2026年中考数学二轮复习 专题02 反比例函数综合(重难专练)

专题 反比例函数综速度提 技巧掌 手感养锁定目标精准打击：授予利器瓦解难点：模拟实战挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感近三年：近三年：一、反比例函数的图象与性质（1˜2道，3˜6分；k的几何意义（1˜2题，4˜8分三、反比例函数与一次函数的综合（1道，6˜10分四、反比例函数的实际应用（1˜21道，6˜8分）k的几何意义的灵活运用。命题更注重数形结合思想，强调与实际情境的结合，考向考向 反比例函数图象与性1反比例函数的图象特征11、反比例函数的基本形式：y=x（k≠O，k为比例系数，也可变形为xy=k（k≠O；2、图象形状：双曲线，关于原点对称，关于直线y=x和y=−x限；4x轴、y轴相交，x、y0。1（2026·𝑥−1的图像（如图所示，已知其和𝑥（y轴交于点猜想二函数可由𝑦=𝑥向右平移1A．猜想一错 B．猜想二错 【答案】【答案】键．把𝑥=O代入𝑦=𝑥−1，得出𝑦=−1【详解】解：∵当𝑥=O时，𝑦=𝑥−1=0−1=∴y轴交于点(0,−1) 根据函数“左加右减”的平移规律可知，𝑦=𝑥向右平移1个单位得到函数𝑦= ∴函数𝑦=𝑥−1可由𝑦=𝑥向右平移1 2（2025·安徽亳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数𝑦𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐（𝑎,𝑏,𝑐是常数，且𝑎的图象如图所示，则直线𝑦=𝑎𝑥−3𝑎−𝑏与反比例函数𝑦=为（

𝑥【答案】【答案】根据二次函数图象开口向下得到𝑎<O，再根据对称轴为直线𝑥=1，求得𝑏=−2𝑎>O−3𝑎−𝑏=−3𝑎+2𝑎=−𝑎<O，则可确定直线𝑦=𝑎𝑥−3𝑎−𝑏经过第一、二、四象限，再根据当𝑥=−1𝑦=𝑎−𝑏𝑐<O，从而确定反比例函数𝑦∴𝑎<∵二次函数图象的对称轴为直线𝑥=−2𝑎=∴𝑏=−2𝑎>∴−3𝑎−𝑏=−3𝑎+2𝑎=−𝑎>∴直线𝑦𝑎𝑥−3𝑎−𝑏∵当𝑥=−1时，𝑦=𝑎−𝑏+𝑐<∴反比例函数𝑦3（2025·A．𝑦= B．𝑦=

C．𝑦=−𝑥2 D．𝑦=3𝑥+【答案】【答案】【详解】解：A选项：一次函数𝑦=−𝑥B选项：反比例函数𝑦=𝑥C选项：二次函数𝑦=−𝑥2+5的图象是抛物线，抛物线有1D选项：一次函数𝑦=3𝑥+2对称轴条数最少的是反比例函数的图象．4（2026·广西钦州·一模）已知点(𝑎,𝑏)在函数𝑦−𝑥的图象上，下列说法的是（A．当𝑥=−1时，𝑦=3 D．当𝑥<O时，y随x的增大而减小 ∴𝑏=−𝑎，则−𝑏=C项：在反比例函数𝑦=−𝑥中，𝑘=−3<根据反比例函数性质，当𝑘O时，图象分别位于第二、四象限，CD项：∵𝑘=−3<O，在反比例函数𝑦=−𝑥D3 对于点(−𝑎,−𝑏)，将𝑥=−𝑎代入函数𝑦=−𝑥中，可得𝑦=−−𝑎=又∵𝑎𝑏=∴𝑎=−𝑏，即点(𝑏,𝑎)【详解】解：A项：当𝑥=−1时，𝑦=−−1=3，AB项：∵点(𝑎,𝑏)在函数𝑦=−𝑥∴𝑏=−𝑎，即𝑎𝑏=对于点(𝑏,𝑎)，将𝑥=𝑏代入函数𝑦=−𝑥中，可得𝑦=−𝑏，又∵𝑎𝑏=−3，O，点对称，本题中𝑘−3<O【答案】5（2025·陕西西安·模拟预测）A，B两点分别在反比例函数𝑦3𝑎(𝑎≠O)和𝑦=𝑎+1(𝑎≠−1) 上，若点A与点B关于x轴对称，则a的值 解得𝑎=(𝑎≠−1)得 B坐标代入𝑦= A坐标为𝑚,𝑚，则𝐵𝑚−𝑚 x轴、yA坐标为𝑚,𝑚，则𝐵𝑚−𝑚a【答案】x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握以上知2反比例函数的增减性1、增减性核心：反比例函数的增减性必须结合“象限”讨论，不能笼统说“y1、增减性核心：反比例函数的增减性必须结合“象限”讨论，不能笼统说“yx的增大而增大或减34、补充：若点(𝑥1,𝑦1)、(𝑥2,𝑦2)kyy＜01（2026·=𝑦=𝑥的图象经过(−1,𝑎)，(−2,𝑏)，(2,𝑐)三点，则𝑎，𝑏，𝑐之间的大小关系为（A．𝑐>𝑏> B．𝑐>𝑎> C．𝑎>𝑏> D．𝑎>𝑐>【答案】【答案】【详解】解：∵关于𝑥的方程𝑥2−𝑘𝑥𝑘−1=O∴Δ=(−𝑘)2−4×1×(𝑘−1)=𝑘2−4𝑘+4=(𝑘−2)2=解得𝑘=∴𝑦=∵反比例函数𝑦=𝑥经过(−1,𝑎)，(−2,𝑏)，(2,𝑐)∴𝑎=−1=−2，𝑏=−2=−1，𝑐=2=∵1∵1>−1>∴𝑐>𝑏>2（2026·+=一定正确的是（A．𝑦1> B．𝑦1<C．当𝑚>2O26时，𝑦1> D．当𝑚<2O26时，𝑦1<

𝑥【答案】【答案】【详解】解：∵𝑘2+1>A、若两点在不同分支上，∵𝑚−1<𝑚+1，故𝑦1<𝑦2，原说法错误，不符合题意；B、若两点在同一分支上，∵𝑚−1<𝑚+1，故𝑦1>𝑦2，原说法错误，不符合题意；C、当𝑚>2O26时，两点都在第一象限，𝑦1>𝑦2，原说法正确，符合题意；D、当1<𝑚<2O26时，两点都在第一象限，𝑦1>𝑦2【答案】由点(2,−3)求出𝑘=−6【详解】解：∵反比例函数𝑦=𝑥(𝑘≠O)的图象经过点∴−3=即𝑘=−6<∴𝑦=∴图象在第二、四象限，当𝑥>O时，yx【答案】由点(2,−3)求出𝑘=−6【详解】解：∵反比例函数𝑦=𝑥(𝑘≠O)的图象经过点∴−3=即𝑘=−6<∴𝑦=∴图象在第二、四象限，当𝑥>O时，yx的增大而增大，A、B当𝑥=−3时，𝑦=−−3=2，即其图象经过点(−3,2)而非(−3,−2)，C当𝑥=−2时，𝑦=−−2=3，则当𝑥<−2时，y的取值范围是O<𝑦<3，D正确；4（2025·=≠𝑥2，若𝑥1⋅𝑥2>O，则(𝑥1−𝑥2)(𝑦1−𝑦2)的值为（

（m为常数） B．负 【答案】【答案】例函数𝑘O可知反比例函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，yx【详解】解：∵2𝑚2−2𝑚+1=𝑚2+(𝑚−1)2>∴反比例函数图像𝑦∵𝑥1⋅𝑥2>∴𝑥1>O，𝑥2>O或𝑥1<O，𝑥2<假设𝑥1>O，𝑥2>O且𝑥1<𝑥2，则𝑦1>∴𝑥1−𝑥2<O，𝑦1−𝑦2>∴(𝑥1−𝑥2)(𝑦1−𝑦2)<同理：当𝑥1<O，𝑥2<O且𝑥1<𝑥2时，(𝑥1−𝑥2)(𝑦1−𝑦2)<5（2025·=若𝑦1<𝑦2，则𝑘的取值范围

𝑥（𝑘为常数）【答案】𝑘【答案】𝑘>【分析】本题考查反比例函数的图象与性质；由点𝐴(−2,𝑦1)、点𝐵(3,𝑦2)在反比例函数𝑦=𝑥【详解】解：∵点𝐴(−2,𝑦1)和点𝐵(3,𝑦2)在反比例函数𝑦=出𝑦1=−2，𝑦2=3，再利用𝑦1<𝑦2𝑥∴𝑦1=−2，𝑦2∵𝑦1<3∴−2<3∴𝑘>故答案为：𝑘>6（2026·O，3，则𝑘= 【答案】【答案】【详解】解：∵𝑘<∴在1≤𝑥≤3的范围内𝑦随𝑥的增大而增大，当𝑥=1时，𝑦=𝑘当𝑥=3时，𝑦=∵当1𝑥3y∴3−𝑘=3，解得𝑘=7（2026·安徽·模拟预测）已知点𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)在反比例函数𝑦𝑥(1)若𝑥1=1，𝑥2=−3，求𝑦1−𝑦2(2)若𝑥1=𝑚−2，𝑥2=𝑚+2，𝑦1<𝑦2，且点𝐴,𝐵在不同象限，求𝑚【答案】【答案】(2)−2<𝑚<（1）把𝑥1=1，𝑥2=−3分别代入𝑦=𝑥求出𝑦1,𝑦2（1）解：当𝑥1=1时，𝑦1=1=当𝑥2=−3时，𝑦2=−3=∴𝑦1−𝑦2=3−(−1)=（2）解：∵𝑦=𝑥，3>∵𝑦1<𝑦2，点𝐴,𝐵𝑚−2<∴𝑚2>O，解得−2<𝑚<即𝑚的取值范围是−2<𝑚<考向 反比例函数中k的几何意3k1、核心依据：过反比例函数1、核心依据：过反比例函数y=x（k≠O）x轴、yA、BOAPB的面积为|k|，△OAP（或△OBP）的面积为2|k|，所有与该点相关的直角图形面积，均可转化为2x轴、y轴垂线，构造直角矩形或直角三角形（核k＜0k正负的影响，只求绝对值。1（2026·=<x轴上，𝐴𝑂=𝐴𝐵C为𝑂𝐴△𝐴𝐵𝐶4k的值为（ 【答案】【答案】【分析】过𝐴点作𝐴𝐸⊥𝑂𝐵于𝐸点，通过中点的性质可得到𝑆△𝐴𝐸𝑂=𝑆△𝐴𝐵𝐶=4，进而可求出【详解】解：过𝐴点作𝐴𝐸𝑂𝐵于𝐸∵𝐴𝑂=∴𝑆△𝐴𝐸𝑂=∵C为𝑂𝐴△𝐴𝐵𝐶∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=∴𝑆△𝐴𝐸𝑂=𝑆△𝐴𝐵𝐶=又∵A是反比例函数𝑦=𝑥(𝑥<O)∴𝑆△𝐴𝐸𝑂=2=∴|𝑘|=∴𝑘=2（2026·=≠<点，线段𝐵𝐶𝑂𝐶于点𝐶，交反比例函数𝑦=𝑥(𝑘≠0,𝑥<O)图象于点𝐷，连接𝑂𝐷，线段𝐵𝑂经过点𝐴，且𝐴线段𝐵𝑂△𝑂𝐴𝐷的面积为2，则𝑘=（ 2𝑘 ∴3=2×(−2𝑎)×𝑎−2×(−2𝑎)×解得：𝑘=即𝐷2𝑎∵𝑆△𝑂𝐵𝐷=∵𝐵𝐶⊥∴D点横坐标为此时𝑦=∴𝐵2𝑎,设𝐴𝑎𝑎【详解】解：∵𝐴为线段𝐵𝑂𝑂𝐴𝐷的面积为∴△𝑂𝐵𝐷的面积为2×2=2𝑎2𝑎 【分析】根据同高三角形面积比等于底的比求出△𝑂𝐵𝐷的面积，设𝐴𝑎𝑎，进而得到𝐵2𝑎,【答案】3（2026·上，连接𝑂𝐴交𝐵𝐶于点𝐸．若𝑆△𝐵𝑂𝐸=3，𝑆四边形𝐴𝐸𝐶𝐷=8，则𝑘的值为（） 【答案】【答案】【分析】设𝑆△𝐴𝐵𝐸=𝑎，由题意可得𝑆△𝐴𝑂𝐵=2𝑆▱𝐴𝐵𝐶𝐷，进而列方程求出𝑎=2，再根据反比例函数系数𝑘【详解】解：设【详解】解：设𝑆△𝐴𝐵𝐸=∵∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐴𝐵=∴𝑆△𝐴𝑂𝐵=2𝐴𝐵⋅𝑂𝐵=∵𝑆△𝐵𝑂𝐸=3，𝑆四边形𝐴𝐸𝐶𝐷=𝑎3=2(𝑎8)，解得：𝑎=2，顶点𝐴在函数𝑦=𝑥(𝑥>O)∴𝑆△𝐴𝑂𝐵=3+2=5=∴𝑘=4（2026·山东青岛·一模）A是双曲线𝑦−𝑥A分别作𝐴𝐵𝑥轴，𝐴𝐶𝑦B，C两点，𝐴𝐵,𝐴𝐶与双曲线𝑦=𝑥D，E两点，若四边形𝐴𝐷𝑂𝐸5，则𝑘= ∴8−2𝑘−2𝑘=5，解得：𝑘=【详解】解：∵D，E在反比例函数𝑦=𝑥∴𝑆△𝐵𝑂𝐷=2𝑂𝐵⋅𝐵𝐷=−2𝑘，𝑆△𝑂𝐶𝐸=2𝑂𝐶⋅𝐶𝐸=∵A是双曲线𝑦=−𝑥∴𝑆矩形𝐴𝐵𝑂𝐶=𝑂𝐵⋅𝑂𝐶=−𝑘=∵𝑆矩形𝐴𝐵𝑂𝐶−𝑆△𝑂𝐵𝐷−𝑆△𝑂𝐶𝐸=𝑆四边形【分析】由反比例函数的几何意义得𝑆△𝐵𝑂𝐷=−2𝑘，𝑆△𝑂𝐶𝐸=−2𝑘，𝑆矩形𝐴𝐵𝑂𝐶=8，再根据𝑆矩形−𝑆△𝑂𝐶𝐸=𝑆四边形𝐴𝐷𝑂𝐸k【答案】5（2026·陕西西安·模拟预测）P在𝑦𝑥P作𝑃𝐵𝑥BP作𝑃𝐶轴于点C，点A与点B关于y轴对称，若四边形𝐴𝐵𝑃𝐶的面积为12，则k的值 ∴𝑆四边形𝐴𝐵𝑃𝐶=𝑆△𝐴𝑂𝐶+𝑆矩形𝑂𝐵𝑃𝐶=2|𝑘|=∴|𝑘|=8，即𝑘=±∵𝑦=𝑥∴𝑘>∴𝑘=∵P在𝑦𝑥∴𝑆矩形𝑂𝐵𝑃𝐶=2矩形=∴2𝑂𝐴·𝑂𝐶=𝑂𝐵·𝑃𝐵，即【分析】根据题意可得𝑆△𝐴𝑂𝐶=2𝑆矩形𝑂𝐵𝑃𝐶，由反比例函数𝑘的几何意义得到𝑆矩形𝑂𝐵𝑃𝐶=|𝑘|𝑆四边形𝐴𝐵𝑃𝐶=2|𝑘|=12，再结合𝑦=𝑥的图象位置，可得𝑘>O∴𝑂𝐴=∵𝑃𝐵𝑥轴，𝑃𝐶𝑦∵∠𝐵𝑂𝐶=∴𝑃𝐵=6（2025·

=𝑘1(𝑥>O)B在反比例函数𝑦= (𝑥>O)的图象上，𝐴𝐵∥𝑥轴交y轴于点A，𝐴𝐶=𝐵𝐶．若△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形且面积为10，则𝑘1，𝑘2满足 【答案】【答案】2𝑘1−𝑘2=C的坐标为(𝑥𝐶,𝑦𝐶)B的坐标为(𝑥𝐵,𝑦𝐵)，根据𝐴𝐶=𝐵𝐶及𝐴𝐵∥𝑥轴，利用等腰三角形三线合一的性质可得𝑥𝐵=2𝑥𝐶k的几何意义列式计算即可．C的坐标为(𝑥𝐶,𝑦𝐶)B的坐标为C在反比例函数𝑦1=𝑥(𝑥>O)B在反比例函数𝑦2=𝑥(𝑥>O)∴𝑥𝐶𝑦𝐶=𝑘1∴𝑥𝐵𝑦𝐵=𝐴𝐵∥𝑥y𝐴(O,𝑦𝐵)、𝐴𝐵𝑦∴𝐴𝐵=∵𝐴𝐶=𝐴𝐵𝐶C作𝐶𝐷𝐴𝐵D∴𝐴𝐷=∴𝑥𝐶=2𝑥𝐵，即𝑥𝐵=∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝐴𝐵⋅(𝑦𝐶−𝑦𝐵)=∴2⋅𝑥𝐵⋅(𝑦𝐶−𝑦𝐵)=∴𝑥𝐵𝑦𝐶−𝑥𝐵𝑦𝐵=∴2𝑥𝐶𝑦𝐶−𝑥𝐵𝑦𝐵=∴2𝑘1−𝑘2=7（2026·移，得到线段𝐵𝐶B恰好落在反比例函数𝑦=3(𝑘>O)O为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的中心，𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=kDx1，求直线𝐴𝐵77则𝑆△𝐵𝑂𝐹=2×3=∵O是平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的中心，𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=∴𝑆△𝐵𝑂𝐶=4×14=∴𝑆△𝐶𝑂𝐹=2−2=∵O是平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴𝐵𝐶∥𝐴𝐷，𝐴𝑂=𝐴𝐷∥𝑥𝐴𝐷⊥𝑦∴由平移知𝐵𝐶𝑦（1）解：如图，设𝐴𝐷，𝐵𝐶yE，F，连接7𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=14，得𝑆△𝐶𝑂𝐹=2−2=2，证明△𝐴𝑂𝐸≌△𝐶𝑂𝐹(ASA)，得𝑆△𝐴𝑂𝐸=𝑆△𝐶𝑂𝐹=2，(2)Dx1，𝐴𝐷𝑥O是平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷AB【答案】(2)𝑦=−2𝑥+k的几何意义，反比例函数与一次函数的综(1)设𝐴𝐷，𝐵𝐶yE，F，连接𝑂𝐴，𝑂𝐵，𝑂𝐶O是平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝑎=解得{𝑎=解得{𝑏=4𝑎+𝑏={3𝑎+𝑏=将𝑦=1代入𝑦=𝑥，得𝑥=∴设直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=𝑎𝑥𝑏，将𝑦=−1𝑦=𝑥，得𝑥=∴∵𝑦=𝑥(𝑥>O)∴𝑘<∴𝑘=（2）解：∵Dx1，𝐴𝐷𝑥O是平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴A的纵坐标为∴B∴∠𝐹𝐶𝑂=∵∠𝐴𝑂𝐸=∴△𝐴𝑂𝐸≌△∴𝑆△𝐴𝑂𝐸=𝑆△𝐶𝑂𝐹=∴|𝑘|=∴直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=−2𝑥；②观察图形，判断其轴、y轴垂线，拆分或补全图形；③根据基本图形与|k|的关系，计算出目标图形的面积；3kk1（2026·=𝑦=𝑥在第一象限内图象上一点，直线𝐴𝐵与𝑦轴交于点𝐶，且点𝐶恰为𝐴𝐵的中点，连接𝑂𝐴，𝑂𝐵△的面积是 33【答案】【分析】令点𝐴𝑎,𝑎，点𝐵𝑏𝑏，可得点𝐶 𝑎+𝑏2，由点𝐶在𝑦𝑎=−𝑏△𝐴𝑂𝐵的面积公式2×(𝑏−𝑎)【详解】解：令点𝐴𝑎,𝑎，点𝐵𝑏𝑏 𝑎+𝑏−= 代入上式面积公式得2×2×(−𝑏)×𝑏×𝑏−(−𝑏)∴2=即𝑎=×∴△𝐴𝑂𝐵的面积为22,𝑎+𝑏𝑏2（2026·=<A，𝐴𝐵𝑂𝐶yB．则四边形𝐴𝐵𝑂𝐶的面积是（ 【答案】【答案】【分析】根据𝑘值的几何意义，得到𝑆△𝐶𝐴𝑂=3，证明四边形𝐴𝐵𝑂𝐶为平行四边形，即可得出结果【详解】解：∵C是反比例函数𝑦=−𝑥（𝑥<O）的图象上的一个动点，且𝐶𝐴𝑥∴𝑆△𝐶𝐴𝑂=2=3，𝐴𝐶∥∵𝐴𝐵∥∴四边形𝐴𝐵𝑂𝐶=2𝑆△𝐶𝐴𝑂=3（2026·= 过点𝐴作𝐴𝐵垂直𝑥轴交反比例函数𝑦=−𝑥的图象于点𝐵，连接𝐵𝑂并延长，交反比例函数𝑦=−𝑥𝐶，连接𝐴𝐶，则△𝐴𝐵𝐶的面积 【答案】【答案】【分析】根据反比例函数𝑘【详解】解：如图，连接∵点𝐴在反比例函数𝑦=𝑥的图象上，𝐴𝐵⊥𝑥∴𝑆△𝐴𝑂𝐷=2×4=∵点𝐵在反比例函数𝑦=−𝑥∴𝑆△𝐵𝑂𝐷=2×2=∴𝑆△𝐴𝑂𝐵=𝑆△𝐵𝑂𝐷+𝑆△𝐴𝑂𝐷=1+2=∵点𝐶与点𝐵∴𝐶𝑂=∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝑆△𝐴𝑂𝐵=2×3=4（2026·辽宁铁岭·一模）yPx轴的平行线，分别与反比例函数𝑦−𝑥(𝑥<和𝑦=2(𝑥>O)的图象交于点A，B．若C为x轴上任意一点，连接𝐴𝐶，𝐵𝐶，则△𝐴𝐵𝐶的面积 ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝐴𝐵⋅𝑂𝑃=2×∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝐴𝐵⋅𝑂𝑃=2×𝑏×𝑏= ∴𝐴𝐵=𝑏−−𝑏= ∴𝐴−𝑏,𝑏，𝐵𝑏,𝑏 又∵AB分别在反比例函数𝑦=−𝑥和𝑦=𝑥【答案】【分析】设𝑃(0,𝑏)，其中𝑏OAB的坐标，可得𝐴𝐵的长，再根据三角形【详解】解：设𝑃(0,𝑏)，其中𝑏O，则𝑂𝑃=𝑏．直线𝐴𝐵𝑥AB的纵坐标都为 𝑦=4(𝑥>O)的图象上，边𝐴𝐶,𝐵𝐶与函数𝑦=1的图象分别交于点 （1）△𝐴𝑂𝑀与△𝐶𝑂𝑁的面积之和 （2）若△𝑀𝑂𝑁为直角三角形，则该三角形的直角顶点的横坐标 44 ∴𝑂𝐵=𝑎,𝐵𝑁=4,𝑁𝐶=𝑎−4=4，𝐶𝑀=𝑎−𝑎=𝑎，𝑀𝐴=𝑎,𝑂𝐴= 𝑎 （2）解：设𝐶𝑎𝑎，则𝑁4,𝑎，𝐵O,𝑎，𝑀𝑎【详解】解：依题意，𝑆△𝐴𝑂𝑀=𝑆△𝐵𝑂𝑁=2,𝑆△𝐵𝑂𝐶=2×4=∴△𝐴𝑂𝑀△𝐶𝑂𝑁的面积之和为𝑆△𝐴𝑂𝑀+𝑆△𝐶𝑂𝑁=𝑆△𝐵𝑂𝑁+𝑆△𝐶𝑂𝑁=𝑆△𝐵𝑂𝐶= 𝑎 （2）设𝐶𝑎𝑎，则𝑁4,𝑎，𝐵O,𝑎，𝑀𝑎𝑎，进而分类讨论，当𝑁为直角三角形的顶点，当𝑀2或∵∠𝑂𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐴=∠𝑂𝑁𝑀=∴∠𝐵𝑂𝑁=90°−∠𝐵𝑁𝑂=∴△𝐵𝑂𝑁∽△ ∴𝑁𝐶= ∴𝑎= 解得：𝑎=2∴𝑁2,同理可得𝑁𝐶𝑀 ∴𝐴𝑀= ∴4= 解得：𝑎= 2,2或 6（2026·河南洛阳·一模）如图，▱𝐴𝑂𝐶𝐵A，B分别在双曲线𝑦𝑥和𝑦=−𝑥CxA的坐标为(1)求双曲线𝑦=𝑥∴𝑆△𝐴𝑂𝐵=𝑆△𝐵𝑂𝐷+𝑆△𝐴𝑂𝐷=2+1=∴𝑆▱𝐴𝑂𝐶𝐵=2𝑆△𝐴𝑂𝐵=2×2= ∵AB分别在双曲线𝑦=𝑥和𝑦=−𝑥∴𝑆△𝐵𝑂𝐷=2，𝑆△𝐴𝑂𝐷=四边形𝐴𝑂𝐶𝐵Cx𝐴𝐵∥𝑦（2）连接𝑂𝐵，设𝐴𝐵yD，根据反比例函数的比例系数的几何意义可得𝑆△𝐵𝑂𝐷==1，从而可知𝑆△𝐴𝑂𝐵=2（1）解：将点𝐴(1,2)代入𝑦=𝑥得：2=1，解得：𝑘1=2，∴双曲线的解析式为𝑦=（2）解：连接𝑂𝐵，设𝐴𝐵y（1）将点𝐴(1,2)代入𝑦=𝑥【答案】(1)𝑦=7（2025·=>≠𝐺的切线𝑙：𝑦=𝑘𝑥𝑏（𝑘≠O）交𝑦、𝑥轴于𝐴、𝐵，连接求𝑚𝐴𝑂𝐵=得到：𝑥=𝑘𝑥+∵𝑥>∴上式化简为：𝑘𝑥2+𝑏𝑥−4=∵∴Δ=𝑏2+16𝑘=设𝐼2𝑘,− ，将①式代入可知：𝑦𝐼=过𝐼作𝐼𝐾𝑥轴于点𝐾，即𝐼𝐾//𝑦轴，2𝐼𝐾=𝐼𝐾𝐵𝐴𝑂𝐵，即𝐼为𝐴𝐵𝑂𝐼=𝐴𝐼=𝐼𝐵，即∠𝐼𝑂𝐾=根据三线合一的性质，得𝑆△𝐼𝑂𝐾=𝑆△𝐼𝐾𝐵，根据双曲线的性质，得𝑆△𝐼𝑂𝐾=2，∴𝑆△𝐼𝐾𝐵=∵ 1𝑦=//𝑦轴，2𝐼𝐾=𝑂𝐴△𝐼𝐾𝐵∽△𝐴𝑂𝐵，即𝐼为𝐴𝐵中点，根据三线合一的性质，得𝑆△𝐼𝑂𝐾=𝑆△𝐼𝐾𝐵𝑆△𝐼𝑂𝐾=2，所以𝑆△𝐼𝐾𝐵=2（1）解：将(2,2)代入𝑦=𝑥，得2=2，解得：𝑚=4；（2）解：设𝐴𝐵：𝑦=𝑘𝑥+𝑏（𝑘≠O，𝑦=𝑘𝑥+ ，将①式代入可知：𝑦𝐼=2，过𝐼作𝐼𝐾⊥𝑥轴于点𝐾，即 系是相切得Δ=𝑏2+16𝑘=O①，设𝐼（1）将点(2,2)代入𝑦=𝑥（2）求出𝑙的解析式，联立直线𝑙与反比例函数的解析式整理得𝑘𝑥2+𝑏𝑥−4=O【答案】(1)𝑚=∴∴𝑆△𝐴𝑂𝐵=8，即知𝑆△𝐴𝑂𝐵考向考向 反比例函数与一次函数综5112、交点个数：联立后得到一元二次方程，根据判别式𝛥判断（𝛥＞O：2个交点；𝛥=O：11（2026·贵州遵义·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线𝑦𝑘𝑥(𝑘O)与双曲线𝑦−𝑥A，B点，𝐴𝐶𝑥C，连接𝐵𝐶yD，结合图象判断下列结论，错误的为（A．点A与点B关于原点对 B．点D是𝐵𝐶的中

△𝐵𝑂𝐷=

𝑦=−𝑥的图像上，yx【答案】【答案】∴𝑂𝐴=∵𝐴𝐶𝑦∴𝐵𝐷=𝑂𝐵=∴𝐶𝐷=∵𝑆△𝐵𝑂𝐷=2𝑆△𝐵𝑂𝐶=2𝑆△𝐴𝑂𝐶=2×2=∴𝑆△𝐵𝑂𝐷=4C 在𝑦−𝑥中，𝑘=−3O，所以，在每个象限内，yxD2（2026·安徽合肥·一模）如图，直线𝑦2𝑥𝑏交反比例函数𝑦𝑘(𝑘O)A，BC，D两点．已知𝑆△𝑂𝐶𝐷=4，𝐶𝐷=2𝐴𝐶k的值为（ ∵直线𝑦=2𝑥𝑏交反比例函数𝑦=𝑥(𝑘≠O)A，BC，D解得𝑏=±⋅||⋅|𝑏|= ∴𝑆△𝑂𝐶𝐷|𝑂𝐷 ∴𝑂𝐶=令𝑥=O，则𝑦=2𝑥𝑏=𝑏；令𝑦=2𝑥𝑏=O，解得𝑥= ∴𝐶𝐷=𝑂𝐶=𝑂𝐷= ∴𝐶𝐷=𝑂𝐶=∵𝐶𝐷=∴∠𝐶𝑂𝐷=∠𝐴𝐸𝐶=9Oº，∠𝑂𝐶𝐷=∴△𝐴𝐸𝐶∽△𝐶𝐸=2，𝐴𝐸=1A的坐标，再代入𝑦=𝑥(𝑘≠O)kA作𝐴𝐸𝑦【答案】A作𝐴𝐸𝑦E，证明△𝐴𝐸𝐶𝐷𝑂𝐶，再利用𝑆△𝑂𝐶𝐷=4b，得出𝑂𝐶=4，𝑂𝐷=∴𝑏∴𝑏>∴𝑏=∴𝑦=2𝑥+∴𝑂𝐶=4，𝑂𝐷=∴𝐶𝐸=2，𝐴𝐸=∴𝑂𝐸=4+2=将𝐴(1,6)代入𝑦=𝑥(𝑘≠O)6=∴𝑘= 3（2026·==点𝐴和𝐵都在𝑥𝑃𝐴𝐵是等腰直角三角形，𝑃𝐴=𝑃𝐵，𝐴𝐵=22，则𝑘的值为（

将𝑦=2代入正比例函数𝑦=2𝑥得：2𝑥=2，解得𝑥=2∴𝑃𝐶=2𝐴𝐵=𝑃𝐴𝐵是等腰直角三角形，𝑃𝐴=𝑃𝐵,𝐴𝐵=22，𝑃𝐶⊥【分析】过点𝑃作𝑃𝐶𝑥轴于点𝐶，先根据等腰直角三角形的性质可得𝑃𝐶=2𝐴𝐵=2，再将𝑦=2比例函数𝑦2𝑥可得点𝑃的坐标，然后将点𝑃【详解】解：如图，过点𝑃作𝑃𝐶𝑥轴于点【答案】∴𝑃∴𝑃22,2将点𝑃22,2代入反比例函数𝑦=𝑥得：𝑘=22×2=可得𝑎=化简得𝑎2−3𝑎−4=解得𝑎=4或𝑎=−1（舍去∴B的坐标为∴点𝐵𝑎−3,𝑎∵可得𝑎=化简得𝑎2−3𝑎−4=解得𝑎=4或𝑎=−1（舍去∴B的坐标为∴点𝐵𝑎−3,𝑎∵点𝐵在直线𝑦=3𝑥令点𝐷𝑎,𝑎∵𝐵𝐷=𝑚𝑘=12∴6=𝑚=6=则点𝐵𝑎−3,𝑎，代入𝑦=3𝑥，即可解出𝑎【详解】解：∵点𝐴(𝑚,6)为反比例函数𝑦=𝑥与直线𝑦=3𝑥 【分析】由点𝐴(𝑚,6)为反比例函数𝑦=𝑥与直线𝑦=3𝑥的交点，可求出𝑘、𝑚的值，令点𝐷𝑎,【答案】5（2026·=≠线𝑦=𝑥(𝑘>0,𝑥>O)的交点．现将线段𝐴𝐵及其下方双曲线围成的封闭区域涂黑，则阴影部分（不含边界内的整点（横、纵坐标都是整数）的个数 个∴G是双曲线𝑦=𝑥上方与直线𝑦=−𝑥7下方之间的部分，且1<𝑥<所以，当𝑥=2时，2=3，−2+7=∴𝑦=同理可得，当𝑥3时的整数点是(3,3)；当𝑥=4时的整数点是(4,2)；当𝑥=5∴𝑦=−𝑥+把𝐴(1,6)，𝐵(6,1)代入𝑦=𝑎𝑥𝑏(𝑎≠O)𝑎+𝑏=6𝑎+𝑏=1𝑎= 【详解】解：∵点𝐴(1,6)，𝐵(𝑚,1)是直线𝑦=𝑎𝑥𝑏(𝑎≠O)与双曲线𝑦=𝑥(𝑘>0,𝑥>O)∴𝑘=1×6=∴反比例函数的解析式为𝑦=把𝐵(𝑚,1)代入𝑦=𝑥得，𝑚=∴𝑚=【答案】6（2026·=≠𝑦=𝑎𝑥−2𝑎3（𝑎为常数，且𝑎<O）的图象相交于点𝐴和点𝐵，点𝐴的横坐标为2，点𝐵的纵坐标为(2)将该一次函数的图象向下平移3个单位长度，得到的新函数图象与𝑥轴交于点𝐶𝐴𝐵𝐶【答案】【答案】(1)𝑘=6，𝑎=（1）先利用一次函数的解析式求出点𝐴(2,3)，进而求出𝑘=6（2）作𝐵𝐷𝐴𝐶于点𝐷，由平移规律可得新函数𝐴𝐶=3，𝐵𝐷=4，直接计算△𝐴𝐵𝐶

=−2𝑥+

⊥（1）解：将𝑥=2代入𝑦=𝑎𝑥−2𝑎3，得𝑦=将点𝐴(2,3)代入𝑦=𝑥3=解得𝑘=∴反比例函数的解析式为𝑦=将𝑦=1代入𝑦=𝑥，得𝑥=将点𝐵(6,1)代入𝑦=𝑎𝑥−2𝑎3，得，1=6𝑎−2𝑎+3，解得𝑎=∴一次函数的解析式为𝑦=−2𝑥+（2）解：如图，作𝐵𝐷𝐴𝐶于点 𝑦=−2𝑥4向下平移3个单位长度所得新函数=−2𝑥+4−3=−2𝑥+将𝑦=O代入

=−2𝑥+

，得𝑥=∵𝑥𝐴=𝑥𝐶=∴𝐴𝐶𝑥∴𝐴𝐶=∵𝐵𝐷⊥∴𝐵𝐷=6−2= ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝐴𝐶⋅𝐵𝐷=2×3×4= 7（2026·==A，𝑂𝐴=1O，点𝐶为反比例函数𝑦=𝑥图象上位于𝐴点上方的一点，直线𝐴𝐶与𝑥轴，𝑦D，E(2)若𝐴𝐶=2𝐴𝐷，求点𝐸∴𝑚=3,3𝑚=∴∴𝑘=3×1=∴𝑦=（2）解：过点𝐶作𝐶𝐺𝑥轴于𝐺，过点𝐴作𝐴𝐹𝑥轴于∴𝐶𝐺∥∴△𝐴𝐹𝐷∽△∵𝐴𝐶=∴𝐴𝐷:𝐶𝐷=∴𝐴𝐹:𝐶𝐺=𝐴𝐷:𝐶𝐷=3 =𝑚2=∵𝐴∴𝑚∴设𝐴𝑚3𝑚∵𝑂𝐴=（1）∵函数𝑦=3𝑥的图象与反比例函数𝑦=𝑥（1）设𝐴𝑚3𝑚，由𝑂𝐴=1O列方程求出𝑚，从而得到点𝐴（2）过𝐶、𝐴分别作𝑥轴的垂线，由𝐶𝐺𝐴𝐹得𝐴𝐹𝐷𝐶𝐺𝐷，再由𝐴𝐶=2𝐴𝐷得𝐴𝐷:𝐶𝐷=1∶3，从而由相似比求出𝐶的纵坐标，进而求出𝐶的坐标和直线𝐴𝐶的解析式，令𝑥=O得点𝐸的坐标．【答案】(1)𝑦=∵𝐴𝐹=∵𝐴𝐹=∴𝐶𝐺=3，即𝑦𝐶=∵𝐶在𝑦=𝑥∴𝑥𝐶=3=∴设直线𝐴𝐶的解析式为𝑦=𝑘1𝑥+3𝑘1+𝑏=𝑘1+𝑏=3解得𝑘1=−1,𝑏=∴𝑦=−𝑥+4，令𝑥=O，得𝑦=4∴1、数形结合思想：根据两函数图象的位置关系，直接判断不等式的解集（如1、数形结合思想：根据两函数图象的位置关系，直接判断不等式的解集（如𝑥＞𝑘1𝑥+𝑏，解集为反比例x取值范围；；3x≠01（2026·安徽淮南·一模）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知二次函数𝑦𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐(𝑎O)(−1,−2)，则一次函数𝑦=𝑎𝑥+𝑏与反比例函数𝑦=𝑥的图象可能是（ 【答案】点坐标确定𝑎、𝑏的符号，进而判断一次函数和反比例函数图象经过的象限．由二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐顶点为(−1,−2)，得对称轴为直线𝑥=−2𝑎【答案】点坐标确定𝑎、𝑏的符号，进而判断一次函数和反比例函数图象经过的象限．由二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐顶点为(−1,−2)，得对称轴为直线𝑥=−2𝑎=−1，即𝑏=2𝑎，将顶点坐标代入得𝑎−𝑏+𝑐=−2；由顶点纵坐标−2为最小值，知抛物线开口向上，即𝑎>O，则𝑏=2𝑎>O，一次函数𝑦=𝑎𝑥𝑏中，𝑎>0,𝑏>O，图象经过第一、二、三象限；反比例函数𝑦=𝑥中𝑏>O∵二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐图象的顶点为−1，−2∴可设𝑦=𝑎(𝑥+1)2−2，即𝑦=𝑎𝑥2+2𝑎𝑥+∵该二次函数图象的对称轴为𝑥=∴−2𝑎=∴𝑏=一次函数为𝑦=𝑎𝑥+2𝑎，即𝑦=𝑎(𝑥一次函数𝑦=𝑎𝑥𝑏的图象恒经过定点(−2,0)，排除B，C．当𝑎<O时，𝑏=2𝑎<OD．与反比例函数𝑦=𝑥在同一直角坐标系内的大致图像是（ 【答案】【答案】【详解】解：∵二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐(𝑎≠O)∴𝑎>∴−2𝑎>∴𝑏<∴𝑐>∴一次函数𝑦=𝑎𝑥+𝑏经过第一、三、四象限，反比例函数𝑦=𝑥3（2026·安徽阜阳·一模）如图，反比例函数𝑦1=𝑥（𝑘O）与一次函数𝑦2=𝑚𝑥𝑛（𝑚O）𝐴(2,1)和点𝐵(−1,−2)，则不等式𝑦1<𝑦2<O的解集 【答案】−1【答案】−1<𝑥<【详解】解：∵反比例函数𝑦1=𝑥（𝑘≠O）与一次函数𝑦2=𝑚𝑥𝑛（𝑚≠O）相交于点𝐴(2,1)和点将点𝐴(2,1)和点𝐵(−1,−2)代入𝑦2=𝑚𝑥+𝑛−2=−𝑚+𝑛𝑛=−1故一次函数𝑦2=令𝑦2=𝑥−1=O，则𝑥=∴当𝑦1<𝑦2时，𝑥>2或−1<𝑥<当𝑦2<O时，𝑥<1，当𝑦1<O时，𝑥<1=2𝑚+𝑚=则当则当𝑦1<𝑦2<O时，−1<𝑥<故不等式𝑦1<𝑦2<O的解集为−1<𝑥<4（2026·=(−2,0)，与反比例函数𝑦=

(𝑥>O)交于点𝐵(1,𝑚)，则不等式𝑎𝑥+4≥ 𝑥的解集 【答案】𝑥【答案】𝑥≥【分析】根据图象写出一次函数图象在反比例函数图象上方时𝑥【详解】解：∵一次函数𝑦=𝑎𝑥4的图象与反比例函数𝑦=𝑥(𝑥>O)交于点∴不等式𝑎𝑥+4≥𝑥的解集为𝑥≥5（2026·=于点𝐴(−1,0)，与反比例函数𝑦=𝑥的图象交于点𝐵(−2,𝑎)，射线𝐵𝑂与反比例函数的图象交于点𝐶根据图象，直接写出不等式𝑥>𝑘𝑥−2>O𝐴𝐵𝐶【答案】(1)一次函数的表达式为𝑦=−2𝑥−2，反比例函数的表达式为𝑦=−2<𝑥<𝐴𝐵𝐶的面积为（1）把点𝐴(−1,0)代入一次函数𝑦=𝑘𝑥−2k的值，得到一次函数的表达式，把点(−2,𝑎)代入一次函数，得到𝐵(−2,2)，把点𝐵(−2,2)代入反比例函数𝑦=𝑥，求出𝑚由（2）得𝐶(2,−2)，过点𝐵作𝐵𝐸⊥𝑥轴于点𝐸，过点𝐶作𝐶𝐷⊥𝑥轴于点𝐷，然后根据𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑆△𝐴𝑂𝐵 𝑆△𝐶𝑂𝐷=2𝐴𝑂⋅𝐵𝐸+2𝐴𝑂⋅𝐶𝐷（1）解：∵一次函数𝑦=𝑘𝑥−2的图象与𝑥轴交于点∴O=−𝑘−2，解得𝑘=∴一次函数的表达式为𝑦=∵一次函数𝑦=−2𝑥−2过点∴𝑎=−2×∴𝑎=∵反比例函数𝑦=𝑥的图象过点∴2=−2，解得𝑚=∴反比例函数的表达式为𝑦=∴根据图象可得，不等式𝑥>𝑘𝑥−2>O的解集为−2<𝑥<解：由（2）得𝐶(2,−2)，过点𝐵作𝐵𝐸𝑥轴于点𝐸，过点𝐶作𝐶𝐷𝑥轴于点∴𝐵𝐸=2，𝐶𝐷=∴𝐴𝑂=∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑆△𝐴𝑂𝐵+ =2𝐴𝑂⋅𝐵𝐸+2𝐴𝑂⋅ =2×1×2+2×1×=6（2026·山东日照·一模）如图，平面直角坐标系中，一次函数𝑦𝑘𝑥𝑏的图象与反比例函数𝑦𝑥(2)若𝑘𝑥+𝑏≤𝑥，请直接写出关于𝑥(3)若过点(−2,0)且平行于𝑦轴的直线上有一动点𝑃𝑃𝐴𝐵的面积为21时，求点𝑃【答案】(1)反比例函数解析式为𝑦=−𝑥，一次函数解析式为𝑦=(2)−6≤𝑥<O或𝑥≥(3)(−2,3)（3）设直线𝑦=−𝑥−5𝑥=−2的交点为𝐶，求出点𝐶𝑃(−2,𝑎)（1）∵𝐴(−6,1)在反比例函数𝑦=𝑥∴𝑚=(−6)×1=∴反比例函数解析式为𝑦=将𝐵(1,𝑛)代入𝑦=−𝑥，得𝑛=∴将𝐴(−6,1)，𝐵(1,−6)两点分别代入𝑦=𝑘𝑥𝑏−6𝑘+𝑏=𝑘𝑏=−6𝑏=−5𝑘=∴一次函数解析式为𝑦=（2）解：观察图象可知，当−6≤𝑥<O或𝑥≥1不等式𝑘𝑥𝑏≤𝑥的解集为−6≤𝑥<O或𝑥≥（3）解：如图，设直线𝑦=−𝑥−5与直线𝑥=−2的交点为把把𝑥=−2代入𝑦=−𝑥−5得，𝑦=−3，即设𝑃𝐴𝐵的面积为∴𝑆△𝐴𝐵𝑃=2×(1+6)×|𝑎+3|=∴|𝑎+3|=6，解得𝑎=3或𝑎=点𝑃的坐标为(−2,3)或考向考向 反比例函数综合应71、常见应用场景：行程问题（速度与时间成反比例1、常见应用场景：行程问题（速度与时间成反比例、压强问题（压强与受力面积成反比例问题（工作效率与工作时间成反比例2、解题步骤：①判断两个变量之间的反比例关系；②设出反比例函数解析式𝑦=𝑥；③根据题意找出一k的值；④根据解析式解决实际问题（求变量值、判断取值范围等；0；求出k值需结合实际情境判断正负。1（2026·设计了“过氧乙酸气体浓度检测仪”12为过氧乙酸气体传感器R1(Ω)的阻值随过氧乙酸气体浓度（gm3）变化的关系图象，则下面说法错误的是（）C．若过氧乙酸气体浓度不低于O.3g/m3，则传感器R1的阻值不低于D．若过氧乙酸气体浓度从O.1g/m3增大到O.3g/m3，则传感器R1的阻值减小【答案】【答案】C0.3g/m3，则传感器𝑅110Ω体浓度从O.1g/m3增大到O.3g/m3，则传感器R1的阻值减小2OΩ，说法正确，该选项不符合题意．2（2026· 【答案】【答案】【分析】用待定系数法求出反比例函数解析式，再把𝑥O.4，𝑥O.5y的值，进而计算即𝑦𝑥𝑦=𝑥(𝑘≠O)(O.2,5OO)𝑦=𝑥(𝑘≠O)∴𝑘=5OO×O.2=1OO∴函数解析式为𝑦 𝑥=O.4𝑦=O.4=25O𝑥=O.5𝑦=O.5=2OO∴250−200=5O（度3（2026·作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量5Og、一个秤砣（重量2OOg（秤杆和细绳重量忽略不计组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力×=阻力×阻力臂．如图，设所称物体重量为𝑥g，则秤盘及物体的总质量为(𝑥5O)g，秤盘到提纽的水平距离𝐴𝐵=𝑎cm，秤砣到提纽的距离𝐵𝐶=𝑦cm．当秤杆平衡时，得(𝑥+5O)⋅𝑎=200𝑦．(1)若取𝐴𝐵1OcmO的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此CO．请计算此时𝐵𝑂的长．(2)在（1）yx之间的函数关系，并依此说明杆x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？(3)杆秤可用的长度𝐴𝐷1OOcm，为了保证杆秤的最大刻度不小于2kga 𝑦=2OO𝑥+（1）解：令𝑥=O，得50𝑎=∵𝑎=∴5O×1O=∴𝑦=即𝐵𝑂=（2）解：(𝑥5O)𝑎=𝑥𝑎+50𝑎=−250𝑎Oxa的增大而减小，结合反比例函数的性质代入𝑥=2OOO（3）求得𝑥= （2）由题意可得𝑦 𝑥+𝑎，设𝑥′=𝑥+𝑡（𝑡为常数，计算𝑦′−𝑦即可（1）由𝑥=O，得50𝑎=200𝑦，将𝑎=1O(3)O<𝑎≤【答案】(1)𝐵𝑂=(2)x每增加相同的数值，y设设𝑥′=𝑥+𝑡（𝑡为常数则𝑦′=𝑎(𝑥+𝑡)+∴𝑦−𝑦 ∴x每增加相同的数值，y（3）解：(𝑥50)𝑎=整理得𝑥∵𝑎>当最大刻度是2kg时，令𝑥=得𝑎=9∴O<𝑎≤94（2026·【答案】(1)𝑦=10𝑥+2O；𝑦=（2）分别求出当𝑦=40℃时，4O=10𝑥2O，解得𝑥=2；4O=𝑥，解得𝑥=2O【详解】（1）解：水温上升时，即当O𝑥8时，设𝑦关于𝑥的函数关系式为𝑦𝑘𝑥8𝑘+𝑏=𝑏=𝑘=𝑏=2O∴𝑦=10𝑥+水温下降时，即当𝑥>8时，设𝑦关于𝑥的函数关系式为𝑦=𝑥由图象可得：1OO=8，解得：𝑚=∴𝑦关于𝑥的函数关系式为𝑦=𝑥（2）解：当𝑦=40℃时，4O=10𝑥2O，解得𝑥=4O=𝑥解得𝑥=在一个循环内水温不低于40℃的时间为2O−2=18（分钟5（2026·山东聊城·一模）如图1，燃油机由汽缸、活塞𝐴、连杆𝐴𝑃、曲轴𝑂𝑃⊙𝑂组成（如图所气体压强汽缸体积 【答案】(1)𝑝=（2）根据（1）中的解析式画出函数图象，再求出当𝑉6OmL时，𝑝=解得𝑘=6OOO，即𝑝=𝑉当𝑉=6OmL时，𝑝 =汽缸内气体的压强是（3）解：当𝑝=5OOkpa时，𝑉=5OO=∴为了安全起见，气体的体积应不少于6（2025·坐标𝑥的差“𝑦−𝑥”A的“纵横值”．函数图象上所有点的纵横值”中的最大值称为函数的“最优值”【举例】已知点𝐴(1,3)在函数𝑦=2𝑥1的图象上，则点𝐴(1,3)的“纵横值”为𝑦−𝑥=3−1=2𝑦=2𝑥1的图象上所有点的“纵横值”可以表示为𝑦−𝑥=2𝑥+1−𝑥=𝑥当3≤𝑥≤6时，𝑥1的最大值为6+1=7，故函数𝑦=2𝑥+1(3≤𝑥≤6)的“最优值”

𝑦=𝑥

(2≤𝑥≤

(3)已知二次函数𝑦=−𝑥2+(2𝑏+1)𝑥−𝑏2②当−1≤𝑥≤4时，此二次函数的“最优值”4，求出𝑏③若此函数的顶点记为点𝑀，它的“最优值”所在点记为点𝑁，点𝑀与点𝑁到直线𝑦3的距离相等，直接写【答案】【答案】(2)函数𝑦=𝑥+𝑥(2≤𝑥≤4)的“最优值”(3)①见解析；②𝑏的值为5或−2；③𝑏的值为−8（3）①根据“最优值”的定义可知𝑦−𝑥=−(𝑥−𝑏)2+5，求得−(𝑥−𝑏)2+5≤5，推出无论𝑏取何值，该二次函数的“最优值”为定值，定值为5；②可知当𝑥=𝑏时，𝑦−𝑥5，所以可得𝑏不在−1≤𝑥≤4之内，所以𝑏>4或𝑏<−1𝑏

2

和𝑁(𝑏,𝑏5)，由点𝑀与点𝑁到直线𝑦=3的距离相等，得到点𝑀与点𝑁𝑦=3对称或𝑦𝑀=𝑦𝑁（1）解：点𝐵(−5,−2)的“纵横值”为−2−(−5)=−25=（2）

(2≤𝑥≤ 𝑦=𝑥 的“纵横值”为𝑦−𝑥=𝑥+𝑥−𝑥= ∵2≤𝑥≤4时，𝑦−𝑥=𝑥的最大值为𝑦−𝑥=𝑥=2=∴函 (2≤𝑥≤4)的“最优值”为𝑦=𝑥（3）解：①∵𝑦−𝑥=−𝑥2+(2𝑏+1)𝑥−𝑏2=−𝑥2+2𝑏𝑥−𝑏2+=−(𝑥−𝑏)2∵(𝑥−𝑏)2≥∴−(𝑥−𝑏)2≤∴−(𝑥−𝑏)2+5≤②∵𝑦−𝑥=−(𝑥−𝑏)2∴当𝑥𝑏时，𝑦−𝑥5，当𝑏>4时，−(4−𝑏)2+5=4，解得𝑏=5或𝑏=3（舍；当𝑏<−1时，−(−1−𝑏)2+5=4，解得𝑏=O（舍）或𝑏=−2；综上，𝑏的值为5或③∵𝑦=

+(2𝑏+

+5=−

4

2

∵𝑦−𝑥=𝑦=−𝑥2+(2𝑏+1)𝑥−𝑏2+5−𝑥=−(𝑥−𝑏)2+5，抛物线开口向下，对称轴为𝑥=∴当𝑥=𝑏时，𝑦−𝑥∵当𝑥=𝑏时，𝑦=−𝑏2+(2𝑏+1)𝑏−𝑏2+5=𝑏+∴𝑁(𝑏,𝑏+∵点𝑀与点𝑁到直线𝑦=3∴点𝑀与点𝑁关于直线𝑦=3对称或𝑦𝑀=当点𝑀与点𝑁关于直线𝑦=

=3

4+𝑏+5=对称时， 解得𝑏=−8当𝑦𝑀=𝑦𝑁=𝑏+解得O=−1综上，𝑏的值为−87（25−26𝑂𝐴，𝑂𝐵，𝑂𝐶（A，C在𝑂𝐵上，且𝐶𝐴𝐶𝐵．其中，以𝑂𝐴，𝑂𝐵为半径的圆分别表示此人内脚与外脚的踏线，记内、外脚踏线间距离𝐴𝐵d（单位：米，以𝑂𝐶为半径的圆表示此人闭眼行走时身体重心所形成的运动路线，记𝑂𝐶y（单位：米．2，在闭眼行进的过程中，内脚相邻两次落点间的距离（近似为𝐴1𝐴2的长）（单位：米；外脚相邻两次落点间的距离（近似为𝐵1𝐵2的长）b（单位：米；外3l（径的圆上两脚各迈一次行进的距离约为内、外脚步长的平均数（4l．判断𝐴1𝐴2与𝐵1𝐵2y的表达式（x，d，l的代数式表示y500【答案】(1)𝐴1𝐴2与𝐵1𝐵2(2)𝑦

n，则𝐴1𝐴2所对的圆心角是𝑛，𝐵1𝐵2

𝑛2π𝑦−

2π𝑦+先求出闭眼绕行一圈，内脚步数 ，外脚步数 ，根据内、外脚的步数相同列方程 并化解得到𝑦(𝑏−𝑎) ，再根据𝑥=𝑏−𝑎，𝑙=4，即可求得答案 （3）当𝑑=O.1，𝑙=O.7时，𝑦=𝑥，令𝑦=5OO，可求得𝑥=25OOO（1）解：𝐴1𝐴2与𝐵1𝐵2∵∴

则𝐴1𝐴2所对的圆心角是𝑛，𝐵1𝐵2

𝑛∴𝐴1𝐴2与𝐵1𝐵2（2）𝐶𝐴=𝐶𝐵，𝐴𝐵=𝑑，𝑂𝐶=𝑦A，COB ∴内脚踏线的半径𝑂𝐴=𝑦−2，外脚踏线的半径𝑂𝐵=𝑦+ 2π𝑦−

2π𝑦+闭眼绕行一圈，内脚步数 ，外脚步数∵

2π

2π∵ 2= 2

化简得𝑦𝑏2=𝑦𝑎+2即𝑦(𝑏−𝑎) ∵𝑥=𝑏−𝑎，𝑙=4∴𝑦𝑥=即𝑦=

𝑥𝑑=O.1，𝑙=∴𝑦

𝑥∵O<𝑦≤5OO，O.14>∴𝑥>解得𝑥=

𝑥对于函数对于函数𝑦=𝑥，当𝑥>O时，x越大，y8反比例函数与几何、一次函数综合应用2k的几何意义、一次函数的k的绝对值或正负。1（2026·=(𝑥<O)的图象过菱形的对称中心𝐸8，则该反比例函数的解析式为（ A．𝑦= B．𝑦= C．𝑦= D．𝑦=【答案】【答案】【分析】由菱形的性质得𝑆△𝐶𝐷𝐸=2，即得𝑆△𝐶𝐷𝐸=2|𝑘|=2，求出𝑘∴𝑆△𝐶𝐷𝐸=8×4=∵𝐵𝐷∥𝑥轴，反比例函数𝑦=𝑥(𝑥<O)的图象过菱形的对称中心∴𝑆△𝐶𝐷𝐸=2|𝑘|=∴𝑘=±∴𝑘<∴𝑘∴𝑘=∴该反比例函数的解析式为𝑦=2（2026·=>动点(𝑂𝐷>𝑂𝐵)，以线段𝐵𝐷为对角线作矩形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐷∥𝑥轴，反比例函数𝑦=𝑥的图象经过点𝐴、𝐶形𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐵𝐷折叠，点𝐶的对应点为𝐸，当点𝐸落在𝑦轴上，且点𝐵的坐标为(1,2)时，则𝑘值为（ B． 22 ∴𝐶𝐵= =2=∴𝐵𝐸=𝐵𝐶=2𝑘−1，𝐷𝐸=𝐷𝐶=𝑘−2，∠𝐵𝐸𝐷=∠𝐵𝐶𝐷=∴当𝑦=𝑘时，𝑥=2𝑘，即𝐷2𝑘,𝑘∴𝐷𝐶=𝑘−2，𝐵𝐶=把矩形𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐵𝐷折叠，点𝐶的对应点为 当𝑦=2时，𝑥=2，即𝐶2,2𝐴𝐷𝑥轴，𝐷在直线𝑦=2𝑥上，且𝐷的纵坐标与𝐴相同为【答案】【分析】先根据点𝐵的坐标求出直线𝑦=𝑎𝑥的解析式，再结合矩形𝐴𝐵𝐶𝐷似三角形𝐷𝐻𝐸𝐸𝐹𝐵，根据相似三角形的性质得到线段的比例关系，最后结合𝐻𝐹=𝐷𝐶列方程求解𝑘点𝐵(1,2)在直线𝑦=𝑎𝑥∴𝑎=直线𝐵𝐷的解析式为𝑦=四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，𝐴𝐷𝑥∴𝐴点的横坐标与𝐵点相同，为1；𝐶点的纵坐标与𝐵点相同，为∵反比例函数𝑦=𝑥的图象经过点𝐴、∴当𝑥=1时，𝑦=𝑘，即2+4=𝑘−2，解得𝑘=3𝐵𝐹1（𝐵点横坐标为1，𝐵𝐹𝑦轴，𝐷𝐻2𝑘（𝐷点横坐标为2𝑘，𝐷𝐻𝑦轴∴𝐻𝐸=2𝐵𝐹=2，𝐹𝐸=2𝐷𝐻=∴𝐻𝐹=𝐻𝐸+𝐸𝐹=2+由图可知，𝐻𝐹=𝐷𝐶（矩形的对边相等，𝐻𝐹与𝐷𝐶均为矩形的竖直边长 ∴𝐹𝐸=𝐵𝐹=𝐵𝐸=𝐴𝐷𝑥𝐻、𝐴、𝐷三点共线，∠𝐷𝐻𝐸=∠𝐸𝐹𝐵=∵∠𝐵𝐸𝐷=∴∠𝐻𝐸𝐷+∠𝐵𝐸𝐹=9Oº，又∠𝐵𝐸𝐹∠𝐸𝐵𝐹9Oº，∴∠𝐻𝐸𝐷=𝐷𝐻𝐸𝐸𝐹𝐵（两角分别相等的两个三角形相似如图，过点𝐷作𝐷𝐻𝑦轴于𝐻，过点𝐵作𝐵𝐹𝑦轴于3（2026·山东·一模）△𝑂𝐴1𝐵1△𝐴1𝐴2𝐵2△𝐴2𝐴3𝐵3，…是分别以𝐴1，𝐴2，𝐴3，…为直角顶点且一条直角边在𝑥轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边中点𝐶1(𝑥1,𝑦1)，𝐶2(𝑥2,𝑦2)，𝐶3(𝑥3,𝑦3)…例函

的图象上，则

的值 𝑦=𝑥(𝑥>

【答案】【答案】2用相同方法求出第二个、第三个中点的纵坐标，观察并归纳出第𝑛个中点纵坐标的表达式；将𝑛=2O26同理，可求得第三个中点同理，可求得第三个中点𝐶3的纵坐标𝑦3=2(3−由此归纳得出第𝑛个中点𝐶𝑛的纵坐标为：𝑦𝑛=2(𝑛−当𝑛=2O26时，𝑦2026=2(2O26−2O25)=2(2O26−45)=2=2(2−4∴𝑦2 ∴2 =4，解得𝑐=4又∵𝐶2在反比例函数𝑦=𝑥24+𝑐∴𝐶2 2×2=44=4，解得𝑎=∴𝑦1=2=2=2(1−𝐴1的坐标为(4,O)，设△𝐴1𝐴2𝐵2的直角顶点𝐴2的坐标为∵△𝐴1𝐴2𝐵2∴𝐴1𝐴2=𝑐−4，则𝐵2的坐标为∵𝐶2是斜边𝐴1𝐵2又∵𝐶1在反比例函数𝑦=𝑥2,22,O+𝑎 𝑎∴𝐶1设△𝑂𝐴1𝐵1的直角顶点𝐴1的坐标为(𝑎,0)，则𝐵1的坐标为4（2026·的直角边𝑂𝐴落在𝑦轴上，∠𝐵𝑂𝐴3Oº，含45º角的三角板𝑂𝐴𝐶的直角顶点𝐶的坐标为(2,2)，反比例函数𝑦𝑘(𝑘≠O)的图象经过点△①1，点𝐷为三角板𝐴𝐵边上一点，旋转后点𝐷的对应点𝐷1恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点②2，若将三角板𝐴𝑂𝐶绕点𝑂△𝐴2𝑂𝐶1，使点𝐶1落在边𝑂𝐵1上，请判断点𝐴旋转后的对应【答案】(1)𝑦=(2)①𝐷(−1,4)，②𝐴2（1）把𝐶的坐标为(2,2)代入反比例函数𝑦=𝑥(𝑥>O)（2）①过点𝐶作𝐶𝐻𝐴𝑂于点𝐻，由旋转得𝐴1𝑂=𝐴𝑂=4，将𝑥=4代入反比例函数表达式，进而即可求②过点𝐶1作𝐶1𝑀⊥𝑥轴于点𝑀，过点𝐴2作𝐴2𝑁⊥𝐶1𝑀，交𝑀𝐶1的延长线于点𝑁，先证明△𝑂𝑀𝐶1≌△𝐴2，结合旋转的性质可得 6−2,6+2，再把𝑥=6−2代入反比例函数表达式进行检验即 （1）解：将𝐶(2,2)代入反比例函数表达式𝑦=𝑥得：2=∴𝑘=2×2=∴反比例函数表达式为𝑦=（2）解：①如图，过点𝐶作𝐶𝐻𝐴𝑂于点∴𝑂𝐻=𝐴𝑂𝐶为等腰直角三角形，𝐶𝐻∴𝐴𝑂=2𝑂𝐻=由旋转得𝐴1𝑂=𝐴𝑂=将𝑥=4代入反比例函数表达式𝑦=𝑥，得：𝑦=∴𝐴𝐷=𝐴1𝐷1=②如图，过点𝐶1作𝐶1𝑀⊥𝑥轴于点𝑀，过点𝐴2作𝐴2𝑁⊥𝐶1𝑀，交𝑀𝐶1的延长线于点∴∠𝑂𝑀𝐶1=∠𝑁=9O∘=∴∠𝐶1𝑂𝑀+∠𝑂𝐶1𝑀=9O∘，∠𝐴2𝐶1𝑁+∠𝑂𝐶1𝑀=【答案】(1)【答案】(1)𝑦=∴∠𝐶1𝑂𝑀=∵△𝐴2𝑂𝐶1∴𝑂𝐶1=∴△𝑂𝑀𝐶1≌△∴𝑁𝐴2=𝑀𝐶1，𝐶1𝑁=由（1）知，𝑂𝐶=2𝑂𝐻=2由旋转得：∠𝐶1𝑂𝑀=∠𝐵𝑂𝐴=3Oº，𝑂𝐶1=𝑂𝐶=2∴在Rt△𝐶1𝑂𝑀中，𝑀𝐶1=2，𝑂𝑀=∴𝑁𝐴2=2，𝐶1𝑁= 6−2,6+2将𝑥=6−2代入反比例函数表达式𝑦=𝑥，得：𝑦=6+5（2026·By轴对称，𝐴𝐵yE，𝐴𝐷xG，连接𝐴𝐶xF，反比例函数𝑦=𝑥(𝑘≠B，C．A的坐标为(3)将▱𝐴𝐵𝐶𝐷向上平移，当点D落在反比例函数的图象上时，平移的距离 （1）B的坐标为(1,3)（2）证明△𝐹𝐶𝑂≌△𝐸𝑂𝐵，推出𝑆△𝐹𝐶𝑂=𝑆△𝐸𝑂𝐵=𝑆四边形𝑂𝐶𝐷𝐺，据此计算即可求（3）设将▱𝐴𝐵𝐶𝐷向上平移𝑚D落在反比例函数的图象上，即点(−3,−3𝑚)𝑦=𝑥（1）解：∵点𝐴(−1,3)，By∴B的坐标为∵反比例函数𝑦=𝑘(𝑘≠O)∴𝑘=1×3=∴反比例函数的表达式为𝑦=（2）解：∵反比例函数𝑦=𝑘(𝑘≠O)∴C，B∴C的坐标为∵A的坐标为∴A，Cx∴𝑂𝐸=𝐴𝐹=∴∠𝐹𝐶𝑂=∠𝐸𝑂𝐵，∠𝐶𝐹𝑂=∠𝑂𝐸𝐵=∴△𝐹𝐶𝑂≌△∴𝑆△𝐹𝐶𝑂=∴𝐶𝐷=𝐴𝐵=1−(−1)=∴=𝑆四边形𝑂𝐶𝐷𝐺=2×3=（3）解：由（2）D的坐标为设将▱𝐴𝐵𝐶𝐷向上平移𝑚D即点(−3,−3+𝑚)落在反比例函数𝑦=𝑥∴3=−3(−3𝑚)，解得𝑚=2．即将▱𝐴𝐵𝐶𝐷2D6（2026·=>设𝑃

，𝐸

如图2，当点𝑃的坐标为(1,1)𝑂𝑃𝐷与矩形𝑃𝐷𝐸𝐹∴直线𝑂𝐹的函数解析式为𝑦=∵将𝑥=𝑎代入函数解析式，得𝑦=（2）猜想∠𝐴𝑂𝐵=3∠𝐹𝑂𝐵∴𝑘=𝑎÷𝑏=∵设直线𝑂𝐹的函数解析式为𝑦=𝑘𝑥(𝑘≠O)，并将𝐹𝑏𝑎∴𝐹𝑏,𝑎，𝐷𝑎, （1）解：∵矩形𝑃𝐷𝐸𝐹，𝑃𝑎𝑎，𝐸𝑏𝑏3、𝑃𝐷=3−1，最后根据矩形的性质和反比例的性质求出点𝐷、点𝐸的坐标及𝐷𝐸𝑂𝑃𝐷与矩形𝑃𝐷𝐸𝐹𝐶𝑃=𝑂𝑃=2，再根据（2）中∠𝐴𝑂𝐵=3∠𝐹𝑂𝐵，得出∠𝐴𝑂𝐹=3Oº，从而求出𝑃𝑀=2𝑂𝑃=2𝐷𝐻=𝑚，根据勾股定理求出𝑂𝐷 𝑂𝐻2+𝐷𝐻2 1+𝑚2，接着证明△𝑃𝐷𝑀∽△𝑂𝐷𝐻，求出𝐷𝐻=（2）先根据矩形性质得到𝑃𝐹𝐷𝐸，∠𝐹𝑃𝐶=∠𝑃𝐹𝐶，通过三角形外角和性质得到∠𝑃𝐶𝑂=2∠𝑃𝐹𝐶等边对等角得到∠𝑃𝑂𝐶=∠𝑃𝐶𝑂=2∠𝑃𝐹𝐶，最后根据平行性质推出∠𝑃𝐹𝐶=∠𝐹𝑂𝐵，最后等量代换即可求（3）先延长𝑃𝐷交𝑥轴于点𝐻，过点𝑃作𝑃𝑀𝑂𝐹于点𝑀，根据𝑃的坐标为(1,1)，求出∠𝑃𝑂𝐵= 𝑏𝑎，即可求出直线𝑂𝐹的函数解析式，将𝐷𝑎𝑏代入直线𝑂𝐹的函数解析式即可判断点𝐷是否在直线 （1）根据矩形的性质求出𝐹𝑏𝑎，𝐷𝑎𝑏，设直线𝑂𝐹的函数解析式为𝑦=𝑘𝑥(𝑘≠O)，代入(3)△𝑂𝑃𝐷与矩形𝑃𝐷𝐸𝐹的面积比 【答案】(1)𝑦=𝑎𝑏𝑥，点𝐷在直线𝑂𝐹(2)∠𝐴𝑂𝐵=3∠𝐹𝑂𝐵∴𝐶𝑃=𝐶𝐷=𝐶𝐸=𝐶𝐹=2𝑃𝐸，𝑃𝐹∥∵𝐶𝑃=∴∠𝐹𝑃𝐶=∵∠𝑃𝐶𝑂𝑃𝐶𝐹∴∠𝑃𝐶𝑂=∵𝑃𝐸=2𝑂𝑃，2𝐶𝑃=∴𝐶𝑃=∴∠𝑃𝑂𝐶=∠𝑃𝐶𝑂=∵𝑃𝐹∥𝐷𝐸，𝐷𝐸∥∴𝑃𝐹∥∴∠𝑃𝐹𝐶=∴∠𝑃𝑂𝐶=∴∠𝐴𝑂𝐵=∠𝑃𝑂𝐶+∠𝐹𝑂𝐵=∴∠𝐴𝑂𝐵=（3）如图，延长𝑃𝐷交𝑥轴于点𝐻，过点𝑃作𝑃𝑀𝑂𝐹于点∴∠𝑃𝐷𝐸=∴∠𝐻𝐷𝐸=∵𝐷𝐸∥∴∠𝑃𝐻𝑂=∠𝑃𝐻𝐵=∵𝑃的坐标为(1,1)，则𝑂𝐻=𝑃𝐻=1，∠𝑃𝑂𝐵=45º，𝑂𝑃=2，由（2）中可知，𝐶𝑃=𝑂𝑃，∴𝐶𝑃=𝑂𝑃=∵由（2）可知∠𝐴𝑂𝐵= ∴∠𝐹𝑂𝐵=3∠𝐴𝑂𝐵=3×45º=15º，则∠𝐴𝑂𝐹=∵在Rt𝑃𝑂𝑀中，∠𝑃𝑂𝑀= ∴𝑃𝑀=2𝑂𝑃=2∵设𝐷𝐻=∴𝑃𝐷=𝑃𝐻−𝐷𝐻=∵在Rt𝐷𝑂𝐻中，𝑃𝐷=1−𝑚，𝑂𝐻=∴根据勾股定理，𝑂𝐷 𝑂𝐻2+𝐷𝐻2 1+∵由∠𝑃𝐷𝑀=∠𝑂𝐷𝐻，∠𝑃𝑀𝐷=∠𝑂𝐻𝐷=∴△𝑃𝐷𝑀∽△∴𝑃𝑀=𝑃𝐷2=1−𝑚

解得𝑚1=2−3，𝑚2=2+3（舍∴𝐷𝐻=2−∴𝑃𝐷=𝑃𝐻−𝐷𝐻=1−(2−3)= ∴𝑆△𝑂𝑃𝐷=2𝑃𝐷⋅𝑂𝐻=2×(3−1)×1 2∵𝐷𝐻=2−3，𝑂𝐻=∴点𝐷1,2−3 ∴𝐷𝑦=𝐸𝑦=2−3，将𝐸𝑦代入𝑦=𝑥，得2−3=𝑥，解得𝑥=2+∴点𝐸2+3,2−3∴𝐷𝐸=𝐸𝑥−𝐷𝑥=2+3−1=3∴𝑆矩形𝑃𝐷𝐸𝐹=𝑃𝐷⋅𝐷𝐸=(3−1)(3+1)= 3−1∴△𝑂𝑃𝐷=2 𝑆矩形 𝑂𝑃𝐷与矩形𝑃𝐷𝐸𝐹

4∴∠𝑃𝐷𝐸=9Oº，𝐶𝑃=∴∠𝐻𝐷𝐸=∵𝐷𝐸∥∴∠𝑃𝐻𝑂=∠𝑃𝐻𝐵=∴△𝑂𝑃𝐷与矩形𝑃𝐷𝐸𝐹的面积比为 4× =𝑆矩形∴𝐶𝐺 ，ℎ3 −解得：ℎ1 ，ℎ2 1−2∴𝐶𝐺=𝐺𝐷，即ℎ∵𝑃的坐标为(1,1)，则𝑂𝐻=𝑃𝐻=1，∠𝑃𝑂𝐵=45º，𝑂𝑃=∴𝐶𝑃=𝑂𝑃=𝐶𝐷=∵在Rt△𝐶𝐺𝐷中，设𝐶𝐺=ℎ，则𝐶𝐷=∴根据勾股定理，𝐺𝐷 𝐶𝐷2−𝐶𝐺2 ∴𝐷𝐻=𝑃𝐻−2𝐺𝐷=1−2∵𝐶𝑃=𝐶𝐷，𝐺为𝑃𝐷∴𝐶𝐺⊥∵𝑂𝐵⊥∴𝐶𝐺∥∴△𝑂𝐻𝐷∽△7（2026·

𝑥(𝑥>O)𝑂𝐴𝐵𝐶的两边𝐴𝐵、𝐵𝐶D、E两点，连接𝑂𝐷、𝑂𝐸、𝐷𝐸𝐷𝐵𝐸沿𝐷𝐸探究一：如图2，若点D为𝐴𝐵中点时，点𝐵′又恰好落在线段𝑂𝐷上，点E的纵坐标 （用含的式子表示3，若𝑂𝐸平分∠𝐷𝑂𝐶，当四边形𝐷𝐵′𝐸𝐵是正方形时，求矩形𝑂𝐴𝐵𝐶探究三：如图4，若点D在直 上，是否存在m的值使𝐵′点落在x轴上，若存在，求出点E的坐𝑦=【答案】(1)(2)12(3)存在，𝐸9,（1）根据矩形的性质得到𝐵D的坐标，可知2𝑚𝑛=12，将𝐸（2）证明四边形𝑂𝐴𝐵𝐶𝐴𝑂𝐷𝐶𝑂𝐸，即可求得∠𝐶𝑂𝐸=3∠𝐴𝑂𝐶=3Oº，设𝐶𝐸=𝑥𝑂𝐶=

=3𝑥，则可表示出𝐸的坐标，代入反比例函数解析式，即可求得𝑥2=43（3）首先解方程组求得𝐷的坐标，利用𝑚表示出𝐵′𝐸的长度，作𝐷𝐹⊥𝑂𝐶于点𝐹，则△𝐸𝐶𝐵′∽△𝐵′𝐹𝐷，根（1）𝐴(0,𝑛)，𝐶(𝑚,0)，矩形∴𝐵的坐标是∵D为𝐴𝐵∴𝐷

2𝑚,𝑛𝐷在双曲线𝑦=12(𝑥>O)∴2𝑚𝑛=又∵𝐸的横坐标是𝑚，把𝑥=𝑚代入𝑦=12(𝑥>则𝑦=12=2 1 𝑚=2𝑛E的纵坐标为（2）解：设正方形𝐷𝐵′𝐸𝐵的边长是𝑎，则𝐴𝐷=𝑚−𝑎，𝐶𝐸=𝑛−𝑎，则(𝑚−𝑎)𝑛=𝑚(𝑛−𝑎)=∴𝑚=四边形𝑂𝐴𝐵𝐶∴∠𝐷𝐴𝑂=∠𝐸𝐶𝑂=9Oº，𝐴𝐵=𝐵𝐶，𝐴𝑂=∵𝐵𝐷=𝐵𝐸，𝐴𝐵=∴𝐴𝐷=又∵∠𝐷𝐴𝑂=∠𝐸𝐶𝑂=9Oº，𝐴𝑂=∴△𝐴𝑂𝐷≌△∴∠𝐴𝑂𝐷=∠𝐶𝑂𝐸，又∵𝑂𝐸平分∠𝐷𝑂𝐶，∴∠𝐷𝑂𝐸=∴∠𝐶𝑂𝐸=3∠𝐴𝑂𝐶=设𝐶𝐸=𝑥，则𝑂𝐶=tan3Oº=∴𝐸的坐标是3𝑥,𝑥代入𝑦=12(𝑥>O)得：3𝑥2=∴𝑥2=4 ∴正方形𝑂𝐴𝐵𝐶的面积是(3𝑥)=3𝑥=12𝑦=3（3）

𝑦=12𝑥= 𝑥=𝑦=3𝑦=−3（舍去则𝐷的坐标是∵𝐶的横坐标是∴𝐵的横坐标是∴𝐵𝐷=∵将𝐷𝐵𝐸沿𝐷𝐸∴𝐵𝐷=𝐵′𝐷= 在𝑦=

𝑥中，当𝑥=𝑚时，𝑦=𝑚 ∴𝐶𝐸 𝐵𝐸=𝐵′𝐸=𝑚 𝑚如图所示，作𝐷𝐹𝑂𝐶于点∵∴∠𝐷𝐵′𝐸=∠𝐵=∴∠𝐷𝐵′𝐹=90°−∠𝐸𝐵′𝐶=∠𝐵′𝐸𝐶，又∵∠𝐷𝐹𝐵′=∠𝐸𝐶𝐵′=9Oº，则△𝐸𝐶𝐵′∽△

=3−𝑚=

解得：解得：𝐵′𝐹=∴在Rt△𝐷𝐹𝐵′中，𝐷𝐵′=5，则𝐷𝐵=5，∴𝐴𝐵=4+5=∴𝑚=把𝑥=𝑚=9代入𝑦=𝑥中得：𝑦=9= ∴𝐸9,3（建议用时：70分钟1（2026·安徽合肥·一模）在同一平面直角坐标系中，函数𝑦𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐(𝑎O)的图象大致如图所示，则函数𝑦=𝑎𝑥+𝑏(𝑎≠O)和𝑦=−𝑐(𝑐≠O)的大致图象可能是（） 【答案】【答案】【分析】由抛物线可得，𝑎<0,−2𝑎=−1,𝑐>O，则𝑏=2𝑎<O，−𝑐<O【详解】解：由抛物线可得，𝑎<0,−2𝑎=−1,𝑐>∴𝑏∴𝑏=2𝑎<O，−𝑐<∴直线𝑦=𝑎𝑥𝑏(𝑎≠O)经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限故D选项符合题意．2（2026·数𝑦=𝑥上，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，对角线𝐴𝐶、𝐵𝐷O，延长𝐴𝐷xE，若𝐴𝐷=▱𝐴𝐵𝐶𝐷16k的值为（ B． ∴𝐴𝑀=𝐴𝐸=𝐴𝐷+𝐷𝐸=∴𝐴𝑀∥∴△𝐷𝑁𝐸∽△∴𝑆△𝑂𝐷𝐸=2𝑆△𝑂𝐴𝐷=2×4=过点𝐴作𝐴𝑀𝑥轴于𝑀，过点𝐷作𝐷𝑁𝑥轴于∴𝑆△𝑂𝐴𝐷=4𝑆▱𝐴𝐵𝐶𝐷=4×16=∵𝐴𝐷=【答案】【分析】根据平行四边形的性质求出𝑂𝐴𝐷的面积，再根据𝐴𝐷=2𝐷𝐸求出𝑂𝐷𝐸的面积；设点𝐷坐标，【详解】解：连接四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴𝑂𝐴=𝑂𝐶,𝑂𝐵=11 𝑀𝐸=3，即𝑀𝑁+𝑁𝐸=3𝑁𝐸=3𝑚𝑁𝐸，解得𝑁𝐸=3𝑚．∴𝑂𝐸=𝑂𝑁+𝑁𝐸=𝑚+3𝑚=∵𝑆△𝑂𝐷𝐸=2𝑂𝐸⋅𝐷𝑁=∴2⋅3𝑚⋅𝑛=∴3𝑚𝑛=∴𝑚𝑛=∵𝑘=∴𝑘= ∴点𝐴的横坐标为3𝑛=3𝑛=3∴𝑀𝑁=𝑚−3=∵△𝐷𝑁𝐸∽△设𝐷(𝑚,𝑛)，则𝑚𝑛=𝑘，𝐷𝑁=∴𝐴𝑀=3𝑛，即点𝐴的纵坐标为点𝐴在反比例函数𝑦=𝑥3（2026·A、B，函数𝑦=𝑥(𝑥>O)的图象与边𝐴𝐶M，与边𝐵𝐶N（M、N不重合（𝐶𝑂𝑀𝐶𝑂𝑁的面积一定相等；乙：若𝐴𝑀:𝑂𝐵=1∶3，则𝑆△𝑀𝑂𝑁=4．A．甲对，乙 B．甲错，乙 【答案】【答案】【分析】由题意易得𝑆△𝐵𝑂𝑁=𝑆△𝐴𝑂𝑀=2，四边形𝐴𝑂𝐵𝐶是矩形，然后根据等积法可得甲，由𝐴𝑀:𝑂𝐵=可设𝐴𝑀=𝑎,𝑂𝐵=3𝑎，则有𝑀𝑎,𝑎,𝑁𝑎,3𝑎k的几何意义可得：𝑆△𝐵𝑂𝑁=𝑆△𝐴𝑂𝑀=2×3=∵∠𝐴𝑂𝐵∵∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐶𝐵𝑂=∠𝑂𝐴𝐶=∴𝑆△𝐴𝑂𝐶=∵𝑆△𝐶𝑂𝑀=𝑆△𝐴𝑂𝐶−𝑆△𝐴𝑂𝑀,𝑆△𝐶𝑂𝑁=∴𝑆△𝐶𝑂𝑀=𝑆△𝐶𝑂𝑁由𝐴𝑀:𝑂𝐵=1∶3可设𝐴𝑀=𝑎,𝑂𝐵=∴𝑀𝑎,𝑎,𝑁𝑎,3𝑎∴𝐶𝑁=𝑎−𝑎=𝑎,𝐶𝑀=3𝑎−𝑎=∴𝑆△𝑀𝑂𝑁=𝑆矩形3 =𝑎×3𝑎−2−2−2×𝑎×== 4（2026·

𝑥（𝑥>O）的图象上，过点𝐴作𝐴𝐵𝑥点𝐵，交反比例函数𝑦2=𝑥（𝑘≠O，𝑥>O）的图象于点𝐶．点𝑃为𝑦轴上任意一点，连接𝐴𝑃，𝐶𝑃△𝐴𝐶𝑃的面积为6，则𝑘的值 解得𝑘解得𝑘==1∴2𝐴𝐶⋅𝑂𝐵=2 ⋅𝑎∵△𝐴𝐶𝑃18∴𝐴𝐶=𝑎−𝑎 ，𝑂𝐵=Aaa的式子表示出𝐴𝐶，𝑂𝐵，再根据𝑆△𝐴𝐶𝑃=2𝐴𝐶𝑂𝐵=6A𝑎,𝑎C𝑎𝑎【答案】5（2026·山东泰安·一模）如图，点𝐴,𝐴,𝐴在反比例函数𝑦=(𝑥>O)的图象上，点𝐵,𝐵,𝐵,𝐵12

12 y轴上，且∠𝐵1𝑂𝐴1=∠𝐵2𝐵1𝐴2=∠𝐵3𝐵2𝐴3=⋅⋅⋅，直线𝑦=𝑥与双曲线𝑦=𝑥交于点𝐴1，𝐵1𝐴1⊥𝑂𝐴1,𝐵2𝐴2𝑥1==1，𝑦=𝑥1=𝑦=𝑥1==1，𝑦=𝑥1=𝑦=1【详解】解：由题意可知△𝑂𝐴1𝐵1△𝐵1𝐴2𝐵2△𝐵2𝐴3𝐵3，…𝑦=入𝑦=𝑥中计算求解，然后求出𝑂𝐵1，𝑂𝐵2，𝑂𝐵3O,2【分析】由题意可知△𝑂𝐴1𝐵1△𝐵1𝐴2𝐵2△𝐵2𝐴3𝐵3，…，都是等腰直角三角形，设𝐴2，𝐴3∴𝑂𝐵1=设𝐴2(𝑚,2+𝑚)，则有𝑚(2+𝑚)=解得𝑚=2−1或𝑚=−2−1（舍去∴𝑂𝐵2=2设𝐴3(𝑎,22+𝑎)，则有𝑎(22+𝑎)=解得𝑎=3−2或𝑎=−3−2（舍去∴𝑂𝐵3=2同理可得𝑂𝐵4=2∴𝑂𝐵𝑛=2∴𝐵𝑛(O,2当𝑛=2O26时，2𝑛=2∴𝐵2026(O,2O,22O26【点睛】本题考查了点坐标的规律探究，反比例函数与几何综合．解题的关键与难点在于求解𝐵1、𝐵2、⋅⋅⋅6（2026·==图象交于𝑀1,4,𝑁(𝑛,1)两点(1)求一次函数𝑦=𝑎𝑥𝑏(2)利用图象，直接写出不等式𝑎𝑥+𝑏<𝑥(3)Py轴上一动点，当𝑃𝑂𝑁P【答案】【答案】(1)𝑦=−2𝑥O<𝑥<2或𝑥>𝑃O,±5或(O,2)或（2）（3）分𝑂𝑃=𝑂𝑁,𝑂𝑃=𝑃𝑁,𝑂𝑁=𝑃𝑁（1）解：∵一次函数𝑦=𝑎𝑥+𝑏的图象𝑙与反比例函数𝑦=𝑥的图象交于𝑀2,4,𝑁(𝑛,1)∴𝑘=2×4=𝑛⋅∴𝑘=2,𝑛=把𝑀2,4,𝑁(2,1)代入𝑦=𝑎𝑥+𝑏𝑎+𝑏=2𝑎+𝑏=1𝑎=解得𝑏=5∴𝑦=−2𝑥+（2）解：由图象可知，不等式𝑎𝑥𝑏<𝑥的解集为O<𝑥<2或𝑥>∴𝑂𝑃2=𝑡2,𝑂𝑁2=22+12=5,𝑁𝑃2=22+(𝑡−1)2=4+(𝑡−1)2，当𝑂𝑃=𝑂𝑁时，𝑡2=5，解得𝑡=±5；当𝑂𝑁=𝑁𝑃时，5=4+(𝑡−1)2，解得𝑡=O（舍去）或𝑡=当𝑂𝑃=𝑁𝑃时，𝑡2=4+(𝑡−1)2，解得𝑡= 综上：𝑃O,±5或(O,2)或7（2026·=<反比例函数𝑦=𝑥(𝑘≠0,𝑥<O)的图象上，连接𝐴𝐵xC，𝐴𝐵𝑦Dx𝑂𝐶=𝑂𝐷，连接𝐴𝐷,𝐵𝐷𝐴𝐵𝐷k

E使得四边形𝐴𝐷𝐵𝐸𝑦=𝑥(𝑥<E解得解得𝑘=∴k的值为⋅(−2𝑚)=1 ∴2𝑚−则点𝐵𝑚,𝑚∵𝑂𝐶=点𝐴𝐵𝐷（1）解：∵A在反比例函数𝑦=