人教版八年级数学上册第十一章“镶嵌”教案

人教版八年级数学上册第十一章“镶嵌”教案一、课题名称镶嵌二、授课年级八年级上册三、课时安排1课时四、教材分析本节课是人教版八年级数学上册第十一章“三角形”中的一节数学活动课内容。在此之前，学生已经学习了三角形、多边形的内角和与外角和等相关知识，对正多边形的性质也有了初步的认识。“镶嵌”作为多边形内角和知识的一个重要应用，不仅能加深学生对所学知识的理解与巩固，更能让学生体会到数学在现实生活中的广泛应用，感受到数学的美。通过本节课的学习，学生将经历从观察生活现象到抽象出数学问题，再通过探究得出数学结论，并将结论应用于解决实际问题的过程，这对于培养学生的数学应用意识、空间观念和动手操作能力具有重要意义。五、学情分析八年级学生在认知上已经具备了一定的抽象思维能力和初步的逻辑推理能力，但仍以形象思维为主。他们对新奇的、与生活联系紧密的数学现象抱有浓厚的兴趣，乐于动手操作和参与小组合作探究。在知识储备上，学生已经掌握了多边形内角和公式，能够计算正多边形的每个内角的度数，这为本节课探究镶嵌的数学原理奠定了坚实的基础。然而，学生可能对于“为什么这些图形能够铺满地面而不留空隙”这一现象背后的数学本质理解不够深入，将实际问题转化为数学模型的能力还有待提升。因此，教学中应注重引导学生从具体实例出发，通过动手操作、观察比较、合作交流等方式，自主发现镶嵌的规律和条件。六、教学目标1.知识与技能：*理解镶嵌的概念，知道平面图形镶嵌的条件。*掌握几种常见的单一正多边形（如正三角形、正方形、正六边形）能够镶嵌平面的理由。*了解两种正多边形组合镶嵌的简单情况。2.过程与方法：*通过观察生活中的镶嵌图案，经历从具体到抽象的思维过程，发展空间观念。*通过动手操作、实验、猜想、验证等数学活动，体验镶嵌原理的探究过程，培养学生的动手实践能力和逻辑推理能力。*在探究活动中，学会与他人合作交流，分享探究成果。3.情感态度与价值观：*通过欣赏镶嵌图案的美，感受数学的魅力，激发学习数学的兴趣。*体会数学与生活的密切联系，培养应用数学的意识和能力。*在探究和设计镶嵌图案的过程中，培养学生的创新精神和审美情趣。七、教学重难点*教学重点：理解镶嵌的概念，探究并掌握单一正多边形镶嵌的条件。*教学难点：探究两种正多边形能够进行平面镶嵌的条件，以及从实际问题中抽象出数学模型。八、教学方法情境创设法、引导发现法、动手操作法、小组合作法、多媒体辅助教学法九、教学准备1.教师准备：多媒体课件（包含各种镶嵌图案图片、正多边形图形）、若干边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形纸片（或可拼接的磁性教具）、直尺、量角器。2.学生准备：预习教材相关内容，准备若干边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形纸片（可提前布置学生用硬纸板制作）、剪刀、胶水（或胶带）、练习本、直尺、量角器。十、教学过程（一）创设情境，引入新课1.展示图片，激发兴趣：（教师利用多媒体展示生活中常见的镶嵌图案，如：地板砖铺设图案、墙面瓷砖图案、蜂巢的截面、某些建筑物的外墙装饰、传统的窗棂图案等。）师：同学们，请看这些图片（指向屏幕），这些是我们生活中常见的一些装饰图案。大家仔细观察，它们有什么共同的特点呢？（引导学生观察，小组内简短交流）生：它们都是由一些形状相同或不同的图形拼接而成的。生：它们拼接得很紧密，没有空隙。生：也没有重叠在一起。2.引出概念，揭示课题：师：同学们观察得非常仔细。像这样，用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）。今天，我们就一起来探究“镶嵌”的奥秘。（板书课题：镶嵌）（二）探究新知，形成概念1.理解镶嵌的定义：师：根据刚才我们的观察和讨论，谁能尝试用自己的话给“镶嵌”下一个定义？（学生回答，教师引导完善）师：准确地说，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称作平面图形的密铺。（板书：一、镶嵌的定义：用一种或几种平面图形……不留空隙、不重叠……铺成一片。）师：那么，是不是所有的平面图形都能进行镶嵌呢？我们先来研究一下单一正多边形的镶嵌问题。2.探究单一正多边形的镶嵌条件：师：我们学过的正多边形有哪些？生：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形等等。师：如果只用一种正多边形，比如正三角形，它能镶嵌成一个平面图案吗？正方形呢？正五边形呢？正六边形呢？请同学们拿出课前准备好的相应正多边形纸片，以小组为单位，动手拼一拼，看看哪些正多边形可以单独镶嵌成一个平面，哪些不能，并思考为什么。（学生分组活动，动手操作，教师巡视指导，关注学生的拼摆过程和讨论情况。给予适当提示：可以围绕一个点进行拼接，观察拼接点处各角之和有什么关系。）（活动时间约5-8分钟）3.交流展示，分析归纳：师：好，时间到。哪个小组愿意分享你们的实验结果和发现？（各小组代表发言，展示拼摆成果）*正三角形组：生1：我们组用正三角形纸片拼了，发现可以镶嵌。（展示拼接好的图案）师：很好，能具体说说你们是怎么拼的吗？在一个拼接点处，有几个正三角形的内角？它们的和是多少？生1：在一个点周围，我们放了六个正三角形。每个正三角形的内角是60°，六个角加起来就是6×60°=360°。师：非常好，观察得很仔细。*正方形组：生2：我们组用正方形拼，也能镶嵌。（展示图案）在一个点周围放了四个正方形，每个正方形内角是90°，四个角的和是4×90°=360°。*正五边形组：生3：我们组试了正五边形，怎么拼都有空隙，不能镶嵌。（展示尝试拼接的有缝隙的图案）师：为什么呢？能说说你们的分析吗？生3：正五边形每个内角是108°（可引导学生回忆或计算：(5-2)×180°/5=108°）。如果围绕一个点拼，3个内角是3×108°=324°，小于360°，有空隙；4个内角是4×324°=432°，大于360°，又重叠了。所以不行。*正六边形组：生4：正六边形可以镶嵌！（展示图案）每个内角是120°，3个内角的和是3×120°=360°，刚好铺满。*（可选）正八边形组：生5：我们组试了正八边形，每个内角是135°（(8-2)×180°/8=135°）。两个角是270°，三个角是405°，也不行，有空隙或重叠。师：同学们通过动手操作和计算，得出了非常有价值的结论。那么，谁能总结一下，一种正多边形能够单独镶嵌平面，需要满足什么条件呢？（引导学生思考，小组讨论后回答）生：在一个拼接点处，几个正多边形的内角之和等于360°。师：非常准确！也就是说，这个正多边形的内角的度数必须是360°的约数。因为要保证在一个顶点处，若干个内角能够恰好拼成一个周角（360°），这样才能做到既无空隙又不重叠。（板书：二、单一正多边形的镶嵌：在一个顶点处，若干个内角之和为360°。）4.得出结论：师：那么，请大家根据正多边形内角和公式以及镶嵌条件，想一想，到底哪些正多边形可以单独进行镶嵌呢？（学生思考，计算验证）师生共同总结：*正三角形：每个内角60°，360°÷60°=6，6个正三角形可以镶嵌。*正方形：每个内角90°，360°÷90°=4，4个正方形可以镶嵌。*正五边形：每个内角108°，360°÷108°≈3.333，不是整数，不能镶嵌。*正六边形：每个内角120°，360°÷120°=3，3个正六边形可以镶嵌。*正七边形：每个内角约为128.57°，360°÷128.57°≈2.8，不是整数。*正八边形：每个内角135°……同理，不行。师：所以，在所有的正多边形中，只有正三角形、正方形、正六边形这三种正多边形可以单独进行平面镶嵌。（板书：结论：单一正多边形镶嵌——正三角形、正方形、正六边形。）（三）拓展延伸，合作探究1.提出问题，引发思考：师：我们知道了单一正多边形镶嵌只有三种情况。但是，我们刚才看到的很多生活中的镶嵌图案，并不都是由单一的正多边形组成的，它们有的是由几种不同的正多边形组合而成的。那么，用两种或两种以上的正多边形能否进行镶嵌呢？如果能，又需要满足什么条件呢？（板书：三、两种正多边形的镶嵌）2.探究两种正多边形的镶嵌：师：我们以正三角形和正方形为例，大家动手拼一拼，看看它们能否组合起来镶嵌平面？如果能，在一个顶点处各需要几个正三角形和几个正方形？（学生小组合作，动手操作，教师巡视指导）（学生可能会尝试出多种组合，如：2个正方形和3个正三角形）生：我们组发现，用3个正三角形和2个正方形可以镶嵌。在一个顶点处，3个60°和2个90°，3×60°+2×90°=180°+180°=360°。（教师引导学生计算验证，并展示学生的拼接成果）师：非常好！还有其他的组合吗？比如正三角形和正六边形？或者正方形和正八边形？大家可以选择自己感兴趣的两种正多边形组合进行尝试，并思考：在一个顶点处，这两种正多边形的内角之和应该满足什么条件？（学生继续分组探究，如正三角形与正六边形，正方形与正八边形，正三角形与正十二边形等。）（引导学生得出：两种正多边形镶嵌，在一个顶点处，设一种正多边形有m个，其内角为α；另一种正多边形有n个，其内角为β，则有mα+nβ=360°（m、n为正整数）。）3.成果展示与交流：师：哪个小组愿意分享你们的探究成果？说说你们选择了哪两种正多边形，是否能够镶嵌，以及在一个顶点处各用了几个。（各小组代表发言，展示拼接图案，并说明理由，如：）*正三角形和正六边形：2个正三角形和2个正六边形（2×60°+2×120°=360°）；或4个正三角形和1个正六边形（4×60°+1×120°=360°）。*正方形和正八边形：1个正方形和2个正八边形（1×90°+2×135°=360°）。*正三角形和正十二边形：1个正三角形和2个正十二边形（1×60°+2×150°=360°）。师：同学们太棒了，通过动手实践，找到了这么多两种正多边形组合镶嵌的例子。看来，两种正多边形的组合镶嵌，关键仍然是在一个拼接点处，各个正多边形的内角之和等于360°。（四）巩固练习，深化理解1.判断下列图形能否单独镶嵌平面：（1）正七边形（2）正十边形（3）任意三角形（4）任意四边形（对于（3）（4），可引导学生思考：任意三角形内角和180°，6个三角形可在一个点处拼成360°；任意四边形内角和360°，4个四边形可在一个点处拼成360°，所以任意三角形和任意四边形也能单独镶嵌，但这不是我们今天研究的重点，点到为止即可。）2.用边长相等的正三角形和正六边形组合镶嵌，在一个顶点处，最多有几个正三角形，最少有几个正三角形？3.如图是某广场地面的一部分，地面的图案是用大小相同的黑、白正方形地砖镶嵌而成，图中第n个黑色地砖的块数是多少？（给出简单图示，引导学生找规律，此题为拓展，视学生情况而定）（五）课堂小结，知识升华师：同学们，这节课我们一起探索了镶嵌的奥秘，大家有哪些收获和体会呢？（学生自由发言，总结本节课所学知识、方法和情感体验）师：通过今天的学习，我们知道了什么是镶嵌，掌握了单一正多边形镶嵌的条件是在一个顶点处内角和为360°，并且只有正三角形、正方形、正六边形可以单独镶嵌。我们还初步探究了两种正多边形组合镶嵌的条件。希望同学们能将今天学到的知识运用到生活中，善于观察，发现数学的美，并用数学的眼光去解释生活中的现象。（六）布置作业，拓展延伸1.基础作业：教材练习题中与镶嵌相关的题目。2.拓展作业：（1）设计一个用两种正多边形组合镶嵌的图案，并说明设计思路。（2）上网搜集更多关于镶嵌的图案和资料，了解一下非正多边形的镶嵌情况，下节课与同学分享。3.思考作业：三种或三种以上的正多边形能否进行镶嵌？如果能，请举例说明。十一、板书设计镶嵌一、镶嵌的定义：用一种或几种平面图形……不留空隙、不重叠……铺成一片。二、单一正多边形的镶嵌：条件：在一个顶点处，若干个内角之和为360°。结论：单一正多边形镶嵌——正三角形（60°×6）、正方形（90°×4）、正六边形（120°×3）。（可画出简单示意图）三、两种正多边形的镶嵌：条件：在一个顶点处，各正多边形内角之和为360°。举例：正三角形和正方形：3×60°+2×90°=360°正三角形和正六边形：2×60°+2×120°=360°或4×60°+1×120°=360°（可画出简单示意图）四、小结