10.1.2事件的关系和运算（教案）

第十章概率10.1.2事件的关系和运算一、教学目标1.理解时间的关系和运算．2．能够将事件的运算关系知识灵活运用到实际事件中．3.通过对事件的关系和运算的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。二、教学重难点1.事件运算关系的实际含义．2.事件运算关系的应用.三、教学过程：（1）创设情景阅读课本，完成下列填空：新知探究问题1:问题2:(提出本节课所学内容)新知建构事件的关系与运算①包含关系：一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) 记作(或B如图: ②并事件：事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件）,记作(或A+B).如图: ③交事件:事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件）,记作(或AB).如图: 互斥关系 若A∩B为，则称事件A与事件B互斥. 如图: 对立关系若A∩B为，A∪B为，那么称事件A与事件B互为对立事件，可记为B＝或A＝,若A∩B＝∅，A∪B＝U，则A与B对立.如图 :（4）数学运用例1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件=“第一次摸到红球”，=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”.（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；（2）事件R与，R与G，M与N之间各有什么关系？（3）事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件与事件的交事件与事件R有什么关系？【答案】（1）详见解析（2）事件包含事件R；事件R与事件G互斥；事件M与事件N互为对立事件（3）事件M是事件R与事件G的并事件；事件R是事件与事件的交事件.【解析】（1）所有的试验结果如图所示,用数组表示可能的结果,是第一次摸到的球的标号,是第二次摸到的球的标号,则试验的样本空间事件=“第一次摸到红球”,即或2,于是；事件=“第二次摸到红球”,即或2,于是.同理,有,,,.（2）因为,所以事件包含事件R；因为,所以事件R与事件G互斥；因为,,所以事件M与事件N互为对立事件.（3）因为,所以事件M是事件R与事件G的并事件；因为,所以事件R是事件与事件的交事件.变式训练1:从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是（）A．“恰有两个白球”与“恰有一个黑球”B．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”C．“都是白球”与“至少有一个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”【答案】A【解析】对于A，事件：“恰有两个白球”与事件：“恰有一个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能两个都是黑球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴A正确；对于B，事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生，如：一个白球一个黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴B不正确；对于C.“都是白球”与“至少有一个黑球”不能同时发生，且对立，故C错误；对于D，“至少有一个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，故不互斥.故选：A.变式训练2:用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色.设事件“三个圆的颜色全不相同”，事件“三个圆的颜色不全相同”，事件“其中两个圆的颜色相同”，事件“三个圆的颜色全相同”.（1）写出试验的样本空间.（2）用集合的形式表示事件.（3）事件与事件有什么关系？事件和的交事件与事件有什么关系？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）事件包含事件，事件和的交事件与事件互斥.见解析【解析】(1)由题意可知3个球可能颜色一样,可能有2个一样,另1个异色,或者三个球都异色.则试验的样本空间{（红,红,红）,（黄,黄,黄）,（蓝,蓝,蓝）,（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）,（红,黄,蓝）}.(2){（红,黄,蓝）}{（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）,（红,黄,蓝）}{（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）}.{（红,红,红）,（黄,黄,黄）,（蓝,蓝,蓝）}.(3)由(2)可知事件包含事件,事件和的交事件与事件互斥.例2.在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．【答案】（1）见解析；（2）事件D2，D3，E，F，G为和事件.【解析】(1)若事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.同理可得，事件D2包含事件C4，C5，C6；事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.故事件D2，D3，E，F，G为和事件．变式训练:（多选题）从装有大小和形状完全相同的5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么下列各对事件中,互斥而不对立的是（）A．至少有1个红球与都是红球 B．至少有1个红球与至少有1个白球C．恰有1个红球与恰有2个红球 D．至多有1个红球与恰有2个红球【答案】CD【解析】根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件,事件“3个球都是红球”是两事件的交事件;B中两事件能同时发生,如“恰有1个红球和2个白球”,故不是互斥事件;C中两事件是互斥而不对立事件;至多有1个红球,即有0个或1个红球,与恰有2个红球互斥,除此还有3个都是红球的情况,因此它们不对立,D符合题意.故选：CD例3:记某射手一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环分别为事件，，，，指出下列事件的含义：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）射中10环或9环或8环.（2）射中9环.（3）射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.【解析】（1）=射中10环，=射中9环，=射中8环，射中10环或9环或8环.（2）=射中8环，射中环数不是8环，则射中9环.（3）射中9环或8环或7环，则射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.变式训练:设，，为三个事件，下列各式意义表述正确的是（）A．表示事件不发生且事件和事件同时发生 B．表示事件，，中至少有一个没发生 C．表示事件，至少有一个发生 D．表示事件，，恰有一个发生【答案】ACD【解答】根据题意，依次分析选项：对于，表示事件不发生且事件和事件同时发生，正确，对于，表示事件、、至少一个发生，则表示事件都没有发生，错误，对于，表示事件，至少有一个发生，正确，对于，表示事件、不发生且事件发生，事件、不发生且事件发生，事件、不发生且事件发生，则表示事件，，恰有一个发生，故选：ACD．四、小结：事件的关系与运算①包含关系：②并事件：③交事件:互斥关系对立关系A级必备知识基础练1.[探究点一]关于样本点、样本空间,下列说法错误的是 ()A.样本点是构成样本空间的元素B.样本点是构成随机事件的元素C.随机事件是样本空间的子集D.随机事件中样本点的个数可能比样本空间中的多2.[探究点三]给出事件A与B的关系示意图,如图所示,则()A.A⊆B B.A⊇BC.A与B互斥 D.A与B互为对立事件3.[探究点三]抛掷一枚骰子,记事件A为“落地时向上的数是奇数”,事件B为“落地时向上的数是偶数”,事件C为“落地时向上的数是3的倍数”,事件D为“落地时向上的数是2或4”,则下列各对事件是互斥事件但不是对立事件的是()A.A与B B.B与C C.A与D D.B与D4.[探究点四]一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品,从这批产品中任意抽取5件.现给出以下四个事件:事件A:恰有1件次品;事件B:至少有2件次品;事件C:至少有1件次品;事件D:至多有1件次品.并给出以下结论:①A∪B=C;②D∪B是必然事件;③A∩B=C;④A∩D=C.其中正确结论的序号有()A.①② B.③④ C.①③ D.②③5.[探究点二]从装有3个红球2个绿球的袋子中任取两个小球,请写出这一过程中的一个随机事件:.

6.[探究点四]在随机抛掷一颗骰子的试验中,事件A=“出现不大于4的偶数点”,事件B=“出现小于6的点数”,则事件A∪B的含义为,事件A∩B的含义为.

7.[探究点四]某射手进行射击测试,设A=“射中10环”,B=“射中9环”,C=“射中8环”.(1)“射中10环或9环”可表示为;

(2)“不够8环”可表示为.

8.[探究点三]某小组有三名男生和两名女生,从中任选两名去参加比赛,则下列各对事件中是互斥事件的有.(填序号)

①“恰有1名男生”和“全是男生”;②“至少有一名男生”和“至少有一名女生”;③“至少有一名男生”和“全是男生”;④“至少有一名男生”和“全是女生”.9.[探究点一]用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色,每个圆只涂一种颜色.设事件A=“三个圆的颜色全不相同”,事件B=“三个圆的颜色不全相同”,事件C=“其中两个圆的颜色相同”,事件D=“三个圆的颜色全相同”.(1)写出试验的样本空间;(2)用集合的形式表示事件A,B,C,D.B级关键能力提升练10.下列现象是必然事件的是()A.某路口单位时间内通过的车辆数B.正n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)C.某同学竞选学生会主席成功D.一名篮球运动员每场比赛所得的分数11.同时抛掷两枚均匀的骰子,事件“都不是5点且都不是6点”的对立事件为()A.一个是5点,另一个是6点B.一个是5点,另一个是4点C.至少有一个是5点或6点D.至多有一个是5点或6点12.(多选题)设集合A={x|x2≤4,x∈Z},a,b∈A,设直线3x+4y=0与圆(x-a)2+(y-b)2=1相切,则满足条件的样本点可能是()A.(-1,2) B.(1,-2)C.(-1,-2) D.(1,2)13.(多选题)下列各组事件中是互斥事件的是()A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班的数学成绩,平均分不低于90分与平均分不高于90分C.播种100粒菜籽,发芽90粒与发芽80粒D.检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70%14.某人忘了电话号码的最后一个数字,因而他随意拨号,假设拨过的号码不再重复,若用Ai=“第i次拨号接通电话”,i=1,2,3.则事件第3次拨号才接通电话可表示为,拨号不超过3次而接通电话可表示为.

15.从一批产品中取出三件产品,设A=“三件产品全不是次品”,B=“三件产品全是次品”,C=“三件产品不全是次品”,则下列结论不正确的是.

①A与C互斥②B与C互斥③任何两个均互斥④任何两个均不互斥16.从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出这个试验的样本空间;(2)设A=“取出的两件产品中恰有一件次品”,写出集合A;(3)把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,其余条件不变,请继续回答上述两个问题.17.某连锁火锅城开业之际,为吸引更多的消费者,开展抽奖活动,前20位顾客可参加如下活动:摇动如图所示的游戏转盘(上面扇形的圆心角都相等),顾客可以免费获得按照指针所指区域的数字10倍金额的店内菜品或饮品,最高120元,每人只能参加一次这个活动.记事件A=“获得不多于30元菜品或饮品”.(1)求事件A包含的基本事件;(2)写出事件A的对立事件,以及一个与事件A互斥的事件.C级学科素养创新练18.甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各伸出1到5根手指,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.(1)若以A表示和为6的事件,写出事件A的样本点;(2)现连玩三次,若以B表示甲至少赢一次的事件,C表示乙至少赢两次的事件,试问:B与C是否为互斥事件?为什么?参考答案1.D由定义知A,B,C均正确.因为随机事件是样本空间的子集,所以由子集的定义可知D错.2.C由互斥事件的定义知C正确.3.C在A选项中,A与B是对立事件,故A错误;在B选项中,B与C能同时发生,故B与C不是互斥事件,故B错误;在C选项中,A与D不能同时发生,且不是对立事件,故A与D是互斥事件但不是对立事件,故C正确;在D选项中,B与D能同时发生,故B与D不是互斥事件,故D错误.故选C.4.A事件A∪B表示的事件:至少有1件次品,即事件C,所以①正确;事件D∪B表示的事件:至少有2件次品或至多有1件次品,包括了所有情况,所以②正确;事件A∩B=⌀,③不正确;事件A∩D表示的事件:恰有1件次品,即事件A,所以④不正确.5.两个小球都是绿色(答案不唯一)6.出现2,4,6点出现2,4点易知B=“出现6点”,则A∪B=“出现2,4,6点”,A∩B=“出现2,4点”.7.(1)A∪B(2)A8.①④①是互斥事件,“恰有一名男生”的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生,它与“全是男生”不可能同时发生;②不是互斥事件;③不是互斥事件;④是互斥事件,“至少有一名男生”与“全是女生”不可能同时发生.9.解(1)由题意可知3个球可能颜色一样,可能有2个一样,另1个异色,或者三个球都异色,则试验的样本空间Ω={(红,红,红),(黄,黄,黄),(蓝,蓝,蓝),(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝),(红,黄,蓝)}.(2)A={(红,黄,蓝)},B={(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝),(红,黄,蓝)},C={(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝)},D={(红,红,红),(黄,黄,黄),(蓝,蓝,蓝)}.10.BA,C,D选项为随机事件,B选项为必然事件.11.C同时掷甲、乙两枚骰子,可能出现的结果共有36个,“都不是5点且都不是6点”包含16个,其对立事件是“至少有一个是5点或6点”.12.ABA={-2,-1,0,1,2},由直线与圆相切知,|3a+4b|5=1,所以3a+4b=±5,依次取a=-2,所以Ω={(-1,2),(1,-2)}.13.ACD对于A,一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6,不可能同时发生,故A中两事件为互斥事件;对于B,设事件A1为平均分不低于90分,事件A2为平均分不高于90分,则A1∩A2为平均分等于90分,A1,A2可能同时发生,故它们不是互斥事件;对于C,播种菜籽100粒,发芽90粒与发