2026年中考数学二轮复习 专题07 实际应用(重难专练)

专题 实际应速度提 技巧掌 手感养锁定目标精准打击：授予利器瓦解难点：模拟实战挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感近三年：近三年：一次函数实际应用（1道，6˜8分二次函数实际应用（1道，8˜12分方程（组）与不等式（组）实际应用（1˜2道，6˜10分几何图形实际应用（1道，6˜10分考向考向 一次函数实际应1行程问题y=kx+b（k为速度，b为初始路程）表示路程与时间的关系；；③1（20·山东济南一模）某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在10m的直线跑道上进行过障碍测试．甲、乙两款机器人同时从起点匀速出发，它们与起点的距离𝑦甲，𝑦乙（m）与甲、乙出发时间的函数图象如图所示．出发1秒后，乙出现失误摔倒，在经过8秒的快速调整后，重新以之前的速度继续匀速前行直到终点．则甲乙第二次相遇时的时间 秒．【答案】【答案】【分析】先根据图像求出甲全程匀速的速度，得到甲的距离函数𝑦=2𝑡；再分三段分析乙的运动，求出乙在0≤𝑡≤10、10<𝑡≤18、𝑡>18时三个时间段的分段距离函数；最后在𝑡>18的阶段令𝑦=𝑦乙列∴甲的速度𝑣=100÷50=∴甲距离起点的距离为：𝑦=2𝑡(0≤𝑡≤∴乙原来的速度𝑣=25÷10=当0≤𝑡≤10时，乙距离起点的距离为：𝑦=当10<𝑡≤18时（摔倒调整8秒，到10+8=18秒，乙静止，乙距离起点的距离为：𝑦=当当𝑡>18时，乙恢复原速继续走，因此乙距离起点的距离为：𝑦=25+2.5(𝑡−18)=2.5𝑡−20；第二次相遇：𝑡>18时，令𝑦甲=𝑦乙，即：2𝑡=解得𝑡=402（2026·y（米）与甲出发x（分）305分钟，xyx的函数关系式（不必写出自变量的取值范围，并直接写出当乙到达学校门x的值．(2)𝑥=(3)𝑦=100𝑥−1000，当乙到达学校门口时𝑥=时，乙的路程=甲的路程+操场到学校门口的距离列出方程，即可求解；乙骑车的速度为25−5=100米/∴学校门口和操场的距离为：2000−1500=500（2）解：设甲的函数解析式为：𝑦=𝑘𝑥(𝑘≠0)，代入∴1500=∴𝑘∴𝑘=∴𝑦=设乙的函数解析式为：𝑦=𝑘1𝑥+𝑏1(𝑘1≠代入∴2000=25𝑘1+𝑏10=5𝑘1+𝑏1𝑏1=∴𝑦=由题意，50𝑥500=100𝑥−500，解得：𝑥=20，∴乙返回时的行驶距离为2000−500=1500（米𝑘1=∴x的值为30+100=45，𝑦的值为2000+1500=yx的函数关系式为𝑦𝑚𝑥𝑛，代入3500=45𝑚𝑛𝑛=∴𝑦100𝑥−1000x的值为2000=30𝑚+ 𝑚=3（2026·①离 ③当22≤𝑥≤47时，请直接写出小海离家的距离𝑦关于时间𝑥中，对于同一个𝑥的值，小海离家的距离为𝑦1，小海的爸爸离家的距离为𝑦2，当𝑦1>𝑦2时，求𝑥的取值范．1.51.522≤𝑥<【答案】(1)①0.15，0.9，1.5；②0.15；③𝑦=−0.15𝑥+7.0537≤𝑥≤(2)21.2<𝑥<（2）由待定系数法求出爸爸运动的函数表达式，结合𝑦1>𝑦2小海从家到便利店的速度为0.6÷8=小海从便利店到体育馆速度为(1.5−0.6)÷(22−10)=①当𝑥=2时，由于2<8，则𝑦=2×0.075=当𝑥=14时，由于10<14<22，则𝑦=0.6+(14−10)×0.075=0.9；当𝑥=30时，由于22<30<37，则𝑦=0.6+(22−10)×0.075=1.5；②小海从体育馆回家的速度为1.5÷(47−37)=③当22≤𝑥<37时，𝑦=1.5；当37≤𝑥≤47时，设𝑦=𝑘𝑥+𝑏，1.5=37𝑘+将(37,1.5)、(47,0)代入解析式得0=47𝑘+𝑏𝑘=解得𝑏=7.05∴𝑦=−0.15𝑥+综上所述，当22≤𝑥≤47时，小海离家的距离𝑦关于时间𝑥的函数解析式为𝑦1.5(22≤𝑥<−0.15𝑥+7.05(37≤𝑥≤47)（2）解：设𝑦2=𝑚𝑥+当当𝑦1>𝑦2在10≤𝑥≤22时，𝑥>21.2；在37≤𝑥≤47时，𝑥<综上所述，当𝑦1>𝑦2时，𝑥的取值范围是21.2<𝑥<𝑦2=−0.05𝑥2.5，解得𝑥=𝑦1=−0.15𝑥+𝑦1=𝑦2=−0.05𝑥2.5，解得𝑥=当37≤𝑥≤47当10≤𝑥≤220.6=10𝑘′+将(10,0.6)、(22,1.5)代入解析式得1.5=22𝑘′+𝑏′𝑘′=解得𝑏′=−0.15∴𝑦1=0.075𝑥−0.15；∴𝑦2=−0.05𝑥+当10≤𝑥≤22时，设𝑦1=𝑘′𝑥+𝑚=𝑛=1.5=20𝑚+将(20,1.5)、(50,0)代入解析式得0=50𝑚+𝑛2计费问题1（2026·500500>500，所得工资58005【答案】【答案】(1)𝑦=8𝑥+100(𝑥>(2)56500（1）=500500（2）500（1）解：𝑦=1600+500×5+8(𝑥−500)=8𝑥100，即函数关系式为𝑦=8𝑥+100（𝑥>500；（2）解：当𝑥=800时，𝑦=8×800+100=6500（元）56500元．2（2026·峰段（白天每晚谷段储电𝑥千瓦时（0≤𝑥<100，每月总电费为𝑦元．写出𝑦与𝑥【答案】【答案】(1)𝑦=−27𝑥（2）将𝑥=50代入（1）∴每天的电费为0.3𝑥1.2(100−𝑥)=−0.9𝑥120（元∴每月总电费𝑦=30(−0.9𝑥+120)=−27𝑥+3600(0≤𝑥<（2）解：当𝑥=50时，𝑦=−2750+3600=2250（元3（2026·0<𝑥≤5<𝑥≤𝑥>当5<𝑥≤20时，求配送费𝑦(单位：元)与包裹重量𝑥【答案】【答案】(1)𝑦=1.2𝑥4(5<𝑥≤（1）（2）32.8元所在的费用档位，再根据对应档位的计费规则列一元一次（1）解：当5<𝑥≤20105千克的重量为(𝑥−5)总配送费𝑦=10+化简得𝑦=1.2𝑥+即当5<𝑥≤20函数关系式为𝑦=1.2𝑥+4(5<𝑥≤（2）把𝑥=20代入𝑦=1.2𝑥4，得𝑦=1.2×20+4=28(元)∵32.8>该包裹重量𝑥>20，属于第三档当𝑥>20时，总配送费为𝑦=10+1.2×(20−5)+0.8(𝑥−20)化简得𝑦=0.8𝑥+令𝑦=得方程0.8𝑥12=∴0.8𝑥=解得𝑥=答∶26考向考向 二次函数实际应3；③结合自变量实际取1（2026·间满足𝑦=−2𝑥+60，则销售该文具每天获得的最大利润是（）A．200 B．180 C．170 D．160【答案】【答案】=单件利润×销售量列出利润关于销售单价的函数解析式，再结合二次x的取值范围求最大值．根据题意可得10≤𝑥≤21，𝑤=(𝑥−10)(−2𝑥+=−2𝑥2+=−2(𝑥−20)2∵−2<0∴当𝑥=20时，𝑤又∵10≤𝑥≤21，20在𝑥∴当𝑥=20时，𝑤的最大值为2002（2026·1080006000元购进的豆沙粽盒数相50元/10050元/12若设海鲜粽每盒售价为𝑥元，每天销售海鲜粽的利润为𝑦元，求𝑦与𝑥70盒，求该商家每天销售海鲜粽能获得的最大利润【答案】(1)4030 (40≤𝑥≤(2)𝑦=−2𝑥2+ (𝑥>(3)175065（1）设每盒海鲜粽的进价为𝑥元，则每盒豆沙粽的进价为(𝑥−10)8000元购进的海鲜粽6000元购进的豆沙粽盒数相同，列出方程，解方程即可；分为当40≤𝑥≤50时及当𝑥>50 由题意得：𝑥=解得：𝑥=经检验，𝑥40是原分式方程的解，则𝑥−10=40−10=30，4030解：当40≤𝑥≤50100盒．单盒利润为(𝑥−40)元．则总利润：𝑦=100(𝑥−40)=100𝑥−4000(40≤𝑥≤50)当𝑥>5050元提高了(𝑥−50)元，销量减少2(𝑥−50)盒．此时销量为：100−2(𝑥−50)=则总利润：𝑦(𝑥−40)(200−2𝑥)=−2𝑥2+280𝑥−8000(50<𝑥≤ (40≤𝑥≤∴𝑦与𝑥之间的关系式𝑦=−2𝑥2+ (𝑥>100−2(𝑥−50)≥70，解得：𝑥≤65，∴40≤𝑥≤当40≤𝑥≤50时，𝑦=100𝑥−4000，因为𝑘=100>0，所以𝑦随𝑥当𝑥=50时，𝑦取得最大值，为：100×50−4000=1000，当50<𝑥≤65时：∵𝑦=−2𝑥2=−2(𝑥−70)2∴抛物线对称轴为直线𝑥=∵𝑎∵𝑎=−2<∴当𝑥<70时，𝑦随𝑥当𝑥=65时，y取得最大值，𝑦=∵1750>3（2026·30元/40元/6001元5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/(2)95元/设该品牌头盔销售量的月增长率为𝑥4150个，6216个，列出方程进行求（2）该品牌头盔的实际售价应定为𝑚元/个，利润为𝑤，则𝑤=(𝑚−30)600−5(𝑚−40)=由题意，得150(1+𝑥)2＝216，解得𝑥=0.2=20%或𝑥=−2.2（舍去答：该品牌头盔销售量的月增长率为则𝑤=(𝑚−30)600−5(𝑚−40)=−5(𝑚−95)2+21125，∵−5<∴当𝑚=9595元/4（2026·10y（千克）与销售单x（元）是一次函数关系；121800151500千yxw（元1000元外，该18元，请求出最大日销售利润．【答案】𝑦=−100𝑥3000，自变量取值范围为10≤𝑥≤8600（1）yx的函数表达式为𝑦=𝑘𝑥𝑏(𝑘≠0)，将点(12,1800),(15,1500)代入，利用待定系数（2）根据题意，可得𝑤(𝑥−10)(−100𝑥3000)−1000，整理可得𝑤−100(𝑥−20)2+9000，结合二（1）yx的函数表达式为𝑦=𝑘𝑥𝑏(𝑘≠0)，1800=12𝑘+1500=15𝑘+𝑏𝑘=解得𝑏=3000∴yx的函数表达式为𝑦=−100𝑥∴𝑥≥又∵𝑦=−100𝑥+3000≥∴𝑥≤∴自变量𝑥的取值范围为10≤𝑥≤（2）根据题意，可得𝑤=(𝑥−10)(−100𝑥=−100𝑥2+=−100(𝑥−20)2∵−100<∴该函数图像开口向下，且对称轴为𝑥20，又∵18元，∴当𝑥=18此时𝑤=−100×(18−20)2+9000=8600（元86005（2026·10万元，设第𝑥场产品的销售量为𝑦（台，在销售过程中获得以下信息：1491台；2：产品的每场销售单价𝑝（万元）1场～第20场浮动价与销售场次𝑥21场～30场浮动价与销售场次𝑥成反比，经过统计，得到如下数𝑥(场𝑝(万元求𝑦与𝑥∴𝑝=𝑥+10，其中21≤𝑥≤30且𝑥当1≤𝑥≤20时，令5𝑥+10=代入得14.2=25解得𝑚=当21≤𝑥≤30时，设𝑝与𝑥的函数关系式为𝑝=𝑥将𝑥=25,𝑝=∴𝑝=5𝑥+10，其中1≤𝑥≤20且𝑥𝑎=𝑏=𝑥= 𝑥= 10.6=3𝑎+𝑝=10.6𝑦=12代入得12=10𝑎+【答案】(1)𝑦=50−𝑥(1≤𝑥≤30且𝑥为正整数15万元的条件求解（1）解：依题意得𝑦=49−(𝑥−1)=50−𝑥，其中1≤𝑥≤30且𝑥（2）解：设基本价为𝑏万元当1≤𝑥≤20时，设𝑝与𝑥的函数关系式为𝑝=𝑎𝑥+𝑏∴当𝑥=21时，𝑤取得最大值，𝑤=21−105=250−105=145（万元∵145>∵5250>在21≤𝑥≤30时，𝑤随𝑥 (50−𝑥) (50−𝑥)+𝑤=(𝑝−10)𝑦当21≤𝑥≤30∴当𝑥=20时，𝑤取得最大值，𝑤=−(20−25)2+125=120（万元∵−5<0，二次函数图象开口向下，对称轴为𝑥=又1≤𝑥≤20，在对称轴左侧，𝑤随𝑥(50−𝑥) 𝑥(50−𝑥)= 𝑥2+10𝑥= (𝑥−25)2+𝑤=(𝑝−10)𝑦 𝑥+解得𝑥=25，因25>20当21≤𝑥≤30𝑥+10=解得𝑥=符合21≤𝑥≤30的范围（3）解：设每场获得的利润为𝑤万元当1≤𝑥≤2041（2026·36m，E，F分别为边𝐴𝐷，𝐶𝐷上的一点，𝐸𝐹与𝐴𝐵平行，在𝐸𝐹，𝐹𝐶上各留出一个1m宽的小门．若图中虚线②当矩形菜园𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为252m2时，𝐴𝐵的长为6m或③若规定𝐴𝐵≥12m，则矩形菜园𝐴𝐵𝐶𝐷的最大面积是其中，正确结论的个数是（ 【答案】【答案】【分析】由题意可得𝐴𝐵=𝐸𝐹=𝐶𝐷，𝐴𝐷=𝐵𝐶，即得3𝐴𝐵𝐵𝐶=60，可得3𝐴𝐵≥60−36，得到𝐴𝐵≥8，即可判断①；设𝐴𝐵=𝐶𝐷=𝐸𝐹=𝑥m，则𝐵𝐶=𝐴𝐷=58−3𝑥+2=(60−3𝑥)m，可得𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐵𝐵𝐶=𝑥(60−3𝑥)，利用一元二次方程及二次函数的性质可判断②和③∴𝐴𝐵=𝐸𝐹=𝐶𝐷，𝐴𝐷=∴𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐸𝐹+𝐶𝐷−2=∴3𝐴𝐵+𝐶𝐷=∴3𝐴𝐵≥∴𝐴𝐵≥②设𝐴𝐵=𝐶𝐷=𝐸𝐹=𝑥m，则𝐵𝐶=𝐴𝐷=58−3𝑥+2=∴𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐵𝐵𝐶=𝑥(60−3𝑥)，当𝑥(60−3𝑥)=252时，解得𝑥1=6，𝑥2=∵𝐴𝐵≥∴𝑥=③𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑥(60−3𝑥)=60𝑥−3𝑥=−3(𝑥−10)∴二次函数𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷=−3(𝑥−10)2+300的图象开口向下，对称轴为直线𝑥=∵𝐴𝐵=𝑥≥∴当𝑥=12，即𝐴𝐵的长为12m时，矩形菜园𝐴𝐵𝐶𝐷−3×(12−10)2+300=288(m2)，故③22（2026·𝐵𝐶2米宽的小门（不用铁栅栏40米，设矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐴𝐷xSSxxx取何值时，S【答案】【答案】(1)𝑆=−2𝑥2+44𝑥(2<𝑥<(2)当𝑥=11时，𝑆242（1）（1）解：设矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐴𝐷x米，则𝐴𝐷=𝐵𝐶=𝑥，𝐴𝐵=40+2+2−2𝑥=∴矩形的面积𝑆=𝐴𝐷⋅𝐴𝐵=𝑥(44−2𝑥)=−2𝑥2𝑥>2<44−2𝑥<40∴2<𝑥<∴Sx的函数关系式为𝑆=−2𝑥2+44𝑥(2<𝑥<（2）解：∵𝑆=−2𝑥2+44𝑥=−2(𝑥−11)2∵−2<0，2<𝑥<∴当𝑥=11时，𝑆2423（2026·素材一：广告牌由抛物线𝐿、𝐿′以及线段𝐶𝐸、𝐷𝐹围成，点𝐶、𝐷在抛物线𝐿上，点𝐸、𝐹在抛物线𝐿′𝐴、𝐵分别是𝐶𝐸、𝐷𝐹的中点，抛物线𝐿与𝐿′关于𝐴𝐵素材二：以直线𝐴𝐵为𝑥轴，𝐴𝐵的垂直平分线为𝑦轴建立平面直角坐标系．已知𝐴𝐵=8米，𝐶𝐸=𝐷𝐹=米，抛物线𝐿的最高点𝐺到𝐴𝐵5米，点𝐺在𝑦轴上，𝐶𝐸𝐷𝐹𝑦𝐿′求抛物线𝐿、𝐿′𝑚𝑚+5点𝑃+5（2）解：设𝑄∴抛物线𝐿′的函数表达式为𝑦=𝑁𝑚,𝑚−5∴𝑃𝑄=2𝑚，𝑄𝑁=−𝑚2∴矩形𝑃𝑄𝑁𝑀的周长𝑙=22𝑚+−𝑚2+=−𝑚2+4𝑚+=−(𝑚−2)2∵−1<∴当𝑚2时，𝑙有最大值，最大值为24．达式为𝑦=−𝑥2+5，再根据对称性求出抛物线𝐿′(1)抛物线𝐿的函数表达式为𝑦=−𝑥+5，抛物线的函数表达式为𝑦=∵抛物线𝐿与𝐿′关于𝑥（2）设点𝑄+5，根据对称性表示出点𝑃和点𝑁的坐标，进而表示出𝑃𝑄和𝑄𝑁𝑃𝑄𝑁𝑀的周长𝑙=−(𝑚−2)2+24设抛物线𝐿的函数表达式为𝑦=𝑎𝑥2+5，将𝐷(4,1)代入𝑦=𝑎𝑥2+516𝑎+5=解得𝑎=∴抛物线𝐿的函数表达式为𝑦=−𝑥24（2026·2，在地块中间修建一个长、宽比为3∶2的长方形菜地，周围一圈是小路；在第一种方案中，若设菜地的宽为𝑥S关于𝑥在第二种方案中，若设道路的宽为𝑥米，求菜地面积𝑦关于𝑥【答案】【答案】(1)𝑆=−1.5𝑥2(2)𝑦=2𝑥2−14𝑥+∴∴S关于𝑥的函数表达式为𝑆=6×4−1.5𝑥2=−1.5𝑥2𝑦=(6−2𝑥)(4−𝑥)=2𝑥2−14𝑥+即菜地面积𝑦关于𝑥的函数表达式𝑦=2𝑥2−14𝑥+𝑥≥4−2×（3）2𝑥≥6−41.5𝑥≤解得：1≤𝑥≤由（2）得：菜地面积𝑦关于𝑥的函数表达式𝑦=2𝑥2−14𝑥+∵𝑦=2𝑥−14𝑥+24=2𝑥− −2，2>∴当𝑥2时，yx∴当𝑥=1时，y取得最大值，最大值为2×12−14×1+24=12，751（2026·𝐴→𝐵→𝐶以1cm/sCQAP的运动速度相同，沿着正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边，按照路线𝐴→𝐷→𝐶C停止，连接𝐴𝑃、𝐴𝑄、𝑃𝑄𝐴𝑃𝑄的面积为𝑦(cm2)，时间为𝑥(s)yx的函数关系的是（ 【答案】【答案】【分析】先分0≤𝑥≤4和4＜𝑥≤8两种情况，分别讨论求出函数解析式，再结合二次函数图象性质得出答【详解】解：当0≤𝑥≤41P在𝐴𝐵Q在𝐴𝐷∵PQ的速度均为1cm/s，时间为∴𝐴𝑃=𝑥(cm)，𝐴𝑄=∴∠𝐴=∴𝑦==⋅𝑥⋅𝑥即当0≤𝑥≤4时，𝑦=当4＜𝑥≤82P在𝐵𝐶Q在𝐷𝐶∵PQ的速度均为1cm/s，时间为∴𝑦=𝑆△𝐴𝑃𝑄=𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷−𝑆△𝐶𝑃𝑄−𝑆△𝐴𝐷𝑄−𝑆△𝐴𝐵𝑃=4×4−= 𝑥2+4𝑥即当4＜𝑥≤8时，𝑦=−𝑥2+4𝑥综上，𝑦𝑥2(0≤𝑥≤−1𝑥2+4𝑥4＜𝑥≤由此可知，当0≤𝑥≤4时，函数图象为开口向上，过点(0,0)，(4,8)的二次函数的一部分；当4＜𝑥≤观察各选项，只有选项D符合题意．∴𝐴𝐵+𝐵𝑃=𝑥(cm)，𝐴𝐷+𝐷𝑄=∴𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐵𝐶=𝐷𝐶=∴𝐵𝑃=(𝑥−4)cm，𝐷𝑄=∴𝑃𝐶=𝐵𝐶−𝐵𝑃=4−(𝑥−4)=(8−𝑥)cm，𝐶𝑄=𝐷𝐶−𝐷𝑄=∴∠𝐵=∠𝐶=∠𝐷==×𝑃𝐶×𝐶𝑄=×𝐴𝐵×𝐵𝑃=×4⋅(𝑥−4)==×𝐴𝐷×𝐷𝑄×4⋅(𝑥−4)=(2𝑥−8)cm2，𝑆△𝐴𝐵𝑃【答案】【分析】先由矩形性质得到𝐴𝐵=𝐶𝐷=5，∠𝐵=∠𝐸𝐶𝐹=90°，进而证的∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐶𝐹𝐸△𝐴𝐸𝐵∽△𝐸𝐹𝐶得 =，即𝑦=(4𝑥−𝑥2)=−(𝑥−2)2+，利用二次函数的性质求解即可 【详解】解：由图象知𝐵𝐶=∴𝐶𝐸=𝐵𝐶−𝐵𝐸=∵𝐸𝐹⊥【答案】【分析】先由矩形性质得到𝐴𝐵=𝐶𝐷=5，∠𝐵=∠𝐸𝐶𝐹=90°，进而证的∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐶𝐹𝐸△𝐴𝐸𝐵∽△𝐸𝐹𝐶得 =，即𝑦=(4𝑥−𝑥2)=−(𝑥−2)2+，利用二次函数的性质求解即可 【详解】解：由图象知𝐵𝐶=∴𝐶𝐸=𝐵𝐶−𝐵𝐸=∵𝐸𝐹⊥判定与性质，证明判定与性质，证明△𝐴𝐸𝐵∽△𝐸𝐹𝐶∴P2,5∴𝑛=整理得𝑦=(4𝑥−𝑥2)=−(𝑥−2)2+ ∴𝐸𝐶=𝐶𝐹，即4−𝑥=∴∠𝐴𝐸𝐹=∴∠𝐴𝐸𝐵+∠𝐶𝐸𝐹=∴𝐴𝐵=𝐶𝐷=5，∠𝐵=∠𝐸𝐶𝐹=∴∠𝐶𝐸𝐹+∠𝐶𝐹𝐸=∴∠𝐴𝐸𝐵=∴△𝐴𝐸𝐵∽△3（2026·河南周口·一模）1，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝐴𝐵=6cm，𝐵𝐶=4cmPA出2.5个单位长度的速度沿折线𝐴−𝐵−𝐶QB1个单位长度的速度沿线段𝐵𝐶PC时，P、QP运动的时间为𝑥(s)𝐴𝑃𝑄的面积为𝑦1．请直接写出𝑦1xx2的平面直角坐标系中，直接画出𝑦1若𝑦1的函数图象与直线𝑦2=−𝑥+𝑛有两个交点，则n的取值范围 【答案】(1)𝑦1=𝑥2(0≤𝑥≤18−4.5𝑥(2.4<𝑥≤图见解析，性质：当0≤𝑥≤2.4时，𝑦1x的增大而增大；当2.4<𝑥≤4时，𝑦1x的增大而减（4≤𝑛<（（1）分0≤𝑥≤2.4和2.4<𝑥≤4（2）（3）求出𝑥=2.4时的函数值，进而求出直线经过点(2.4,7.2)和(4,0)时𝑛（1）解：点𝑃运动到点𝐵时，所用时间为6÷2.5=2.4秒；运动到点𝐶时，所用时间为(6+÷2.5=4当0≤𝑥≤2.4时，𝐴𝑃=2.5𝑥,𝐵𝑄=∴𝑦=𝐴𝑃⋅𝐵𝑄 当2.4<𝑥≤4时，𝑃𝑄=𝑥−(2.5𝑥−6)=∴𝑦1=2𝐴𝐵⋅𝑃𝑄=综上：𝑦1𝑥2(0≤𝑥≤18−4.5𝑥(2.4<𝑥≤（2）性质：当0≤𝑥≤2.4时，𝑦1x的增大而增大；当2.4<𝑥≤4时，𝑦1x（答案不唯一（3）解：当𝑥=2.4时，𝑦1×2.42=当𝑦2=−𝑥+𝑛经过点(2.4,7.2)时，7.2=−2.4𝑛，解得𝑛=当𝑦2=−𝑥+𝑛经过点(4,0)时，0=−4𝑛，解得𝑛=故𝑦1的函数图象与直线𝑦2=−𝑥+𝑛有两个交点时，4≤𝑛<𝑦1 =考向考向 方程（组）与不等式（组）实际应6“11（2026·根据题意得：60−60+10=解得：𝑥=2（2026·工里程多3=工作总量÷工作时间，结合每天完成的桥梁施工里程比隧道施工里程多3千米，可列出关于𝑦∴𝑥+(3𝑥−15)+255=解得：解得：𝑥=∴3𝑥−15=120（千米∴(1−20%)𝑦−𝑦=解得：𝑦=经检验：𝑦315是分式方程的解，且符合题意．3（2025·30200.840.5650万元，为 由题意可得：𝑦60+90=解得：𝑦=需要施工费用：36×(0.84+0.56)=50.4>50，需追加：50.4−50=0.4（万元解得：𝑥=经检验，𝑥=60时，𝑥(𝑥30)≠0，则𝑥=60是原分式方程的解，+(𝑥−20)×𝑥+30=𝑥+ 由题意可得：207围；③结合实际意义，对解进行取舍（0.1的倍数；×81（2026·小明陪妈妈在这家商店按标价买了𝐴、𝐵346元．这两种水果各买了多少千妈妈让小明再到这家商店买𝐴、𝐵两种水果，要求𝐵水果比𝐴1𝐴、𝐵两种水果正在进行优惠活动：𝐴水果打七五折：一次购买𝐵111（注：“打七五折”75%）48元，求小明14×0.75𝑚+18×1+18×0.75×(𝑚+1−1)=48，再解方程即可．𝑥+𝑦=14𝑥18𝑦=46𝑥=𝑦=1由题意得：14×0.75𝑚+18×1+18×0.75×(𝑚1−1)=解得：𝑚=2（2026·3600060480005（个）仅与销售单价（元）200【答案】【答案】(1)20(2)日销售量𝑦（个）与销售单价𝑥（元）之间的函数关系式为𝑦=−2𝑥(3)30（1）m（2）yxy与销x之间的函数关系式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏kb的值，进而得出该益智玩具的日销yx之间的函数关系式；（3）根据“每日利润＝（销售单价－进价）×日销售量－房租等运营成本”可得(−2𝑥−200=600，然后解方程，再结合“要尽量减少库存”（1）m 根据题意，得50−𝑚=解得𝑚=经检验，𝑚20是所列方程的解，20元；设该益智玩具的日销售量𝑦（个）与销售单价𝑥（元）之间的函数关系式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，59𝑘𝑏=22𝑏=140答：该益智玩具的日销售量𝑦（个）与销售单价𝑥（元）之间的函数关系式为𝑦=−2𝑥+（3）x根据题意，得：(−2𝑥140)(𝑥−20)−200=600，解得：𝑥1=30，𝑥2=60，60𝑘+𝑏= 𝑘=60元时，日销售量为−260+140=2030元时，日销售量为−230+140=8020<80∴∴𝑥=3（2026·东风知春意，万亩梨花开．3月下旬，个旧加级寨梨花迎来盛花期，“梨园春晓・万亩梨花赏花季”321305831012300瓶，且梨膏的数量至少502倍，怎样购进才能使总费用最少？并求出最少费用．3𝑎+2𝑏=𝑥≥300−𝑥+𝑥≤𝑊=30𝑥20(300−𝑥)，整理得𝑊=10𝑥60003𝑎+2𝑏=5𝑎8𝑏=310𝑎=𝑏=20𝑥≥300−𝑥+𝑥≤，解得175≤𝑥≤𝑊=30𝑥+20(300−𝑥)，整理得𝑊=10𝑥+10>0,𝑊随𝑥当𝑥=175时，𝑊𝑊min=10×175+6000=此时300−𝑥=300−175=4（2026·A、B两种款式的15A款徽章、10B23025A款徽章、25B450元．AB小艾计划在促销期间购买A、B两款徽章共40枚，其中A款徽章t枚（0<𝑡<40，若在线下商店购 元（均用含t的代数式表示）请你帮小艾算一算，在（2）【答案】【答案】(1)AB10元、8(2)(1.6𝑡+291)，(1.8𝑡+(3)A1540A15A15（1）ABx元、y15A款徽章、10B款徽23025A款徽章、25B450元，列出方程组，即可求解；（1）ABx元、y15𝑥+10𝑦=25𝑥25𝑦=450𝑥=解得𝑦=8（2）解：当小艾在线下商店购买时，需要：0.8×10𝑡+8(40−𝑡)+35=(1.6𝑡+291)元；当小艾采用线上购买时，需要：0.9×10𝑡+8(40−𝑡)=(1.8𝑡+288)元；（3）解：当选线下时，1.6𝑡291<1.8𝑡288，解得𝑡>又∵0<𝑡<∴15<𝑡<当选线上时：1.6𝑡291>1.8𝑡288，解得𝑡<15，又∵0<𝑡<40，∴0<𝑡<5（2026·11160321207600【答案】【答案】(1)440600(2)9（1）x元，则乙型设备的单价为(𝑥160)元，根据“3台甲型设备比购2120元”列方程求解；（2）m台，则购买乙型设备(15−𝑚)台，根据“7600元”列不（1）x元，则乙型设备的单价为(𝑥160)元，根据题意，得3𝑥−2(𝑥+160)=120解得𝑥=∴𝑥+160=440600（2）m台，则购买乙型设备(15−𝑚)台，根据题意，得440𝑚+600(15−𝑚)≤7600解得𝑚≥∵m∴m98；1（2026·112103254050件（甲、乙两种器材都要购买35件．设按方案一、方案二购买的总费用分别为𝑦1元、𝑦2【答案】【答案】(1)12090(2)当30<𝑚≤35时，方案二花费少；当𝑚=30时，两种方案花费一样；当0<𝑚<30（1）xy（2）m件，则购买乙种器材(50−𝑚)m的代数式分别表示两种方案的费用，然（1）xy𝑥+𝑦=3𝑥+2𝑦=540𝑥=解得𝑦=9012090（2）m件，则购买乙种器材(50−𝑚)件，由题意，得𝑦1=0.9×120𝑚0.6×90(50−𝑚)=54𝑚2700，𝑦𝑦2=0.8×120𝑚+0.8×90(50−𝑚)=24𝑚+∴𝑦1−𝑦2=54𝑚+2700−(24𝑚+3600)=当𝑦1−𝑦2=0，即30𝑚−900=0时，解得𝑚=30，此时两种方案花费一样；当𝑦1−𝑦2<0，即30𝑚−900<0时，解得𝑚<30，此时方案一花费少；当𝑦1−𝑦2>0，即30𝑚−900>0时，解得𝑚>30，此时方案二花费少，又∵0<𝑚≤35，∴当30<𝑚≤35时，方案二花费少；当𝑚=30时，两种方案花费一样；当0<𝑚<30时，方案一花费少．2（2026·贴政策，某小区计划采购甲（灌木、乙（草本）23株乙种苗木234131111580100（已扣除补贴m在（2）52s平方米，在此前提下，哪种购买方案的年遮阴面积最大？最大面积是多共有5种购买方案：①购进甲种苗木9株，购进乙种苗木6株；②购进甲种苗木10株，购进乙种苗木52𝑥+3𝑦=4𝑥𝑦=31𝑦=3𝑥=7𝑚+3(15−𝑚)≥7𝑚3(15−𝑚)≤100∴∴4≤𝑚≤4∵𝑚𝑚的可能取值为9、10、11、12、∴共有5种购买方案：①购进甲种苗木9株，购进乙种苗木6株；②购进甲种苗木10株，购进乙种苗木5则𝑠=5𝑚+2(15−𝑚)=3𝑚+30，∵3>∴由（2）可知，𝑚的最大取值为13，此时𝑠max=3×13+30=3（20·湖南模拟预测）遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲．150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多【答案】(1)50100【答案】(1)50100个，B配件1（2）设𝐴配件要买𝑚个，𝐵配件要买𝑛个，根据题意列出二元一次方程3𝑚5𝑛=50𝑥𝑥=1=𝑥=𝑦=10050100根据题意得：30𝑚+50𝑛=500，整理得：3𝑚5𝑛=50，即𝑚=𝑚=∴符合条件的解为：𝑛=7𝑚=𝑛=4，𝑛=1𝑚=答：有三种采购方案，方案一：𝐴配件5个，𝐵配件7个；方案二：𝐴配件10个，B配件4个；方案三：𝐴15个，B配件14（2025·小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为3m2和1m2120.8210.71116.260个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案；现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过𝑎m2，在（2）下，若仅有两种方案可供选择，直接写出𝑎【答案】【答案】(1)10.2万元，10.33118个地上充电桩，42219个地上充电桩，41320个地上充电桩，40个地下充电桩98≤1个地上充电桩需要𝑥万元，1个地下充电桩需要𝑦12个地0.8210.7万元．据此列出方程组并解方程设新建𝑚个地上充电桩，则新建（60−𝑚）16.2万元的资金，且2倍，据此列出不等式组并解不等式组，进一步写出方案即（3）（1）1个地上充电桩需要𝑥万元，1个地下充电桩需要𝑦𝑥+2𝑦=2𝑥+𝑦=0.7𝑥=𝑦=0.310.2万元，10.30.2𝑚+0.3(60−𝑚)≤60−𝑚≥解得：18≤𝑚≤又又𝑚（3）1时新建充电桩的总占地面积为3×18+1×42=96（m2；2时新建充电桩的总占地面积为3×19+1×41=3时新建充电桩的总占地面积为3×20+1×40=∵∴98≤考向考向 几何图形实际应91（2025·测量大楼的高度处的仰角∠𝐴𝐺𝐸=40°，∠𝐵𝐺𝐸=31°，𝐵𝐻=∠𝐴𝐹𝐺=37°，∠𝐴𝐸𝐺=45°，𝐶𝐷=23.5m，𝐶𝐸=1.5m．sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2≈1.41．𝐴𝐵（【分析】本题考查的知识点是解直角三角形的相关运算、一元一次方程的实际应用选方案一：设𝐺𝐸交𝐴𝐵于点𝐶，则𝐺𝐶=𝐵𝐻=50m，根据解直角三角形的相关运算可得𝐴𝐶、𝐵𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐶+选方案二：设𝐴𝐺=𝑥m，根据解直角三角形的相关运算可得𝐸𝐺、𝐹𝐺，再由𝐸𝐹=𝐹𝐺−𝐸𝐺=𝐶𝐷列出一元一次方程，解方程得出𝐴𝐺，则𝐴𝐵=𝐴𝐺+𝐵𝐺=𝐴𝐺+𝐶𝐸．设𝐺𝐸交𝐴𝐵于点𝐶，则𝐺𝐶=𝐵𝐻=在Rt𝐴𝐺𝐶中，∠𝐴𝐺𝐶=∴𝐴𝐶=𝐺𝐶⋅=50×≈50×0.84=在Rt△𝐵𝐺𝐶中，∠𝐵𝐺𝐶=∴𝐵𝐶=𝐺𝐶⋅=50×=50×0.60=∴𝐴𝐵=𝐴𝐶+𝐵𝐶=42+30=设𝐴𝐺=在Rt△𝐴𝐺𝐸中，∠𝐴𝐸𝐺=∴𝐸𝐺=tan∠𝐴𝐸𝐺=tan45°=在Rt△𝐴𝐺𝐹中，∠𝐴𝐹𝐺=∴𝐹𝐺=tan∠𝐴𝐹𝐺=tan37°≈0.75=∵𝐸𝐹=𝐹𝐺−𝐸𝐺= ∴3𝑥−𝑥=解得𝑥=∴𝐴𝐺=又𝐵𝐺=𝐶𝐸=∴𝐴𝐵=𝐴𝐺+𝐵𝐺=70.5+1.5=2（2026·．组长：×××EF为标杆．长𝐵𝐶=16m，宽𝐴𝐵=标杆𝐸𝐹=7.5m𝐵𝐹=1P到路面𝐵𝐶2：如果该隧道内设双向行车道，根据以上测量结果，请你评估一辆大型货运汽车装载某大型设备【答案】【答案】(1)𝑦=−𝑥2+8P到路面𝐵𝐶的距离为∴当𝑥=3时，𝑦= ×32+8≈7.72>当𝑥=0时，𝑦=∴抛物线的函数表达式为：𝑦=−𝑥2𝑐=𝑎=−代入，得64𝑎+𝑐=6设函数表达式为𝑦=𝑎𝑥216𝑎+𝑐=3（2025·如图𝐴𝐵𝑀𝑁于点𝐵，𝐶𝐷𝑀𝑁于点激光投线角度仪（可测量角度，其高度忽略不计如图第一步：在运动场内的地面上取测量点𝐸，将角度仪放置于地面，测得路灯顶端𝐴．（0.1米，参考数据：sin26.6∘≈0.45，cos26.6∘≈0.89，tan26.6∘≈0.50；sin38.7∘≈0.63，cos38.7∘≈0.78，tan38.7∘≈0.80）．第一步：测量围网立柱的高𝐶𝐷=𝑎米，到围网外测量路灯到立柱的水平距离𝐵𝐷=𝑏米；第三步：测量按照“实践反思”中的测量步骤，在第三步中仅需再测图3中的一个数据，即可求得路灯𝐴𝐵的高度．你要 （用含𝑎，𝑏，𝑥或𝛼的式子表示，其中，用𝑥表示测得的线段长度，𝛼表示测得的角度∴2𝑚−4𝑚=解得𝑚8.9米，即𝐴𝐵=8.9米；（2）𝐴𝐵𝑀𝑁,𝐶𝐷∴∴△𝐺𝐶𝐷∽△ ∴tan∠𝐴𝐹𝐵=𝐵𝐹=𝐵𝐹=tan38.7°≈∴𝐵𝐹=∵𝐸𝐹=6.7 ∴tan∠𝐴𝐸𝐵=𝐵𝐸=𝐵𝐸=tan26.5°≈∴𝐵𝐸=在Rt𝐴𝐹𝐵中，∠𝐴𝐵𝐸=90°,∠𝐴𝐹𝐵= （2）证明𝐺𝐶𝐷𝐺𝐴𝐵，根据相似三角形性质可推出要测量的线段，以及求出𝐴𝐵角三角形𝐷𝐺=𝐵𝐺=𝐵𝐷+𝐷𝐺=tan∠𝐴𝐺𝐵，推出要测量的角，以及求出𝐴𝐵∵𝐴𝐵⊥在Rt𝐴𝐸𝐵中，∠𝐴𝐵𝐸=90°,∠𝐴𝐸𝐵=（1）设路灯𝐴𝐵的高度为𝑚米，根据解直角三角形得到𝐵𝐸=2𝑚，𝐵𝐹=4𝑚，再结合𝐸𝐹=6.7𝑎+𝑥；或：∠𝐴𝐺𝐵；(𝑏tan𝛼+【答案】(1)8.9𝑎+𝑥；或∠𝐴𝐺𝐵，(𝑏tan𝛼+故答案为：线段∴𝐴𝐵=𝑏tan𝛼+要求得路灯𝐴𝐵的高度．要测量的角是∠𝐴𝐺𝐵，𝐴𝐵的高度为(𝑏tan𝛼𝑎)𝑎=∴𝐷𝐺=tan∠𝐴𝐺𝐵= ∵𝐷𝐺=𝐵𝐺=𝐵𝐷+𝐷𝐺=∵𝐶𝐷=𝑎米，𝐵𝐷=𝑏米，∠𝐴𝐺𝐵=𝑎∴ 𝑎=𝑥解得𝐴𝐵∵𝐶𝐷=𝑎米，𝐵𝐷=𝑏∵𝐷𝐺=𝑥 ∴𝐶𝐷=𝐷𝐺101（20·上海闵行一模）送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示．地面所受压强4×6×8×1×接触面积1.2×8×6×4.8×能承受的最大压强4.8×2.4×2.5×求地面所受压强𝑝(Pa)关于接触面积𝑆(m2)的函数表达式（不写定义域∴地面所受压强𝑝(Pa)关于接触面积𝑆(m2)的函数表达式为𝑝 （2）解：值，即木地板的2.4×10Pa。当压强最大时，接触面积最小。把𝑝=2.4 代入𝑝=𝑆得𝑆=2×答：该机器人与地面的接触面积至少为2×10−6𝑝=，得𝐹=4×10×1.2× =)将(4×10,1.2×设地面所受压强𝑝(Pa)关于接触面积𝑆(m2)的函数表达式为𝑝=（2）木地板的2.4×107Pa。当压强最大时，接触面积最小。把𝑝=2.4×107代入（1）中所求函数表达式中，即（1）关系，设地面所受压强𝑝(Pa)关于接触面积𝑆(m2)的函数表达式为𝑝=，将一对数据代入即可求出𝐹（1）【答案】(1)𝑃=(2)2×2（2025·示的周长为32cmA种长方形的宽为1cmB种长方形纸板的面积为多少？【答案】【答案】B44𝑥+(𝑥+3)=32，解得𝑥=∴B种长方形纸板的面积为：𝑥(𝑥3)=2.5(2.5+3)3（2026·（（(2)(5𝑛+180°−6=观察图案的拼接点，可发现：60°+90°×2+120°=360°，拼接点处的内角和恰好为360°，满足平面镶（2）第1个图案有6个正方形，即1×6−0=第2个图案有11个正方形，即2×6−1=11，第3个图案有16个正方形，即3×6−2=观察以上规律，第观察以上规律，第𝑛个图案有𝑛6−(𝑛−1)=(5𝑛1)设第𝑘个图案中所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大∵由（2）可得第𝑘个图案中有(5𝑘1)即：40(5𝑘+1)−60𝑘=1200，解得：𝑘=11（如圆弧、矩形、三角形；②结合圆的性；1（2026·1112所示，建立平面直角坐标系后，点𝑃(3,6)与点𝑄分别为抛物线𝐿1求抛物线𝐿2有一根支架𝐴𝐵（点𝐴和点𝐵均在抛物线𝐿2上，若点𝐴和点𝐵到𝑥轴的距离𝐴𝐶和𝐵𝐷9m𝐴𝐵𝐴𝐵=|5−1|=4（米答：水平支架𝐴𝐵4 ∴𝐴1,9，𝐵5, 解得𝑥=1或𝑥=5当𝑦 时，即=−(𝑥−3)2（2）解：由（1）得抛物线𝐿2的函数表达式为𝑦=−(𝑥−3)2∴抛物线𝐿2的函数表达式为𝑦=−(𝑥−3)2∵抛物线𝐿2过𝑂(0,0)，代入得0=𝑎(0−3)2+4，解得𝑎=−(2)4（1）由题意得𝑄(3,4)，设抛物线𝐿2的函数表达式为𝑦=𝑎(𝑥−3)2+4，且经过𝑂(0,0)（2）当𝑦=9时，求出𝑥=1或𝑥=5设抛物线𝐿2的函数表达式为𝑦=𝑎(𝑥−3)2+4，【答案】(1)𝑦=−(𝑥−3)22（20·陕西商洛二模）古建筑的屋顶蕴藏着很深的中国文化，如“悬山顶（如图居，建筑屋檐出了山墙，远远一看，就好像悬在山墙之上，可以有效保护山墙不受风雨侵蚀，多见于雨季潮湿的南方，图为一栋“悬山顶式建筑的侧面示意图，下雨时，雨水顺着房顶𝐵，经走廊顶部水平管道𝐵流出，呈抛物线形落到院中地面上点𝐸处（可将点𝐶视为抛物线顶点，若走廊𝐷和顶部𝐵的宽度均为1m，屋高𝐷为4m，雨水落点距屋子的水平距离𝐷为2m，以点𝐹为原点，𝐸所在直线为𝑥轴，𝐶所在直线为𝑦轴，建立平面直角坐标系．如图③，现有一个高为0.8m的圆柱形洗手池，洗手池的底部中心点𝐺到走廊的距离𝐹𝐺为0.9𝑚，请通过【答案】【答案】(1)𝑦=−4𝑥2+4(0≤𝑥≤（2）当𝑦=0.8时，即−4𝑥2+4=0.8，求出方程的解，即可求出𝐹𝐺∴可设抛物线的解析式为𝑦=𝑎𝑥2∴𝑎⋅12+4=∴𝑎=∴抛物线的解析式为𝑦=−4𝑥2+4(0≤𝑥≤（2）解：当𝑦=0.8时，即−4𝑥2+4=解得𝑥 ≈0.9，𝑥=−5（不合题意，舍223（201为海河大桥的平面示意图，相关信息之差的绝对值不超过0.20m．2的点𝐸处，测得拱高𝐷𝐸=（𝐷𝐸⊥𝐴𝐵；的点𝐺处，测得拱高𝐹𝐺=30.2m(𝐹𝐺3所示的平面直角坐标系，分析数据可知点𝐴结合实际测量数据，请你通过计算，依据允许误差范围，判断大桥的𝐷，𝐹【答案】【答案】(1)𝑦=−𝑥2+36(−15≤𝑥≤（1）由顶点可得𝑦=𝑎𝑥2+36，把𝐴(15,0)a（2）D、F的横坐标代入解析式求出纵坐标，求出与拱高的测量值差值的绝对值，是否超过0.20（1）解：设抛物线的解析式为𝑦=𝑎𝑥2大桥最高点𝐶与桥底𝐴𝐵的距离为36∴𝑦=𝑎𝑥2大桥底部跨度𝐴𝐵为30∴152𝑎+36=解得：𝑎=∴𝑦=𝑥2+36(−15≤𝑥≤（2）解：由题可知：点𝐷的横坐标为15−6=把𝑥=9代入抛物线，得：𝑦= ×92+36=|23.04−22.9|=0.14<由题可知：点𝐹的横坐标为−159=把𝑥=−6代入抛物线得：𝑦= ×(−6)2+36=|30.24−30.2|=0.04<（建议用时：80分钟1（2026·判．贸易商先将原价上涨，增长率为𝑥，又下调，下调的百分率也为𝑥3240元成交，若原价3400元，则可列方程为（）A．3400(1−𝑥2)= B．3400(1−𝑥)2=C．3400(1+𝑥)2= D．3400(1−𝑥)=【答案】【答案】3400元，先将原价上涨，增长率为𝑥，又下调，下调的百分率也为𝑥，最终以每3240元成交，列出方程即可.3400(1+𝑥)(1−𝑥)=3240，即3400(1−𝑥2)=2（2026·再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺﹖若设木长𝑥尺，绳长𝑦尺，依据题意可列方程组是（）1𝑦=．𝑦−𝑥=

1𝑥=．𝑦−𝑥=

1𝑦=𝑥+．𝑦−𝑥=

1𝑥=𝑦+．𝑦−𝑥=【答案】【答案】∴绳长减去木长等于4.5，即𝑦−𝑥=∴对折后的绳长等于木长减去1，即2𝑦=1𝑦=𝑦−𝑥=3（2026·线可看作一条抛物线，如图，是一名男生在投壶时，箭头行进高度𝑦(m)与水平距离𝑥(m) 象，投出时箭头在起点处的高度𝑂𝐴为5m，当水平距离为1m时，箭头行进至最高点2m处．若𝐵𝐶为5m的圆柱形容器的最左端（看作垂直于x轴的线段，且𝑂𝐵=3m，则这名男生此次投 投”．∵10< 当𝑥=3时，𝑦= ×(3−1)2+ ∴𝑦与𝑥之间的函数表达式为𝑦=−(𝑥−1)2+ 将点𝐴0,5代入，得𝑎+2=解得：𝑎=设𝑦与𝑥之间的函数表达式为𝑦=𝑎(𝑥−1)2+ 【详解】解：由题意可知点𝐴0,5，抛物线1,2【分析】根据顶点坐标设抛物线为顶点式，再将点𝐴的坐标代入可得关系式，将𝑥3代入关系式得出答案4（2026·有相同的圆心 【答案】【答案】𝑟的值，最后利用扇形面积公式𝑆=2𝑙𝑅弧𝐴𝐷的长为20cm，弧𝐵𝐶的长为∴180=20，180=∴𝑟=8=2，即𝑅=∵𝐴𝐵=∴𝑅−𝑟=10，∴2𝑟−𝑟=2𝑟=解得𝑟=3 ∴𝑅=2×3=3∴该砖雕的面积为𝑆=𝑆扇形𝑂𝐴𝐷−𝑆扇形 =2×20×3−2×8× −=5（2026·A，B1A型汽车、2B60万元；2A型汽车、3B95万元．A，B两种型号新能源ABa，bA，B60AB号新能源汽车数量的3【答案】【答案】(1)a10，b(2)A15辆，B45270AmB型新能源汽车(60−𝑚)w．先根据“AB”m的取值范围，再运用（1）w，根据增减性，求出当𝑚=15时，w𝑎+2𝑏=（1）2𝑎+3𝑏=95𝑎=𝑏=25答：a10，b（2）AmB型新能源汽车(60−𝑚)∵𝑚≥∴解得𝑚≥由题意，得𝑤=(13−10)𝑚(30−25)(60−𝑚)=−2𝑚∵−2<∴wm∴当𝑚=15时，w取最大值，最大值为−215+300=270（万元，此时60−𝑚=45．A15辆，B452706（2026·水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度．44℃． 设小明接温水的时间为𝑥【答案】【答案】(2)①𝑥=15；②20≤𝑥≤根据题意，得20×10+15𝑡=500，解得𝑡=答：需再接开水的时间为20𝑥(𝑦−30)=(500−20𝑥)∴𝑦=−5𝑥+∴当𝑦=58时．58=5𝑥解得：𝑥=∴37≤−5𝑥+100≤解得20≤𝑥≤7（2025·上采用凹凸部位相结合的连接方式．2025年，在一系列文化传承与推广活动中，传统榫卯技艺大放异彩，16002800元第二次购进同种木材．已知第二次购进木材的51.4倍．x元/等量关系式：1.4×=第二次购进的这种木材的立方米，列方程，即不等关系式：总销售额−(1600+2800)≥3280（1） 由题意得：1.4解得：𝑥=

𝑥=𝑥+5经检验：𝑥=2020=80（立方米第二次购进的这种木材为：1.4×80=112（立方米𝑥解得：𝑥=

=经检验：𝑥=80是所列方程的解，且符合实际意义；第二次购进的这种木材为：1.4×80=112（立方米0.1𝑦−(1600+2800)≥解得：𝑦≥答：每件工艺品的售价至少为48（2026·a米、2𝑎米、a1000平方米，在停车区域内划完全相同的矩形车位（不留间隙a2.5米．①②直接写出a的值 ：车位数量 个12元的标准实施时，车位全部15x元（x为正整数，停车场w元，求停车场当天收费总金额的最大值．【答案】【答案】(1)①5(2)980（2）=每个车位每天费用×出租车位的数量，建立𝑤与𝑥之间的函由题意得：2×30𝑏2𝑏(60−2𝑏)=60×30−1000，解得𝑏1=5，𝑏2=40>30（不符合题意，舍去．答：行车道的宽度为5米．②由题意得：𝑎2𝑎𝑎2×5=30，解得𝑎=5，车位数量为(60−25)÷2.5×4=80（个（2）解：由题意得：𝑤=(12+𝑥)(80−5𝑥)=−5𝑥2+20𝑥+960=−5(𝑥−2)2∵−5<∴当𝑥2时，𝑤980元．30190/101间客房．另外，对于有人入住的客（x12∵𝑥∵𝑥=60或𝑥=70=5520（元，此时入住房间30−10=24（间=5520（元，此时入住房间30−10=23（间30−当𝑥=70时，𝑦=(190+70−20)30−∴当𝑥=60时，𝑦=(190+60−20)∵𝑎=−10<∴抛物线开口向下，𝑦∵x10=−(𝑥−65)2= 𝑥2+13𝑥+（2）设每天民宿纯收入为𝑦yx根据题意可得：(40+2𝑎)(30+2𝑎)=1496，整理得：𝑎2+35𝑎−74=解得：𝑎=2或𝑎=−37（不合题意，舍去．答：民宿宣传海报四周所加边框的宽为𝑦=(190+𝑥−20)⋅30−【答案】∴𝑥∴𝑥=∴定价为190+70=260（元10（2026·有一棵小树𝐴𝐵（垂直于水平面，树高4mAO的距离𝑂𝐴4m1所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水流运行的路线是抛物线，水流到达的最大高度是6mBC处．2，现决定在山上种另一棵树𝑀𝑁（垂直于水平面，树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，∴𝐵∴𝐵23,6∴设抛物线解析式为𝑦=𝑎(𝑥−23)∴𝐴𝐻=2𝑂𝐴=2m，𝑂𝐻=𝑂𝐴⋅cos∠𝐴𝑂𝐻=4cos30°=4×2=2∵𝐴𝐵=∴𝐵𝐻=𝐴𝐵+𝐴𝐻=4+2=∵∠𝐴𝑂𝐻=30°，𝑂𝐴=𝑡2+23𝑡，将𝑃𝑁转化为二次函数求最值即可（2）求出直线𝑂𝐶的解析式，设𝑀𝑡,3𝑡，则𝑁25(2)12【答案】(1)𝑦=−𝑥2+225∴∠𝑁𝑀𝑃=∠2=∵𝑁𝑃⊥∴∠𝑁𝑃𝑀=∴𝑃𝑁=𝑀𝑁⋅sin∠𝑁𝑀𝑃−2𝑡153𝑡sin60°−2𝑡+315