圆的切线的性质和判定方法练习题

圆的切线的性质和判定方法练习题圆的切线是平面几何中的重要概念，其性质与判定方法更是解决诸多几何问题的关键工具。能否熟练掌握并灵活运用这些知识，直接关系到我们对几何图形的深刻理解和解题效率。下面，我们将通过一系列精心设计的练习题，帮助大家巩固相关知识，提升解题技能。一、圆的切线核心知识回顾在着手练习之前，让我们简要回顾一下圆的切线的核心性质与判定定理，这是我们解决问题的基础。（一）圆的切线性质1.性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。*此定理揭示了切线与半径之间的垂直关系，是切线最基本也是最重要的性质，常用来构造直角三角形，进而利用勾股定理等知识求解线段长度或角度。2.性质推论：*经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。*经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。*这两个推论指出了圆心、切点、切线垂线三者之间的位置关系，有助于我们确定图形中的关键元素位置。3.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。*切线长定理主要用于解决与切线长度相关的计算和证明，如线段相等、角平分线等问题。（二）圆的切线判定1.定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。（注：定义法多用于理论推导和判断，实际解题中较少直接应用）2.数量关系法（d=r法）：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。*当题目中未明确指出直线与圆是否有公共点，或难以直接证明直线与半径垂直时，可考虑计算圆心到直线的距离，若此距离等于半径，则直线为切线。3.位置关系法（判定定理）：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。*这是判定切线最常用的方法之一。应用的关键在于：①明确直线是否经过半径的外端；②证明直线与该半径垂直。二、练习题设计（一）基础巩固题题1：如图1，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，若∠BAC=30°，求∠ACB的度数及∠BOC的度数。（提示：回忆切线性质定理及直径所对圆周角的特点）题2：已知：如图2，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E。求证：DE是⊙O的切线。（提示：要证DE是切线，需连接圆心与切点（或考虑OD是否为半径并证明OD⊥DE），注意利用等腰三角形性质。）题3：如图3，OA是⊙O的半径，弦BC经过OA的中点D，且AD=OD，BC⊥OA，求证：BC是⊙O的切线。（提示：此题为“d=r”判定法的应用，需计算圆心O到直线BC的距离。）（二）能力提升题题4：如图4，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D。求证：AC平分∠DAB。（提示：连接OC，利用切线性质及平行线的判定与性质。）题5：已知：如图5，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD=∠A。判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论。（提示：判断位置关系，即判断BD是否为切线。可尝试连接OD，证明OD⊥BD。）题6：如图6，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，连接OP交⊙O于点C，连接AC、BC。若∠P=60°，PC=2，求⊙O的半径及弦AB的长。（提示：切线长定理的综合应用，注意△PAB的形状及OP与AB的关系。）三、参考答案与提示（一）基础巩固题*题1：*∵AB是直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。*∵直线l是切线，C为切点，∴OC⊥l。又∵OA=OC（半径），∠BAC=30°，∴∠OCA=30°。*∴∠BOC=∠BAC+∠OCA=30°+30°=60°（或在Rt△OCE中（E为l上除C外一点），∠COA=60°，则∠BOC=180°-60°=120°？此处需明确图形中直线l与AB的位置关系，假设l与AB不相交，则∠BOC=2∠BAC=60°。请根据实际图形判断，核心是利用切线垂直半径及等腰三角形性质。）*题2：*连接OD。∵AB=AC，∴∠B=∠C。∵OB=OD，∴∠B=∠ODB。∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC。*∵DE⊥AC，∴OD⊥DE。∵OD是半径，∴DE是⊙O的切线。*题3：*∵D是OA中点，AD=OD，设OD=AD=x，则OA=2x（半径r=2x）。*∵BC⊥OA于D，∴OD是圆心O到直线BC的距离d。*∵OD=x，而r=2x，∴d=x≠r，因此原题结论应为“BC不是⊙O的切线”？或题目条件应为“以O为圆心，OD为半径”？请核对题目。若题目条件正确，则BC与⊙O相交于D点（∵OD<OA=r）。此处可能存在题目表述问题，核心是理解“d=r”判定法。（二）能力提升题*题4：*连接OC。∵CD是切线，∴OC⊥CD。∵AD⊥CD，∴OC∥AD。∴∠DAC=∠OCA。*∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA。∴∠DAC=∠OAC，即AC平分∠DAB。*题5：*直线BD与⊙O相切。*连接OD。∵OA=OD，∴∠A=∠ODA。∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°。*∵∠CBD=∠A，∴∠ODA+∠CDB=90°。∴∠ODB=180°-(∠ODA+∠CDB)=90°。*∴OD⊥BD。∵OD是半径，∴BD是⊙O的切线。*题6：*∵PA、PB是切线，∴PA=PB，OP平分∠APB，OP⊥AB，AC=BC。*∵∠P=60°，∴△PAB是等边三角形，∠APO=30°。*设⊙O半径为r，则OA=r，OP=OC+PC=r+2。*在Rt△PAO中，∠APO=30°，∴OA=1/2OP，即r=1/2(r+2)，解得r=2。*∴OA=2，OP=4。在Rt△AOP中，PA=√(OP²-OA²)=√(16-4)=2√3。*∵AB⊥OP，设AB与OP交于点M。在Rt△PAM中，∠APM=30°，PA=2√3，*∴AM=PA·sin30°=2√3×1/2=√3，∴AB=2AM=2√3。四、总结与反思通过以上练习，我们可以看出，解决与圆的切线相关的问题，关键在于准确把握切线的性质与判定条件，并能根据题目特点灵活选择辅助线（如连接圆心与切点、构造直角三角形、利用直径等）。在性质应用中，“切线垂直于过切点的半径”是“通法”；在判定时，要仔细分析已知条件，选择“有切点，连半径，证垂直”或“无切点，作垂直，证半径”的策略。建