第八章 综合测试卷A卷（原卷版）

1/1第八章立体几何初步综合测试卷A卷一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）1．如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为（）A．4 B．6 C．8 D．2．下列命题正确的是（）A．棱柱的每个面都是平行四边形 B．一个棱柱至少有五个面C．棱柱有且只有两个面互相平行 D．棱柱的侧面都是矩形3．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的是（）A．2 B．1 C．高 D．考4．已知两个平面相互垂直，下列命题：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是（）A． B．C． D．5．在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为（）A．30° B．45° C．60° D．90°6．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，若过直线的平面截圆锥所得的截面是面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）A． B． C． D．7．如图，在正方体中，点为线段上一动点，则下列说法错误的是（）A．直线平面B．异面直线与所成角为C．三棱锥的体积为定值D．平面与底面的交线平行于8．已知图1是棱长为1的正六边形，将其沿直线折叠成如图2的空间图形，其中，则空间几何体的体积为（）A． B． C． D．二、多选题（每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）9．下列命题中，错误的结论有（）A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行10．如图，已知正方体，分别为和的中点，则下列四种说法中正确的是（）A．B．C．与所成的角为D．与为异面直线11．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）A．与平行 B．与垂直C．与是异面直线 D．与成角12．如图1，E，F分别为等腰梯形底边AB，CD的中点，，将四边形EFCB沿EF进行折叠，使BC到达位置，连接，，如图2，使得，则（）A．平面B．平面平面C．与平面AEFD所成角的正切值为D．多面体的体积为三、填空题（每题5分，共20分）13．已知直线m，n，平面α，β，若，，，则直线m与n的关系是___________14．已知圆柱的轴截面是正方形，若圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积之比为________．15．在正三棱锥中，，点是的中点，若，则该三棱锥外接球的表面积为___________.16．如图，是边长为1的正方形，是四分之一圆弧，则图中阴影部分绕轴旋转一周得到的旋转体的表面积为________________.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．如图所示，在三棱柱ABC­中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）E∥平面BCHG.18．如图，在正方体中，、分别是AB、AA1的中点.（1）证明：四边形EFD1C是梯形；（2）求异面直线EF与BC1所成角.19．如图所示的一块四棱柱木料，底面是梯形，且.（1）要经过面内的一点和侧棱将木料锯开，应怎样画线？（2）所画的线之间有什么位置关系？20．点E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，点M在边AB上，且，沿图1中的虚线DE，EF，FD将，折起使A，B，C三点重合，重合后的点记为点P，如图2.（1）证明：；（2）若正方形ABCD的边长为6，求点M到平面DEF的距离.21．如图，在四棱锥中，是等边三角形，平面且为中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．22．如图，直三棱柱中，，，分别为上的点，且（1）当为的中点时，求证：；（2）当在线段上运动时（不含端点），求三棱锥体积的最小值.第八章综合训练一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.如图所示,△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图,B'在x'轴上,A'O'与x'轴垂直,且A'O'=2,则△AOB的边OB上的高为()A.2 B.4 C.22 D.422.如图,一圆锥的母线长为4,其侧面积为4π,则这个圆锥的体积为()A.153 B.C.153π D.83.在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,M为AC的中点,沿BM把它折成二面角,折后点A与点C的距离为1,则二面角C-BM-A的大小为()A.30° B.60° C.90° D.120°4.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=22,AD=2,则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为()A.(60+42)π B.(60+82)πC.(56+82)π D.(56+42)π5.如图,正四棱锥P-ABCD的体积为2,底面积为6,E为侧棱PC的中点,则直线BE与平面PAC所成的角为()A.30° B.45° C.60° D.90°6.已知:平面α⊥平面β,α∩β=l,在l上取线段AB=4,AC,BD分别在平面α和平面β内,且AC⊥AB,DB⊥AB,AC=3,BD=12,则CD的长度为()A.13 B.151 C.123 D.157.在空间四边形ABCD中,AD=2,BC=23,E,F分别是AB,CD的中点,EF=7,则异面直线AD与BC所成角的大小为()A.150° B.60° C.120° D.30°8.已知三棱锥P-ABC的高为1,底面△ABC为等边三角形,PA=PB=PC,且P,A,B,C都在体积为32π3的球O的表面上,则该三棱锥的底面△ABC的边长为(A.233 B.3 C.3 二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.9.设α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题不正确的是()A.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥αB.若m⊂α,n⊂β,m∥n,则α∥βC.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥βD.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥α10.如图,圆柱的轴截面是四边形ABCD,E是底面圆周上异于A,B的一点,则下列结论中正确的是()A.AE⊥CEB.BE⊥DEC.DE⊥平面CEBD.平面ADE⊥平面BCE11.如图,在棱长均相等的四棱锥P-ABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,下列结论正确的是()A.PD∥平面OMNB.平面PCD∥平面OMNC.直线PD与直线MN所成角的大小为90°D.ON⊥PB12.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点,则()A.直线D1D与直线AF垂直B.直线A1G与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为9D.点C与点G到平面AEF的距离相等三、填空题13.圆柱的高是8cm,表面积是130πcm2,则它的底面圆的半径等于cm,圆柱的体积是cm3.

14.[江西赣州大余期末]如图,正三棱柱ABC-A'B'C'的底面边长为3,高为2,一只蚂蚁要从顶点A沿三棱柱的表面爬到顶点C',若侧面AA'C'C紧贴墙面(不能通行),则爬行的最短路程是.

15.已知在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,沿对角线BD将△ABD折起使二面角A-BD-C为120°,则点A到△BCD所在平面的距离为.

16.学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g.

四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,E,F,G,H分别为BB1,CC1,A1B1,A1C1的中点.证明:(1)E,F,G,H四点共面.(2)EG,FH,AA1三线共点.18.[上海徐汇月考]某种“笼具”由上、下两层组成,上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱,其中圆柱与圆锥的底面半径相等,如图所示,圆锥无底面,圆柱无上底面有下底面,内部镂空,已知圆锥的母线长为20cm,圆柱高为30cm,底面的周长为24πcm.(1)求这种“笼具”的体积(π取3.14,结果精确到0.1cm3);(2)现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”的保护罩(包括底面)50个,该保护罩紧贴包裹“笼具”,纱网材料(按实测面积计算)的造价为每平方米8元,共需多少元?(结果精确到0.1元)19.[陕西渭南韩城期中]如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是A1D,BD的中点.求证:(1)平面A1BD∥平面CB1D1;(2)EF∥平面DCC1D1.20.[山东青岛即墨期中]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1=1,M,N,Q分别为AC,B1C1,CC1的中点.求证:(1)MN∥平面ABB1A1;(2)A1B⊥平面MNQ.21.[山东聊城期末]如图,平面四边形ABCD由等腰直角三角形ABC和等边三角形ACD拼接而成,将△ACD沿AC折起,使点D到达点P的位置,且BP=AB.(1)求证:平面ACP⊥平面ABC;(2)求二面角P-AB-C的余弦值.22.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)若∠ABC=60°,求证:平面PAB⊥平面PAE;(3)棱PB上是否存在点F,使得CF∥平面PAE?说明理由.

参考答案第八章综合训练1.D设△AOB的边OB上的高为h,因为S原图形=22S直观图,所以12×OB×h=22×12×O'B'×2,又OB=O'B',所以2.C设圆锥的母线长为l,底面半径为r,则πrl=4π,又l=4,所以r=1.所以圆锥底面面积为S=π,圆锥的高为h=15,故圆锥的体积V=13Sh=1533.C如图,由A'B=BC=1,∠A'BC=90°知A'C=2.∵M为A'C的中点,∴MC=AM=22,且CM⊥BM,AM⊥BM∴∠CMA为二面角C-BM-A的平面角.∵AC=1,MC=MA=22,∴∠CMA=90°,故选C4.A四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成的几何体,如图.S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=πr22+π(r1+r2)l2+πr1l1=π×52+π×(2+5)×5+π×2×22=(60+42)π.故选5.C如图,过点P作PO⊥平面ABCD,点O为垂足.连接AC,BD,则AC与BD相交于点O.在正四棱锥中,根据底面积可得,BC=6,根据体积公式可得,PO=1.BD⊥AC,即BD⊥平面PAC,∠BEO为直线BE与平面PAC所成的角.因为PO=1,OA=3,所以PA=2,OE=12PA=1,而BO=3,所以tan∠BEO=BOOE=3,即∠BEO=60°6.A如图,连接AD.∵α⊥β,∴AC⊥β,DB⊥α.在Rt△ABD中,AD=AB2+B在Rt△CAD中,CD=AC2+7.D如图所示.设BD的中点为O,连接EO,FO,所以EO∥AD,FO∥BC,则∠EOF是AD,BC所成的角或其补角,又EO=12AD=1,FO=12BC=3,EF=根据余弦定理,得cos∠EOF=1+3-72所以∠EOF=150°,异面直线AD与BC所成的角为30°.8.C设球O的半径为R,由球的体积为32π3可得,43πR3=32π3因为三棱锥P-ABC的高h为1,所以球心O在三棱锥外.如图,设点O1为△ABC的外心,则OO1⊥平面ABC.在Rt△AO1O中,由AO12=OA2-OO12,且OO1=R-h=1,得AO因为△ABC为等边三角形,所以AO1=23AB·sin60°=33AB,所以AB=3AO1=3.故选9.ABC选项A的已知条件中如果加上m⊂β,那么命题就是正确的,也就是面面垂直的性质定理.选项B错误,容易知道两个平面内分别有一条直线平行,那么这两个平面可能相交也可能平行.选项C错误,因为两个平面各有一条与其平行的直线,如果这两条直线垂直,并不能保证这两个平面垂直.选项D正确,由n⊥α,n⊥β可得α∥β,又因为m⊥β,所以m⊥α.10.ABD由AB是底面圆的直径,得∠AEB=90°,即AE⊥EB.∵圆柱的轴截面是四边形ABCD,∴AD⊥底面AEB,BC⊥底面AEB.∴BE⊥AD,又AD∩AE=A,AD,AE⊂平面ADE,∴BE⊥平面ADE,∴BE⊥DE.同理可得,AE⊥CE,易得平面BCE⊥平面ADE.可得A,B,D正确.∵AD∥BC,∴∠ADE(或其补角)为DE与CB所成的角,显然∠ADE≠90°,∴DE⊥平面CEB不成立,即C错误.11.ABD连接BD,图略,显然O为BD的中点,又N为PB的中点,所以PD∥ON,由线面平行的判定定理可得,PD∥平面OMN,A正确;由M,N分别为侧棱PA,PB的中点,所以MN∥AB,又底面为正方形,所以AB∥CD,所以MN∥CD,由线面平行的判定定理可得,CD∥平面OMN,又由选项A得PD∥平面OMN,由面面平行的判定定理可得,平面PCD∥平面OMN,B正确;因为MN∥CD,所以∠PDC为直线PD与直线MN所成的角,又因为所有棱长都相等,所以∠PDC=60°,故直线PD与直线MN所成角的大小为60°,C错误;因为底面为正方形,所以AB2+AD2=BD2,又所有棱长都相等,所以PB2+PD2=BD2,故PB⊥PD,又PD∥ON,所以ON⊥PB,D正确.12.BC∵AD1∥EF,∴平面AEF即平面AEFD1,故A错误.∵A1G∥D1F,A1G⊄AEFD1,∴A1G∥平面AEFD1,即A1G∥平面AEF,故B正确.平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1,易知梯形面积为98,故C正确点G到平面AEFM的距离即点A1到面AD1F的距离,显然D错误.13.5200π设圆柱的底面圆的半径为rcm,则S圆柱表=2π·r·8+2πr2=130π.解得r=5,即圆柱的底面圆半径为5cm.圆柱的体积V=52π×8=200π(cm3).14.13正三棱柱ABC-A'B'C'的侧面部分展开图如图所示,图1图2如图1,连接AC'与BB'交于点G,则爬行的最短路程是沿着AC'爬行,此时AC'=AC2+如图2,连接AC',过C'作AB的垂线交A'B'于点E,则C'E=A'C'·sin60°=32则C'F=72,所以AC'=A∵13<4,∴爬行的最短路程是13.15.32设AC∩BD=O,则翻折后AO⊥BD,CO⊥BD,即∠AOC即为二面角的平面角,所以∠AOC=120°,且AO=1,故d=1×sin60°=316.118.8由题意得,四棱锥O-EFGH的底面积为4×6-4×12×2×3=12(cm2),点O到平面BB1C1C的距离为3cm,则此四棱锥的体积为V1=13×12×3=12(cm3又长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V2=4×6×6=144(cm3),则该模型的体积为V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其质量为0.9×132=118.8(g).17.证明(1)如图,连接EF,GH.∵GH是△A1B1C1的中位线,∴GH∥B1C1.∵B1E∥C1F,且B1E=C1F,∴四边形B1EFC1是平行四边形,∴EF∥B1C1,∴EF∥GH,∴E,F,G,H四点共面.(2)如图,由(1)知EF≠GH,点E,F,G,H四点共面,延长EG,FH相交于点P.∵P∈EG,EG⊂平面ABB1A1,∴P∈平面ABB1A1.∵P∈FH,FH⊂平面ACC1A1,∴P∈平面ACC1A1.∵平面ABB1A1∩平面ACC1A1=AA1,∴P∈AA1,∴EG,FH,AA1三线共点.18.解(1)设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h1,圆柱高为h2,则由题意有2πr=24π,得r=12cm,圆锥高h1=202所以“笼具”的体积V=πr2h2+13πr2h1=π144×30+13×144×16=5088π≈15976.3(cm3).(2)圆柱的侧面积S1=2πrh2=720π(cm2),圆柱的底面积S2=πr2=144π(cm2),圆锥的侧面积S3=πrl=240π(cm2),所以“笼具”的侧面积S侧=S1+S2+S3=1104π(cm2).故造50个“笼具”的保护罩的最低总造价为1104π×50×81019.证明(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥AD且A1D1=AD,AD∥BC且AD=BC,所以A1D1∥BC且A1D1=BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CB1D1,D1C⊂平面CB1D1,所以A1B∥平面CB1D1.又D1D∥B1B且D1D=B1B,所以四边形D1DBB1为平行四边形,所以BD∥B1D1,又BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,所以BD∥平面CB1D1,又A1B∩BD=B,A1B,BD⊂平面A1BD,所以平面A1BD∥平面CB1D1.(2)因为E,F分别是A1D,BD的中点,所以EF∥A1B,由(1)可知,A1B∥D1C,所以EF∥D1C,又EF⊄平面DCC1D1,D1C⊂平面DCC1D1,所以EF∥平面DCC1D1.20.证明(1)取AB中点P,连接MP,PB1,则MP∥BC,MP=12又N是B1C1的中点,所以B1N=12B1C1因为BC∥B1C1,BC=B1C1,所以MP∥B1N,MP=B1N.所以四边形MPB1N是平行四边形,所以MN∥PB1.因为MN⊄平面ABB1A1,PB1⊂平面ABB1A1,所以MN∥平面ABB1A1.(2)连接AC1,A1C,BC1,B1C,如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,则BC⊥CC1,而AC⊥BC,则有BC⊥平面CC1A1A,必有BC⊥AC1,又由AC=CC1=1,四边形ACC1A1为正方形,则AC1⊥A1C,BC⊂平面A1BC,A1C⊂平面A1BC,BC∩A1C=C,则AC1⊥平面A1B