《电路基础》-84教学材料

8.1引言

在第7章对正弦交流稳态电路的分析中，利用相量可以实现对正弦交流稳态电路的定量分析，由于电感和电容在电路中呈现的电抗值与频率有关，所以在不同频率下电路呈现的特性是不同的。当信号频率为某一特定频率使正弦稳态电路呈现纯电阻性质时，我们称电路发生了谐振。利用电路的谐振特性，我们可以选择所需的信号频率或抑制某些干扰信号，还可以利用电路的谐振特性来测量电抗型元件的参数。本章讨论的问题是:当频率变化到谐振频率点及其附近时，电路会出现哪些特殊现象，如何分析这些特殊现象。返回8.2知识结构和教学要求1.知识结构(1)串联谐振和并联谐振:①谐振的条件;②谐振的基本特性;③谐振的频率特性;④谐振的能量特性。(2)正弦交流电路的最大功率传输;(3)谐振电路的应用:①信号的选择;②元器件的测量;上一页下一页返回8.2知识结构和教学要求③提高功率的传输效率。2.教学要求(1)理解RLC串联电路发生谐振的条件，掌握谐振角频率w。的概念。(2)理解RLC串联电路谐振时的特性。(3)了解特性阻抗P和品质因数Q的物理含义。(4)了解RLC串联电路谐振时的能量转换和传输过程。上一页下一页返回8.2知识结构和教学要求}s)了解串联谐振电路的频率特性。(6)理解RLC并联电路发生谐振的条件，掌握谐振角频率。。的概念。C)理解RLC并联电路谐振时的特性。(8)了解并联谐振电路的频率特性。(9)了解并联谐振电路的分析方法。yob理解正弦交流电路的最大功率传输的条件。上一页返回8.3教学内容8.3.1串联谐振电路学习目标:熟悉串联谐振电路产生谐振的条件，理解串联谐振发生时串联谐振电路的基本特性和频率特性，掌握串联谐振电路谐振频率和阻抗等电路参数的计算。1.RLC串联电路的基本关系在图8一1所示的RLC串联电路中，当信号源为角频率w。的正弦电压u=0。时，电路的复阻抗为下一页返回8.3教学内容其中，回路中的电流为

2.串联谐振的条件当回路中的电流与信号源电压的相位相同时，有ψ=0，这时复阻抗中的电抗X=0，我们称此时电路发生了串联谐振。一个RL‘串联电路发生谐振的条件是X=XL一XC=0，即c}}L=命由串联谐振的条件可得:上一页下一页返回8.3教学内容f0称为RLC.电路的固有谐振频率，它只与电路的参数有关，与信号源无关。由此得到使电路发生谐振的方法如下:①调整信号源的频率，使之等于电路的固有频率;②信号源的频率不变时，可以改变电路中L或C的大小，使电路的固有频率等于信号源的频率。3.串联谐振电路的基本特性①串联谐振时，电路的复阻抗最小，且呈电阻特性。由上面分析可知，串联谐振时电抗X=0，|Z|==R，呈纯电阻性，且阻抗最小。上一页下一页返回8.3教学内容若f<f0时，wL<1/WC，电路呈电容性质。若f>f0时，wL<1/WC，电路呈电容性质。②串联谐振时，回路中的电流最大，且与外加电压相位相同。因为谐振时，复阻抗的模最小，在输入电压不变的情况下，电路中的电流最大;又因为谐振时的复阻抗为一纯电阻，所以电路中的电流与电压同相。③串联谐振时，电感的感抗等于电容器的容抗，且等于电路的特性阻抗，即上一页下一页返回8.3教学内容特性阻抗是衡量电路特性的一个重要参数。④串联谐振时，电感两端的电压和电容两端的电压大小相等，相位相反，其数值为输入电压的Q倍。谐振时，电感和电容两端的电压相等，即上一页下一页返回8.3教学内容式中，Q=W0L/R针，称为串联谐振回路的品质因数，是谐振电路的一个重要参数。Q值的大小可达Ω十甚至Ω百，一般为50一200。电路在谐振状态下，感抗或容抗比电阻要大得多，因此，电抗元件上的电压通常是外加电压的Ω十倍甚至Ω百倍，因此，串联谐振也称为电压谐振。例8一1已知RLC串联电路中的L=0.1mH,C=1000pF,R=10Ω，电源电压U=0.1mV，若电路发生谐振，求:电路的谐振频率、特性阻抗、品质因数、电容器两端的电压和回路中的电流各是多少?解：上一页下一页返回8.3教学内容4.串联谐振回路的能量特性设RLC串联电路的电源电压为US=USMsinw0t,w0

为电路的固有谐振频率，因电路处于谐振状态，回路中的电流为上一页下一页返回8.3教学内容这时电阻上的瞬时功率为电源向电路供给的瞬时功率为上一页下一页返回8.3教学内容上述分析说明:谐振状态下电源供给电路的功率全部消耗在电阻上。由于电感元件两端的电压与流过它的电流相位相差90，电感元件两端的电压为电感中的磁场能量为同理，电容元件两端的电压为上一页下一页返回8.3教学内容电容中的电场能量为电场能量与磁场能量的总和为上式说明:在串联谐振时，电感元件两端的电压与电容元件两端的电压大小相等，相位相反。电场能量和磁场能量相互转换，且总的存储能量保持不变。

5.串联谐振电路的频率特性上一页下一页返回8.3教学内容

一个RLC串联电路外加信号源的电压幅度不变而频率发生变化时，串联电路的电抗值将随信号源的频率发生变化，从而导致电路中的电流、各元件的电压均发生变化，这种电路参数随信号源频率变化的关系，称为频率特性。

(1)回路阻抗与频率之间的特性曲线。图s-2中给出了阻抗和电抗随频率变化的关系曲线。根据感抗和容抗与频率的关系可知，感抗与频率成正比，可用一条直线来表示;容抗与频率成反比且为负值，因此用一条负的反比曲线来表示;电阻不随频率变化，所以用一条虚直线表示。在描述回路阻抗与频率的关系时，通常是采用阻抗的模表示，阻抗的模随频率变化的关系为上一页下一页返回8.3教学内容

由图8-2可看出，当w=w。时，|Z|=R，此时阻抗最小且为纯电阻，随着w偏离w。越远，根号内第二项越来越大，形成图中的黑粗实线所示的阻抗频率特性曲线。(2)回路电流与频率的关系曲线。由式(8-2)可知，串联谐振回路中电流的大小为上一页下一页返回8.3教学内容当w=w。时，电路发生谐振，电路中的电流最大I=I。=Us/R。为了便于比较不同参数的RLC串联电路的特性，通常用I/I。表示电流的频率特征。式(8一14)表示的谐振特性曲线见图8一3。从谐振特性曲线可以看出，I一w。曲线是将|ZI一w。曲线倒过来，最大值出现在w。处。w偏离w。越远，|Z|越大，I也就越小。当电路中的Q值不同时，在偏离谐振频率相同数值时，电流的大小也不同。Q值越高，曲线越尖锐，I/I。衰减得越快·所以Q值高时电路对非谐振频率下的电流具有较强的抑制能力。上一页下一页返回8.3教学内容(3)回路电流相位与频率的关系曲线。若输入电压的初相位为0时，回路电流的初相值等于阻抗相位的负值。即相频特性曲线如图8一4所示。(4)通频带。在无线电技术中，要求电路具有较好的选择性，常常就要求采用较高Q值的谐振电路。但是实际的信号都具有一定的频率范围。如电话线路中传输的声音信号，频率范围一般为3.4kHz，音乐的频率是30Hz一15kHz。这说明实际的信号都占有一定的频带宽度。上一页下一页返回8.3教学内容为了不失真的传输信号，保证信号中的各个频率分量都能顺利地通过电路，通常规定当}IlL衰减到最大值的1/√2时，I/l>1√2所对应的频率范围称为谐振电路的通频带B，如图8一5所示，B=f2一f1。其中无、五称为通频带的上、下边界频率。通频带与品质因数Q的关系可以通过式8一14求得。由上式解得(去掉无意义的负频率)上一页下一页返回8.3教学内容通频带的宽度为由以上分析可知，Q值愈高，谐振曲线愈尖锐，电路的选择性愈好，但电路的通频带也就愈窄;反之，Q值愈低，谐振曲线愈平滑，选择性愈差，但电路的通频带愈宽。上一页下一页返回8.3教学内容因此电路的选择性和通频带之间存在着矛盾，要减小信号的失真，要求在通频带范围内的谐振曲线平滑，电路的Q值就要低一些;从抑制干扰信号的观点出发，又要求电路的谐振曲线尖锐一些，而希望电路的Q值尽量高。在实际应用中，要根据具体情况选择适当的Q值。例8-2RLC串联调谐回路的电感量为310uH，欲接收载波频率为540kHz的电台信号，问这时的调谐电容为多大?若回路的Q=50,频率为540kHz的电台信号在线圈中的感应电压为1mV，同时进人输入调谐回路的另一电台信号频率为600kHz，在线圈中的感应电压也为1mV，求两信号在回路中产生的电流各为多大？上一页下一页返回8.3教学内容解:(i)欲收载波频率为540kHz的电台信号，就应使输入调谐回路的谐振频率也为540kHz，由式可推出(2)由于电路对频率为540kHz的信号产生谐振，所以回路的电流入I。，为上一页下一页返回8.3教学内容频率为600kHz的电压产生的电流为此例说明，当电压值相同、频率不同的两个信号通过串联谐振电路时，电路的选择性使两信号在回路中产生的电流相差10倍以上。检验学习结果:(1)RLC串联电路发生谐振的条件是什么?如何使RLC串联电路发生谐振?上一页下一页返回8.3教学内容(2)串联谐振电路谐振时的基本特性有哪些?(3)串联谐振电路的品质因数Q与电路的频率特性曲线有什么关系?是否影响通频带？

(4)已知RLC串联电路的品质因数Q=200，当电路发生谐振时，L和C上的电压值均大于回路的电源电压，这是否与基尔霍夫定律有矛盾?8.3.2并联谐振电路学习目标:掌握并联谐振电路产生谐振的条件，熟悉并联谐振发生时并联谐振电路的基本特性和频率特性，掌握并联谐振电路谐振频率和阻抗等电路参数的计算。上一页下一页返回8.3教学内容

一个电感和一个电容首尾相连形成一个闭环，就可构成一个最简单的并联谐振电路。由于电感内的电阻通常不能忽略，所以电感支路由纯电感和电阻串联组成，而电容器的损耗(漏电流)极小，其电阻可以忽略不计，近似认为是纯电容，如图8一6(a)所示。电路两端的等效导纳为上一页下一页返回8.3教学内容1.并联谐振电路的谐振条件当并联电路输入电流的频率恰好使电纳B=0时，导纳Y=C，电路中的响应电压与输入电流同相，我们称此时电路的状态为并联谐振状态。在实际的电路中，线圈中的电阻都是很小的，一般都满足:r<=w0L的条件。因此根据并联谐振电路产生谐振的条件，令电路中的电纳B=0，可得上一页下一页返回8.3教学内容

此结果表明，同样大小的L,C组成的串联、并联谐振电路，它们的谐振频率是近似相等的。一般可以利用式(8一18)计算并联谐振频率。图8一6(b)所示电路为理想元件组成的并联谐振电路，图8一6(a)和(b)中两个电阻之间的关系为或电路的空载品质因数Q为上一页下一页返回8.3教学内容2.并联谐振电路的基本特性①电路发生并联谐振时，导纳最小(阻抗最大)，且呈电阻性。在并联谐振时，由于B=0，所以Y=G最小，电路呈电阻性。电路的阻抗Z=1/Y=1/G最大，由式(8一17)可得电路的谐振阻抗为当f<f0时，wL<1/wc，电路呈电感性质。当f>f0时，wL>1/wc，电路呈电容特性。②电流源输入的电路发生并联谐振时，电路两端的电压最大，端电压与外加电流同相。上一页下一页返回8.3教学内容由于电路处于谐振状态时，电路的Y=C，导纳的模最小，所以u=I/Y=I/G最大;又因为谐振状态时B=0,Y为纯电阻性质，所以端电压与外加电流同相。③并谐时，电感支路的电流与电容支路的电流大小相等，相位相反，且为输入电流的Q倍。由图8-6(b)可得并谐时各电抗支路上电流为同理上一页下一页返回8.3教学内容

由此可得，当电路参数和输入电流不变时，IC和IL大小相等，相位相反。外加电流全部流过电阻Ro若将电感和电容两条支路看做一个回路时，两条支路的电流按实际方向就是环绕回路流动的电流。如果利用电压源向并联谐振回路供电，则在谐振状态下电压源流人电路的电流最小。电力网利用并联电容的方法增加功率因数，提高发电设备的利用率，就是依据此原理。3.并联电路的频率特性并联电路的等效阻抗为上一页下一页返回8.3教学内容由于w0=1/w0L，谐振时的阻抗Z0=1/G，所以当复阻抗用模值表示时，有上一页下一页返回8.3教学内容

与串联谐振电路相比，RLC并联谐振电路的阻抗频率特性与串联谐振电路的电流频率特性是相似的，所以可以参照图8一3的特性曲线。但要注意，当w>w0时，并联谐振电路呈感性;当w<w0时，并联谐振电路呈容性。并联谐振电路两端的电压为上一页下一页返回8.3教学内容所以并联谐振电路两端的电压有效值与谐振时的电压有效值之比为它的幅角为式(8-24)和式(8一25)就是并联谐振电路的电压幅频特性曲线和相频特性曲线的表示式，特性曲线的形状与图8一3和图8-4相同，这里不再画出。上一页下一页返回8.3教学内容

当激励的电流源有一定内阻时，将降低并联谐振回路的并联等效电阻，降低Q值，使电路的选择性变坏。所以并联谐振电路适宜配合高内阻信号源工作。4.并联谐振电路的一般分析方法当两条支路并联时，设各支路的阻抗分别为:Z1=R1+jX1，Z2=R2+jX2如图8一7.则各方路的导纳为上一页下一页返回8.3教学内容两支路并联后的总导纳为电路发生并联谐振的条件为:B=0。当各支路的Q值较高时，有|X2|>>R1,|X2|>>

R,，因此并联谐振条件可以简化为即并联谐振电路发生谐振时，回路中所有元件电抗值的代数和为零。或者说一条支路的总电抗与另一条支路的总电抗大小相等，符号相反上一页下一页返回8.3教学内容

在谐振条件下，B=0，各支路的谐振电抗,|X10|>>

R,,|X20|>>

R2，这时并联谐振电路的总阻抗为利用式(8一26)和式(8一27)可以解决一般并联谐振电路的计算问题。5.电源内阻对并联谐振电路的影响

在实际的应用电路中，并联谐振电路的激励信号源都有一定内阻，如图8一8所示，信号源中的内阻对谐振电路会产生什么影响呢?上一页下一页返回8.3教学内容在未接信号源时，电路谐振时的阻抗为R;当接入信号源后，电路谐振时的阻抗变为R//R，即谐振阻抗减小。由于QV=R/w0L变为Q=R//RS/w0Z使并联谐振电路的选择性变差，通频带变宽。为了尽量减小信号源内阻对并联谐振电路的影响，一般采用部分接入的方如图8一9所示。图8一9中的R等效至R两端时，其等效电阻为阻值变大，使信号源内阻对并联谐振电路的影响大大减小。式中的P}称为接入系数。上一页下一页返回8.3教学内容

当我们只改变电感中心的抽头位置而不改变总电感量时，电路的谐振Z频率不变。例8-3图8一10所示电路中的电感之间无互感，R1=10Ω为电感线圈得内阻，L1=5mH，L2=1mH，C=1000pF.求:1)并联电路的固有谐振角频率。(2)电路未接信号源时的品质因数YOo(3)将一内阻为R=100kΩ的信号源接入后，电路的品质因数变为多大?(4)信号源接入前后，并联谐振电路的通频带各为多少?解:(1)由式(8一24)得上一页下一页返回8.3教学内容(2)由式(8一20)得(3)将R、等效到电容两端时的电阻为上一页下一页返回8.3教学内容将R等效到电容两端时的电阻为(4)谐振频率为:信号源接入前通频带为上一页下一页返回8.3教学内容信号源接入后通频带为检验学习结果:1)如果信号源的频率大于或小于或等于并联谐振回路的谐振频率，问回路将分别呈现何种性质?(2)为什么称并联谐振为电流谐振?相同的Q值并联谐振电路，在长波段和短波段，通频带是否相同?(3)RLC并联谐振电路的两端并联一个负载电阻R}时，是否会改变电路的Q值?上一页下一页返回8.3教学内容8.3.3正弦交流电路的最大功率传输学习目标:理解正弦交流电路处于什么状态时负载具备获得最大功率的条件在正弦稳态电路中的某些场合，需要负载从信号源获取最大的功率，这时电路的参数和负载之间有什么关系呢?在图8一11所示电路中，Us和ZS=RS+iXS为等效电源的电压相量和内阻抗，负载阻抗为Zs=Rs+jX,，这时流过负载的电流为上一页下一页返回8.3教学内容电流的有效值为负载从电源获取的有功功率为当RL不变时，若XS+XL=0，则PL有极大值，这时上一页下一页返回8.3教学内容如果要得到负载获取的最大功率，dpL/dRL=0解之得:所以负载获取最大功率的条件是上一页下一页返回8.3教学内容负载获取的最大功率为当负载为纯电阻时，同样的方法，可以得到负载获取最大功率的条件为负载获取的最大功率为上一页下一页返回8.3教学内容

检验学习结果:(1)在电源内阻抗不同的条件下，负载获得最大功率的条件各是什么?(2)当电源内阻抗为感性阻抗而负载为纯电阻时，怎样才能使负载电阻获得最大的功率?8.3.4谐振电路的应用学习目标:熟悉谐振电路应用的场合及一般使用方法谐振电路的应用主要体现在以下Ω个方面。1.用于信号的选择上一页下一页返回8.3教学内容

信号在传输的过程中，不可避免要受到一定的干扰，使信号中混人了一些我们不需要的干扰信号。利用谐振的特性，就可以将大部分干扰信号滤除。在图8一12中，设信号频率为关f0，远离信号频率的干扰频率为关，我们将串联谐振电路和并联谐振电路的谐振频率都调整为f0。当信号传送过来时，由于并联谐振电路对频率f0的信号阻抗大，而串联谐振电路对频率f0的信号阻抗小，所以频率为f0的信号可以顺利地传送到输出端;对于干扰频率f.，并联谐振电路对其阻抗小，而串联谐振电路对其阻抗大，所以只有很小的干扰信号被送到输出端，干扰信号被大大削弱了，达到了滤除干扰信号的目的。上一页下一页返回8.3教学内容如电视机中的全电视信号，在同步分离后送往鉴频器或预视放前，要经过滤波，取出需要的信号部分，而将其他部分滤除。

2.用于元器件的测量利用谐振的特性，是测量电抗型元件集总参数的一种有效方法，Q表就是一个典型的例子，其原理电路如图8一13。首先调整信号源的频率和大小，使定位表指示在规定的数值上。接入被测电感，调整电容器的容量大小，使电路发生谐振。由于信号源的频率不再改变，所以电容器的变化量和被测电感之间有一一对应的关系。通过谐振状态时电容器两端的电压和信号源电压的关系，可以测量出电感上口值的大小及电感量的大小。上一页下一页返回8.3教学内容如果被测电感上接一个标准电感时，也可以用来测量电容器的电容量。3.提高功率的传输效率利用在谐振状态下，电感的磁场能量与电容器的电场能量实现完全交换这一特点，电源输出的功率全部消耗在负载电阻上，从而实现最大功率的传送。上一页返回本章小结1.谐振现象是同时含有电感L和电容C的正弦交流电路中的一种特殊现象。当电路满足一定条件时，电路的端电压和总电流同相，电路呈现纯电阻性。通过调节电源频率或改变电抗元件的参数可使电路达到谐振。

2.串联谐振的特点是:电路的阻抗最小，电流最大，在电感和电容元件两端出现过电压现象·串联谐振发生的条件是;谐振频率为F。=下一页返回本章小结3·串联谐振电路的品质因数等于谐振时线圈的感抗和电阻的比值，即w0L/R品质因数越高电路的选择性越好，但不能无限制地加大品质因数，否则通频带会变窄，致使接收的信号产生失真。

4·并联谐振的特点是:电路呈现高阻抗特性，即z=L/RC，因此电流最小，在电感和电容支路上出现过电流现象。并联谐振频率与串联谐振的频率相似，即上一页下一页返回本章小结5·并联谐振电路的品质因数等于谐振时线圈的电阻与感抗的比值，即R/w0L同样，品质因数越高，电路的选择性就越好。如在电路两端再并上一只电阻，那么品质因数就会降低，这可以用等效转换的三个理想元件的并联电路来分析计算。6.正弦交流电路中负载获得最大功率的条件是XL=一XSRL=RS;或ZL=ZS.上一页返回习题8一1填空题1.在含有L,C的电路中，出现总电压、电流同相位，。这种现象若发生在串联电路中，则电路中阻抗这种现象称为，电压一定时电流，且在电感和电容两端将出现中，电路阻抗将，电压一定时电流则将出现现象。;该现象若发生在并联电路_，但在电感和电容支路中2.谐振发生时，电路中的角频率w0=——，f0_。3.串联谐振电路的特性阻抗P=品质因数Q=4.理想并联谐振电路谐振时的阻抗Z=总电流等于.下一页返回习题实际应用中，并联谐振电路在未接信号源时，电路的谐振阻抗为R，接入信号源后，电路谐振时的阻抗变为电路的品质因数也由().，=而变为Q=从而使并联谐振电路的选择性变通频带变6.交流多参数的电路中，负载获取最大功率的条件是;负载上获取的最大功率尸二1=7.谐振电路的应用，主要体现在用于用于和用于8.品质因数越，电路的性越好，但不能无限制地加大品质因数，否则将造成变窄，致使接收信号产生失真。上一页下一页返回习题8-2判断下列说法的正确与错误1.串联谐振电路不仅广泛应用于电子技术中，也广泛应用于电力系统中。()2.谐振电路的品质因数越高，电路选择性越好，因此实用中口值越大越好。()3.串联谐振在L和C两端将出现过电压现象，因此也把串谐称为电压谐振。()4.并联谐振在L和C支路上出现过电流现象，因此常把并谐称为电流谐振。上一页下一页返回习题5.串联谐振电路的特性阻抗P在数值上等于谐振时的感抗与线圈铜耗电阻的比值。()6.理想并联谐振电路对总电流产生的阻碍作用无穷大，因此总电流为零

()7.无论是直流还是交流电路，负载上获得最大功率的条件都是RL=R0()8.RLC多参数串联电路由感性变为容性的过程中，必然经过谐振点。9.品质因数高的电路对非谐振频率电流具有较强的抵制能力。10.谐振状态下申源供给申路的功率令部消耗在申阻上。上一页下一页返回习题8一3单项选择题1.RLC并联电路在fo时发生谐振，当频率增加到2f}时，电路性质呈(A.电阻性B.电感性C.电容性2.处于谐振状态的RLC串联电路，当电源频率升高时，电路将呈现出(A.电阻性B.电感性C.电容性3.下列说法中，()是正确的。A.串谐时阻抗最小B.并谐时阻抗最小C.电路谐振时阻抗最小4.下列说法中，()是不正确的。A.并谐时电流最大B.并谐时电流最小C.理想并谐时总电流为零5.发生串联谐振的电路条件是()。上一页下一页返回习题6.正弦交流电路中，负载上获得最大功率的条件是()。A.RL=R0B.ZL=ZSCZL=ZS*8一4简答题1.何谓串联谐振?串联谐振时电路有哪些重要特征*2.发生并联谐振时，电路具有哪些特征?3.为什么把串谐称为电压谐振而把并谐电路称为电流谐振?4.何谓串联谐振电路的谐振曲线?说明品质因数()值的大小对谐振曲线的影响。上一页下一页返回习题5.串联谐振电路的品质因数与并联谐振电路的品质因数相同吗?6.谐振电路的通频带是如何定义的?它与哪些量有关?7.LC并联谐振电路接在理想电压源上是否具有选频性?为什么?8一5计算分析题1.已知一串联谐振电路的参数R=10Ω,L=0.13mH,C=558pF，外加电压U=5mV试求电路在谐振时的电流、品质因数