2024年广播电视大学电大工程数学复习资料本

工程数学复习资料

一、线性代数

1、矩阵的初等行变换：1）两行互换，2）某一行乘以一个非零常数，3）某一行的K倍加到另一行。

23013-1

014650

2、阶梯型矩阵：1）全为0的行写在最下面，2）首非零元的列标随行标的增大而增大。如

000-124

000000

3、行简化阶梯型矩阵:满足下列条件的阶梯型矩阵：1）首非零元全为I，2）首非零元所在列其他元素全为0“如:

1002

01403

000123

000000

4、求矩阵A的秩:・初钞挛换->阶梯型矩阵。阶梯型矩阵非零行的行数既为矩阵A的秩即r（A）

5-I2

1-235

例：设矩阵A=求矩阵4的秩.

3-1819

13-978

解：用初等行变换将矩阵化为阶梯形

1-15-12一1-15-121-15-12

11-23502-74302-743

—>->

3-181902-74300000

13-97804-148600000

由此可知矩阵的秩为2.

初等行变领

5、求矩阵方程AX二B：(AB)XIX)或X=A-,B

求矩阵A的逆矩阵:(A

1-1

1.例：设矩阵A二-I2tB.或解矩阵方程AX=B

22

1-102001-10200

解：（AB）=21050011250

223005043-405

101450100-8-155

011250■»010-10-155

00-1-12-2050011220-5

-8-155

・•.A-]B=-10-155

1220-5

~23-f

例：设矩阵A=0-11,，求:A-1

001

23-11002301011001/23/2-1

解:[A〃=0-11010—0-1001-1->0100-11

001001001001001001

1/23/2-1

因此A"=0-11

001

6、n元线性方程组解的判定

r(Ab)="A)=〃时，方程组有唯一解

1)AX=b：r(Ab)=r(A)时,方程组有解，

r(A0)=r(A)=〃<〃时，有无穷多解，且有h・r个自由未知量

r(Ab)Wr(A)时，方程组无解

«A)二〃时，方程组有唯一零解

AX=0：方程组一定有解《

r(A)=r</?M,有非零解，且有h-r个自由未知量

2)求齐次线性方程组AX=0的基础解系：将方程组中的自由未知量分别取(匕0,0),(0,k,0),(0,0,k)形式所得到的

解向量

3)求AX=0的一般解和所有解:

A行简化阶梯型矩阵=方程组的一般解=基础解系=方程组的全部解

求AX=b的一般解和所有解：

(A加3ra_>行简化阶梯型矩阵0方程组的一般解口相应齐次方程组的基看懈系

=>原方程组的一个特解匕方程组的全部解

例：设齐次线性方程组AX=0的系数矩阵通过初等行变换，得

2010

A--->02-32

0000

求此齐次线性方程组的一个基础解系和通解.

~2010"-101/20

解：因为02-32->01-3/21

00000000

得一般解：3（其中5，七是自由元）

令/=2,乙=0,得X[=[—1320]'；

令.=0，Z=1，得X?=[0-10if

因此，｛x,,x2｝是方程组的•个基础解系.

方程组的通解为：X=k｝X]+k2X2f其中K，葭是任意常数.

X1-3X2-2X3-X4-1

3x,-8占-4x.-x=0

例：2.线性方程组/二,二d的所有解

-2a+x2-4X34-2X4=1

一

2-2X2-6JT3+X4=2

1-3-2-1r-1-3-2-11-1045-8

3-8-4-100122-30122-3

解：（Ab）

-21-4210-5-80300210-12

-1-2-6120-5-803_00000

00-1516

=16+15X

010-894

=方程组的一般解《x=9+8X将常数项视为零，取匕=1得

0015-624

x=-6-5X

0000034

1516

89

对应齐次方程组的一个基础解系<取匕=0原方程组的一个特解故方程组的所有解

一5-6

10

1615

98

x=+c

-6-5

_0J[_1_

例：当团取何值时，线性方程组

$+x2-2xy-x4=-2

«2占+x2+7X3+3X4=6

9x）+7X2+4X3+x4=2+1

有解，在有解的情况下求方程组的所有解.

解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形

11-2-211-2-1-2

21736T0-111510

9741A+\_0-222102+19

11-2-1-2-0948-

->0-11151()一01-11-5-10

00002-10000A-1

由此可知当初方程组无解。当初4=1,方程组有解。

此时齐次方程组化为

M=-9X3-4X4

x2=1lx3+5X4

分别令®=LN=©及£=0,入=得齐次方程组的一个基础解系

X,=[-9111of,X2=[-450

令|工3=0，七=3,得非齐次方程组的一个特解

Xo=[8-100oj

由此得原方程组的所有解为

X=X°+£X|+/X2|（其中因，.|为任意常数）

二、概率部分

I、假设A,B为两事件,已知尸(A)=0.5,尸(B)=0.6,P(回>)=0.4,求尸(A+3).

解：P(AB)=P(A)P(B|A)=0.5x0.4=0.2

0(A8)=P(B)—P(AB)=0.6-0.2=0.4

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7

2、正态分布X〜

P(X<。)=①(^^),P(a<X<b)=0(^^)-,P(X>b)=l-P(X<b)=i-0(^£)

(Jaa(J

①(r)=l-①(x),①(0)=05

例：.设X〜N(2,9),试求(1)P(X<11);(2)P(5<X<8).(已知①(1)=0.8413,

①(2)=0.9772,中(3)=0.9987)

11_n

解：P(X<11)=O(llz£)=o(3)=0.9987

3

P(5<X<8)=O(匚)-①(二"①⑵-①(1)=0.1359

33

3、估景区间和假设检查：对于正态分布N

1)方差b?已知：统计量U二二幺，其中》二,^工.

吩〃“

与幺,则假设

置信区间：［又一=/°,又十=・〃J，假设检查：若\U\=“0

Tnl-2V/i,-7

成立

2)方差未知：统计量T=生义,52=—Y(X-x,.)2

s

/r-〃-1i=i

n

置信区回［又一73，斤+74］,假设检查：若|刀=

<ta,则假设“o

Nnyjn

例：.某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布.今从一批产品里随机取出9个，测得直径平均值为15.1mm,

若已知这批滚珠直径的方差为0.062,试找出滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间(“0975=L96)

解：因为已知国，故选用样本函数

〜N(0,l)

5

已知元=15.1,经计算得

滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间为打一“0975言，元+〃0.97£金1，又由已知条件〃。❷乃=196,故此置信区

间为[15.0608,15.1392]

例：对某一距离进行4次独立测量，得到的数据为（单位：米）:

15.51,15.47,15.50,15.52

由此计算出5=0.0216，已知测量无系统误差，求该距离的置信度为0.95的置信区间（测量道服从正态分布）

(r0975(3)=3.182).

解：因为未知国，

已知s=0.0216,羟计算得

元=15.50