专升本计算试题及答案

专升本计算试题及答案一、单选题（每题2分，共20分）1.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图像经过点(1,0)，且对称轴为x=-1，则b的值为（）（2分）A.-2B.2C.-1D.1【答案】A【解析】对称轴为x=-1，则顶点横坐标为-1，即-b/2a=-1，解得b=2a。又因为图像经过点(1,0)，代入得a+b+c=0，联立b=2a，解得b=-2。2.下列不等式中，正确的是（）（2分）A.-2<-3B.2^3<3^2C.log_23>log_32D.sin30°>cos45°【答案】C【解析】log_23>log_32等价于2^(log_23)>2^(log_32)，即3>2^(log_32)，两边取对数得log_33>log_32^(log_32)，即1>log_32，显然成立。3.设向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a+b的模长为（）（2分）A.5B.√13C.√29D.10【答案】C【解析】a+b=(1+3,2-4)=(4,-2)，模长为√(4^2+(-2)^2)=√20=√(4×5)=2√5。4.微分方程y'+y=0的通解为（）（2分）A.y=Ce^xB.y=Ce^-xC.y=CxD.y=Csinx【答案】B【解析】此为一阶线性齐次微分方程，解为y=Ce^∫-dx=Ce^-x。5.矩阵A=[12;34]的逆矩阵为（）（2分）A.[1-2;-34]B.[-12;3-4]C.[1/10-2/10;-3/104/10]D.[-1/102/10;3/10-4/10]【答案】D【解析】|A|=1×4-2×3=-2，A^(-1)=(-1/2)×[4-2;-31]=[-1/102/10;3/10-4/10]。6.若lim(x→2)(f(x)-3)/(x-2)=5，则f(2)的值为（）（2分）A.5B.7C.3D.无法确定【答案】B【解析】f(x)-3=(x-2)g(x)，其中g(x)在x=2处连续，故lim(x→2)g(x)=5，所以f(2)-3=0，f(2)=7。7.抛掷一枚质地均匀的硬币三次，恰好出现两次正面朝上的概率为（）（2分）A.1/8B.3/8C.1/4D.1/2【答案】B【解析】总情况数为2^3=8，恰好出现两次正面朝上的情况数为C(3,2)×(1/2)^2×(1/2)=3/8。8.函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值和最小值分别为（）（2分）A.8,-8B.8,-4C.4,-4D.4,-8【答案】A【解析】f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-2)=-8，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=8，故最大值为8，最小值为-8。9.级数∑(n=1→∞)(1/2^n)的和为（）（2分）A.1/2B.1C.2D.∞【答案】B【解析】此为等比级数，首项a=1/2，公比r=1/2，和为a/(1-r)=(1/2)/(1-1/2)=1。10.在极坐标系中，方程ρ=4cosθ表示的图形是（）（2分）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】A【解析】将方程化为直角坐标系下的方程得(x^2+y^2-4x)=0，即(x-2)^2+y^2=4，表示以(2,0)为圆心，半径为2的圆。二、多选题（每题4分，共20分）1.下列函数中，在区间(0,1)上连续的有（）（4分）A.f(x)=1/xB.f(x)=sinxC.f(x)=|x|D.f(x)=√x【答案】B、C、D【解析】f(x)=1/x在x=0处不连续；f(x)=sinx为基本初等函数，处处连续；f(x)=|x|为分段函数，处处连续；f(x)=√x在x≥0时连续。2.下列说法中，正确的有（）（4分）A.若向量a与b共线，则存在唯一实数λ使得a=λbB.若矩阵A可逆，则|A|≠0C.若函数f(x)在区间I上单调递增，则对任意x1<x2∈I有f(x1)<f(x2)D.若级数∑(n=1→∞)a_n收敛，则∑(n=1→∞)|a_n|也收敛【答案】A、B、C【解析】向量a与b共线，则存在唯一实数λ使得a=λb；矩阵A可逆的充要条件是|A|≠0；函数单调递增的定义；级数收敛不一定绝对收敛。3.下列极限存在的有（）（4分）A.lim(x→0)sin(1/x)B.lim(x→∞)(x^2-x)/(x^2+x)C.lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)D.lim(x→0)(e^x-1)/x【答案】B、C、D【解析】lim(x→0)sin(1/x)不存在；lim(x→∞)(x^2-x)/(x^2+x)=lim(x→∞)(1-1/x)/(1+1/x)=1；lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)=lim(x→1)(x+1)=2；lim(x→0)(e^x-1)/x=1。4.下列运算正确的有（）（4分）A.∫(x^2+1)dx=x^3/3+x+CB.∫(sinx)dx=-cosx+CC.∫(1/x)dx=ln|x|+CD.∫(e^x)dx=e^x+C【答案】C、D【解析】∫(x^2+1)dx=x^3/3+x+C；∫(sinx)dx=-cosx+C；∫(1/x)dx=ln|x|+C；∫(e^x)dx=e^x+C。5.下列说法中，正确的有（）（4分）A.若函数f(x)在区间I上可导，则f(x)在区间I上连续B.若函数f(x)在x=0处可导，则f(x)在x=0处必连续C.若函数f(x)在x=0处连续，则f(x)在x=0处必可导D.若函数f(x)在x=0处可导，则f(x)在x=0处必可微【答案】A、B、D【解析】可导必连续；可导必连续；连续不一定可导；可导必可微。三、填空题（每空2分，共16分）1.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图像经过点(1,0)，且对称轴为x=-1，则b=______，c=______（4分）【答案】-2；3【解析】对称轴为x=-1，则-b/2a=-1，解得b=2a。又因为图像经过点(1,0)，代入得a+b+c=0，联立b=2a，解得a=1，b=-2，c=3。2.若向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a·b=______，向量a×b=______（4分）【答案】-5；-10【解析】a·b=1×3+2×(-4)=-5；a×b=1×(-4)-2×3=-10。3.微分方程y'-y=0的通解为______（4分）【答案】y=Ce^x【解析】此为一阶线性齐次微分方程，解为y=Ce^∫1dx=Ce^x。4.矩阵A=[12;34]的特征值为______，______（4分）【答案】5；-1【解析】特征方程为|λE-A|=0，即|λ-1-2;-3λ-4|=(λ-1)(λ-4)-(-6)=λ^2-5λ+10=0，解得λ=5或λ=-1。四、判断题（每题2分，共10分）1.若函数f(x)在区间I上可导，则f(x)在区间I上连续。（）（2分）【答案】（√）【解析】可导必连续。2.若级数∑(n=1→∞)a_n收敛，则∑(n=1→∞)|a_n|也收敛。（）（2分）【答案】（×）【解析】级数收敛不一定绝对收敛，如∑(-1)^n/n。3.若函数f(x)在x=0处可导，则f(x)在x=0处必连续。（）（2分）【答案】（√）【解析】可导必连续。4.若向量a与b共线，则存在唯一实数λ使得a=λb。（）（2分）【答案】（√）【解析】共线向量的定义。5.若函数f(x)在区间I上单调递增，则对任意x1<x2∈I有f(x1)<f(x2)。（）（2分）【答案】（√）【解析】单调递增的定义。五、简答题（每题4分，共12分）1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最大值和最小值。（4分）【答案】最大值为2，最小值为-16。【解析】f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，故最大值为2，最小值为-16。2.求极限lim(x→0)(sinx)/x。（4分）【答案】1。【解析】利用基本极限lim(x→0)(sinx)/x=1。3.求不定积分∫(x^2-1)dx。（4分）【答案】x^3/3-x+C。【解析】∫(x^2-1)dx=∫x^2dx-∫1dx=x^3/3-x+C。六、分析题（每题10分，共20分）1.证明：若函数f(x)在区间I上连续，且对任意x1,x2∈I有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|，则f(x)在区间I上为常数函数。（10分）【证明】设x1,x2∈I，且x1≠x2。由题意|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|，即|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|≤1。由夹逼定理，lim(x→x2)f(x)=f(x2)，故f'(x)=0，即f(x)为常数函数。2.证明：若级数∑(n=1→∞)a_n收敛，则级数∑(n=1→∞)a_n^2收敛。（10分）【证明】因为∑(n=1→∞)a_n收敛，所以lim(n→∞)a_n=0。由柯西收敛准则，对任意ε>0，存在N，当n>N时，|a_n|<ε。取ε=1，当n>N时，|a_n|<1，则a_n^2<|a_n|。由比较判别法，∑(n=1→∞)a_n^2收敛。七、综合应用题（每题25分，共50分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的极值点，并画出函数的图像。（25分）【解】f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。f''(x)=6x-6，f''(0)=-6<0，f''(2)=6>0，故x=0为极大值点，x=2为极小值点。f(0)=2，f(2)=-2。图像如下：```|2---|---0|-2--|----2```2.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，求向量a与b的夹角θ的余弦值。（25分）【解】向量a与b的夹角θ的余弦值为cosθ=(a·b)/(|a||b|)=(-5)/(√(1^2+2^2)√(3^2+(-4)^2))=-5/(√5√25)=-5/5√5=-1/√5=-√5/5。---标准答案：一、单选题1.A2.C3.C4.B5.D6.B7.