昆明理工大学理论力学B练习册题+解答

引言理论力学B作为工科类专业的重要技术基础课程，旨在培养学生对物体机械运动基本规律的认知与分析能力，为后续专业课程的学习及工程实践应用奠定坚实基础。其内容抽象，逻辑严密，对初学者而言具有一定挑战。练习是掌握理论力学知识、提升解题技能不可或缺的环节。本练习册精选了若干与昆明理工大学理论力学B课程教学大纲紧密结合的典型习题，并辅以详尽的解答与思路分析，希望能为同学们提供有益的参考，帮助大家更好地理解概念、熟悉方法、巩固所学。请注意，解题的关键在于理解物理本质，而非死记硬背步骤。建议同学们在查阅解答前，先独立思考，尝试求解，再对照分析，找出差异，方能事半功倍。第一章静力学基础与物体的受力分析静力学是研究物体在力系作用下平衡条件的科学。正确进行物体的受力分析，画出清晰的受力图，是解决静力学问题的前提与关键。例题1-1：受力分析与受力图绘制题目：如图所示，直角弯杆ABC的A端用固定铰支座与墙面连接，B处用光滑铰链与直杆BD连接，直杆BD的D端搁置于光滑水平面上，C端悬挂一重物，重量为G。若各杆自重不计，试分别画出杆BD及整体系统的受力图。解答思路与过程：*第一步：明确研究对象，取分离体。*首先取杆BD为研究对象。将其从周围物体（铰链B、光滑水平面D）中分离出来。*然后取整体系统（ABC杆、BD杆及重物G）为研究对象，从固定铰支座A和光滑水平面D中分离出来。*第二步：分析研究对象所受的力（主动力与约束力）。*杆BD的受力分析：1.主动力：本题中，若不计自重，杆BD本身不受主动力。但在B处与弯杆ABC铰接，弯杆会通过铰链B对BD杆施加力。2.约束力：*D端搁置于光滑水平面，故约束力垂直于接触面（水平面）向上，记为F_ND。*B处为光滑铰链连接，约束力方向待定，通常用两个正交分力表示，记为F_Bx和F_By（或根据二力杆特性判断）。此处注意：杆BD若仅在B、D两点受力而平衡，则杆BD为二力杆。二力杆的特点是两端约束力必沿两端点连线，且大小相等、方向相反。因此，BD杆的受力可简化为：D端受F_ND（即F_DB），B端受F_BD，二者沿BD连线，F_DB=-F_BD。这是更简洁准确的画法。*整体系统的受力分析：1.主动力：重物的重力G，作用于C点，铅垂向下。2.约束力：*A端为固定铰支座，约束力方向待定，用两个正交分力F_Ax和F_Ay表示。*D端搁置于光滑水平面，约束力垂直向上，记为F_ND（与杆BD分析中一致）。注意：整体系统内部各物体间的相互作用力（如ABC杆与BD杆在B处的相互作用力）为内力，在整体受力图中不画出。*第三步：画出受力图。*杆BD的受力图：在B点沿BD连线画出F_BD（指向可假设，如假设为拉力），在D点沿BD连线画出F_DB（与F_BD反向），或直接画F_ND向上（若已判断为二力杆，两种画法本质一致，前者更体现二力杆特性）。*整体系统的受力图：在A点画出F_Ax、F_Ay，在D点画出F_ND，在C点画出G。讨论与点评：本题的核心在于正确判断二力杆。对于只在两个力作用下平衡的刚体，无论其形状如何，这两个力必定沿两作用点的连线，且等值反向。准确识别二力杆能大大简化受力分析。画整体受力图时，务必注意区分内力与外力，内力不显示。受力图是解决后续平衡问题的基础，必须细致准确，力的作用点、方向、符号标注都应清晰无误。第二章平面力系的平衡条件与应用平面力系的平衡方程是解决工程中平面平衡问题的主要工具。根据力系的简化结果，平面力系平衡的充要条件是力系的主矢和对任一点的主矩均为零。例题2-1：平面一般力系的平衡题目：图示结构由水平梁AB和斜杆BC构成。A端为固定铰支座，C端为固定铰支座。梁AB上作用有均布载荷q（单位长度上的力），长度为l，在梁的中点D处作用一集中力F。已知q、l、F，且F=ql。斜杆BC与水平线夹角为45度，其自重不计。试求支座A和C处的约束力。解答思路与过程：*第一步：选取研究对象。本题要求A、C处约束力，结构由AB梁和BC杆组成。BC杆两端铰接，自重不计，且中间无其他力作用，故BC杆为二力杆。因此，C处对BC杆的约束力F_C必沿BC连线，进而BC杆对AB梁B处的约束力F_B也沿BC连线，且F_B=-F_C。因此，可取AB梁为研究对象。*第二步：画出AB梁的受力图。*主动力：*均布载荷q，作用于AB梁全长，可简化为一个集中力Q=q*l，作用于AB梁的中点（即D点处，巧了！），方向铅垂向下。*集中力F，作用于D点，方向（题目未明确，通常假设为铅垂向下，若无特殊说明，按此处理）。*约束力：*A端固定铰支座：F_Ax（水平方向），F_Ay（铅垂方向）。*B处受到二力杆BC的约束力F_B，沿BC连线方向。因BC杆与水平线夹角45度，故F_B方向为沿BC指向斜上方（假设BC杆受拉，则B处约束力指向A、B所在平面的斜上方）。可将F_B分解为水平和铅垂方向分力：F_Bx=F_B*cos45°，F_By=F_B*sin45°。*第三步：列写平衡方程。对AB梁，平面一般力系有三个独立平衡方程。取坐标系：以A为坐标原点，Ax轴水平向右，Ay轴铅垂向上。设力与坐标轴正向一致为正，力矩以逆时针转向为正。1.∑F_x=0：F_Ax-F_Bx=0(1)（F_Bx方向水平向左，与Ax轴正向相反）2.∑F_y=0：F_Ay-Q-F+F_By=0(2)（Q和F方向向下，F_By方向向上）3.∑M_A(F)=0：-Q*(l/2)-F*(l/2)+F_By*l=0(3)（Q和F对A点之矩为顺时针，取负；F_By对A点之矩为逆时针，取正）*第四步：代入已知条件并求解。已知Q=ql，F=ql，故Q+F=2ql。F_By=F_B*sin45°=F_B*(√2/2)。由方程(3)：ql*(l/2)-ql*(l/2)+F_By*l=0(ql²/2+ql²/2)+F_By*l=0ql²+F_By*l=0→F_By=ql²/l=ql（此处负号表示实际方向与假设方向相反？不，原方程列写时，若Q和F向下，则它们对A的矩是负的（顺时针）。所以-(ql*l/2)-(ql*l/2)+F_By*l=0→-ql²/2-ql²/2+F_Byl=0→-ql²+F_Byl=0→F_By=ql。正值，说明假设的F_By方向（向上）正确。）因为F_By=F_B*sin45°=ql，所以F_B=ql/sin45°=ql√2。则F_Bx=F_B*cos45°=ql√2*(√2/2)=ql。由方程(1)：F_Ax=F_Bx=ql。由方程(2)：F_Ay=Q+F-F_By=ql+ql-ql=ql。*第五步：求支座C处的约束力。因为BC杆为二力杆，F_C=F_B=ql√2，方向沿BC连线，与F_B方向相反，即指向斜下方。答案：支座A处约束力：F_Ax=ql(→)，F_Ay=ql(↑)；支座C处约束力：F_C=ql√2(沿CB方向，即指向斜下方)。讨论与点评：本题的关键在于识别出BC杆为二力杆，从而简化了B处的约束力。在列写平衡方程时，选择合适的矩心（如本题中对A点取矩可避免求解F_Ax和F_Ay，直接解出F_By）能有效简化计算。均布载荷的简化是基本功，其合力大小为载荷集度乘以分布长度，作用线通过分布区间的中点。对于平衡方程的正负号规定，应在解题开始时明确，并始终保持一致。本题中F与均布载荷的合力恰好作用于同一点，是一种巧合，解题时需仔细分析各力的作用位置。第三章点的运动学运动学研究物体在空间的位置随时间变化的几何性质（轨迹、速度、加速度），不涉及引起运动的力。点的运动学是运动学的基础。例题3-1：点的速度和加速度计算（直角坐标法）题目：一点沿平面曲线运动，其直角坐标运动方程为：x=t²-t，y=2t。式中x、y以米计，t以秒计。试求t=2秒时，该点的速度和加速度。解答思路与过程：*第一步：明确已知条件和所求。已知点的直角坐标形式的运动方程x(t)和y(t)，求t=2s时的速度v和加速度a。*第二步：求速度。在直角坐标系中，点的速度在各坐标轴上的投影等于该点相应坐标对时间的一阶导数。速度分量：v_x=dx/dt=d/dt(t²-t)=2t-1v_y=dy/dt=d/dt(2t)=2速度矢量v=v_xi+v_yj=(2t-1)i+2j(m/s)速度的大小（速率）：v=√(v_x²+v_y²)速度的方向：可由其方向余弦确定，或用与x轴正向的夹角θ表示，tanθ=v_y/v_x。当t=2s时：v_x=2*(2)-1=3m/sv_y=2m/s故t=2s时的速度大小v=√(3²+2²)=√(13)≈3.606m/s(保留三位小数，实际解题可根据要求保留)方向：tanθ=v_y/v_x=2/3，θ=arctan(2/3)，指向第一象限。*第三步：求加速度。在直角坐标系中，点的加速度在各坐标轴上的投影等于该点相应的速度投影对时间的一阶导数，或相应坐标对时间的二阶导数。加速度分量：a_x=dv_x/dt=d²x/dt²=d/dt(2t-1)=2m/s²a_y=dv_y/dt=d²y/dt²=d/dt(2)=0m/s²加速度矢量a=a_xi+a_yj=2i+0j=2i(m/s²)加速度的大小：a=√(a_x²+a_y²)=√(2²+0²)=2m/s²加速度的方向：沿x轴正方向。答案：t=2秒时，该点的速度大小为√13m/s(约3.61m/s)，方向与x轴正向夹角为arctan(2/3)；加速度大小为2m/s²，方向沿x轴正方向。讨论与点评：本题是直角坐标法描述点的运动的基本应用。关键在于牢记速度、加速度分量与坐标对时间的导数关系。对于平面问题，求出速度和加速度的两个分量后，其大小和方向即可确定。从计算结果看，该点的加速度为常矢量，且沿x轴方向，而速度的y分量为常量，说明点在y方向做匀速运动，x方向做匀加速运动，合运动为抛物线运动（因x是t的二次函数，y是t的一次函数，消去t可得y与x的二次关系）。在t=2s时，加速度方向与速度方向不一致，表明点的速度大小和方向均在改变。第四章刚体的基本运动刚体的基本运动包括平动和定轴转动，是研究复杂运动的基础。例题4-1：刚体定轴转动的角速度和角加速度，以及刚体上点的速度和加速度题目：一飞轮绕固定轴O转动，其轮缘上一点M的运动规律为s=0.1t³。飞轮的半径R=0.4米。试求当该点的速度v=30m/s时，飞轮的角速度ω、角加速度α以及该点M的切向加速度a_τ和法向加速度a_n。解答思路与过程：*第一步：明确已知条件和所求。已知飞轮轮缘上一点M的弧坐标运动方程s(t)，飞轮半径R。当v=30m/s时，求飞轮的ω、α，以及M点的a_τ、a_n。*第二步：理解刚体定轴转动的特点。刚体定轴转动时，其上各点都在垂直于转轴的平面内作圆周运动，圆心在转轴上。轮缘上的点M的运动轨迹是以O为圆心、R为半径的圆。*第三步：求点M的速度与飞轮角速度的关系，并确定对应时刻t。点M的速度大小v=ds/dt=d/dt(0.1t³)=0.3t²已知v=30m/s，故0.3t²=30→t²=100→t=10s(时间取正值)。刚体定轴转动时，刚体的角速度ω=v/R(因为v=Rω)所以，当v=30m/s时，ω=v/R=30/0.4=75rad/s。其方向沿转轴，具体指向由右手螺旋法则确定（因s随t增大，若规定弧坐标正向，则ω转向与s正向一致）。*第四步：求点M的切向加速度与飞轮角加速度的关系。点M的切向加速度a_τ=dv/dt=d/dt(0.3t²