第七章 综合测试卷A卷（原卷版）

第七章复数综合测试卷A卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．若，其中a，，是虚数单位，则（）A． B． C． D．2．若复数z满足（i为虚数单位），为z的共轭复数，则（）A． B．1 C． D．23．若复数满足，则复平面内表示的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．已知复数，则下列结论正确的是（）A．的虚部为i B．C．的共轭复数 D．为纯虚数5．据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位和零元）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”.根据欧拉公式，复数的虚部（）A． B． C． D．6．在复平面内，满足(z－2)i＝1＋i的复数z对应的点为Z，则||＝（）A． B． C． D．7．已知，且为虚数单位，则的最大值是（）A． B． C． D．8．设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则（）A． B． C． D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求；全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错得0分。9．已知复数（其中i是虚数单位），则下列命题中正确的为（）A． B．z的虚部是4C．是纯虚数 D．z在复平面上对应点在第四象限10．若复数满足，则（）A． B．C． D．11．已知复数，若为实数，则（）A． B．C．为纯虚数 D．对应的点位于第二象限12．已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．在复平面内，复数对应的点为，则点的坐标为________．14．复数，则_________．15．i为虚数单位，复数______．16．（1）设复数(其中i为虚数单位)，则z的虚部是___________.（2）已知复数z满足，则的取值范围为___________.(其中i为虚数单位)四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，其余各小题为12分，共70分。17．已知z为复数，和均为实数，其中i是虚数单位．(1)求复数；(2)若复数对应的点在第四象限，求m的取值范围．18．已知复数，其中i是虚数单位，m为实数．(1)当复数z为纯虚数时，求m的值；(2)当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围．19．已知复数．(1)求及；(2)当复数z满足，求的最大值．20．已知复数，（，是虚数单位）.（1）若的实部与的模相等，求实数的值；（2）若复数在复平面上的对应点在第四象限，求实数的取值范围.21．若，，（为实数），为虚数单位.（1）求复数；（2）求的取值范围.22．已知，，，是复平面上的四个点，其中，，且向量，对应的复数分别为，．（1）若，求，；（2）若，对应的点在复平面内的第二象限，求．第七章综合训练一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.[云南保山期末]在复平面内,复数zi-3=-2i对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.[河北承德双滦期中]已知复数z=3-i3+i,则zA.45 B.45i C.35 3.[浙江杭州上城月考]若复数z满足z+2z∈R,则|z+i|的最小值为(A.33 B.22 C.2-14.复数i+i2+i3+…+i2021=()A.i-1 B.i C.-1 D.05.已知(1-i)2z=3+2i,则z=()A.-1-32i B.-1+3C.-32+i D.-326.设复数z满足|z-2i|=3,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x-2)2+y2=9 B.(x+2)2+y2=9C.x2+(y-2)2=9 D.x2+(y+2)2=97.已知z是复数,且p:z=12+32i;q:z+1z∈R,则pA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是()A.3+4i B.4+3iC.403+3i D.3+40二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.9.已知复数z=(1+2i)(2-i),z为z的共轭复数,则下列结论正确的是()A.z的虚部为3iB.|z|=5C.z-4为纯虚数D.z在复平面上对应的点在第四象限10.下列表示复数1+i的三角形式中,正确的是()A.2cos-π4-isin-π4B.2cosπ4+isinπ4C.2sinπ4+icosπ4D.2cos9π4+isin911.已知复数z1=2-1+i(i为虚数单位),下列说法正确的是(A.z1在复平面上对应的点在第三象限B.z1的虚部为-1C.z14D.满足|z|=|z1|的复数z在复平面上对应的点在以原点为圆心,半径为2的圆上12.设f(θ)=cosθ+isinθ(i为虚数单位),则f2(θ)=cos2θ+isin2θ,f3(θ)=cos3θ+isin3θ,…,若f10(θ)为实数,则θ的值可能等于()A.π10 B.C.π5 D.三、填空题13.[上海虹口校级期末]已知复数z1=-3+i,若复数z满足2iz=z1,则复数z的辐角主值为.

14.已知2i-3是关于x的方程2x2+px+26=0的一个根,则实数p=.

15.在复平面内,复数z对应的点的坐标是(-2,1),则i·z=.

16.已知复数z满足|z+2-4i|=2,则|z-1|的取值范围是.

四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.当实数m为何值或何取值范围时,复数z=m2+m-6m+((1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?18.[陕西咸阳武功月考]设复数z1=2+ai(其中a∈R),z2=4-3i,i为虚数单位.(1)若z1+z2是实数,求a的值,并计算z1·z2的值;(2)若z1z2是纯虚数,求19.设i为虚数单位,a∈R,复数z1=2+(a2-1)i,z2=1-2i,且.请从下面三个条件中任选一个,补充在题目的横线上,并作答.

①z1+z2∈R;②z1z2=6-2i;③在复平面内复数z1对应的点的横坐标等于纵坐标.(1)求实数a的值;(2)若z1z2+b(b∈R)是纯虚数,求实数20.设△ABC的两个内角A,B所对的边分别为a,b,复数z1=a+bi,z2=cosA+icosB,若复数z1z2为纯虚数,试判断△ABC的形状,并说明理由.21.已知复数z1=m+ni,z2=2-2i和z=x+yi,设z=z1i-z2,m,n,x,y∈R.若复数z1所对应的点M(m,n)在曲线y=12(x+2)2+52上运动,求复数z所对应的点P(x,y)的轨迹22.已知复数z1满足(1+i)z1=-1+5i,z2=a-3+i,a∈R.(1)求z1的共轭复数z1(2)若|z1-z2|<|z1|,求a的取值范围.参考答案第七章综合训练1.C由题意,z=3-2ii=(3-2i)(-i)i(-i2.Cz=3-i3+i=(3-i)(3.C设z=a+bi(a,b为实数且不同时为0),z+2z=a+bi+2a+bi=a+bi+2(a-bi)a2+b2=a+2aa2+b2+b-2ba2+b2i,由题意可知b-2ba2+b2=0,得b=0或a2+b2=2.当b=0时,z的轨迹是x轴(除原点外),此时|z+i|的几何意义是复数z对应的点和点(0,-1)的距离,此时|z+i|>1.当a2+b2=2时,|z+i|=|a+(b+1)i|=a2+(b+1)2=3+2b,因为a2+b2=2,所以a2=2-b2,即2-b24.B∵i4=1,i2021=(i4)505·i=i,∴i+i2+i3+…+i2021=i(1-i25.B由题意得z=3+2i(1-i)26.D因为z在复平面内对应的点为(x,y),所以z=x-yi,故z-2i=x+(-y-2)i.因为|z-2i|=3,所以x2+(y+2)2=3,化简可得x2+(y+2)7.A显然,当z=12+32i时,z+1z=12+32i+112+32i=12+32i+12-32i1=1∈R,但当z+1z∈R时,若令z=a+bi(a,b∈R),则a+bi+1a+bi=8.B设z=x+yi(x,y∈R),则有x2+y2+2x+2yi=13解得x=4,y=3或x=403,y所以x=403不符合要求,故z=4+3i9.BCD因为z=(1+2i)(2-i)=4+3i,所以z的虚部为3,故A错误;由|z|=|z|=42+32=5,故B正确;z-4=3i为纯虚数,故C正确;z=4-3i在复平面上对应的点(4,-3)在第四象限,故D正确10.BD对于A,2cos-π4-isin-π4=1+i,但是不满足复数的三角形式,故A不正确;对于B,2cosπ4+isinπ4=1+i,故B正确;对于C,2sinπ4+icosπ4=1+i,不满足复数的三角形式,故C不正确;对于D,2cos9π4+isin9π4=1+i,故D正确.11.AB复数z1=2-1+i=-2(1+i)(1-i)(1+i)=-2(1+i)12+12=-1-i.z1在复平面上对应的点(-1,-1)在第三象限,故A正确;z1的虚部为-1,故B正确;(z1)4=(-1-i)4=(2i)2=-4,故C不正确;|z1|=212.ACf10(θ)=cos10θ+isin10θ,要使f10(θ)为实数,则sin10θ=0,10θ=kπ(k∈Z),故θ=kπ10(k∈Z),当k=1时,θ=π10,当k=2时,θ13.π3∵z1=-3+i,2iz=z1∴z=-3+i2i=(-3+i)(-故复数z的辐角主值为π314.12∵2i-3是关于x的方程2x2+px+26=0的一个根,∴-2i-3是关于x的方程2x2+px+26=0的另一个根,则(2i-3)+(-2i-3)=-p2,得p=1215.-1-2i因为复数z对应的点的坐标是(-2,1),所以z=-2+i,所以i·z=(-2+i)·i=-1-2i.16.[3,7]设z=(x,y)(x,y∈R),∵复数z满足|z+2-4i|=2,∴(x+2)2+(y-4)2=2,即(∴z在复平面内对应的点Z的集合是以(-2,4)为圆心,r=2为半径的圆.|z-1|表示的是点Z与(1,0)之间的距离.圆心与点(1,0)之间的距离d=(-2-则|z-1|的取值范围是[d-r,d+r],即[3,7].17.解(1)若z为实数,可得m2-2m∴当m=2时,z为实数.(2)z为虚数,则虚部m2-2m≠0,且m≠0,解得m≠2,且m≠0.∴当m的取值范围为(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)时,z为虚数.(3)z为纯虚数,则m2+m-∴当m=-3时,z为纯虚数.18.解(1)∵z1=2+ai(其中a∈R),z2=4-3i,∴z1+z2=6+(a-3)i.由z1+z2是实数,所以a-3=0,解得a=3.∴z1=2+3i,z2=4-3i,则z1·z2=(2+3i)(4-3i)=17+6i.(2)因为z1z2=2+ai4-3i=(2+19.解(1)若选①:由z1+z2=3+(a2-3)i∈R,得a2-3=0,解得a=±3.若选②:由z1z2=2-4i+(a2-1)i+2(a2-1)=2a2+(a2-5)i=6-2i,得2a2=6,a若选③:由题意知2=a2-1,解得a=±3.(2)z1z2+b=2+2i1-2i+b=-25+b+65i,由20.解△ABC为等腰三角形或直角三角形.理由如下:因为z1=a+bi,z2=cosA+icosB,所以z1z2=(acosA-bcosB)+i(acosB+bcosA).又因为z1z2为纯虚数,所以acosA由①及正弦定理,得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.因为A,B为△ABC的内角,所以0<2A<2π,0<2B<2π,且2A+2B<2π.所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=π2.即A=B或C=π2.故△ABC21.解∵z1=m+ni,z2=2-2i,∴z=z1i-z2=(m-ni)i-(2-2i)=(n-2)+(m+2)i∴x+yi=(n-2)