高等基础与数学 3

导数的应用第3章210目录3.1拉格朗日中值定理及函数单调性的判定3.2函数的极值与最值3.3函数图像的凹凸和拐点3.4曲率3.5洛必达法则

2113.1

拉格朗日中值定理及函数单调性的判定212实例考察我们从几何直观上能观察到下面事实．如图所示，设在闭区间[a，b]上函数

y=f(x)

的图像是一条连续曲线

AB，连接

A，B

两点作弦，则它的斜率是213214如果函数

y=f(x)

在开区间（a，b）内可导，也就是说，除端点外，在曲线

y=f(x)上每一点处都有不垂直于

x

轴的切线，那么，当我们把弦AB

平行移动时，在曲线上至少能找到一点

P（ξ，f(ξ)），使得过点P

的切线

PT

与弦AB

平行．这就是说，曲线

y=f(x)在点P（ξ，f(ξ)）处的切线的斜率

f′(ξ)与弦AB的斜率相等，即或f(b)－f(a)=f′(ξ)(b－a)（a＜ξ＜b）．215拉格朗日中值定理定理（拉格朗日中值定理）如果函数

y=f(x)

满足：（1）在闭区间[a，b]上连续，（2）在开区间（a，b）内可导，则至少存在一点

ξ∈（a，b），使得或f(b)－f(a)=f′(ξ)(b－a)．拉格朗日中值定理准确地表达了函数在一个区间上的增量和函数在这个区间内某点处的导数之间的关系．216利用拉格朗日中值定理,还可以得到下面的两个推论．推论1如果函数f(x)在区间（a，b）内可导，且恒有

f′(x)=0，则函数

f(x)在区间（a，b）内恒等于常数．推论1是“常数的导数等于零”的逆定理．推论2如果函数

f(x)

和

g(x)

在区间（a，b）内均可导，且恒有f′(x)=g′(x)，则函数

f(x)

和

g(x)

在区间（a，b）内满足f(x)=g(x)＋C（C

为任意常数）．217例题解析例1下列函数在指定区间上是否满足拉格朗日中值定理的条件?如果满足，找出使定理结论成立的

ξ

的值．解

（1）因为函数

f(x)=lnx

是初等函数，它在[1，e]上是连续的，且导数

在（1，e）内存在，即

f(x)在（1，e）内可导，所以函数f(x)=lnx

在[1，e]上满足拉格朗日中值定理的条件．因此，至少存在一点

ξ∈（1，e），使得从而得到

ξ=e－1．218（2）因为函数

是初等函数，它在[－2，1]

上是连续的，但当x=0时，导数

不存在，即

f(x)在

x=0处不可导，所以函数

在

[－2，1]

上不满足拉格朗日中值定理的条件．219例2

220函数单调性的判定由下面左图可以看出，如果函数

y=f(x)

在区间[a，b]

上单调增加，那么它的图像是一条沿

x

轴正向上升的曲线，这时曲线上各点处的切线的倾斜角都是锐角，因此，切线的斜率都是正的，即

f′(x)＞0；同样，由下面右图可以看出，如果函数

y=f(x)

在区间

[a，b]

上单调减少，那么它的图像是一条沿

x

轴正向下降的曲线，这时曲线上各点处的切线的倾斜角都是钝角，因此切线的斜率都是负的，即

f′(x)＜0．221由此可见，函数的单调性与导数的符号有关．下面我们给出利用导数判定函数单调性的定理．222223定理设函数

y=f(x)

在闭区间

[a，b]

上连续，在开区间（a，b）内可导．（1）如果在（a，b）内f′(x)＞0，那么函数

y=f(x)

在

[a，b]

上单调增加；（2）如果在（a，b）内

f′(x)＜0，那么函数

y=f(x)

在

[a，b]

上单调减少．如果将定理中的闭区间

[a，b]

改为开区间、半开半闭区间、无穷区间（在其任一有限子区间上满足定理的条件），结论同样成立．224例题解析例1讨论函数f(x)=x－sinx

在[0，2π]上的单调性．解因为函数f(x)=x－sinx

在[0，2π]上连续，在（0，2π）内可导，且f′(x)=1－cosx＞0，因此，函数

f(x)在[0，2π]上是单调增加的．例2

讨论函数

f(x)=3x－x3

的单调性．解函数

f(x)=3x－x3

的定义域为（－∞，＋∞）．它的导数为f′(x)=3－3x2=3(1－x)(1＋x)．令

f′(x)=0，得

x1=－1，x2=1．225于是，x1=－1，x2=1把函数的定义域分为三个子区间：（－∞，－1），（－1，1），（1，＋∞）．列表讨论如下：所以，函数

f(x)

在（－∞，－1）和（1，＋∞）上单调减少，在（－1，1）上单调增加．226在例2中，我们注意到

x1=－1，x2=1是函数

f(x)=3x－x3

单调区间的分界点，此时

f′(x)=0．习惯上，我们把

f′(x)=0的点称为函数的驻点（或稳定点）．由此可见，驻点可能是单调区间的分界点．特别地，导数不存在的点也可能是单调区间的分界点．因此，确定函数的单调性的一般步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2）求出函数

f(x)的导数

f′(x)；（3）求出函数

f(x)的全部驻点及

f′(x)不存在的点，并以这些点为分界点把定义域分成若干个子区间；（4）列表讨论

f′(x)

在各个子区间内的符号，从而确定函数

f(x)的单调性或单调区间．227例题解析例3确定下列函数的单调区间:（1）f(x)=2x2－lnx；

解

（1）函数

f(x)=2x2－lnx

的定义域为（0，＋∞）．它的导数为228列表讨论如下：所以，函数

f(x)的单调增区间为

，单调减区间为

．229（2）函数

的定义域为（－∞，＋∞）．它的导数为令

f′(x)=0，得驻点

x=1；此外，当x=0时，f′(x)不存在．230列表讨论如下：所以，函数

f(x)的单调增区间为（－∞，0）和（1，＋∞），单调减区间为（0，1）．3.2函数的极值与最值231函数的极值函数极值的定义由下图可以看出，函数

y=f(x)

在点

c1，c4

处的函数值

f(c1)，f(c4)比它们附近各点的函数值都大，而在点

c2，c5

处的函数值

f(c2)，f(c5)比它们附近各点的函数值都小．232233设函数

y=f(x)

在点x0

的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内任意的

x（x≠x0），恒有（1）f(x0)＞f(x)，则称

f(x0)为函数

f(x)的一个极大值，点

x0

称为

f(x)的一个极大值点；（2）f(x0)＜f(x)，则称

f(x0)为函数

f(x)的一个极小值，点

x0

称为

f(x)

的一个极小值点．函数的极大值和极小值统称为函数的极值，极大值点和极小值点统称为函数的极值点．对于具有上述这种性质的点和对应的函数值,我们给出如下的定义：函数极值的判定和求法由下图可以看出，在函数取得极值点处，曲线的切线是水平的，即极值点是驻点．反过来，曲线上有水平切线的地方，即驻点处，函数不一定取得极值．由此，我们得到函数取得极值的必要条件．234定理1设函数

f(x)在点

x0

处可导，且在点x0

处取得极值，则必有f′(x0)=0．以上定理只说明可导函数的极值点必定是驻点．实际上，导数不存在的点也有可能是函数的极值点．235如图所示，函数

f(x)

在点

x0

处取得极大值，在点

x0

左侧单调增加，有f′(x)＞0；在点x0

右侧单调减少，有

f′(x)＜0．如图所示，函数f(x)

在点x0

处取得极小值，在点

x0

左侧单调减少，有f′(x)＜0，在点x0

右侧单调增加，有

f′(x)＞0．由此，我们得到函数在某点处取得极值的充分条件．236定理２设函数

f(x)

在点

x0

的某个邻域内连续，在点

x0

的去心邻域内可导，则（1）如果当

x＜x0

时，f′(x)＞0，而当

x＞x0时，f′(x)＜0，那么函数

f(x)在

x0

处取得极大值；（2）如果当

x＜x0

时，f′(x)＜0，而当

x＞x0

时，f′(x)＞0，那么函数

f(x)

在

x0

处取得极小值；（3）如果在

x0

的两侧，函数

f(x)

的导数

f′(x)

符号相同，那么

f(x0)

不是

f(x)函数的极值．237根据上面两个定理，我们可以得到求函数的极值点和极值的一般步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2）求出函数

f(x)

的导数

f′(x)；（3）求出函数

f(x)

的全部驻点及

f′(x)

不存在的点，并以这些点为分界点把定义域分成若干个子区间；（4）列表讨论

f′(x)

在各个子区间内的符号，从而确定函数

f(x)

的极值点，并判定其是否为极大值点或极小值点，由此求出函数的极值．238239例题解析例1试问

a

为何值时，函数

f(x)=alnx－x2＋2在点

x=1处取得极值?

解函数

f(x)=alnx－x2＋2的定义域为（0，＋∞）．它的导数为因为函数

f(x)=alnx－x2＋2在点

x=1处取得极值，则必有f′(1)=a－2=0，从而得

a=2．240例2求函数

的极值．

解函数

的定义域为（－∞，＋∞）．它的导数为令

f′(x)=0，得驻点

；此外，当

x=0时，f′(x)不存在．241列表讨论如下：所以，函数f(x)

的极大值为f(0)=0，极小值为定理3设函数

f(x)

在点

x0

处具有二阶导数，且

f′(x)=0，f″(x)≠0，则（1）当

f″(x)＜0时，函数

f(x)

在

x0

处取得极大值；（2）当

f″(x)＞0时，函数

f(x)

在

x0

处取得极小值．注意：如果函数

f(x)

在驻点

x0

处的二阶导数

f″(x)≠0，那么该驻点

x0

一定是极值点，且可以由二阶导数的符号来判定

f(x0)是极大值还是极小值．但是如果

f″(x)=0，定理3就失效了．242243例题解析例3求函数

f(x)=x3－3x＋1的极值点和极值．

解函数

f(x)=x3－3x＋1的定义域为（－∞，＋∞）．它的导数为f′(x)=3x2－3=3(x＋1)(x－3)．令

f′(x)=0，得驻点

x1=－1，x2=1．因为

f″(x)=6x，且

f″(－1)=－6＜0，f″(1)=6＞0，所以，函数

f(x)

的极大值点为

x=－1，

极大值为

f(－1)=3；极小值点为

x=1，极小值为f(1)=－1．函数的最值及应用函数最值的求法求函数

f(x)

在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的方法如下：（1）求出函数

f(x)在开区间（a，b）内所有可能是极值点的函数值；（2）求出闭区间[a，b]上端点处的函数值

f(a)，f(b)；（3）比较以上函数值，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值．244245例题解析例1求函数

f(x)=x4－8x2＋5在区间[－1，3]

上的最大值和最小值．

解因为f′(x)=4x3－16x=4x(x－2)(x＋2)，令

f′(x)=0，得驻点为

x1=0，x2=2，x3=－2（舍去），它们对应的函数值为f(0)=5，f(2)=－11．在区间[－1，3]

端点处的函数值为f(－1)=－2，f(3)=14．所以，函数

f(x)=x4－8x2＋5在区间[－1，3]

上的最大值为

f(3)=14，最小值为

f(2)=－11．246特别地，如果函数

f(x)

在区间（a，b）内可导且有唯一的极值点

x0，则当

f(x0)是极大值时，

f(x0)就是函数

f(x)

在该区间上的最大值；当

f(x0)是极小值时，

f(x0)就是函数

f(x)

在该区间内的最小值．函数最值的应用举例在生产和生活中常常需要解决这样一类问题：在一定的条件下，怎样才能使用料最省或成本最低或效率最高？这类问题可归结为函数的最值问题．在实际问题中的最值确实是存在的，是最大值还是最小值完全由问题的本身来决定．在解决这类问题的时候，可按下面的步骤来进行：（1）建立数学模型，即列出函数关系式．分析问题的实际意义，分清并找出已知量和未知量．在实际问题中常常是这样提出问题的：当

x

为何值时，函数y

取得最大值（最小值）？这时要以

x

为自变量

y

为因变量，建立函数关系

y=f(x)．247（2）求函数的导数等于零的点．求出函数

y=f(x)的导数，令

f′(x)=0，解出函数导数等于零的点．（3）确定最值．结合所求问题的实际意义，如果函数的导数等于零的点只有一个，则该点对应的函数值就是所求问题的最大值（或最小值）．如果函数导数等于零的点有多个，则将它们分别代入函数

y=f(x)求出对应的函数值．在这些函数值中最大的数即为函数的最大值，最小的数为函数的最小值．248249例题解析例2汽修厂要做一个无盖的方形漏油托盘，设有一块边长为48厘米的正方形铁皮，从4个角各截去一个大小一样的小正方形，做成一个漏油托盘．试问截去边长为多少的小正方形时，方能使做成的漏油托盘容积最大？

解（1）建立数学模型，列出函数关系式．设截去的小正方形的边长为

x

厘米（如图所示），则做成的漏油托盘容积为y=(48－2x)2x

(0＜x＜24)．250（2）对上式求导．y′=2(48－2x)(－2)x＋(48－2x)2=12(24－x)(8－x)．令

y′=0，得函数在（0，24）上的唯一驻点

x=8．（3）确定最值点．由于漏油托盘必然存在最大容积，而现在函数在（0，24）内只有一个驻点，因此，当

x=8时，函数

y

取得最大值．也就是说，截去边长为8厘米的小正方形时，方能使做成的漏油托盘容积最大．251例3有一块宽为12米的长方形的铁皮，将宽的两边缘向上折起，做成一个开口的水槽，如图所示．其横截面为矩形，高为

x

米．请问当高为何值时，水槽的流量最大？

解

（1）建立数学模型，列出函数关系式．

要使流量最大也就是要使矩形截面的面积最大．由图可知矩形的高为

x，宽为12－2x．于是截面面积

S=x(12－2x)=－2x2＋12x．252（2）对上式求导．S′=(－2x2＋12x)′=－4x＋12．令

S′=0，即－4x＋12=0，得x=3．（3）确定最值．因为函数的导数等于0的点只有一个

x=3，所以当矩形的高为3米时流量最大．253例4有一直流电源E，其内阻为

r，如图所示．当负载电阻

R

为多少时，负载功率最大？已知E=12V，r=0.5Ω，求负载功率的最大值．

解

（1）建立数学模型，列出函数关系式．设电路中的电流为

I，则负载

R

功率

P=I2R．254R=r．255（3）确定最值．函数的导数等于零的点只有一个，此时R=r．这说明当负载电阻

R

等于电源内阻

r

时，负载功率最大．已知

E=12V，r=0.5Ω，当

R=r=0.5Ω时，负载功率的最大值为256例5某车间要生产一批带盖的圆柱形铁桶（如图所示），要求铁桶的体积为定值

V．应怎样设计才能使用料最省？解用料最省也就是使圆柱体的表面积最小．即当圆柱体的体积

V为一定值，半径

r

取何值时，才能使表面积S

最小．（1）建立数学模型，列出函数关系式257设底面圆半径

r

为自变量，圆柱体的表面积S

为

r

的函数，则圆柱体的侧面积为2πrh，底面积为πr2．所以整个表面积为S=2πrh＋2πr2．显然，在上式中的右端除了自变量

r

外，还有一个与自变量

r

有关的变量

h，应当将它消去．由圆柱体积

V=πr2h，所以

，于是258（2）对上式求导．（3）确定最值．函数导数等于零的点只有一个，故函数在这点一定会取得最小值．此时圆柱的高为这说明在设计中应使铁桶的高等于底面圆的直径，才能使用料最省．259例6设总收入R(x)和总成本C(x)都是产量x

的函数，已知R(x)=5x－0.03x2，C(x)=300＋1.1x，其中0≤

x≤1000．问当产量

x

为何值时利润最大，最大利润是多少（产量x

的单位为千件，总收入R、总成本

C

的单位为万元）？解

（1）建立数学模型，列出函数关系式．设利润函数为

L(x)，因为总利润等于总收入减去总成本，所以L(x)

=R(x)－C(x)

=(5x－0.003x2)－(300＋1.1x)=－300＋3.9x－0.003x2

260（2）对上式求导．L′(x)=3.9－0.006x．令

L′(x)=0，即3.9－0.006x=0，得（3）确定最值．函数导数等于零的点只有一个，故函数在这点一定会取得最大值L(650)=967.5（万元）．这说明当生产的产量为650千件时，利润最大为967.5万元．3.3函数图像的凹凸和拐点261实例考察在商场销售部门，往往会借助图像来分析某种商品的销售情况．如图所示是一大型商场某种耐用消费品的销售情况的图像．横轴

x

表示时间，纵轴

y

表示销售量．图像显示曲线沿

x

轴正向始终是上升的．这说明随着时间的推移，销售量是不断上升的．在区间（0，x0）内，对应的曲线OP

上升的趋势由缓慢逐渐加快；而在区间（x0,＋∞）内，对应的曲线PQ

上升的趋势又逐渐转向缓慢．这说明在时间x0

以前，也就是销售量没有达到

f(x0)

时，市场需求旺盛，销售情况良好；而在时间x0

以后，即销售量超过

f(x0)时，市场需求趋于平稳，并逐渐进入饱和状态．其中点（x0，f(x0)）是由加快转向缓慢的转折点．262显然，借助图像来分析实例考察中的这种商品的销售情况，对决策是有帮助的．因此，我们要进一步来讨论函数图像的凹凸和拐点等特性．263264函数图像的凹凸和拐点曲线的凹凸及其判定法我们继续看实例考察的例子，如图所示，曲线弧OP

在区间（0，x0）内是向下凹的，此时曲线总在其上任一点处切线的上方；而曲线弧PQ

在区间（x0，＋∞）内是向上凸的，此时曲线总在其上任一点处切线的下方．265一般地，对于曲线的上述特性，我们给出如下定义：曲线

y=f(x)

的凹凸，可以由导数

f′(x)的单调性来判定，而导数

f′(x)的单调性又可以用它的导数，即

y=f(x)的二阶导数

f″(x)的符号来判定．下面我们给出曲线凹凸性的判定定理．如果在某一区间内的曲线弧位于其上任一点处切线的上方，则称此曲线弧在该区间内是凹的，此区间称为凹区间；如果在某一区间内的曲线弧位于其上任一点处切线的下方，则称此曲线弧在该区间内是凸的，此区间称为凸区间．266定理设函数

y=f(x)

在开区间（a，b）内具有二阶导数

f″(x)．（1）如果在（a，b）内，

f″(x)＞0，则曲线在（a，b）内是凹的；（2）如果在（a，b）内，f″(x)＜0，则曲线在（a，b）内是凸的．一般地，在连续曲线

y=f(x)

的定义域的区间内，除在有限个点处f″(x)=0或

f″(x)不存在外，若在其余各点处的二阶导数

f″(x)均为正（或负）时，曲线

y=f(x)

在这个区间上就是凹（或凸）的，这个区间就是曲线y=f(x)

的凹（或凸）区间；否则就以这些点为分界点划分函数

y=f(x)

的定义区间，之后再在各个区间上讨论曲线的凹凸性．267例题解析例1判定曲线

y=x2和

的凹凸性．解

（1）函数

y=x2的定义域为（－∞，＋∞），且y′=2x，y″=2＞0．所以曲线

y=x2

在（－∞，＋∞）内是凹的（如图a所示）．268（2）函数

在定义域[0，＋∞）上连续，且所以曲线

在[0，＋∞）上是凸的（如上图b所示）．269例2判定曲线

y=arctanx

的凹凸性．解

函数

y=arctanx

的定义域为（－∞，＋∞），且令

y″=0，得

x=0．当

x∈（－∞，0）时，y″＞0，此时曲线弧是凹的；当

x∈（0，＋∞）时，y″＜0，此时曲线弧是凸的；这里，点（0，0）是曲线由凹变凸的分界点（如图所示）270曲线的拐点我们可以按下面的步骤来确定曲线

y=f(x)

的拐点：（1）确定函数

y=f(x)

的定义域；（2）求出

f″(x)；（3）求出使

f″(x)=0和

f″(x)

不存在的点，并以这些点为分界点把定义域分成若干个子区间；（4）列表讨论

f″(x)

在各个子区间内的符号，从而确定曲线

f(x)

的拐点．连续曲线

y=f(x)

上凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点称为曲线y=f(x)

的拐点．271例题解析例3求曲线

y=x3－3x

的凹凸区间和拐点．解

函数

y=x3－3x

的定义域为（－∞，＋∞），且y′=3x2－3，y″=6x．令

y″=0，得

x=0．列表如下:由上表可知，曲线y=x3

－3x

的凸区间是（－∞，0），凹区间是（0，＋∞），拐点是（0，0）．272函数图像的描绘曲线的渐近线知道了函数的单调性、函数的极值、函数图像的凹凸性和拐点，可以比较清楚地了解函数图像的基本性态．但要更准确地描绘函数的图像，还应当了解曲线的渐近线．下面我们来讨论两种特殊的渐近线：水平渐近线和垂直渐近线．一般地，对于曲线的上述特性，我们给出如下定义：273274275例题解析例1求下列曲线的水平渐近线或垂直渐近线：解

（1）对于曲线

，因为所以直线

x=－1和

x=2为这条曲线的两条垂直渐近线．又因为所以直线

y=1为这条曲线的水平渐近线．276（2）对于曲线

y=e－(x－1)

，因为所以直线

y=0为曲线

y=e－(x－1)

的水平渐近线．22277函数图像的描绘“描点法”是作函数图像的基本方法，但是图像上一些关键性的点经常得不到反映．现在我们可以利用导数先研究函数的单调性和极值、曲线的凹凸性和拐点，再讨论曲线的渐近线,然后再描点作图，就能描绘出较为准确的函数图像．278描绘函数图像的一般步骤如下:（1）确定函数

y=f(x)

的定义域，考察函数的奇偶性和周期性，判断曲线的对称性；（2）求出函数的一阶导数

f′(x)

和二阶导数

f″(x)

，并解出方程

f′(x)=0和

f″(x)=0在定义域内的全部实根以及f′(x)和

f″(x)不存在的点，用这些点把定义域分成若干个子区间；279（3）列表讨论

f′(x)

和

f″(x)

在各个子区间内的符号，从而确定函数

f(x)的单调性和极值、曲线f(x)

的凹凸性和拐点；（4）确定曲线的水平渐近线和垂直渐近线；（5）需要时，取一些辅助点；（6）结合上述的讨论结果，描绘出函数y=f(x)

的图像．280例题解析281282（6）综合上面的讨论，描绘函数

的图像，如图所示．283284（3）列表讨论如下：285（6）综合上面的讨论，描绘函数

的图像，如图所示．3.4曲率286曲率的概念如图所示，相切于M

点的两条曲线弧MN1和MN2，长度相等且弯曲程度均匀．它们两端的切线的夹角（简称切线转角）分别为Δα1和Δα2．从直观判断，Δα2大于Δα1，曲线弧MN2

比曲线弧MN1

更弯曲．实际上，对于长度一定且弯曲程度均匀的曲线弧，切线转角越大，其弯曲程度就越大．由此可以衡量曲线弧的平均弯曲程度．287288我们将曲线弧的切线转过的角度Δα

与其弧长Δs之比的绝对值称为该曲线弧的平均曲率，记为

，即曲线在其上各点附近的弯曲程度往往不同．因此，曲线弧越短，其平均曲率就能越真实地反映曲线上某一点附近的弯曲程度（如图所示）．于是，我们给出如下定义：289设M，N

是曲线

L

上的两点．当

N

点无限接近于M

点时，若弧MN

的平均曲率的极限存在，则称此极限为曲线

L

在M

点的曲率，记为

K，即290上式表明，曲线的曲率是曲线切线倾斜角关于弧长的变化率的绝对值，它是一个非负值．利用定义计算曲线的曲率是很不方便的，但可以引入坐标系和导数来处理．下面给出平面直角坐标系中曲线

y=f(x)

上任意点处的曲率计算公式（推导从略）：设函数

y=f(x)

具有二阶导数,则曲线

y=f(x)

在任意一点M（x，y）处的曲率计算公式为291例题解析例1求直线上各点处的曲率．解设直线方程为

y=kx＋b．因为

y′=k，y″=0，代入曲率公式，得即直线的曲率为零．这与我们“直线没有弯曲”的直觉是一致的．292例2求半径为R的圆上任一点的曲率．解设圆的方程为

x2＋y2＝R2．方程两边对

x

求导，得2x＋2yy′＝0,即293再求导，得代入曲率公式，得即圆上任一点的曲率相等，其值等于圆半径的倒数．294例3抛物线

y=ax2＋bx＋c（a≠0）在哪点处的曲率最大？解将

y′=2ax＋b，y″=2a

代入曲率公式，得由于曲率

K

的分子是常数，所以当分母

最小时，曲率K

最大．显然，当2ax＋b=0，即

时，

最小，曲率K

最大为

|2a|．此时，所求的点为

，这正是抛物线的顶点坐标，所以抛物线在顶点处的曲率最大．曲率圆我们已经知道，圆周上任一点的曲率等于它的半径的倒数．在研究一般曲线某点的曲率时，往往可以用一个圆弧代替该点附近的曲线．对于这样的圆弧所在的圆，我们给出如下的定义：295如果一个圆满足下列三个条件：（1）在M

点与曲线有公切线，（2）与曲线在M

点附近有相同的凹凸方向，（3）与曲线在M

点有相同的曲率．那么，这个圆就称为曲线在M

点的曲率圆．296如图所示，曲率圆的中心

C