高中数学必修第二册知识点总结

高中数学 必修2第六章 平面向量设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则（1）为的外心.（2）为的重心.（3）为的垂心.（4）为的内心.【6.1】平面向量的概念1、向量的定义及表示（向量无特定的位置，因此向量可以作任意的平移）（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示：①有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度；②向量的表示：2、向量的有关概念：相等向量是平行（共线）向量，但平行（共线）向量不一定是相等向量向量名称定义零向量长度为0的向量，记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b，规定：零向量与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b【6.2】平面向量的运算1、向量的加法（1）定义：求两个向量和的运算.（2）运算法则：向量求和的法则图示几何意义三角形法则使用三角形法则时要注意“首尾相接”的条件，而向量加法的平行四边法则应用的前提是共起点已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量OC（OC是▱OACB的对角线）就是向量a与b的和（3）规定：对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a.（4）位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型；力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.（5）一般地我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立.（6）向量加法的运算律与实数加法的运算律相同2、向量的减法（1）相反向量（利用相反向量的定义，－AB＝BA就可以把减法转化为加法）定义：我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量性质：①对于相反向量有：a＋（－a）＝0；②若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0；③零向量的相反向量仍是零向量（2）向量减法运算（向量的减法是向量加法的一种逆运算）定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法.a－b＝a＋（－b），减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量.几何意义：a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.3、向量的数乘运算（实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算）（1）定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反.③由①可知，当λ＝0时，λa＝0；由①②知，（－1）a＝－a.（2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ（μa）＝（λμ）a；②（λ＋μ）a＝λa＋μa；③λ（a＋b）＝λa＋λb；特别地，有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a）；λ（a－b）＝λa－λb.（3）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算结果仍是向量.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a±μ2b）＝λμ1a±λμ2b.（4）共线向量定理：向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.4、向量的数量积（1）向量的夹角：两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为0，π（2）向量的夹角的定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量OA＝a，OB＝b，则∠aOb＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角.当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.如果a与b的夹角是π2，我们说a与b垂直，记作a⊥b（3）向量的数量积及其几何意义：向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正可负可为0（4）向量的数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.（5）投影：如图，设a，b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，我们考虑如下变换：过AB的起点a和终点b，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1（6）向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则①a·e＝e·a＝|a|cosθ②a⊥b⇔a·b＝0③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不要忘记开方④|a·b|≤|a|·|（7）运算律：①a·b＝b·a；②（a＋b）·c＝a·c＋b·c（8）运算性质：类比多项式的乘法公式【6.3】平面向量基本定理及坐标表示1、平面向量基本定理（定理中要特别注意向量e1与向量e2是两个不共线的向量）条件：e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论：对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2、平面向量的坐标表示（1）基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.（2）坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对（x，y）叫做向量a的坐标.（3）坐标表示：a＝（x，y）.（4）特殊向量的坐标：i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）.（5）平面向量的加减法坐标运算（可类比实数的加减运算法则进行记忆）设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a－b＝（x1－x2，y1－y2）重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A（x1，y1），B（x2，y2），则AB＝（x2－x1，y2－y1）（6）平面向量数乘运算的坐标表示设向量a＝（x，y），则有λa＝（λx，λy），这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.（7）平面向量共线的坐标表示：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0.向量a，b（b≠0）共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.（8）中点坐标公式：若P1，P2的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），线段P1P2的中点P的坐标为（x，y），则x=x1+x22y=y（9）两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ.数量积：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即：a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直：a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0（10）与向量的模、夹角相关的三个重要公式①向量的模：设a＝（x，y），则|a|＝x2②两点间的距离公式：若A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝（x③向量的夹角公式：设两非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ，则θ【6.4】平面向量的应用1、平面几何中的向量方法用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；（3）把运算结果“翻译”成几何关系.2、向量在物理中的应用举例（1）向量与力：向量是既有大小，又有方向的量，它们可以有共同的起点，也可以没有共同的起点.而力是既有大小和方向，又有作用点的量.用向量知识解决力的问题时，往往把向量平移到同一作用点上.（2）向量与速度、加速度、位移：速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算.（3）向量与功、动量：力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ（θ为F和s的夹角）.动量mν实际上是数乘向量.3、余弦定理、正弦定理（1）余弦定理的表示及其推论（SAS、SSS、SSA）文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.符号语言：；；.在△ABC中，有，推论：（2）解三角形：一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.（3）正弦定理的表示（AAS、SSA）文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径.符号语言：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则（R为△ABC的外接圆的半径）（4）正弦定理的变形形式变形形式是在三角形中实现边角互化的重要公式设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形：=1\*GB3①，，；=2\*GB3②，，；=3\*GB3③；（5）三角形面积公式：．（6）相关术语①仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示.②方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图1所示）.③方位角的其他表示——方向角正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上.依此可类推正北方向、正东方向和正西方向.东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线（如图2所示）.（7）解三角形应用题解题思路：基本步骤：运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下：①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型.③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解.④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.第七章 复数【7.1】复数的概念1、数系的扩充和复数的概念（1）复数的定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集.（2）复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi（a，b∈R），其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.（3）复数相等：在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R），我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d.（4）复数的分类①对于复数a＋bi（a，b∈R），当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数.这样，复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以分类如下：复数实数（②集合表示：2、复数的几何意义（1）复平面（复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部）（2）复数的几何意义①复数z＝a＋bi（a，b∈R）一一对应复平面内的点z（a，b）.②复数z＝a＋bi（a，b∈R）一一对应平面向量OZ.（3）复平面上的两点间的距离公式：（，）.（4）复数的模①定义：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值.②记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.③公式：|z|＝|a＋bi|＝a2+b2（a，如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数，它的模就等于|a|（a的绝对值）.（5）共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用z表示，即如果z＝a＋bi，那么z＝a－bi.（6）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。（7）解复数方程若，在复数集内有且仅有两个共轭复数根.【7.2】复数的四则运算1、复数的加、减运算及其几何意义（1）复数的加法法则①运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i，两个复数的和仍然是一个确定的复数.②复数加法的几何意义：如图，复数z1＋z2是以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的对角线③加法运算律：对任意z1，z2，z3∈c，有z1＋z2＝z2＋z1，（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）.④复数加法的几何意义：两个向量OZ1与OZ2的和就是与复数（a＋c）＋（b＋d）（2）复数的减法法则①运算法则：复数的减法是加法的逆运算；设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i，两个复数的差是一个确定的复数.②复数减法的几何意义：如图，复数z1－z2是从向量OZ2的终点指向向量OZ1的终点的向量2、复数的乘、除运算（1）复数的乘法运算①复数的乘法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z1·z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i.②复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有交换律 z1·z2＝z2·z1乘法对加法的分配律 z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3结合律（z1·z2）·z3＝z1·（z2·z3）（2）复数的除法运算设z1＝a＋bi，,z2＝c＋di（c＋di≠0）），则z复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi.3、几个重要的结论①②③若为虚数，则4、运算律① ② ③5、关于虚数单位i的一些固定结论：①②③④【7.3】复数的三角表示1、复数的三角表示式（1）复数的三角形式：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式.（2）辐角主值：规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.2、复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（1）复数三角形式的乘法：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)].（2）复数三角形式的除法：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.r第八章 立体几何初步【8.1】基本立体图形1、多面体（1）空间几何体（我们研究空间几何体就是研究其形状和大小）空间几何体：在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分.如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴（2）多面体多面体定义图形及表示相关概念特殊情形棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱记作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多边形的直棱柱棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥记作：棱锥S－ABCD底面(底)：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台记作：棱台ABCD－A′B′C′D′上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点（3）圆柱、圆锥、圆台、球旋转体结构特征图形表示圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线圆柱用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作圆柱O′O圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥圆锥也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作圆锥SO圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台圆台也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆台记作圆台O′O球半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的球心，连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径球常用表示球心的字母来表示，左图可表示为球O（4）棱柱和圆柱统称为柱体，棱锥和圆锥统称为锥体，棱台和圆台统称为台体.（5）简单组合体（“接”和“截”简单几何体就可得到组合体）①定义：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.②简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的.【8.2】空间几何体的直观图1、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤2、斜二测画法的步骤：①平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；②平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变3、原图与直观图的关系：S直=S原；S原=S直【8.3】简单几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积（1）棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和（2）圆柱的表面积 （3）圆锥的表面积（4）圆台的表面积 （5）球的表面积2、空间几何体的体积（1）柱体的体积 （2）锥体的体积（3）台体的体积 （4）球体的体积3、球的组合体（1）球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.（2）球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长（a）.（3）球与正四面体的组合体：棱长为的正四面体的内切球的半径为，外接球的半径为.【8.4】空间点、直线、平面之间的位置关系1、平面（1）含义：平面是无限延展的DCDCBAα①平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45°，且横边画成邻边的2倍长（如图）②平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。2、点、直线、平面之间的基本位置的符号表示文字语言 符号语言点A在直线l上 A∈l点A在直线l外 A∉l点A在平面α内 A∈α点A在平面α外 A∉α直线l在平面α内 l⊂α直线l在平面α外 l⊄α平面α，β相交于l α∩β＝l3、三个基本事实：（1）基本事实1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。基本事实1作用：确定一个平面的依据。（2）基本事实2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。符号表示为：A∈l，B∈l，A∈α，B∈α=>l⊂α基本事实2作用：判断直线是否在平面内（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P∈α∩β=>α∩β=l，且P∈l基本事实3作用：判定两个平面是否相交的依据4、基本事实1和基本事实2的三个推论（1）经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面符号表示为：A∉l=>存在唯一的α，使A∈α，l⊂α（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面符号表示为：l∩m=A=>存在唯一的α，使l⊂α，m⊂α（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面符号表示为：l∥m=>存在唯一的α，使l⊂α，m⊂α5、空间中直线与直线之间的位置关系空间的两条直线有如下三种关系：共面直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点6、空间中直线与平面的位置关系直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a⊄α来表示a⊂α a∩α=A a∥α7、空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面有三种位置关系：（1）两个平面平行——没有公共点（2）两个平面相交——无数个公共点（在同一直线上）α//β α∩β=aABCDABCD1、直线与直线平行（1）基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：a∥b，c∥b=>a∥c强调：基本事实4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。基本事实4作用：判断空间两条直线平行的依据。（2）空间四边形：顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形。（3）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补符号表示为：OA∥O’A’，OB∥O’B’且同向=>∠AOB=∠A’O’B’等角定理作用：判定与证明两个角相等。2、直线与平面平行（1）直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a⊄α，b⊂β，a∥b=>a∥α（2）直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a∥α，a⊂β，α∩β=b=>a∥b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。3、平面与平面平行（1）两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。简记为：线面平行则面面平行。符号表示：a⊂β，b⊂β，a∩b=P，a∥α，b∥α=>β∥α证明方法：反证法（2）两个平面平行的判定定理的推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。符号表示：a⊂β，b⊂β，a∩b=P，a’⊂α，b’⊂α，a’∩b’=P’，a∥α，b∥α=>β∥α（3）平面与平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。简记为：面面平行则线线平行。符号表示：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b=>a∥b（4）两平面平行的相关性质①若两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线都和另一个平面平行（β∥α，a⊂α=>a∥β）②夹在两个平行平面间的两条平行线段相等③平行平面具有传递性及平行于同一平面的两个平面平行（β∥α，β∥γ=>α∥γ）④两条直线被三个平行平面所截截得的对应线段成比例4、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。【8.6】空间直线、平面垂直1、异面直线所成的角①两条异面直线所成的角θ∈（0，π2②当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；③两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；l④计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。l2、直线与平面垂直αP（1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。如图，直线与平面垂直时，它们唯一公共点P叫做垂足。αP符号表示：任意a⊂α，都有l⊥a=>l⊥α（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。符号表示：a⊂α，b⊂α，a∩b=P，l⊥a，l⊥b=>β∥α3、直线与平面所成的角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角。当直线与平面垂直时，规定这条直线与该平面成直角。当直线与平面平行或在平面内时，规定这条直线与该平面成0°角。（2）范围：斜线与平面所成的角θ的范围是0≤θ≤90°（3）求法：作出斜线在平面上的射影；（4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。4、直线与平面垂直的性质定理：（1）直线与平面垂直的性质定理1：垂直于平面的直线与平面内任意一条直线垂直。简记为：线面垂直则线线垂直。符号表示：l⊥α，b⊂α=>l⊥b（2）直线与平面垂直的性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行。简记为：线面垂直则线线平行。作用：作平行线。符号表示：a⊥α，b⊥α=>a//b5、点面距、线面距、面面距（1）点面距：过一点做垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离点面距AO范围：AO≥0（2）线面距：一条直线与一个平面平行直线条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离当直线l与平面α相交或l⊂α时，直线l到平面α的距离为O（3）面面距：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等我们把它叫做这两个平行平面间的距离当平面β与平面α相交时，平面β到平面α的距离为O6、平面与平面垂直（1）二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形二面角的记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.（2）平面与平面垂直：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。符号表示：α⊥β（3）两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。简记为：线面垂直则面面垂直。符号表示：AB⊥β，AB⊂α=>α⊥β（4）平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，则这条直线与另一个平面垂直。简记为：面面垂直则线面垂直。作用：作平面的垂线。符号表示：α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l=>α⊥β第九章 统计【9.1】随机抽样1、在统计学里，我们把所要考察对象的全体叫做总体，把总体中个体的总数叫做总体容量．总体中的每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本．其中个体的个数称为样本容量．2、简单随机抽样：也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。3、简单随机抽样常用的方法：在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。（1）抽签法的一般步骤：将总体的个体编号；连续抽签获取样本号码．适用于：总体中个体数相对较少特点：每个样本单位被抽中的可能性相同（等可能性）；总体中个体数有限（有限性）；从主体中逐个抽取（逐一性）（2）随机数表法的步骤：将总体的个体编号；在随机数表中选择开始数字；读数获取样本号码．适用于：总体中个体数相对较多4、总体平均数与样本平均数（1）总体平均数（总体均值）：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，···，YN，则称Y（2）加权平均数：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，···，Yk，其中Yi出现的频数fi（i=1，2，···，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y（3）样本平均数（样本均值）：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，他们的变量值分别为y1，y2，···，yn，则称y5、分层抽样（1）分层抽样（类型抽样）：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。抽样比＝（2）分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。分层标准：①调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量②保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量③有明显分层区分的变量（3）分层的比例问题：①按比例分层抽样②不按比例分层抽样（4）在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n.我们用X1，X2，···，XM表示第1层各个个体的变量值，用X1，X2，···，Xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，···，YN表示第2层各个个体的变量值，用y1，y2，···，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则：第1层的总体平均数和样本平均数分别为X第2层的总体平均数和样本平均数分别为Y总体平均数和样本平均数分别为W在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数ω估计总体平均数W，即W6、获取数据的基本途径获取数据的基本途径适用类型注意问题通过调查获取数据对于有限总体问题，一般通过抽样调查或普查的方法获取数据要充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效地避免抽样过程中的人为错误通过试验获取数据没有现存的数据可以查询严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量通过观察获取数据自然现象借助专业测量设备通过长久的持续观察获取数据通过查询获得数据众多专家研究过，其收集的数据有所存储必须根据问题背景知识“清洗”数据去伪存真【9.2】用样本估计总体1、画频率分布直方图的步骤（画频率分布直方图时，纵坐标表示频率与组距的比值，而不是频率）（1）求极差：极差是一组数据中最大值与最小值的差.（2）决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成5～12组，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”.（3）将数据分组.（4）列频率分布表：一般分四列，即分组、频数累计、频数、频率.其中频数合计应是样本容量，频率合计是1.（5）画频率分布直方图：横轴表示样本数据，纵轴表示频率组距.小长方形的面积＝组距×频率2、其他统计图表扇形图直观描述各类数据占总数的比例条形图和直方图直观描述不同类别或分组数据的频数和频率折线图描述数据随时间的变化趋势3、第p百分位数（1）定义：（第50百分位数就是中位数，中位数是百分位数的特例，百分位数是中位数的推广）一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100－p）%的数据大于或等于这个值.（2）计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步，按从小到大排列原始数据第2步，计算i＝n×p%第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i＋1）项数据的平均数（3）四分位数：25%，50%，75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数4、总体集中趋势的估计（1）众数、中位数和平均数的定义①众数：一组数据中出现次数最多的数②中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数.如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数③平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数（2）众数、中位数和平均数的比较名称优点缺点众数体现了样本数据的最大集中点众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感中位数不受少数几个极端数据（即排序靠前或靠后的数据）的影响对极端值不敏感平均数与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，数据越“离群”，对平均数的影响越大5、总体离散程度的估计（1）一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差若数据x1，x2，…，xn的平均数为x，则数据x1，x2，…，xn的方差为1标准差为1（2）总体方差和标准差如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体的平均数为Y，则称S为总体方差，S＝S2如果总体中所有个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，总体的平均数为y，则称S为总体方差，s＝s2（3）加权方差：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i＝1，2，…，k），则总体方差为S第十章 概率【10.1】随机事件与概率1、有限样本空间与随机概率（1）随机试验①对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示②研究具有以下特点的随机试验：试验可以在相同条件下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果（2）样本空间把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点，如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间（3）随机事件、必然事件、不可能事件①一般地，随机试验中每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，把样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为样本点，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生②Ω作为自身的子集，包含了所有样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，称Ω为必然事件③空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，称为不可能事件2、事件的关系和运算（1）事件的关系（对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件）定义表示法图示包含关系若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）B⊇A（或A⊆B）互斥事件如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥（或互不相容）若A∩B＝∅，则A与B互斥对立事件如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为A若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立（2）事件的运算定义表示法图示并事件事件A发生事件B不发生；事件A不发生事件B发生；事件A和事件B同时发生事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）A∪B（或A＋B）交事件事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）A∩B（或AB）（3）事件关系或运算的含义事件关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A⊆B并事件（和事件）A与B至少一个发生A∪B或A＋B交事件（积事件）A与B同时发生A∩B或AB互斥（互不相容）A与B不能同时发生A∩B＝∅互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B＝∅，A∪B＝Ω3、古典概型（1）概率：对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率.事件A的概率用P（A）表示（2）古典概型：（有限性与等可能性是判断古典概型的两个重要依据）定义：一般地，若试验E有如下特征：①有限性：样本空间的样本点只有有限个②可能性：每个样本点发生的可能性相等.我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型（3）计算公式应用公式的关键是分清样本空间中样本点的个数及事件A中包含的样本点的个数一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝kn=n（A）n（Ω4、概率的基本性质性质1：对任意的事件A，都有P（A）≥0性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）＝1，P（∅）＝0性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）＋P（B）性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）＝1－P（A），P（A）＝1－P（B）性质5：如果A⊆B，那么P（A）≤P（B）性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）【10.2】事件的相互独立性1、相互独立事件：对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝P（A）P（B）成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.2、相互独立事件的性质：如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也相互独立.【10.3】频率与概率1、频率的稳定性（频率是概率的估计值，概率是频率的稳定值）大量的试验证明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn（A）会逐渐稳定于事件A发生的概率P（A），我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此我们可以用频率fn（A）估计概率P（A）.2、随机模拟（1）随机数的产生应用计算器或计算机产生随机数时要特别注意遵照随机数产生的方法进行，切不可随意改变其步骤顺序和操作程序，否则会出现错误.①标号：把n个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，…，n②搅拌：放入一个袋中，把它们充分搅拌③摸取：从中摸出一个.这个球上的数就称为从1～n之间的随机整数，简称随机数.（2）伪随机数的产生①规则：依照确定的算法.②特点：具有周期性（周期很长）③性质：它们具有类似随机数的性质.计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数，我们称为伪随机数.（3）产生随机数的常用方法：①用计算器产生；②用计算机产生；③抽签法.（4）随机模拟方法（蒙特卡洛方法）：利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的频率来估计概率，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法。综合测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知a=(1,-2),b=(-2,m),若a⊥(a+2b),则实数m的值为()A.14 B.12 C.12.若|z-1|=|z+1|,则复数z在复平面内对应的点在()A.实轴上 B.虚轴上C.第一象限 D.第二象限3.如图,在三棱锥D-ABC中,AC=BD,且AC⊥BD,E,F分别是棱DC,AB的中点,则EF和AC所成的角等于()A.30° B.45°C.60° D.90°4.已知平面向量PA,PB满足|PA|=|PB|=1,PA·PB=-12.若|BC|=1,则|A.2-1 B.3-1C.2+1 D.3+15.某射箭运动员进行射箭训练,射箭60次,统计结果如表:环数012345678910击中的次数00124461012138则估计他击中的环数不小于8的概率为()A.0.46 B.0.55C.0.57 D.0.636.甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏(石头赢剪刀,剪刀赢布,布赢石头),现两人同时随机出拳,则游戏只进行一回合就分出胜负的概率是()A.13 B.12 C.237.国际上通用的茶叶分类法,是按发酵程度把茶叶分为不发酵茶(如:龙井、碧螺春)和发酵茶(如:茉莉花茶、铁观音、乌龙茶、普洱茶)两大类,现有6个完全相同的纸盒,里面分别装有龙井、碧螺春、茉莉花茶、铁观音、乌龙茶和普洱茶,从中任取一盒,判断下列两个事件既是互斥事件又是对立事件的是()A.“取出碧螺春”和“取出茉莉花茶”B.“取出不发酵茶”和“取出龙井”C.“取出乌龙茶”和“取出铁观音”D.“取出不发酵茶”和“取出发酵茶”8.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.5-14C.5+14 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.设P是△ABC所在平面内的一点,AB+AC=3AP,则(A.PA+PB=0 B.PBC.PA+AB=PB 10.下列说法中,正确的是()A.概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值B.做n次随机试验,事件发生m次,则事件发生的频率mnC.频率是不能脱离n次试验的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值D.任意事件A发生的概率P(A)总满足0<P(A)<111.下列说法正确的是()A.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的第60百分位数是6B.已知一组数据2,3,5,x,8的平均数为5,则这组数据的方差是5.2C.用分层随机抽样时,个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大D.若x1,x2,…,x10的标准差为2,则3x1+1,3x2+1,…,3x10+1的标准差是612.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是DD1的中点,则()A.直线B1C∥平面A1BDB.B1C⊥BD1C.三棱锥C1-B1CE的体积为1D.异面直线B1C与BD所成的角为90°三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.复数z=1-i(其中i为虚数单位),则|z+3i|=.

14.有下列数据:1.53.25.25.65.67.18.79.210.011.213.213.713.814.515.215.716.518.819.223.9272728.928.933.133.834.840.641.650.1这组数据的第70百分位数是.

15.在水流速度为4km/h的河流中,有一艘船沿与水流垂直的方向以8km/h的速度(船在静水中的速度)航行,则船实际航行的速度的大小为km/h.

16.如图是某个闭合电路的一部分,每个元件的可靠性是23,则从A到B这部分电路畅通的概率为四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知复数z满足z+4为纯虚数,且z2-i为实数.若复数(z+mi)2在复平面上对应的点位于第四象限,求实数18.(12分)已知平面上点A(4,1),B(3,6),D(2,0),且BC=(1)求|AC|;(2)若点M的坐标为(-1,4),用基底{AB,AD}表示19.(12分)为了了解学生参加体育活动的情况,学校对学生进行随机抽样调查,其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少?”,共有4个选项:A.1.5小时以上,B.1~1.5小时,C.0.5~1小时,D.0.5小时以下.图①②是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图,请你根据统计图提供的信息,解答以下问题:(1)本次一共调查了多少名学生?(2)在图①中将B对应的部分补充完整.(3)若该校有3000名学生,估计全校有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下.20.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25℃,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25)内,需求量为300瓶;如果最高气温低于20℃,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.21.(12分)在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=AC=22,BA=BC=2,O是线段AC的中点,M是线段BC的中点.(1)求证:PO⊥平面ABC;(2)求直线PM与平面PBO所成角的正弦值.22.(12分)如图,四边形ABCD是矩形,BC⊥平面ABE,且AE=23,EB=BC=2,F为CE上一点,且BF⊥平面ACE.(1)求三棱锥A-DBE的体积;(2)求二面角D-BE-A的大小.

参考答案综合测评1.A∵a=(1,-2),b=(-2,m),∴a·b=-2-2m.又a⊥(a+2b),∴a·(a+2b)=a2+2a·b=5-4-4m=0,解得m=14.故选A2.B由于|z-1|=|z+1|,故复数z在复平面内对应的点到(-1,0)的距离等于它到(1,0)的距离,故复数z对应的点在虚轴上.故选B.3.B如图所示,取BC的中点G,连接FG,EG.∵E,F分别为CD,AB的中点,∴FG∥AC,EG∥BD,且FG=12AC,EG=1∵AC=BD,∴FG=EG,∴∠EFG(或其补角)为EF与AC所成的角.∵AC⊥BD,∴FG⊥EG,∴∠FGE=90°,∴△EFG为等腰直角三角形.∴∠EFG=45°,即EF与AC所成的角为45°.4.D∵|PA|=|PB|=1,PA·PB=-12,∴cos∠APB=PA·PB|PA||由余弦定理,得AB2=PA2+PB2-2PA·PBcos∠APB=1+1+1=3.∴AB=3,则|AB|=3.∴当AB与BC同向共线时,|AC|有最大值3+故选D.5.B根据题意,该运动员击中的环数不小于8的频率为12+13+860=0.55,因此估计相应概率为0.556.C甲、乙两人同时随机出拳一次的可能结果共有9种,其中游戏只进行一回合就分出胜负的可能结果共有6种,故所求概率为P=697.D对于A,事件“取出碧螺春”和事件“取出茉莉花茶”不可能同时发生,也有可能都不发生,所以是互斥事件而不是对立事件,故A错误;对于B,事件“取出不发酵茶”和事件“取出龙井”不是互斥事件,因为“取出龙井”时,事件“取出不发酵茶”也发生了,故B错误;对于C,事件“取出乌龙茶”和事件“取出铁观音”不可能同时发生,也有可能都不发生,所以是互斥事件而不是对立事件,故C错误;对于D,事件“取出不发酵茶”和事件“取出发酵茶”不可能同时发生,但必有一个发生,所以既是互斥事件又是对立事件,故D正确.8.C设正四棱锥的高为h,底面边长为a,侧面三角形底边上的高为h',则依题意有ℎ2=12aℎ',ℎ2=ℎ'2-(a2)

2,因此有h'2-a22=12ah'⇒4ℎ'a29.CD因为AB+AC=3AP,所以PB−PA+PC−PA-3AP=0,即PA+PB+PC=0,故10.AC根据题意,依次分析选项:对于A,由概率与频率的关系,A正确;对于B,概率是频率的稳定值,B错误;对于C,由概率与频率的关系,C正确;对于D,任意事件A发生的概率P(A)总满足0≤P(A)≤1,D错误.11.BD∵10×60%=6,∴1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的第60百分位数为第六位和第七位的平均数,即6+72=6.5,故A选项错误∵数据2,3,5,x,8的平均数为5,∴2+3+5+x+8=5×5,即x=7,∴数据2,3,5,7,8的方差是(2-5)2+(3用分层随机抽样时,每层的个体被抽到的概率相同,故C选项错误;∵x1,x2,…,x10的标准差为2,方差为4,∴3x1+1,3x2+1,…,3x10+1的方差为32×4=36,即标准差为6,故D选项正确.12.AB选项A,如图,连接A1D,A1B,BD,在