∠𝐶𝑃′𝑃的度数，再求出∠𝑃𝐶𝑃′（2）先作𝑂𝑃𝐵，满足𝑂𝑃=4，𝐵𝑃=5，𝑂𝐵=6，再作等边三角形𝑂𝐶𝑃，连接𝐵𝐶，以𝐵𝐶𝐴𝐵𝐶𝐴𝐵𝐶即为所求；利用SAS𝑂𝐶𝐵𝑃𝐶𝐴，则𝐴𝑃=𝑂𝐵=6，而𝑃𝐶=𝑂𝑃=𝑃𝐵=5，故△𝐴𝐵𝐶将𝐴𝐵B60度得到𝐵𝐸，连接𝐶𝐸，𝐶𝐴，𝐴𝐸𝐴𝐵𝐸𝐴𝐵=𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐸=60°，𝐴𝐵=𝐵𝐸，∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐵𝐴𝐸=60°；证明𝐴𝐷𝐶是等边三角形，得到𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷=60°=∠𝐵𝐴𝐸𝐷𝐴𝐵𝐶𝐴𝐸(SAS)，得到𝐵𝐷=𝐶𝐸；证明∠𝐶𝐵𝐸=∠𝐴𝐵𝐶∠𝐴𝐵𝐸=90°，由勾股定理得𝐶𝐸2=𝐵𝐸2+𝐵𝐶2，即𝐵𝐷2=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2．（1）解：如图2，把△𝐴𝑃𝐵绕点A旋转到△𝐴𝐶𝑃′，连接𝐴𝐵𝐶∴∠𝐵𝐴𝐶=由旋转的性质可得𝐴𝑃′=𝐴𝑃，𝐵𝑃=𝐶𝑃′，∠𝐴𝑃′𝐶=∠𝐴𝑃𝐵=123°，∠𝑃𝐴𝑃′=∠𝐵𝐴𝐶=∴△𝐴𝑃𝑃′∴𝑃𝑃′=𝐴𝑃，∠𝐴𝑃′𝑃=∠𝐴𝑃𝑃′=∴∠𝐶𝑃𝑃′=∠𝐴𝑃𝐶−∠𝐴𝑃𝑃′=53°，∠𝐶𝑃′𝑃=∠𝐴𝑃′𝐶−∠𝐴𝑃′𝑃=∴∠𝑃𝐶𝑃′=180°−∠𝐶𝑃𝑃′−∠𝐶𝑃′𝑃=∵𝑃𝑃′=𝐴𝑃，𝐶𝑃′=∴以𝑃𝐴，𝑃𝐵，𝑃𝐶𝐴𝐵𝐶解：𝐵𝐷2=𝐵𝐶2+𝐵𝐴2如图所示，将𝐴𝐵B60度得到𝐵𝐸，连接∴𝐴𝐵=𝐵𝐸，∠𝐴𝐵𝐸=𝐴𝐵𝐸∴𝐴𝐵=𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐸=∵∠𝐴𝐷𝐶=60°，𝐴𝐷=𝐴𝐷𝐶∴𝐴𝐷=𝐴𝐶，∠𝐶𝐴𝐷=60°=∴∠𝐶𝐴𝐷+∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐵𝐴𝐸+∴∠𝐷𝐴𝐵=∴△𝐷𝐴𝐵≌△∴𝐵𝐷=∵∠𝐴𝐵𝐶=∴∠𝐶𝐵𝐸=∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐵𝐸=在Rt△𝐸𝐵𝐶中，由勾股定理得𝐶𝐸2=𝐵𝐶2∴𝐵𝐷2=𝐵𝐶2考向考向 相似三角2kk；k；k²；1（2026·=𝐴𝐷𝐸9，则△𝐴𝐵𝐶的面积为（ 【答案】【答案】【分析】由𝐴𝐷=3𝐷𝐵得出𝐴𝐷=4𝐴𝐵△𝐴𝐷𝐸𝐴𝐵𝐶【详解】解：∵𝐴𝐷=3𝐷𝐵，𝐴𝐵=𝐴𝐷+𝐵𝐷=3𝐷𝐵+𝐷𝐵=∴𝐴𝐷=∵𝐷𝐸∥∴△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶的面积为 3𝐴𝐷∴△𝐴𝐷𝐸2（2026·𝐶𝑀=𝐶𝑁MN为圆心，以大于2𝑀𝑁的长为半径作弧，两弧在∠𝐴𝐶𝐵0，作射线𝐶𝑂𝐴𝐵D，②CD为圆心，以大于2𝐶𝐷PQ，作直线𝑃𝑄𝐴𝐶于点E，交𝐵𝐶于点F．根据以上作图，若𝐴𝐷=4，𝐷𝐵=2，𝐵𝐶=32，则线段𝐴𝐸的长为 1111 B．

【答案】【答案】【分析】根据作法得𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐸𝐹垂直平分𝐶𝐷，所以∠𝐸𝐶𝐷=∠𝐹𝐶𝐷，𝐶𝐸=𝐷𝐸，从而证明𝐷𝐸∥可得𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，然后利用相似三角形性质可得𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐴𝐶【详解】解：连接 ∴∠𝐸𝐶𝐷=∠𝐹𝐶𝐷，𝐶𝐸=∴∠𝐸𝐶𝐷=∴∠𝐹𝐶𝐷=∴𝐷𝐸∥∴△𝐴𝐷𝐸∽△∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=∵𝐴𝐷=4，𝐷𝐵=2，𝐵𝐶=3 ∴∴4+2= ∴𝐷𝐸=2∴𝐶𝐸=𝐷𝐸=2=𝐴𝐸+2∴𝐴𝐸=4【答案】【分析】通过证明△𝐴𝐵𝑀𝐶𝐵𝑁，可得𝐶𝑁=2,∠𝐵𝐶𝑁=∠𝐵𝐴𝐶=45°，可求𝑁𝐻【详解】解：过点𝑁作𝑁𝐻直线𝐴𝐶于在𝑅𝑡𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°,∠𝐴=𝐴𝐵𝐶【答案】【分析】通过证明△𝐴𝐵𝑀𝐶𝐵𝑁，可得𝐶𝑁=2,∠𝐵𝐶𝑁=∠𝐵𝐴𝐶=45°，可求𝑁𝐻【详解】解：过点𝑁作𝑁𝐻直线𝐴𝐶于在𝑅𝑡𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°,∠𝐴=𝐴𝐵𝐶∴𝐴𝐵=2𝐵𝐶,∠𝐴𝐵𝐶=𝐵𝑀𝑁∴𝐵𝑀=2𝐵𝑁,∠𝑀𝐵𝑁=45°=∴∠𝐴𝐵𝑀=又∵𝐵𝐶=𝐵𝑁=∴△𝐴𝐵𝑀∽△ ∴𝐶𝑁=2,∠𝐵𝐶𝑁=∠𝐵𝐴𝐶=∴𝐴𝑀=2𝐶𝑁,∠𝐴𝐶𝑁=∴∠𝑁𝐶𝐻=∴𝑁𝐻=2𝐶𝑁=𝐶𝑀𝑁=×𝐶𝑀𝑁𝐻=×𝐶𝑀(8−𝐶𝑀)=−(𝐶𝑀−4)2∴当𝐶𝑀4𝐶𝑀𝑁面积的最大值为4（2026·辽宁锦州·一模）如图𝐵,𝐹,𝐶三点共线，𝐴𝐶与𝐵𝐷交于点𝐸，𝐸𝐹𝐴𝐵𝐷𝐶，若𝐴𝐸𝐸𝐶57

的值 ． =𝐷𝐶= ∴𝐷𝐶=𝐵𝐶=∵𝐸𝐹∥ ∴𝐹𝐶=𝐸𝐶=∴𝐵𝐶=∵𝐸𝐹∥∴△𝐸𝐹𝐵∽△ 【分析】根据𝐸𝐹∥𝐴𝐵可得𝐹𝐶=𝐸𝐶=7，继而𝐵𝐶=12，又根据𝐸𝐹∥𝐶𝐷△𝐸𝐹𝐵∽△𝐷𝐶𝐵，进而𝐷𝐶==12【详解】解：∵𝐸𝐹【答案】5（2026·△𝐸（在（1）的条件下，若△𝐵𝐶𝐷面积为36，则△𝐴𝐷𝐸面积 （1）作∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐶𝐵𝐷，直线𝐷𝐸交𝐴𝐵于点𝐸，直线𝐷𝐸（2）根据题意得到𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝑆△𝐵𝐶𝐷=2×36=72，证明△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐶𝐵（2）∵𝐵𝐷𝐴𝐵𝐶的中线，𝑆△𝐵𝐶𝐷=𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝑆△𝐵𝐶𝐷=2×36=72，由（1）知𝐸𝐷∥𝐵𝐶，∴△𝐴𝐷𝐸∽△∴ 𝐴𝐷1=∴𝑆△𝐴𝐷𝐸=4𝑆△𝐴𝐶𝐵=4×72=6（2026·(1)𝐴𝐶𝐷(2)若𝐴𝐵=8，𝐴𝐷=7，求𝐷𝐹(2)（1）𝐴𝐷𝐸是等边三角形，则∠𝐴𝐷𝐸=60°，由𝐴𝐵𝐶∠𝐵=∠𝐶=∠𝐴𝐷𝐸=60°，由等量代换可得∠𝐵𝐹𝐷=∠𝐴𝐷𝐶（2）过点𝐴作𝐴𝐻𝐵𝐶于点𝐻．由等边三角形的性质和勾股定理可得𝐵𝐻=4，𝐴𝐻=43，𝐷𝐻=1𝐵𝐷=3，利用𝐴𝐶𝐷𝐷𝐵𝐹计算出𝐷𝐹（1）证明：由旋转的性质可知，𝐴𝐷=𝐴𝐸，∠𝐷𝐴𝐸=𝐴𝐷𝐸∴∠𝐴𝐷𝐸=∴∠𝐴𝐷𝐶+∠𝐵𝐷𝐹=180°−∠𝐴𝐷𝐸=𝐴𝐵𝐶∴∠𝐵=∠𝐶=∴∠𝐵𝐷𝐹∴∠𝐵𝐷𝐹+∠𝐵𝐹𝐷=180°−∠𝐵=∴∠𝐵𝐹𝐷=∴△𝐴𝐶𝐷∽△（2）解：过点𝐴作𝐴𝐻𝐵𝐶于点𝐴𝐵𝐶∴𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐵𝐶=8，又∵𝐴𝐻⊥𝐵𝐶，∴𝐵𝐻=𝐶𝐻=2𝐵𝐶=由勾股定理可得，𝐴𝐻 𝐴𝐵2−𝐵𝐻2∴𝐵𝐷=由（1）得𝐴𝐶𝐷 82−42=43，𝐷𝐻 𝐴𝐷2−𝐴𝐻2=49−48=∴𝐷𝐹=𝐵𝐷，即𝐷𝐹=解得𝐷𝐹=87（2026·安徽阜阳·模拟预测）𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶𝐴𝐵，∠𝐵𝐴𝐶90°M为𝐴𝐶中点，连接𝐵𝑀，A作𝐴𝐷⊥𝐵𝑀D，连接𝐶𝐷并延长交𝐴𝐵E．求证：𝐴𝐷2=𝑀𝐷⋅求𝐶𝐷(3)若𝐶𝐷=6，求线段𝐵𝐸(2)𝐶𝐷=(3)𝐵𝐸=2（1）𝐴𝑀𝐷∽𝐵𝐴𝐷 （2）M作𝑀𝑁∥𝐴𝐵△𝑁𝑀𝐷∽△𝐸𝐵𝐷，则𝐸𝐷=𝐵𝐷，再结合tan∠𝑀𝐵𝐴=𝐵𝐷=𝐴𝐵=2 （3）B作𝑀𝐵的垂线交𝐶𝐷G，得到𝐴𝐷𝐸𝐵𝐺𝐸，再证𝐵𝐷=𝐵𝐺𝐸𝐷𝐵∽（1）证明：由𝐴𝐷𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝑀=90°,∠𝐴𝐵𝑀∠𝐵𝐴𝐷=90°，又∠𝐵𝐴𝐶=90°，∴∠𝐴𝐵𝑀+∠𝐴𝑀𝐵=∴∠𝐴𝑀𝐵=∴△𝐴𝑀𝐷∽△∴𝐴𝐷=𝑀𝐷，即𝐴𝐷2=𝑀𝐷⋅ M作𝐶𝑀𝑁𝐶𝐴𝐸，M点是𝐴𝐶中点， ∴𝐶𝐴=𝐶𝐸=𝐴𝐸=2，即𝐶𝑁=∴△𝑁𝑀𝐷∽△ ∴𝐸𝐷=𝐵𝐷由（1）知∠𝑀𝐵𝐴=∠𝑀𝐴𝐷，M点是𝐴𝐶中点，𝐴𝐶=𝐴𝐵， ∴𝑀𝐴=2𝐴𝐶=2𝐴𝐵，则tan∠𝑀𝐵𝐴=𝐵𝐷=𝐴𝐵= ∴tan∠𝑀𝐴𝐷=𝐴𝐷= 𝑀𝐷 ∴𝐵𝐷=𝐴𝐷⋅𝐵𝐷= ∴𝐸𝐷=∴𝐸𝐷=4𝑁𝐷,𝑁𝐸=𝐸𝐷+𝑁𝐷=5𝑁𝐷,𝐶𝐷=𝐶𝑁+𝑁𝐷= ∴𝐶𝐷=6𝑁𝐷=B作𝑀𝐵的垂线交𝐶𝐷G，又𝐴𝐷⊥𝐵𝑀，∴𝐴𝐷∥∴△𝐴𝐷𝐸∽△ 又𝐶𝐷=∴𝐸𝐷=3𝐶𝐷=4,𝐸𝐶=𝐸𝐷+𝐶𝐷=10，解得𝐵𝐸=210． ，即𝐵𝐸2=𝐸𝐷⋅∴𝐵𝐷=∴𝐵𝐷=∴△𝐵𝐷𝐺是等腰直角三角形，∠𝐵𝐷𝐺=45°，又𝐴𝐶=𝐴𝐵，∠𝐵𝐴𝐶=90°，∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐶𝐵𝐸=45°，又∠𝐵𝐸𝐷=∠𝐶𝐸𝐵，∴△𝐸𝐷𝐵∽△ ∴𝐵𝐺=𝐵𝐸= 又𝐵𝐷= 1 由（2）知𝐴𝐸=2,𝐵𝐸=𝐵𝐷=∴𝐵𝐸=∴𝐵𝐺=考向考向 全等与相似综3k=11（2026·安徽合肥·一模）𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶=4，点𝑃是𝐴𝐵边上一动点，以𝑃𝐶为直角边作等腰直角𝑃𝐶𝐷，∠𝑃𝐶𝐷=90°，连接𝐵𝐷，直线𝑃𝐷与𝐵𝐶相交于𝐸点．设𝐴𝑃=𝑥，则下列结论正确的是（）A．𝑃𝐷的最小值为2 B．𝐵𝐷⊥C．当𝐵𝐷=2时，𝐴𝑃=【答案】

D𝐶𝐷𝐸的面积𝑆随𝑥和性质，可得△𝐴𝐶𝑃≌△𝐵𝐶𝐷(SAS)，得到𝐴𝑃=𝐵𝐷，∠𝐷𝐵𝐴=∠𝐷𝐵𝐶+∠𝐶𝐵𝑃=45°+45°=90°；根据垂线段最短，当点𝑃与点𝐹重合时，此时𝐶𝑃=𝐶𝐺且𝐶𝑃⊥𝐴𝐵，𝑃𝐷有最小值，最小值为：𝑃𝐷=2𝐶𝑃=2𝐶𝐺=4；过点𝐷作𝐷𝐻𝐵𝐶于点𝐻，过点𝐸作𝐸𝑁𝐵𝐷于点𝑁；过点𝐸作𝐸𝑀𝐵𝐴于点𝑀；求出𝐷𝐻=

2𝑥 据相似三角形的判定和性质，可得𝑃𝐵=𝐵𝐷，根据线段的和差，表示出𝑃𝑀=𝐴𝐵−𝐴𝑃−𝑀𝐵=4−𝑥−𝑀𝐵，𝑃𝐵=𝐴𝐵−𝐴𝑃=42−𝑥，求出𝐸𝑀，根据𝑆△𝐶𝐷𝐸=2×𝐶𝐸𝐻𝐷，得到𝑆△𝐶𝐷𝐸=𝑥2(42−𝑥) 【详解】解：∵在𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶=∴∠𝐴=∠𝐶𝐵𝐴=𝑃𝐶𝐷∴𝐶𝐷=𝐶𝑃，∠𝑃𝐶𝐷=∵∠𝐴𝐶𝑃+∠𝑃𝐶𝐵=∠𝑃𝐶𝐵+∠𝐷𝐶𝐵=∴∠𝐴𝐶𝑃=∴△𝐴𝐶𝑃≌△∴∠𝐴=∠𝐷𝐵𝐶=45°，𝐴𝑃=∴∠𝐷𝐵𝐴=∠𝐷𝐵𝐶+∠𝐶𝐵𝑃=45°+45°=∴𝐵𝐷⊥∴B∵𝐴𝑃=∴当𝐵𝐷=2时，𝐴𝑃=∴C过点𝐶作𝐶𝐺𝐴𝐵交于点𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，且𝐴𝐶=∴𝐶𝐺=𝐴𝐺，𝐶𝐺2+𝐴𝐹2=∴𝐶𝐺=2𝑃𝐶𝐷∴𝑃𝐷=当点𝑃与点𝐹重合时，此时𝐶𝑃=𝐶𝐺且𝐶𝑃𝐴𝐵，𝑃𝐷有最小值，最小值为：𝑃𝐷=2𝐶𝑃=2𝐶𝐺=∴A过点𝐷作𝐷𝐻𝐵𝐶于点𝐻，过点𝐸作𝐸𝑁𝐵𝐷于点𝑁；过点𝐸作𝐸𝑀𝐵𝐴于点∵∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐶𝐵𝐴=𝐷𝐻𝐵是等腰直角三角形；四边形𝐸𝑀𝐵𝑁∴𝐷𝐻

2∵∠𝐸𝑀𝑃=∠𝐷𝐵𝐴=90°，∠𝐷𝑃𝐵=∴△𝑃𝐸𝑀∽△

∴𝑃𝐵=∵𝐴𝑃=∴𝑃𝑀=𝐴𝐵−𝐴𝑃−𝑀𝐵=42−𝑥−𝑀𝐵，𝑃𝐵=𝐴𝐵−𝐴𝑃=444

=𝑥∴𝐸𝑀

𝑥(44∴𝐸𝑁

𝑥(44∵𝐶𝐸=𝐵𝐶−𝐸𝐵，𝐸𝐵=∴𝐶𝐸=𝐵𝐶−𝐸𝐵=4−∵𝑆△𝐶𝐷𝐸=2×𝐶𝐸×

△𝐶𝐷𝐸=2

(4−2𝐸𝑀)×𝑥2(42−𝑥)整理得：𝑆△𝐶𝐷𝐸=

∴𝑆△𝐶𝐷𝐸∴D错误；2（2026·=形为“类直角三角形”．如图，在Rt𝐴𝐵𝐶中．∠𝐶=90°，𝐵𝐶=3，𝐴𝐵=5，点𝐷在𝐴𝐶边上，使得△是“类直角三角形”，则𝐶𝐷= 【答案】2或【分析】先求出𝐴𝐶=4，然后分当∠𝐴2∠𝐴𝐵𝐷=90°时，当2∠𝐴∠𝐴𝐵𝐷=90°时两种情况，通过相似三【详解】解：∵∠𝐶=90°，𝐵𝐶=3，𝐴𝐵=∴𝐴𝐶= 𝐴𝐵2−𝐵𝐶2= 52−32=4，当∠𝐴+2∠𝐴𝐵𝐷=90°时，∵∠𝐴+∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐷𝐵𝐶=∴∠𝐴𝐵𝐷=过点𝐷作𝐷𝐸𝐴𝐵于点𝐸∵∠𝐶=∴𝐶𝐷=在Rt𝐵𝐷𝐸和Rt𝐵𝐷𝐶𝐵𝐷=𝐷𝐸=𝐷𝐶∴Rt△𝐵𝐷𝐸≌Rt△∴𝐵𝐸=𝐵𝐶=∴𝐴𝐸=𝐴𝐵−𝐵𝐸=5−3=在直角三角形ABC中，由勾股定理得：𝐴𝐶= 𝐴𝐵2−𝐵𝐶2= 52−32=4，设𝐶𝐷=𝐷𝐸=𝑥，则𝐴𝐷=4−𝑥，根据勾股定理得：𝐴𝐷2=𝐷𝐸2+𝐴𝐸2，即(4−𝑥)2=𝑥2+解得：𝑥=∴𝐶𝐷=当2∠𝐴∠𝐴𝐵𝐷=90°∵∠𝐴+∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐷𝐵𝐶=∴∠𝐷𝐵𝐶∴∠𝐷𝐵𝐶=∵∠𝐵𝐶𝐷=∴△𝐴𝐵𝐶∽△∴𝐵𝐶= 3=解得：𝐶𝐷= 综上所述，𝐶𝐷=2或3（2026·=𝐶𝐷，𝐵𝐷E在𝐴𝐶上，作𝐸𝐹𝐶𝐷FM为线段𝐴𝐸的中点，连接𝐵𝑀，𝑀𝐹①∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐸；②𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐶𝐵𝐷；③𝐵𝑀=𝐹𝑀；④若𝐴𝐵=5，tan∠𝐵𝐴𝐶=3，连接𝐵𝐹 （请将正确的结论序号填在横线上【答案】【答案】因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝐵𝐶𝐴𝐷𝐶的面积之和，结合轴对称性质中𝐴𝐶𝐵𝐷，利用三角形M作𝑀𝑁𝐴𝐷，连接𝐷𝑀，证得𝐷𝑀=𝑀𝐹，则易验证结论∴𝐴𝐵=𝐴𝐷,𝐵𝐶=又∵𝐴𝐶=∴△𝐴𝐵𝐶≌△∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐸，①∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑆△𝐴𝐵𝐶+𝑆△𝐴𝐷𝐶=2𝐴𝐶⋅𝐵𝑂+2𝐴𝐶⋅𝑂𝐷=2𝐴𝐶⋅𝐵𝐷，不是𝐴𝐶⋅𝐵𝐷，②③M作𝑀𝑁𝐴𝐷，连接∵𝐸𝐹⊥𝐶𝐷，∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐵𝐶=∴𝐴𝐷∥∴∠𝑀𝑁𝐹=

∴𝑁𝐹=∵M为线段𝐴𝐸∴𝐴𝑀=∴𝐷𝑁=∴𝐷𝑀=∴𝐷𝑀=∴𝐵𝑀=④：如图，作𝐵𝐻𝐷𝐶，由图可知𝐵𝐹的最小值是点𝐵到直线𝐶𝐷的距离∵𝐴𝐵=5，tan∠𝐵𝐴𝐶=∴𝐷𝐶=𝐵𝐶=∴𝐴𝐶= 𝐴𝐵2+𝐵𝐶2= 52+152=510，由∠𝐵𝑂𝐶=∠𝐴𝐵𝐶=90°,∠𝐵𝐶𝑂=∠𝐴𝐶𝐵△𝐵𝑂𝐶∽△

∴𝐴𝐶=∴𝐵𝐶2=∴𝑂𝐶

92∴𝑂𝐵

32 ∵𝑆△𝐵𝐶𝐷=2𝐵𝐷·𝑂𝐶=∴𝐵𝐻∴𝐵𝐻3= 2=9综上，正确结论为4（2026·=𝐴𝐵𝐶𝐸，点𝐹在边𝐴𝐶上，且𝐴𝐹=𝐶𝐸，连接𝐵𝐹，𝐷𝐹，𝐷𝐹交𝐶𝐸于点(1)求证：𝐵𝐹=(2)如图2，若∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐶𝐷𝐹，求证：𝐶𝐸·𝐶𝐹=（1）𝐴𝐵𝐹𝐶𝐴𝐸(SAS)和四边形𝐴𝐹𝐷𝐸（2）通过△𝐶𝐹𝐺∽△𝐷𝐹𝐶得到𝐹𝐺=𝐶𝐹△𝐶𝐹𝐺∽△𝐸𝐷𝐺得到𝐹𝐺=𝐷𝐺，进而得出𝐶𝐹=𝐷𝐺 𝐷𝐹=𝐵𝐹，𝐸𝐷=𝐶𝐸得到𝐶𝐹=𝐷𝐺，转换成等积式即可得出结论（1）证明：∵𝐴𝐶∴∠𝐵𝐷𝐸=∵∠𝐴𝐵𝐶=∴∠𝐴𝐵𝐶=∴𝐴𝐵=∵𝐴𝐵∥∴∠𝐵𝐴𝐶=∵𝐴𝐹= ∴△𝐴𝐵𝐹≌△∴𝐵𝐹∴𝐵𝐹=∵𝐴𝐵∥∴∠𝐴𝐵𝐶=∵∠𝐴𝐵𝐶=∴∠𝐸𝐶𝐷=∴𝐶𝐸=∵𝐴𝐹=∴𝐴𝐹=∵𝐴𝐹∥∴𝐷𝐹=∴𝐵𝐹=（2）证明：∵∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐶𝐷𝐹,∠𝐶𝐹𝐺=∴△𝐶𝐹𝐺∽△∴𝐹𝐺=∵𝐴𝐶∥∴△𝐶𝐹𝐺∽△∴𝐹𝐺=∴𝐶𝐹=∵𝐷𝐹=𝐵𝐹，𝐸𝐷= ∴𝐶𝐹=即：𝐶𝐸·𝐶𝐹=5（2026·𝐴𝐵𝐶中，点𝐷是斜边𝐵𝐶上任意一点，在𝐴𝐷𝐴𝐷𝐸，使°，𝐴𝐷=𝐴𝐸，连接𝐶𝐸．判断∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐸2，在等腰𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐵𝐶，点𝐷是𝐵𝐶边上任意一点（不与点𝐵，𝐶重合，在𝐴𝐷𝐴𝐷𝐸，使𝐴𝐷=𝐷𝐸，∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐴𝐵𝐶，连接𝐶𝐸，则（1）(3)在（2）的条件下，若𝐴𝐵=𝐵𝐶=5，𝐴𝐶=3，点𝐷是直线𝐵𝐶上任意一点，请直接写出当𝐶𝐷=2时𝐶𝐸的【答案】(1)∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐸 5（1）利用SAS𝐴𝐵𝐷𝐴𝐶𝐸，得𝐵𝐷=（2）根据等腰三角形的性质得到∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=1(180°−∠𝐴𝐵𝐶)，∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐷𝐸𝐴=1(180°−∠𝐴𝐷𝐸) （1）∵△𝐴𝐵𝐶∴𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐷𝐴𝐶，即∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸，∵𝐴𝐷=∴△𝐴𝐵𝐷≌△∴∠𝐴𝐵𝐶=∵𝐴𝐵=∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=∵𝐴𝐷=∴∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐷𝐸𝐴=∵∠𝐴𝐵𝐶=∴∠𝐵𝐴𝐶=∴△𝐴𝐵𝐶∽△

∴𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷，即∠𝐵𝐴𝐷=∴△𝐴𝐵𝐷∽△∴∠𝐴𝐵𝐶=根据（2）可得𝐴𝐵𝐷

∴𝐴𝐶=∵𝐴𝐵=𝐵𝐶=5，𝐴𝐶=3，𝐶𝐷=∴3

𝐶𝐸∴𝐶𝐸=∵𝐴𝐵=∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=∵𝐴𝐷=∴∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐷𝐸𝐴=∵∠𝐴𝐵𝐶=∴∠𝐵𝐴𝐶=∴△𝐴𝐵𝐶∽△

∴𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐶∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐷𝐴𝐸∠𝐶𝐴𝐷，即∠𝐵𝐴𝐷=∴△𝐴𝐵𝐷∽△

∴𝐴𝐶=∵𝐴𝐵=𝐵𝐶=5，𝐴𝐶=3，𝐶𝐷=∴3

𝐶𝐸∴𝐶𝐸=5 综上所述，𝐶𝐸为55考向考向 全等与相似模型应41（2026·△①在𝐴𝐵和𝐴𝐶上分别截取𝐴𝑀,𝐴𝑁，使𝐴𝑀=𝐴𝑁，分别以点𝑀和𝑁为圆心，以大于2𝑀𝑁②分别以点𝐵和𝐶为圆心，以大于2𝐵𝐶的长为半径作弧，两弧相交于点𝑃和𝑄，作直线𝑃𝑄交𝐴𝑂于点𝐷根据以上作图，若𝐴𝐵=6,𝐴𝐶=4,𝐵𝐷=3，则点𝐷到直线𝐴𝐵的距离为（A．1

C．1

【答案】【答案】理．根据作图步骤可知𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝑃𝑄垂直平分𝐵𝐶，从而得出𝐷𝐵=𝐷𝐶，点𝐷到𝐴𝐵、𝐴𝐶的距离相等．过点𝐷作𝐷𝐸𝐴𝐵于𝐸，𝐷𝐹𝐴𝐶交𝐴𝐶的延长线于𝐹，通过证明Rt𝐵𝐷𝐸≌Rt𝐶𝐷𝐹和Rt𝐴𝐷𝐸≌Rt△【详解】解：过点𝐷作𝐷𝐸𝐴𝐵于𝐸，𝐷𝐹𝐴𝐶交𝐴𝐶的延长线于在在Rt𝐴𝐷𝐸和Rt𝐴𝐷𝐹∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐷𝐹⊥∴𝐷𝐸=𝐷𝐹，∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐴𝐹𝐷=𝐴𝐷=𝐷𝐸=𝐷𝐹∴Rt△𝐴𝐷𝐸≌Rt△∴𝐴𝐸=∴𝐷𝐵=∵𝐵𝐷=∴𝐶𝐷=𝐵𝐷=在Rt△𝐵𝐷𝐸和Rt△𝐶𝐷𝐹中，𝐷𝐸=𝐷𝐹∴Rt△𝐵𝐷𝐸≌Rt△∴𝐵𝐸=∵𝐴𝐵=6，𝐴𝐶=∴𝐴𝐸=𝐴𝐵−𝐵𝐸=𝐴𝐹=𝐴𝐶+𝐶𝐹=4+∵𝐴𝐸=6−𝐵𝐸=4+𝐵𝐸，解得𝐵𝐸=1，在Rt△𝐵𝐷𝐸中，𝐷𝐸 𝐵𝐷2−𝐵𝐸2 32−12=8=2即点𝐷到直线𝐴𝐵的距离为22（2025·==𝐶𝐸=3，连接𝐷𝐸，点𝑀、𝑁分别是𝐴𝐶、𝐷𝐸的中点，连接𝑀𝑁，则𝑀𝑁的长度为（ B． 【答案】【答案】过点𝐶作𝐶𝐺∥𝐴𝐷，连接𝐷𝑀并延长交𝐶𝐺于点𝐺，连接𝐸𝐺𝐺𝑀𝐶𝐷𝑀𝐴(ASA)，可得𝐶𝐺=𝐴𝐷=𝐺𝑀=𝐷𝑀，再根据平行线的性质得∠𝐺𝐶𝐸=90°，即得𝐺𝐸= 𝐶𝐺2+𝐶𝐸2=5，最后根据三角形中位线的∴∠𝐺𝐶𝑀=∴𝐶𝑀=又∵∠𝐺𝑀𝐶=∴△𝐺𝑀𝐶≌△∴𝐶𝐺=𝐴𝐷=4，𝐺𝑀=∵𝐶𝐺∥𝐴𝐷，∠𝐵=∴∠𝐺𝐶𝐸=180°−∠𝐶=∵𝐶𝐸=∴𝐺𝐸 𝐶𝐺2+𝐶𝐸2 42+32=∵𝐺𝑀=𝐷𝑀，点𝑁是𝐷𝐸∴𝑀𝑁=2𝐺𝐸=3（2025·=∠𝐸𝐴𝐹=60°，连接𝐸𝐹交𝐴𝐶于点（1）若∠𝐶𝐸𝐹=𝛼，则∠𝐸𝐴𝐶= （用𝛼表示（2）若𝐴𝐵=4，则𝐸𝐺⋅𝐺𝐹的最大值 【答案 （1）𝐴𝐸𝐹是等边三角形；得出∠𝐴𝐹𝐸=60°=∠𝐴𝐶𝐸，再利用三角形的内角和定理进一步 （2）设𝐸𝐺=𝑥，𝐸𝐹=𝑡，根据𝐸𝐺𝐺𝐹=𝐸𝐺(𝐸𝐹−𝐸𝐺)=−𝑥2𝐸𝐺𝐺𝐹3（1）∵∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐴𝐷，∠𝐵𝐶𝐷=180°−60°=𝐴𝐵𝐶∴𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐵=∠𝐵𝐴𝐶=∴∠𝐴𝐶𝐹=∠𝐵𝐶𝐷−∠𝐴𝐶𝐵=∴∠𝐵=∵∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐸𝐴𝐹=∴∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐸𝐴𝐶+∠𝐶𝐴𝐹=∴∠𝐵𝐴𝐸=∴在𝐵𝐴𝐸𝐶𝐴𝐹∠𝐵𝐴𝐸=

𝐴𝐵= ∠𝐵=∴△𝐵𝐴𝐸≌△∴𝐴𝐸=又∵∠𝐸𝐴𝐹=𝐴𝐸𝐹∴∠𝐴𝐹𝐸=60°=∵∠𝐴𝐺𝐹=∴∠𝐶𝐸𝐹=∠𝐶𝐴𝐹=∴∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐸𝐴𝐹−∠𝐶𝐴𝐹=60°−𝛼；（2）∵𝐸𝐺+𝐺𝐹=∴𝐺𝐹=∴𝐸𝐺𝐺𝐹=𝐸𝐺(𝐸𝐹−𝐸𝐺)，设𝐸𝐺=𝑥，𝐸𝐹=𝑡，∴𝐸𝐺⋅𝐺𝐹===−𝑥2+∴𝐸𝐺=𝐺𝐹=2𝐸𝐹=∴𝐸𝐺⋅𝐺𝐹=3×3=3，即𝐸𝐺⋅𝐺𝐹的最大值为3．∴𝐸𝐹=𝐴𝐸=2∴此时𝐴𝐺⊥𝐸𝐹，∠𝐸𝐴𝐺=∠𝐹𝐴𝐺=2𝐸𝐴𝐹=∴此时∠𝐵𝐴𝐸=60°−∠𝐸𝐴𝐺=𝐴𝐵𝐶∴𝐴𝐸⊥∵𝐴𝐵=∴𝐵𝐸=𝐶𝐸= ∴此时𝐹𝐺=𝑡−2𝑡=∴此时𝐸𝐺=𝐴𝐸𝐹∴当𝑥=𝑡时，𝐸𝐺𝐺𝐹 1=−𝑥−2 +4𝑡4（2025·1𝐴𝐵𝐶𝐴𝐷𝐸都是等边三角形，连接𝐵𝐷，𝐶𝐸．求证：𝐵𝐷=2△𝐴𝐵𝐶△𝐴𝐷𝐸都是等腰直角三角形，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐸=90°，连接𝐵𝐷，𝐶𝐸，则𝐶𝐸= 3△𝐴𝐵𝐶𝐴𝐷𝐸，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐸=90°，连接𝐵𝐷，𝐶𝐸，若𝐵𝐶=4①求𝐶𝐸②延长𝐶𝐸交𝐵𝐷于点𝐹，则sin∠𝐵𝐹𝐶= 2（2）（3）①3，②（1） ①利用勾股定理求得𝐴𝐶=3②利用相似三角形的性质，对顶角相等的性质和三角形的内角和定理得到∠𝐵𝐹𝐶∠𝐶𝐴𝐵，再利用直角三（1）证明：𝐴𝐵𝐶𝐴𝐷𝐸∴𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐵𝐶，𝐴𝐷=𝐴𝐸=𝐷𝐸，∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸=∵∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐶𝐴𝐸，∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐸+∴∠𝐶𝐴𝐸=在𝐷𝐴𝐵𝐸𝐴𝐶𝐴𝐷=∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐸𝐴𝐶𝐴𝐵=∴△𝐷𝐴𝐵≌△∴𝐵𝐷=（2）𝐴𝐵𝐶𝐴𝐷𝐸都是等腰直角三角形，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐸=∴𝐴𝐶=2𝐴𝐵，𝐴𝐸=2𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸= ∴𝐴𝐶=𝐴𝐸=2∵∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐶𝐴𝐸，∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐸+∴∠𝐶𝐴𝐸=∴△𝐶𝐴𝐸∽△ ∴𝐶𝐸=𝐴𝐶=22 （3）①∵∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝐵𝐶=4∴设𝐴𝐵=2𝑘，则𝐵𝐶=∴𝐴𝐶 𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=323=23=33 2∴sin∠𝐵𝐹𝐶=sin∠𝐵𝐴𝐶=𝐴𝐶∵△𝐶𝐴𝐸∽△∴∠𝐷𝐵𝐴=∵∠𝐹𝐺𝐵=∴∠𝐵𝐹𝐶= ∴𝐶𝐸=𝐴𝐶= ∴𝐴𝐶=32𝑘=∵△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴𝐷𝐸，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐸= ∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸，𝐴𝐶=∵∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐶𝐴𝐸，∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐸+∴∠𝐶𝐴𝐸=∴△𝐶𝐴𝐸∽△1，在𝐴𝐵𝐶D，E分别是𝐴𝐵，𝐴𝐶的中点，连接𝐷𝐸，像𝐷𝐸连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．求证：𝐷𝐸∥𝐵𝐶，且𝐷𝐸=∵D，E分别是𝐴𝐵，𝐴𝐶的中点，∴𝐴𝐷=𝐵𝐷，𝐴𝐸=𝐶𝐸．又∵𝐸𝐹=∴𝐶𝐹∥𝐴𝐷，𝐶𝐹=𝐴𝐷．∴𝐶𝐹∥𝐵𝐷，𝐶𝐹=∴𝐷𝐹∥𝐵𝐶，𝐷𝐹=𝐵𝐶．又∵𝐷𝐸=2𝐷𝐹，∴𝐷𝐸=上述材料证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1： 依据 3，在Rt𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°E为𝐴𝐵边的中点．求证：𝐶𝐸=如图4，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷和四边形𝐷𝐸𝐹𝐺都是正方形，点M是𝐴𝐺的中点．若𝐶𝐸=4，则𝐷𝑀的长 （1）延长𝐶𝐸F．使𝐸𝐹𝐶𝐸．连接𝐵𝐹，𝐴𝐹．证明四边形𝐴𝐶𝐵𝐹是平行四边形．从而可证得四边形𝐴𝐶𝐵𝐹是矩形，由矩形的性质得到𝐴𝐵=𝐶𝐹，继而可得出结论．延长𝐷𝑀N，使𝑀𝑁=𝐷𝑀，连接𝐴𝑁，𝑁𝐺．证明四边形𝐴𝐷𝐺𝑁是平行四边形．得到𝐴𝑁=𝐷𝐺．从而有∠𝑁𝐴𝐷∠𝐴𝐷𝐺=180°𝑁𝐴𝐷𝐸𝐷𝐶(SAS)，得出𝐷𝑁=𝐶𝐸=4，继而可求证明：如图，延长𝐶𝐸F．使𝐸𝐹=𝐶𝐸．连接∵E为𝐴𝐵∴𝐴𝐸=𝐵𝐸．又∵𝐸𝐹𝐶𝐸，∵∠𝐴𝐶𝐵=∴𝐴𝐵=∵𝐸𝐹=∴𝐶𝐸=∴𝐶𝐸=解：如图，延长𝐷𝑀N，使𝑀𝑁=𝐷𝑀，连接∵M是𝐴𝐺∴𝐴𝑀=𝑀𝐺．又∵𝑀𝑁𝐷𝑀．∴𝐴𝑁∥𝐷𝐺，𝐴𝑁=∴∠𝑁𝐴𝐷+∠𝐴𝐷𝐺=∴𝐴𝐷=𝐷𝐶，𝐷𝐺=𝐷𝐸．∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐺𝐷𝐸=∴𝐴𝑁=𝐷𝐸，∠𝐸𝐷𝐶+∠𝐴𝐷𝐺=360°−∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐺𝐷𝐸=∴∠𝑁𝐴𝐷∴∠𝑁𝐴𝐷=∴△𝑁𝐴𝐷≌△∴𝐷𝑁=𝐶𝐸=∴𝐷𝑀=2𝐷𝑁=“6（2025·1，𝐴𝐷𝐴𝐵𝐶的中线，𝐴𝐵=6，𝐴𝐶=4，求中线𝐴𝐷长度的取值范围．①2，延长𝐵𝐴到点𝐸，使𝐴𝐸=𝐵𝐴，连接𝐶𝐸，利用三角形中位线②3，延长𝐴𝐷到点𝐸，使𝐷𝐸𝐴𝐷，连接𝐶𝐸，构造三角形全等…；4，已知等腰Rt𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶90°D在直线𝐵𝐶上移动，连接𝐴𝐷，将𝐴𝐷绕点𝐴逆（3）在（2）的条件下，若𝐵𝐷=1，𝐴𝐵=22，请你直接写出𝐴𝐹 （2）𝐶𝐷=（3）2（1）①小红同学的解题思路：延长𝐵𝐴到点𝐸，使𝐴𝐸=𝐵𝐴，连接𝐶𝐸𝐶𝐸=2𝐴𝐷，再根据三角形的三边关系可得𝐴𝐸−𝐴𝐶<𝐶𝐸<𝐴𝐸𝐴𝐶，由此即可得；②路：延长𝐴𝐷到点𝐸，使𝐷𝐸=𝐴𝐷，连接𝐶𝐸𝐶𝐷𝐸𝐵𝐷𝐴𝐶𝐸=𝐴𝐵=6，然后根据三角形的三边关系可得𝐶𝐸−𝐴𝐶<𝐴𝐸<𝐶𝐸𝐴𝐶（2）𝐶𝐷=2𝐴𝐹，证明：延长𝐵𝐴至𝐺，使𝐴𝐺=𝐴𝐵，连接𝐸𝐺，先根据三角形的中位线定理可得𝐸𝐺=2𝐴𝐹，再证出△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐺𝐸，根据全等三角形的性质可得𝐶𝐷=𝐸𝐺，由此即可得；（3）先利用勾股定理可得𝐵𝐶=4，再分两种情况：①当𝐷在点𝐵的右侧时，②当𝐷在点𝐵出𝐶𝐷的长，再参考（2）的思路证出𝐴𝐹=2𝐶𝐷（1）①∵𝐴𝐷𝐴𝐵𝐶的中线，𝐴𝐸=∴𝐴𝐷𝐵𝐶𝐸∴𝐴𝐷=2𝐶𝐸，即𝐶𝐸=∵𝐴𝐸=𝐵𝐴，𝐴𝐵=∴𝐴𝐸=∵𝐴𝐶=∴在𝐴𝐶𝐸中，𝐴𝐸−𝐴𝐶<𝐶𝐸<𝐴𝐸𝐴𝐶，即6−4<𝐶𝐸<6+∴2<2𝐴𝐷<∴1<𝐴𝐷<②小林同学的解题思路：如图，延长𝐴𝐷到点𝐸，使𝐷𝐸=𝐴𝐷，连接∵𝐴𝐷𝐴𝐵𝐶∴𝐵𝐷=在𝐶𝐷𝐸和𝐵𝐷𝐴𝐶𝐷=∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐵𝐷𝐴𝐷𝐸=∴△𝐶𝐷𝐸≌△∴𝐶𝐸=𝐴𝐵=6，又∵𝐷𝐸=𝐴𝐷，∴𝐴𝐸=𝐴𝐷+𝐷𝐸=∵𝐴𝐶=∴在𝐴𝐶𝐸中，𝐶𝐸−𝐴𝐶<𝐴𝐸<𝐶𝐸𝐴𝐶，即6−4<𝐶𝐸<6+∴2<2𝐴𝐷<∴1<𝐴𝐷<（2）𝐶𝐷=2𝐴𝐹如图，延长𝐵𝐴至𝐺，使𝐴𝐺=𝐴𝐵，连接∵点𝐹为𝐵𝐸中点，𝐴𝐺=∴𝐴𝐹是𝐵𝐸𝐺∴𝐸𝐺=∵∠𝐵𝐴𝐶=∴∠𝐶𝐴𝐺=180°−∠𝐵𝐴𝐶=∴∠𝐷𝐴𝐸=90°，𝐴𝐸=∴∠𝐶𝐴𝐺=∠𝐷𝐴𝐸=∴∠𝐶𝐴𝐺−∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐸，即∠𝐺𝐴𝐸=∵𝐴𝐺=𝐴𝐵，𝐴𝐵=∴𝐴𝐺=在𝐴𝐶𝐷𝐴𝐺𝐸𝐴𝐶=∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐺𝐴𝐸𝐴𝐷=∴△𝐴𝐶𝐷≌△∴𝐶𝐷=又∵𝐸𝐺=∴𝐶𝐷=∵等腰Rt𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=22，∠𝐵𝐴𝐶=∴𝐵𝐶 𝐴𝐵2+𝐴𝐶2=∵𝐵𝐷=1<∴𝐶𝐷=𝐵𝐶−𝐵𝐷=由（2）已证：𝐶𝐷= ∴𝐴𝐹=2𝐶𝐷=延长𝐵𝐴至𝑀，使𝐴𝑀=𝐴𝐵，连接∵点𝐹为𝐵𝐸中点，𝐴𝑀=∴𝐴𝐹是𝐵𝐸𝑀∴𝐸𝑀=∵∠𝐵𝐴𝐶=∴∠𝐶𝐴𝑀=180°−∠𝐵𝐴𝐶=∴∠𝐷𝐴𝐸=90°，𝐴𝐸=∴∠𝐶𝐴𝑀=∠𝐷𝐴𝐸=∴∠𝐶𝐴𝑀∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐸∠𝐶𝐴𝐸，即∠𝑀𝐴𝐸=∵𝐴𝑀=𝐴𝐵，𝐴𝐵=∴𝐴𝑀=在𝐴𝐶𝐷𝐴𝑀𝐸𝐴𝐶=∠𝐶𝐴𝐷=∠𝑀𝐴𝐸𝐴𝐷=∴△𝐴𝐶𝐷≌△∴𝐸𝑀=𝐶𝐷=𝐵𝐷𝐵𝐶=5，又∵𝐸𝑀=2𝐴𝐹， ∴𝐴𝐹=2𝐸𝑀=2𝐶𝐷= 综上，𝐴𝐹的长度为2或5常见相似模型核心模型及识别：①A核心模型及识别：①A字型：一条直线平行于三角形一边，与另外两边相交，形成的小三角形与原三；②8易错点：模型识别错误（A8字型；比例关系找错（对应边顺序混乱；忽略模型的适用条件（A字型需平行线。1（2025·==E是中线𝐴𝐷的中点，连接𝐵𝐹，若𝐴𝐵=4，则线段𝐵𝐹的长为（A．A．

3D．【答案】【答案】【分析】如图所示，延长𝐶𝐸G，使𝐶𝐸=𝐺𝐸，连接𝐴𝐺，首先求出𝐵𝐷=𝐶𝐷=2𝐵𝐶=2，𝐴𝐸=𝐷𝐸明出△𝐴𝐸𝐺≌△𝐷𝐸𝐶(SAS)，得到𝐴𝐺=𝐶𝐷=2，然后证明出△𝐴𝐶𝐺∽△𝐵𝐶𝐹，得到𝐵𝐹=𝐵𝐶=2，进而求 【详解】如图所示，延长𝐶𝐸G，使𝐶𝐸𝐺𝐸，连接𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，∠𝐴𝐵𝐶=∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=∵E是中线𝐴𝐷∴𝐵𝐷=𝐶𝐷=2𝐵𝐶=2，𝐴𝐸=2，即𝐵𝐹= ∴𝐵𝐹=𝐵𝐶∴𝐵𝐹=2． ∴𝐹𝐶=2=∴△𝐴𝐶𝐺∽△ =2 ∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐸𝐶𝐹=45°，𝐵𝐶=2，𝐸𝐶∴∠𝐴𝐶𝐺=∵𝐶𝐸=∵𝐶𝐸=𝐺𝐸，∠𝐴𝐸𝐺=∴△𝐴𝐸𝐺≌△∴𝐴𝐺=𝐶𝐷=2（2026·中点，连接𝐴𝐺与𝐶𝐸交于点𝐹．若𝐴𝐺=𝐴𝐶，则下列结论错误的是（．

A．𝐴𝐹= B．𝐵𝐸= C．𝐴𝐸= D．𝐶𝐹=【答案】【答案】【分析】根据𝐷𝐸垂直平分边𝐵𝐶，推出∠𝐹𝐶𝐺=∠𝐵，𝐵𝐷=𝐶𝐷，𝐵𝐸=𝐶𝐸，结合𝐴𝐺=𝐴𝐶𝐹𝐶𝐺𝐴𝐵𝐶△𝐴𝐸𝐹𝐶𝐸𝐴∴∠𝐹𝐶𝐺=∠𝐵，𝐵𝐷=𝐶𝐷，𝐵𝐸=∵𝐴𝐺=∴∠𝐹𝐺𝐶=∴△𝐹𝐶𝐺∽△∴𝐴𝐶= ∴𝐶𝐹=7𝑘= ∴𝐴𝐸=12𝑘= ∵𝐶𝐸=𝐴𝐸=𝐴𝐶=∴设𝐴𝐸=12𝑘，则𝐶𝐸=16𝑘，𝐸𝐹=∴𝐶𝐹=𝐶𝐸−𝐸𝐹=16𝑘−9𝑘= ∴𝐵𝐸=𝐴𝐶=4𝑎= ∴𝐶𝐸=𝐴𝐸=∵𝐵𝐸=∴𝐴𝐹=3𝑎=∵𝐴𝐺=∴∠𝐴𝐺𝐶=∵∠𝐴𝐺𝐶=∠𝐵+∠𝐵𝐴𝐺，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐵𝐶𝐸+∴∠𝐵𝐴𝐺=∵∠𝐴𝐸𝐹=∴△𝐴𝐸𝐹∽△ ∴𝐴𝐶=𝐵𝐶=∴𝐴𝐺=∵设𝐹𝐺=𝑎，𝐴𝐺=𝐴𝐶=∴𝐴𝐹=𝐴𝐺−𝐹𝐺=3（2025·给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”2，在𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=90°，将线段𝐵𝐶绕点𝐵顺时针旋转90°得到线段𝐵𝐷，作𝐷𝐸𝐴𝐵交𝐴𝐵的延长线于点3，连接𝐶𝐷并延长交𝐴𝐵的延长线于点𝐹，若𝐴𝐵=2，𝐴𝐶=6，求△𝐵𝐷𝐹【类比迁移】在（2）的条件下，连接𝐶𝐸交𝐵𝐷于点𝑁，求𝐵𝐶【答案】【答案】(1)𝐴𝐵=(2)𝑆△𝐵𝐷𝐹=（1）根据旋转的性质可得∠𝐶𝐵𝐷=90°，𝐶𝐵=𝐵𝐷𝐴𝐵𝐶𝐸𝐷𝐵(AAS)（2）根据（1）的方法证明𝐴𝐵𝐶𝐸𝐷𝐵(AAS)𝐷𝐸𝐹𝐶𝐴𝐹，求得𝐸𝐹=4𝐵𝐹=10（3）过点𝑁作𝑁𝑀𝐴𝐹于点𝑀，证明△𝐴𝐵𝐶𝑀𝑁𝐵得出𝑀𝑁=3𝐵𝑀𝐸𝑀𝑁𝐸𝐶𝐴𝐵𝑀=𝑥，则𝑀𝐸=𝐵𝐸−𝐵𝑀=6−𝑥，代入比例式，得出𝑥=13（1）解：𝐴𝐵=∵将线段𝐵𝐶绕点𝐵顺时针旋转90°得到线段𝐵𝐷，作𝐷𝐸𝐴𝐵交𝐴𝐵的延长线于点∵∠𝐶𝐵𝐷=∴∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐷𝐵𝐸=∵∠𝐴=∴∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐶𝐵=∴∠𝐷𝐵𝐸=又∵∠𝐴=∠𝐷𝐸𝐵=90°，𝐶𝐵=∴△𝐴𝐵𝐶≌△∴𝐴𝐵=（2）解：∵∠𝐶𝐵𝐷=∴∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐷𝐵𝐸=∵∠𝐴=∴∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐶𝐵=∴∠𝐷𝐵𝐸=又∵∠𝐴=∠𝐷𝐸𝐵=90°，𝐶𝐵=∴△𝐴𝐵𝐶≌△∴𝐷𝐸=𝐴𝐵，𝐵𝐸=∵𝐴𝐵=2，𝐴𝐶=∴𝐷𝐸=2，𝐵𝐸=∴𝐴𝐸=𝐴𝐵+𝐵𝐸=2+6=∵∠𝐷𝐸𝐵+∠𝐴=∴△𝐷𝐸𝐹∽△

∴𝐴𝐶= ∴6=∴𝐸𝐹=∴𝐵𝐹=𝐵𝐸+𝐸𝐹=6+4= ∴𝑆△𝐵𝐷𝐹=2×𝐵𝐹×𝐷𝐸=2×10×2=（3）解：如图所示，过点𝑁作𝑁𝑀𝐴𝐹于点∵∠𝐴=∠𝐵𝑀𝑁=90°，∠𝐴𝐶𝐵=90°−∠𝐴𝐵𝐶=∴△𝐴𝐵𝐶∽△

∴𝐵𝐶=𝐴𝐶=𝐴𝐵 即𝐵𝐶=6=2，即𝑀𝑁=又∵𝑀𝑁∴△𝐸𝑀𝑁∽△

∴𝐴𝐸=𝐴𝐶设设𝐵𝑀=𝑥，则𝑀𝐸=𝐵𝐸−𝐵𝑀==63解得：𝑥=∴𝐵𝑀= =134（2025·如图①𝐴𝑂𝐶𝐴𝐷𝐸都是等腰直角三角形，∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐴𝐷𝐸=90°，连接𝑂𝐷，𝐶𝐸，则之间的数量关系 ，∠𝑂𝐶𝐸= 如图②，在𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐷（不与点𝐵，𝐶重合）是直线𝐶𝐵上的一动点，将线①如图②，点𝐷在线段𝐶𝐵上时，求证：𝐴𝐶−𝐶𝐸=②如图③，𝐴𝐵=𝐴𝐶=42，在点𝐷运动的过程中，当∠𝐶𝐴𝐸=60°时，请直接写出𝐶𝐷（1）𝐶𝐸2𝑂𝐷；45°（2）①见解析；②43±（1）证明△𝐴𝐷𝑂∽△𝐴𝐸𝐶，根据相似三角形的性质可得𝑂𝐷=𝐴𝐷=2，∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐴𝑂𝐷=（2）同理（1）可得可求𝐴𝐶=𝐴𝐵=2𝑂𝐵，𝐶𝐸=2𝑂𝐷，由此求出𝐴𝐶−𝐶𝐸=（3）分当𝐴𝐸在∠𝐵𝐴𝐶内时，当𝐴𝐸在∠𝐵𝐴𝐶（1）的结论，利用30°直角三角形性质（1）𝐶𝐸2𝑂𝐷；∠𝑂𝐶𝐸𝐴𝑂𝐶𝐴𝐷𝐸都是等腰直角三角形，∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐴𝐷𝐸=∴∠𝐷𝐴𝐸=∠𝑂𝐴𝐶=∠𝑂𝐶𝐴=45°，𝐴𝐸 𝐴𝐷2+𝐷𝐸2=2𝐴𝐷，𝐴𝐶 𝐴𝑂2+𝑂𝐶2=∴∠𝐷𝐴𝑂=∠𝐸𝐴𝐶，𝐴𝐷=𝑂𝐴=∴△𝐷𝐴𝑂∽△ ∴𝑂𝐷=𝐴𝐷=2，∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐴𝑂𝐷=∴𝐶𝐸=2𝑂𝐷，∠𝑂𝐶𝐸=∠𝐴𝐶𝐸−∠𝑂𝐶𝐴=45°，故答案为：𝐶𝐸=2𝑂𝐷；45°；（2）①如图②，过点𝐴作𝑂𝐴𝐵𝐶，垂足为∵在𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=∴𝑂𝐵=∴𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝑂𝐶=𝑂𝐴𝐶𝐴𝐷𝐸同理（1）可得：𝐶𝐸=2𝑂𝐷；∠𝐴𝐶𝐸=90°；设𝐴𝑂=𝑂𝐵=𝑂𝐶=𝑎，𝑂𝐷=𝑥，则𝐵𝐷=𝑂𝐵−𝑂𝐷=𝑎−𝑥，𝐴𝐶=𝐴𝐵=2𝑎，𝐶𝐸=2𝑂𝐷=∴𝐴𝐶−𝐶𝐸=2𝑎−2𝑥=∴𝐴𝐶−𝐶𝐸=②当𝐴𝐸在∠𝐵𝐴𝐶内时，如图③-1，过点𝐴作𝑂𝐴𝐵𝐶，垂足为𝐷𝐴𝑂𝐸𝐴𝐶，𝐶𝐸=2𝑂𝐷；∠𝐴𝐶𝐸=∵在𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=∴𝐵𝐶 𝐴𝐵2+𝐴𝐶2=∴𝑂𝐶=𝑂𝐵=𝑂𝐴=∴当∠𝐶𝐴𝐸=60°∴∠𝐴𝐸𝐶∴∠𝐴𝐸𝐶=∴𝐴𝐸=2𝐴𝐶=8∴𝐶𝐸 𝐴𝐸2−𝐴𝐶2=3𝐴𝐶=4∴𝑂𝐷 =46÷2=4∴𝐶𝐷=𝑂𝐶+𝑂𝐷=4+4同理可求：𝑂𝐷=43，𝑂𝐶=∴𝐶𝐷=𝑂𝐷−𝑂𝐶=4综上所述：𝐶𝐷长为43±5（2025·=折，得到△𝑃𝐵𝐷，𝑃𝐷交𝐴𝐵于点𝐸．1，当𝑃𝐷∥𝐵𝐶时，猜想四边形𝐵𝐶𝑃𝐷2，当𝑃𝐷⊥𝐴𝐵，𝐴𝑃=3𝐴𝐶时，请判断线段𝐴𝐸,𝐷𝐸,𝐵𝐸(3)若tan𝐴=3，𝐵𝐶=3，在𝐴𝐵𝑃𝐵𝐷𝑃2倍时，请直接写出△𝐵𝐷𝑃△𝐴𝐵𝐶重叠部分的面积．(2)𝐵𝐸=2𝐴𝐸𝐷𝐸或𝐵𝐸=2𝐷𝐸=4𝐴𝐸(3)21（1）根据折叠和平行证明∠𝐷𝐵𝑃=∠𝐷𝑃𝐵=∠𝐶𝐵𝑃，从而可得𝐵𝐷=𝑃𝐷过点C作𝐶𝐹𝐴𝐵于点F△𝐷𝐸𝐵≌△𝐵𝐹𝐶，可得𝐷𝐸=𝐵𝐹，𝐹𝐶=𝐵𝐸，再由𝐸𝑃∥𝐹𝐶，可得𝐴𝐶 𝐴𝐹=𝐹𝐶，进而可得𝐴𝐸=3𝐴𝐹，𝐹𝐶=3𝐸𝑃，根据相等的等量关系计算可得𝐵𝐸=2𝐷𝐸= （3）先根据面积关系得出𝐷𝑃=𝑃𝐶=2𝐴𝑃=2，𝐴𝑃=1，再证明△𝐷𝐸𝐵∽△𝐴𝐸𝑃，可得𝐵𝐷=𝐷𝐸=𝐵𝐸 3，利用线段和差计算求解即可得出𝐴𝐸=8，𝐵𝐸=𝐴𝐵−𝐴𝐸=𝐵𝑃𝐸证明：由折叠可知：𝐵𝐷=𝐵𝐶，𝑃𝐷=𝑃𝐶，∠𝐷𝐵𝑃=∵𝑃𝐷∥∴∠𝐷𝑃𝐵=∴∠𝐷𝐵𝑃=∴𝐵𝐷=𝑃𝐷=𝐵𝐶=（2）解：𝐵𝐸=2𝐴𝐸+𝐷𝐸，理由：过点C作𝐶𝐹𝐴𝐵于点F，∴∠𝐶𝐹𝐵=

8，由此即可求出△𝐵𝐷𝑃△𝐴𝐵𝐶∵𝑃𝐷𝐴𝐵，即∠𝐵𝐸𝐷=∴∠𝐵𝐸𝐷=∠𝐶𝐹𝐵=𝑃𝐵𝐶沿𝑃𝐵△∴∠𝐷=∠𝐴𝐶𝐵，𝐵𝐷=∵𝐴𝐵=∴∠𝐴𝐵𝐶=∴∠𝐷=∴△𝐷𝐸𝐵≌△∴𝐷𝐸=𝐵𝐹，𝐹𝐶=∵∠𝐵𝐹𝐶=90°，∠𝐵𝐸𝐷=∴𝐸𝑃∥ ∴𝐴𝐶=𝐴𝐹=∵𝐴𝑃=∴𝐴𝐸=3𝐴𝐹，𝐹𝐶=∴𝐸𝐹=∵𝐵𝐸=𝐸𝐹+𝐷𝐸（∴𝐴𝐵=𝐴𝐶=2𝐴𝐸+𝐷𝐸+𝐴𝐸=3𝐴𝐸+ ∴𝑃𝐶=𝐷𝑃=3𝐴𝐶=3(3𝐴𝐸+ ∴𝐸𝑃=𝐷𝑃−𝐷𝐸=3(3𝐴𝐸+𝐷𝐸)−𝐷𝐸=∴𝐹𝐶=3𝐸𝑃=3(2𝐴𝐸−3𝐷𝐸)=∴2𝐴𝐸+𝐷𝐸=∴𝐷𝐸=∴𝐵𝐸=2𝐴𝐸+𝐷𝐸=∴𝐵𝐸=2𝐷𝐸=∵tan𝐴=∴∠𝐴=∵𝐴𝐵=𝐴𝐵𝐶∴∠𝐶=∠𝐴=∠𝐷=60°，𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐵𝐷=𝐵𝐶=在𝐴𝐵𝑃𝐵𝐷𝑃2倍时，而且𝑃𝐷交𝐴𝐵于点∴𝑆△𝐵𝑃𝐷=𝑆△𝐵𝑃𝐶=∴𝐷𝑃=𝑃𝐶=2𝐴𝑃=3𝐴𝐶=2，𝐴𝑃=∴𝑃𝐻=𝐴𝑃sin∠𝐴=2∵∠𝐴=∠𝐷，∠𝐷𝐸𝐵=∴△𝐷𝐸𝐵∽△ ∴𝐵𝐷=𝐷𝐸=𝐵𝐸=∴𝐷𝐸=3𝐴𝐸，𝐵𝐸=∴𝐵𝐸∴𝐵𝐸=3(𝐷𝑃−𝐷𝐸)=∴𝐴𝐸=𝐴𝐵−𝐵𝐸=∴𝐴𝐸=∴𝐵𝐸=𝐴𝐵−𝐴𝐸=8∴𝑆△𝐵𝐸𝑃=2×2×8=32 考向考向 全等、相似与几何、函数综61（2026·=𝐸𝐹，𝐸𝐶，且𝐸𝐹=𝐶𝐸，连结𝐴𝐹交𝐵𝐷于𝐺，则𝐸𝐹的值为（4 A．4B．CA．4B．【答案】【答案】【分析】考查正方形性质、等腰三角形性质、相似三角形判定与性质、勾股定理；用几何推理+相似F为𝐵𝐶中点，再用相似得线段比，易错点是比例关系看错、勾股计算错误．先由正方形对角线得45°角，结合𝐸𝐹=𝐶𝐸证F是𝐵𝐶中点；再由𝐴𝐷∥𝐵𝐶△𝐴𝐺𝐷∽△𝐹𝐺𝐵，推出𝐵𝐺:𝐺𝐷=1∶2，算出𝐸𝐺；最后用勾股定理求𝐸𝐹E作𝐸𝑀⊥𝐵𝐶正方形中𝐵𝐷是对角线，∠𝐷𝐵𝐶45°，设𝐵𝐸=3𝑎，则𝐷𝐸=𝑎，𝐵𝐷=4𝑎，正方形边长𝐴𝐵=𝐵𝐶=22𝑎．由𝐵𝐸𝑀∴𝐵𝑀=𝐸𝑀由𝐸𝐹=

32 𝑀𝐶=𝐵𝐶−𝐵𝑀

2∴𝐹𝑀=𝑀𝐶=2𝐵𝐹=𝐵𝑀−𝐹𝑀=2𝑎=2𝐵𝐶F是𝐵𝐶正方形中𝐴𝐷故𝐴𝐺𝐷𝐹𝐺𝐵，相似比𝐴𝐷:𝐵𝐹=𝐵𝐺:𝐺𝐷1∶2．由𝐵𝐷=4𝑎， ∴𝐵𝐺=3𝐵𝐷=又∵𝐵𝐸= 𝐸𝐺=𝐵𝐸−𝐵𝐺=3𝑎−3𝑎=2在𝑅𝑡𝐸𝐹𝑀中，𝐸𝑀=32，𝐹𝑀=2由勾股定理：𝐸𝐹

+𝐹𝑀2

32

2

=∴𝐸𝐹

=32（2026·𝐶𝐸折叠该纸片，使点𝐵落在𝐵𝐺上的𝐹点，折痕𝐶𝐸与𝐵𝐺交于点𝐻，若𝐴𝐺=5，则𝐺𝐹的长为（ 【答案】【答案】𝐵𝐶𝐸𝐹𝐶𝐸，𝐶𝐸垂直平分𝐵𝐺，先证𝐶𝐵𝐸𝐵𝐴𝐺(ASA)，推出𝐵𝐸的长，再利用勾股定理求出𝐵𝐸的长，最后在Rt𝐶𝐵𝐸中利用面积法可求出𝐵𝐻的长，可进一步求出𝐹𝐵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=12，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴=𝐵𝐶𝐸𝐹𝐶𝐸，𝐶𝐸垂直平分∴𝐵𝐹⊥𝐶𝐸，𝐵𝐻=∴∠𝐵𝐶𝐻+∠𝐶𝐵𝐻=90°，又∠𝐸𝐵𝐻∠𝐶𝐵𝐻=90°，∴∠𝐵𝐶𝐻=∴△𝐶𝐵𝐸≌△∴𝐵𝐸=𝐴𝐺=在Rt△𝐶𝐵𝐸中，𝐶𝐸 𝐸𝐵2+𝐵𝐶2 52+122=𝑆△𝐶𝐸𝐵=2𝐵𝐶⋅𝐵𝐸=2𝐶𝐸⋅∴12×5=∴𝐵𝐻=∴𝐹𝐵=2𝐵𝐻=13∵𝐵𝐺=𝐶𝐸=∴𝐺𝐹=𝐵𝐺−𝐵𝐹=13−13=3（2026·==𝑀、𝑁分别在边𝐴𝐵、𝐴𝐷上，且𝐴𝑀=𝐴𝑁，以𝑀𝑁𝑀𝑁𝑃，使点𝑃始终在□𝐴𝐵𝐶𝐷（1）∠𝐴𝑀𝑃= （2）当△𝑀𝑁𝑃的面积最大时，𝐷𝑁的长 【答案 （1）在□𝐴𝐵𝐶𝐷中，得出∠𝐵𝐴𝐷=120°𝑀𝑁𝑃是等边三角形，得出𝑀𝑃=𝑁𝑃=∠𝑀𝑃𝑁=60°，连接𝐴𝑃𝐴𝑀𝑃𝐴𝑁𝑃，得出∠1=∠2=60°，∠3=∠4=30°，则∠𝐴𝑀𝑃=（2）作∠𝐵𝐴𝐷的平分线交𝐵𝐶于点𝐸𝐴𝐵𝐸是等边三角形，得出𝐴𝐵=𝐴𝐸=𝐵𝐸，根据∠𝐵𝐴𝐸=

=3𝑀𝑃2，得出𝑀𝑃△𝑀𝑁𝑃最大，当点𝑃与点𝐸𝑀𝑁𝑃的面积最大，此时，根据等边三角形的性质得𝐵𝑀=𝐴𝑀=3𝐴𝑁=𝐴𝑀=3，得出𝐷𝑁=8−3=【详解】解：∵在□𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=6，𝐴𝐷=8，∠𝐵=∴∠𝐵𝐴𝐷=180°−60°=𝑀𝑁𝑃∴𝑀𝑃=𝑁𝑃=𝑀𝑁，∠𝑀𝑃𝑁=60°，∵𝐴𝑀=𝐴𝑁，𝑀𝑃=𝑁𝑃，𝐴𝑃=∴△𝐴𝑀𝑃≌△∴∠1=∠2=60°，∠3=∠4=∴∠𝐴𝑀𝑃=180°−∠1−∠3=∵∠𝐵=∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐸=𝐴𝐵𝐸∵∠𝐵𝐴𝐸=P在𝐴𝐸上运动，∵𝑆△𝑀𝑁𝑃=2𝑀𝑃·𝑀𝑃sin60°

则𝑀𝑃𝑀𝑁𝑃PE重合时，𝑀𝑃𝑀𝑁𝑃的面积最大，则则𝐵𝑀=𝐴𝑀=∴𝐴𝑁=𝐴𝑀=∴𝐷𝑁=8−3=4（2026·点𝐴作𝐴𝐸𝐶𝐵交𝐶𝐵延长线于点𝐸，点𝐹为𝐴𝐷中点，连接𝐸𝐹，连接𝑂𝐸交𝐴𝐵于点𝑃，连接𝐶𝑃．若四边形𝐵𝐷𝐹𝐸 （2）tan∠𝑃𝐶𝐸= ∴sin∠𝐵𝐴𝐸=𝐴𝐵=∴𝐸𝐵=𝐹𝐷=∴𝐸𝐵=∵𝐴𝐸⊥∴𝐹𝐷=∴𝐹𝐷=（1）先证明四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，得出𝐴𝐷=𝐴𝐵=𝐵𝐶，进而得出sin∠𝐵𝐴𝐸=𝐴𝐵=2∠𝐵𝐴𝐸=30°，根据𝐴𝐵=𝐵𝐶，即可得出∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐶𝐴=2∠𝐴𝐵𝐸=（2）过点𝑂,𝑃分别作𝐸𝐶的垂线，垂足分别为𝑀,𝑁，设𝐴𝐸=𝑎，则𝑂𝐸=𝑎，𝑂𝑁=2𝑎𝐸𝑃𝑀𝐸𝑂𝑁，根据相似三角形的性质，分别求得𝑃𝑀,𝑀𝐶【详解】解：∵在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶∴𝐴𝐷=𝐴𝐵=330°/30∴∠𝐵𝐴𝐸=∴∠𝐴𝐵𝐸=90°−30°=∵𝐴𝐵=∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐶𝐴=2∠𝐴𝐵𝐸=∵∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐸𝐴𝐵=∴∠𝐸𝐴𝐶=∴𝐴𝑂=∴𝑂𝐸=2𝐴𝐶=𝐴𝑂𝐸∵∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐸𝐴𝐵=∴𝐸𝑃=∵∠𝐴𝐸𝐶=∴∠𝑂𝐸𝐶=90°−∠𝐴𝐸𝑂= 在Rt△𝑂𝐸𝑁中，𝑂𝑁=2𝐸𝑂=设𝐴𝐸=𝑎，则𝑂𝐸=𝑎，𝑂𝑁=∴𝐸𝑁=𝑂𝐸cos30°

2∵Rt𝐴𝐸𝐶中，𝑂是𝐴𝐶∴𝑂𝐸=𝑂𝐶=∴𝐸𝐶=𝐴𝐸⋅tan∠𝐶𝐴𝐸=∴△𝐸𝑃𝑀∽△ ∴𝑂𝑁=𝐸𝑁=𝐸𝑂= ∴𝐸𝑀=2𝐸𝑁=4𝑎，𝑃𝑀=2𝑂𝑁=∴𝑀𝐶=𝐸𝐶−𝐸𝑀=3𝑎−4𝑎

34∴tan∠𝑃𝐶𝐸=𝑀𝐶

4𝑎=33 5（2026·90˚到𝐵𝐹处，连接𝐶𝐹．请写出𝐴𝐸与𝐶𝐹的数量关系，并给出证明过程．2，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐶𝐵=60°，点𝐸为对角线𝐴𝐶上一动点（不与点𝐴、𝐶重合．在Rt𝐵𝐸𝐹∠𝐸𝐵𝐹=90°，∠𝐸𝐹𝐵=∠𝐴𝐶𝐵，连接𝐶𝐹．请探究此时𝐴𝐸与𝐶𝐹3，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐶𝐵=60°，点𝐸为射线𝐴𝐶上一动点，点𝑀为𝐵𝐸𝐶𝐵𝑀，𝐶𝑀，若𝐴𝐶=8，则当∠𝐵𝑀𝐶=90°时，请直接写出线段𝐴𝐸【答案】【答案】(1)𝐴𝐸=𝐶𝐹(2)𝐴𝐸=3𝐶𝐹(3)𝐴𝐸的长为6−23或6+2（1）①先根据旋转的性质得出𝐵𝐸=𝐵𝐹，∠𝐸𝐵𝐹=90°，再根据正方形的性质得出∠𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐵=𝐵𝐶，接着证明𝐴𝐵𝐸𝐶𝐵𝐹(SAS)，从而可得𝐴𝐸=（2）先根据矩形的性质得出∠𝐴𝐵𝐶=90°，再利用正切求得𝐶𝐵=3，𝐵𝐹=3，从而可得𝐶𝐵=𝐵𝐹 ∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝐹，从而可得△𝐴𝐵𝐸∽△𝐶𝐵𝐹，根据相似三角形的性质列出比例式𝐴𝐸=𝐴𝐵=3𝐴𝐸=（3）分两种情况：当点𝐸在线段𝐴𝐶上时，当点𝐸在线段𝐴𝐶的延长线上时．根据∠𝐵𝑀𝐶=90°可得∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐵𝑀𝐶=45°（1）𝐴𝐸=将𝐵𝐸绕点𝐵90˚到𝐵𝐹∴𝐵𝐸=𝐵𝐹，∠𝐸𝐵𝐹=四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝐴𝐵=∴∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐶𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝐹+∠𝐶𝐵𝐸=∴∠𝐴𝐵𝐸=∴△𝐴𝐵𝐸≌△∴𝐴𝐸=（2）𝐴𝐸=3𝐶𝐹，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴∠𝐴𝐵𝐶=∵∠𝐴𝐶𝐵= ∴tan∠𝐴𝐶𝐵=𝐴𝐵=3同理在Rt𝐸𝐵𝐹中，∠𝐸𝐹𝐵= ∴tan∠𝐸𝐹𝐵=𝐵𝐸=3 ∴𝐴𝐵=∵∠𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐵𝐶−∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐸𝐵𝐹−∠𝐸𝐵𝐶，即∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝐹，∴△𝐴𝐵𝐸∽△ ∴𝐴𝐸=𝐴𝐵

3，即𝐴𝐸=𝐴𝐸的长为6−23或6+2在𝑅𝑡𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=60°，𝐴𝐶=∴𝐵𝐶=∵∠𝐵𝑀𝐶=∴在⊙𝑀中，∠𝐵𝐸𝐶=2∠𝐵𝑀𝐶=过点𝐵作𝐵𝐻⊥在Rt𝐵𝐶𝐻中，∠𝐴𝐶𝐵=60°，𝐵𝐶=∴𝐶𝐻=2，∴𝐵𝐻=2在Rt△𝐵𝐸𝐻中，∠𝐵𝐸𝐶=∴𝐸𝐻=𝐵𝐻=2𝐴𝐸=𝐴𝐶−𝐸𝐻−𝐶𝐻=8−23−2=6−23；∵∠𝐵𝑀𝐶=∴在⊙𝑀中，∠𝐵𝐸𝐶=2∠𝐵𝑀𝐶=过点𝐵作𝐵𝐻⊥同理，在Rt𝐵𝐶𝐻中，𝐶𝐻=2，𝐵𝐻=23，在Rt△𝐵𝐸𝐻中，𝐸𝐻=𝐵𝐻=23，𝐴𝐸=𝐴𝐶𝐸𝐻−𝐶𝐻=8+23−2=6+23．综上所述，𝐴𝐸的长为6−23或6+23．在𝑅𝑡𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=60°，𝐴𝐶=∴𝐵𝐶=连接𝐸𝑀并延长𝐸𝑀𝑀于点𝐹，连接在𝑀中，𝐸𝐹∠𝐸𝐵𝐹=90°，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐸𝐹𝐵=60°，且𝐵𝑀=𝐶𝑀，又∵∠𝐵𝑀𝐶=90°，∴𝐶𝑀

2𝐵𝐶=22，∴𝐸𝐹=2𝐶𝑀=4由（2）得△𝐴𝐵𝐸∽△𝐶𝐵𝐹，𝐶𝐹=𝐶𝐵= 设𝐶𝐹=𝑥，则𝐴𝐸=3𝑥𝐶𝐸=𝐴𝐶−𝐴𝐸=8−∵∠𝐸𝐶𝐹=90°，∴𝐶𝐸2+𝐶𝐹2= (4 (4∴(8−3𝑥)+𝑥 𝑥=23−2或𝑥=23∴𝐴𝐸=3𝑥=6−23或6+26（2026·1，在华华设计的“风筝”图案中，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐶=90∘，𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于点𝐸，∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐷𝐵．求2，在琳琳设计的“风筝”图案中，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，∠𝐵𝐴𝐶的平分线交𝐵𝐶于点𝑂，以为圆心，𝑂𝐶为半径画𝑂．求证：𝐴𝐵⊙𝑂（1）由∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐷𝐵可得𝐴𝐵=𝐴𝐷，从而证明Rt𝐴𝐵𝐶≌Rt𝐴𝐷𝐶(HL)，则∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐶𝐴𝐷，由（2）作𝑂𝐷𝐴𝐵于点𝐷，由角平分线的性质可得𝑂𝐷=𝑂𝐶，因此圆心𝑂到𝐴𝐵（1）证明：∵∠𝐴𝐵𝐷=∴𝐴𝐵=在Rt𝐴𝐵𝐶和Rt𝐴𝐷𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐴𝐶∴Rt△𝐴𝐵𝐶≌Rt△∴𝐵𝐶=𝐷𝐶，∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐶𝐴𝐷，即𝐴𝐶平分∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，𝐵𝐸=（2）证明：如图，作𝑂𝐷𝐴𝐵于点又∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝑂𝐷∴𝑂𝐷=∴点𝐷在𝑂上，即圆心𝑂到𝐴𝐵∴𝐴𝐵𝑂7（2026·如图反比例函数𝑦=𝑘(𝑥>0)的图象与边𝐴𝐶，𝐵𝐶分别交于点𝐷，𝐸

时，求𝑘的值和点𝐸 𝐴𝐷=2，点𝐷，𝐸分别在边𝐴𝐶，𝐵𝐶上，且反比例函数𝑦=𝑘(𝑥>0)的图象经过点𝐷、𝐸，连接𝐷𝐸、𝐴𝐵证：𝐴𝐵3，反比例函数𝑦=𝑘(𝑥>0)的图象与边𝐴𝐶，𝐵𝐶分别交于点𝐷，𝐸，若以𝐷𝐸【答案】(1)𝑘=12，𝐸8,3<𝑘<（1）由𝐴𝐷=3𝐷𝐶可得点𝐷的坐标为(2,6)，代入反比例函数的表达式可得𝑘=12，再将𝑥=8𝑦=𝑥，可求得点𝐸

根据题意可得，点𝐷的坐标为6,6，点𝐸的坐标为8,8，则𝐶𝐷 6，𝐶𝐸 8，进而可得𝐴𝐶𝐵𝐶，利用夹角相等两边对应成比例可证明△𝐶𝐷𝐸∽△𝐶𝐴𝐵，则∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐶𝐴𝐵，从而证明𝐴𝐵∥

设𝐷𝐸的中点为𝑀，由（2）可得，点𝑀的坐标为12, ，圆𝑀的半径为48．分情况研究，圆𝑀与𝑂𝐵相切时，如图，设切点为点𝐹，连接𝑀𝐹，由𝑀𝐹=𝑦𝑀解出𝑘=12，此时圆𝑀与矩形𝐴𝑂𝐵𝐶有4个公共点，因此𝑘<12；当圆𝑀与𝑂𝐴相切时，如图，设切点为点𝐺，连接𝑀𝐺，同理可得𝑘=

9圆𝑀与矩形𝐴𝑂𝐵𝐶的边有6个公共点，因此𝑘>3，公共部分即为𝑘（1）解：在矩形𝐴𝑂𝐵𝐶中，𝐵𝐶𝑥轴，𝐴𝐶𝑦∴𝐴𝐶=8，𝐵𝐶=∵𝐴𝐷=∴𝐴𝐷=4𝐴𝐶=将点𝐷(2,6)代入𝑦=𝑥6=解得𝑘=∴反比例函数的解析式为𝑦

𝑥 将𝑥=8代入𝑦=

𝑥，得𝑦=∴点𝐸8,2（2）证明：由（1）可知，𝐴𝐶=8，𝐵𝐶=又∵反比例函数𝑦=𝑘(𝑥>0)的图象经过点𝐷、

6,6，点𝐸的坐标为8,8 ∴𝐶𝐷=8−6 6，𝐶𝐸=6−8 8

∵𝐴𝐶

48，𝐵𝐶

48∴𝐴𝐶=又∵∠𝐷𝐶𝐸=∴△𝐶𝐷𝐸∽△∴∠𝐶𝐷𝐸=∴𝐴𝐵∥∵∠𝐷𝐶𝐸=

6,6，点𝐸的坐标为8,8

12

由（2）可知，𝐶𝐷=

6，𝐶𝐸

8∴𝑘>3综上所述，𝑘3<𝑘<，解得𝑘=3∴同理①可得，𝑀𝐺=𝑥𝑀∴𝐷𝐸需向下平移，即𝑘<=16，解得𝑘=∴∴𝑀𝐷=𝑀𝐸=𝑀𝐹=2𝐷𝐸∴𝑀𝐹⊥∴𝑀𝐹=在Rt△𝐶𝐷𝐸中，𝐷𝐸 𝐶𝐷2+𝐶𝐸2（建议用时：90分钟1（2026·河北沧州·一模）如图，在Rt𝐴𝐶𝐵中，∠𝐶90°，𝐴𝐶3，𝐵𝐶4，𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐵，交𝐵𝐶𝐷，则𝐴𝐵𝐷的面积为（ B． 【答案】【答案】D作𝐷𝐸𝐴𝐵于𝐸，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得𝐶𝐷𝐷𝐸，再利用“HL”Rt𝐴𝐶𝐷和Rt𝐴𝐸𝐷全等，根据全等三角形对应边相等可得𝐴𝐶=𝐴𝐸，再利用勾股定理列式求出𝐴𝐵，再在Rt△𝐵𝐷𝐸中利用勾股定理求出𝐷𝐸即可得解．D作𝐷𝐸𝐴𝐵于𝐴𝐷是∠𝐶𝐴𝐵的平分线，∠𝐶=90°，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于∴𝐶𝐷=𝐴𝐷=𝐷𝐶=𝐷𝐸∴Rt△𝐴𝐶𝐷≅Rt△𝐴𝐸𝐷（HL，∴𝐴𝐶=𝐴𝐸=由勾股定理得，𝐴𝐵 𝐴𝐶2+𝐵𝐶2∴𝐵𝐸=𝐴𝐵−𝐴𝐸=5−3=2，设𝐵𝐷=𝑥，则𝐶𝐷=𝐷𝐸=4−𝑥Rt𝐵𝐷𝐸中𝐷𝐸2+𝐵𝐸2=∴(4−𝑥)2+22=解得𝑥=即𝐷𝐸=32+42=𝐴𝐵𝐷的面积为2𝐴𝐵×𝐷𝐸=2×5×2=4 2（2026·𝐴顺时针旋转90°，点𝐵旋转到点𝐵′，连接𝑂𝐵′．则△𝐴𝑂𝐵′周长的最小值为（

B．2+

D．2【答案】【答案】【分析】过点𝐵作𝐵𝐶⊥𝑦轴于点𝐶,过点𝐵′作𝐵′𝐷⊥𝑦轴于点𝐷,证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵′𝐴𝐷，得出𝐷𝐵′=𝐴𝐶，根据𝐴(0,2)，𝐵(𝑚,5)，得出𝐷𝐵′=3，说明点在直线𝑥=3上，根据𝑂𝐴=2为定值，得出当𝐴𝐵′+𝑂𝐵′最小时，△𝐴𝑂𝐵′的周长最小，作点𝑂关于直线𝑥=3的对称点𝑂′(6,0),连接𝐴𝑂′交直线𝑥=3于点𝐸,连接𝑂𝐸,根据两点之间线段最短，当𝐷′在点𝐸处时,𝐴𝐵′+𝑂𝐵′最小,且最小值为𝐴𝑂′的长度,根据勾股定理求出结果即可．【详解】解：过点𝐵作𝐵𝐶⊥𝑦轴于点𝐶,过点𝐵′作𝐵′𝐷⊥𝑦轴于点𝐷,则∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐷𝐵′=根据旋转可知,∠𝐵𝐴𝐵′=90°,𝐴𝐵=𝐴𝐵′∴∠𝐶𝐴𝐵+∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶𝐴𝐵+∠𝐷𝐴𝐵′=∴∠𝐴𝐵𝐶=∴△𝐴𝐵𝐶≌△∴𝐷𝐵′=∴𝐴𝐶=5−2=∴𝐷𝐵′=∴点𝐵′在直线𝑥=3上𝑂𝐴=2为定值∴当𝐴𝐵′+𝑂𝐵′最小时,△𝐴𝑂𝐵′的周长最小如图,作点𝑂关于直线𝑥=3的对称点𝑂′(6,0),连接𝐴𝑂′交直线𝑥=3于点𝐸,连接根据轴对称可知：𝑂𝐸=∴𝐴𝐸+𝑂𝐸=𝐴𝐸+∴当𝐵′在点𝐸处时,𝐴𝐵′+𝑂𝐵′最小,且最小值为𝐴𝑂′的长度∴𝐴𝐵′+𝑂𝐵′最小值为：𝐴𝑂′ 22+62=2∴△𝐴𝑂𝐵′的周长最小值为2+23（2026·辽宁葫芦岛·一模）𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=90∘,∠𝐴𝐵𝐶=60∘,𝐵𝐶=6,tan∠𝐴𝐵𝐷=23,𝐵𝐷= 【答案】D作𝐷𝐹𝐴𝐵Ftan∠𝐴𝐵𝐷=23和勾股定理求出𝐵𝐹=1，𝐷𝐹=23∠𝐴𝐶𝐵=30°,得𝐴𝐵=1𝐵𝐶=3，𝐴𝐶 𝐵𝐶2−𝐴𝐵2=33，𝐴𝐹=𝐴𝐵−𝐵𝐹=2，由△𝐴𝐶𝐸∽△𝐹𝐷𝐸，得

=2，求出𝐸𝐹=5，即得𝐵𝐸=𝐵𝐹+𝐸𝐹=D作𝐷𝐹𝐴𝐵F，则∠𝐵𝐹𝐷=∵tan∠𝐴𝐵𝐷=2∴𝐵𝐹=2∴𝐷𝐹=2∵𝐷𝐹2+𝐵𝐹2=𝐵𝐷2，𝐵𝐷=∴𝐵𝐹=1，𝐷𝐹=2∵∠𝐴=90°，∠𝐴𝐵𝐶=∴∠𝐴𝐶𝐵=∵𝐵𝐶=∴𝐴𝐵=2𝐵𝐶=∴𝐴𝐶 𝐵𝐶2−𝐴𝐵2=33，𝐴𝐹=𝐴𝐵−𝐵𝐹=∴𝐴𝐸=∵𝐴𝐶∥∴△𝐴𝐶𝐸∽△ 3 ∴𝐸𝐹=𝐷𝐹=23= ∴𝐸𝐹=∴𝐸𝐹=∴𝐵𝐸=𝐵𝐹+𝐸𝐹=4（2026·=连接𝐸𝐹、𝐶𝐹，设𝐵𝐹x，𝐸𝐹+𝐶𝐹=𝑦FBD时，yx变化的关系图象，则𝐵𝐶= ，图象最低点的横坐标 【答案 【分析】由图象可知：当𝑥=0时，𝑦=6，此时𝐵𝐹=0B、F重合，则有𝐸𝐹𝐶𝐹=𝐵𝐸𝐶𝐵=6，然后可求𝐵𝐶E关于𝐵𝐷G，连接𝐹𝐺,𝐶𝐺，𝐶𝐺与𝐵𝐷交于点𝐹′，如图，则有𝐵𝐺=𝐵𝐸，𝐸𝐹=𝐹𝐺，所以𝐸𝐹𝐶𝐹=𝐺𝐹𝐶𝐹=𝑦，根据三角形三边不等关系可得𝐶𝐹𝐺𝐹≥𝐶𝐺F𝐹′y取最小值，进而通过得到△𝐵𝐺𝐹′∽△𝐷𝐶𝐹′【详解】解：由图象可知：当𝑥=0时，𝑦=6，此时𝐵𝐹=0B、F重合，𝐸𝐹𝐶𝐹=𝐵𝐸𝐶𝐵=∵𝐶𝐸=∴𝐵𝐸=∴5𝐵𝐶+𝐵𝐶=∴𝐵𝐶=E关于𝐵𝐷G，连接𝐹𝐺,𝐶𝐺，𝐶𝐺与𝐵𝐷交于点𝐹′，如图，则有𝐵𝐺=𝐵𝐸，𝐸𝐹=𝐹𝐺𝐸𝐹𝐶𝐹=𝐺𝐹+𝐶𝐹=𝑦，根据三角形三边不等关系可得𝐶𝐹𝐺𝐹≥𝐶𝐺F与点𝐹′y由题意得𝐶𝐷=𝐶𝐵,𝐵𝐺𝐶𝐷，由图象得𝐵𝐷=6，∵𝐵𝐸=∴𝐵𝐺=∵𝐵𝐺∥∴△𝐵𝐺𝐹′∽△ ∴𝐷𝐶=𝐷𝐹′=

=6𝐵𝐷=

，即𝐵𝐹=𝑥=5（2026·𝐴𝐶=𝐷𝐹=𝐴𝐹𝐶当𝐴𝐵𝐴𝐹时，连接𝐴𝐷，求𝐴𝐷（1）分别证明𝐵𝐸=𝐹𝐶，∠𝐴𝐶𝐹=∠𝐷𝐸𝐵，再根据SAS𝐴𝐹𝐶𝐷𝐵𝐸（2）CE（1）证明：𝐴𝐵𝐶△𝐷𝐸𝐹∴𝐴𝐶=𝐵𝐶=4，𝐷𝐹=𝐷𝐸=4，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐸𝐹=∴∠𝐴𝐶𝐹=又𝐴𝐶=𝐷𝐹=∴𝐵𝐶=∴𝐵𝐶−𝐸𝐶=∴𝐵𝐸=在𝐴𝐶𝐹和𝐷𝐸𝐵𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐹=∠𝐷𝐸𝐵𝐹𝐶=∴△𝐴𝐹𝐶≌△（2）解：𝐴𝐵𝐶∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=∵𝐴𝐵⊥∴∠𝐶𝐴𝐹=90°−60°=30°，又∠𝐴𝐶𝐵=60°，∴∠𝐴𝐶𝐹=180°−60°=在𝐴𝐶𝐹中，∠𝐶𝐴𝐹=30°，∠𝐴𝐶𝐹=∴∠𝐴𝐹𝐶=180°−30°−120°=∴∠𝐶𝐴𝐹=∴𝐶𝐹=𝐴𝐶=𝐷𝐸𝐹是等边三角形，𝐷𝐹=∴𝐸𝐹=∴𝐶𝐸=𝐶𝐹−𝐸𝐹=𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹都是等边三角形，且𝐴𝐶=𝐷𝐹=∴𝐴𝐶=𝐶𝐷=∴𝐴𝐷=2×4=6（2026·河南信阳·一模）𝐴𝐵𝐶,𝐴𝐵𝐴𝐶,∠𝐵𝐴𝐶𝑥°，在𝐵𝐶DA为旋转中心，如图1，𝑥°=60°,∠𝐷𝐴𝐵=15°，则∠𝐶𝐷𝐸= °．2，𝑥°=90°F为𝐷𝐸中点，连接𝐶𝐹，请判断线段𝐶𝐹与线段𝐷𝐸3，𝑥90°D作𝐷𝐺𝐵𝐶,𝐷𝐺交𝐶𝐴G，连接𝐵𝐺．请直接用等式表示线段𝐴𝐷与𝐵𝐺的【答案】【答案】(2)𝐷𝐸=2𝐶𝐹(3)𝐵𝐺=2𝐴𝐷===∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵∠𝐷𝐴𝐵=75°证明𝐵𝐴𝐷𝐶𝐴𝐸，得到𝐵𝐷=𝐶𝐸，∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐸=45°，再求出∠𝐷𝐶𝐸=90°先证明△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，得到𝐵𝐷=𝐶𝐸，再证明△𝐵𝐷𝐺≌△𝐸𝐶𝐷，得到𝐵𝐺=𝐷𝐸，根据△𝐴𝐷𝐸（1）𝐴𝐸=𝐴𝐷，∠𝐷𝐴𝐸=∴∠𝐴𝐷𝐸=2(180°−∠𝐷𝐴𝐸)=∵∠𝐵𝐴𝐶=60°，𝐴𝐵=∴∠𝐵=2(180°−∠𝐵𝐴𝐶)=∵∠𝐷𝐴𝐵=∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵+∠𝐷𝐴𝐵=∴∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐴𝐷𝐸=75°−60°=（2）解：𝐷𝐸2𝐶𝐹，理由如下：CE，∵∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐴𝐵=∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐵