高等基础与数学 4

常微分方程第5章523目录5.1可分离变量的微分方程5.2一阶线性微分方程5.3二阶常系数齐次线性微分方程5245.1可分离变量的微分方程525实例考察我们知道，含有一个未知数且最高次数为1的等式叫作一元一次方程，含有一个未知数且最高次数为2的等式叫作一元二次方程．下面我们先来讨论两个具体的实例，来说明微分方程的基本概念．实例一

设某条曲线通过点（1，2），且该曲线上任意点P(x，y)处的切线斜率等于该点的横坐标平方的3倍，求此曲线的方程．设所求曲线的方程为y＝f(x)．由导数的几何意义，得526527这是一个含有所求未知函数y的导数或微分的方程．为求得y，对①式两边分别积分，得其中C为任意常数．根据题意，曲线通过点（1，2），因此，所求函数y＝f(x)还应满足条件将条件③代入②，得C＝1．所以，所求曲线方程为y＝x3＋1．528实例二

设有一质量为m的物体，不计空气阻力而只受重力作用，从空中某处由静止状态自由下落．试求物体的运动规律．设物体在时间t的位移为s＝s(t)，则物体运动的加速度为

根据牛顿第二定律可知，作用在物体上的外力mg（重力）应等于物体的质量m与加速度

的乘积，所以529这是一个含有未知函数的二阶导数的方程．对④式两边积分一次，得再对上式的两边积分，得其中C1，C2是两个任意常数．由于物体由静止状态自由下落，因此，s＝s(t)还应满足条件把⑦式中两个条件分别代入⑤式和⑥式，得C1＝0，C2＝0．所以，所求的自由落体的运动规律为微分方程的基本概念微分方程及微分方程的阶实例考察中的等式

都含有未知函数的导数，它们都是微分方程，由此，我们给出微分方程的定义．含有未知函数的导数的等式称为微分方程．未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程．未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程．在微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶．530微分方程的解、通解与特解如果把一个函数代入微分方程后，能使方程两边恒等，则称此函数称为微分方程的解．微分方程的解有两种形式．如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解通常称为微分方程的通解；而不包含任意常数的解通常称为微分方程的特解．531微分方程的初值条件由实例考察中的实例，我们知道通解中的任意常数一旦由某种特定条件确定后，就得到微分方程的特解．一般地，用以确定通解中任意常数的特定条件称为微分方程的初值条件，初始条件通常以

的形式给出．由于一阶微分方程的通解只含一个任意常数，所以对于一阶微分方程，只需给出一个初值条件便可确定通解中的任意常数．同样，由于二阶微分方程的通解含有两个任意常数，所以对于二阶微分方程需给出两个初值条件．532例题解析例1

验证函数y＝C1e2x＋C2e－2x（C1，C2为任意常数）是二阶微分方程

y″－4y＝0的通解．解

对函数y＝C1e2x＋C2e－2x分别求一阶及二阶导数，得y′＝2C1e2x－2C2e－2x，y″＝4C1e2x＋4C2e－2x．将它们代入方程y″－4y＝0的左边，得4C1e2x＋4C2e－2x－4（C1e2x＋C2e－2x）＝0．所以函数y＝C1e2x＋C2e－2x是所给方程的解．又因为这个解中含有两个独立的任意常数，任意常数的个数与微分方程的阶数相同，所以它是这个方程的通解．533534可分离变量的微分方程在实例考察中我们遇到一阶微分方程

或dy＝3x2dx，只要对它的两边分别积分就能得到这个方程的通解y＝x3＋C．一般地，如果一个一阶微分方程能化为g(y)dy＝f(x)dx的形式，那么原方程就称为可分离变量的微分方程．535一般地，可分离变量的微分方程求解步骤如下：（1）把一个可分离变量的微分方程化为形如g(y)dy＝f(x)dx的方程，这一步骤称为分离变量；（2）两边积分

∫g(y)dy＝∫f(x)dx；（3）求出积分得通解G(y)＝F(x)＋C，其中，G(y)，F(x)分别是g(y)，f(x)的原函数，C是任意常数；（4）若方程给出初始条件，则可确定常数C，得到方程满足初始条件的特解．536例题解析537538因为±eC

1仍为任意常数，可令C＝±eC1≠0，又y＝0也是方程的解，所以所给微分方程的通解为

（C为任意常数）．539例2

求微分方程x(1＋y2)dx－(1＋x2

)ydy＝0的通解．解

分离变量，得对上式两边积分，有540

541例3

求微分方程2xsinydx＋(1＋x2)cosydy＝0满足初始条件的特解．解

分离变量，得542543例4

降落伞从跳伞塔下落后，如不考虑风的因素，则其运动为直线运动，其所受空气阻力近似与速度成正比．设降落伞离开跳伞塔时(t＝0)速度为零，求降落伞下落时速度与时间的函数关系．解（1）建立微分方程．设降落伞下落速度为v(t)．降落伞在空中下落时，同时受到重力G与阻力R的作用（如图所示），重力大小为mg，方向与v一致；阻力大小为kv（k为比例系数），方向与v相反，从而降落伞所受外力为F＝mg－kv．544由牛顿第二运动定律F＝ma（其中a为加速度），得函数v(t)应满足的方程为545546

547例5

如图所示的RC电路，已知在开关合上前电容上没有电荷，电容两端的电压为零，电源电压为E．把开关合上，电源对电容充电，电容上的电压uC逐渐升高，求电压uC随时间t变化的规律．548解（1）建立微分方程．根据回路电压定律，电容上的电压uC与电阻上的电压Ri之和等于电源电压E，即uC＋Ri＝E．电容充电时，电容上的电量q逐渐增加，根据电容性质，q与uC有关系式q＝CuC．549于是把上式i代入uC＋Ri＝E中，得到uC(t)所满足的微分方程为550551552553

例题解析5545555565575585.2一阶线性微分方程559

560

561一阶线性微分方程的解562563现在我们使用所谓“常数变易法”来求非齐次线性方程①的通解．我们把方程①所对应的齐次线性方程②的通解564中的C换成x的未知函数u(x)，从而得到565566上述这种求微分方程解的方法，就是常数变易法．容易看出，通解中的第一项就是方程①所对应的齐次线性方程②的通解；第二项就是原非齐次线性方程①的一个特解．由此可知，一阶非齐次线性方程的通解是由对应的齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个特解相加而构成的．例题解析567568569570例4

求微分方程的

通解．分析

所给方程对于未知函数y，它不是线性方程．但是，如果把方程变形为571则对于未知函数x(y为自变量)来说，所给方程就是一阶非齐次线性方程．在一阶非齐次线性方程的通解公式中，把未知函数y换成x,而把自变量x换成y，即得到相应的一阶非齐次线性方程572573例5

如图所示电路中的电源电动势为E＝Emsinωt，电阻R和电感L都是常数，求电流i(t)．解（1）建立微分方程．当电流变化时，L上有感应电动势

由回路电压定律得出574未知函数i(t)应满足上式方程．此外，设开关闭合的时刻为t＝0，此时i(t)应满足初值条件，即（2）求微分方程的通解．方程①是一个非齐次线性方程，利用公式一求出非齐次线性方程的通解为5755765775.3二阶常系数齐次线性微分方程578实例考察我们已经知道怎样解简单的一阶微分方程．现在我们来分析下面的问题，看看会得到什么样的微分方程．实例

设有一个弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量为m的物体．当物体处于静止状态时，作用在物体上的重力与弹性力大小相等、方向相反，这个位置就是物体的平衡位置．如图所示，取x轴竖直向下，并取物体的平衡位置为坐标原点．如果使物体具有一个初始速度v0≠0，那么物体便离开平衡位置，并在平衡位置附近上下振动．求物体的振动规律．579580分析

在振动过程中，物体的位置x

随时间t

变化，即x

是t的函数：x＝x(t)，要求物体的振动规律，就是要求出x＝x(t)．由力学知道，弹簧使物体回到平衡位置的弹性恢复力

f和物体离开平衡位置的位移x成正比，即f＝－cx，其中，c为弹簧的弹性系数，负号表示弹性恢复力的方向和物体位移的方向相反．581另外，物体在运动过程中还受到阻尼介质的阻力的作用，使得振动逐渐趋向停止．由实验知道，阻力R的方向总与运动方向相反，当运动速度不大时，其大小与物体运动的速度成正比，设比例系数为μ，则有二阶常系数齐次线性微分方程的定义实例考察中得到的微分方程是一个二阶微分方程，它的特点是：未知函数x

及其一阶导数

和二阶导数

都是一次的，且未知函数x及其导数的系数均为常数．582583一般地，我们给出如下定义：的方程，称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中系数p，q均为常数．二阶常系数齐次线性微分方程解的结构下面我们来讨论二阶常系数齐次线性微分方程解的结构，为此，我们先引入两个函数的线性相关和线性无关的概念．设y1(x)与y2(x)是定义在某区间内的两个函数，如果存在不为零的常数C（或存在不全为零的常数C1，C2），使得对于该区间内的一切x，恒有成立，则称函数y1(x)与y2(x)在该区间内线性相关；否则，称y1(x)与y2(x)在该区间内线性无关．584585定理（二阶常系数齐次线性微分方程解的叠加原理）

设函数y1(x)与y2(x)是方程y″＋py′＋qy＝0的两个解，则函数y＝C1y1(x)＋C2y2(x)（C1，C2

是任意常数）也是方程y″＋py′＋qy＝0的解，且当y1(x)与y2(x)线性无关时，y＝C1y1(x)＋C2y2(x)是该方程的通解．586所以，函数y＝C1y1(x)＋C2y2(x)是方程y″＋py′＋qy＝0的解．因为y1(x)与y2(x)线性无关，且方程的解y＝C1y1(x)＋C2y1(x)中所含的任意常数的个数与方程的阶数相同，所以它是该方程的通解．例题解析例验证y1(x)＝e－x

与y2(x)＝e2x

都是微分方程y″－y′－2y＝0的解，并写出微分方程的通解．解所给方程为二阶常系数齐次线性微分方程．对y1(x)＝e－x与y2(x)＝e2x

分别求导，得587588二阶常系数齐次线性微分方程的解法二阶常系数齐次线性微分方程解的叠加原理告诉我们，欲求方程y″＋py′＋qy＝0①的通解，关键在于求出它的两个线性无关的特解．为此，我们来分析齐次线性方程①的特点．方程①的左边是y″，py′与qy三项之和，且右边为0，即满足方程①的函数y

很可能与它的一阶导数y′，二阶导数y″只差一个常数因子，什么样的函数具有这样的特点呢？容易联想到指数形式的函数y＝erx

（r

为常数，它的各阶导数是函数erx

乘以一个常数因子）．589590为此，我们设函数y＝erx

为方程①的解，则y′＝rerx

，y″＝r2erx．把y，y′，y″代入方程①，整理得（r2＋pr＋q）erx＝0．由于erx≠0，所以有r2＋pr＋q＝0．②591这表明，只要常数r满足方程②，函数y＝erx就是二阶常系数齐次线性微分方程①的解．我们称一元二次方程r2＋pr＋q＝0为二阶常系数齐次线性微分方程①的特征方程．特征方程r2＋pr＋q＝0中，r2，r的系数及常数项，依次是微分方程①中y″，y′，y的系数．由一元二次方程的求根公式，可得特征方程r2＋pr＋q＝0的两个根r1，r1．592下面按照特征根的三种不同情况，分别讨论二阶常系数齐次线性微分方程①通解的求法．（1）当p2－4q＞0时，特征方程②有两个不相等的实根r1，r2（r1≠r2），即于是y1＝er1x与y2＝er2x

都是方程①的解，且

不等于常数，即

y1＝er1x

与

y2＝er2x

线性无关，因此可得微分方程①的通解为y＝C1er1x＋C2er2x（C1，C2

是任意常数）．593

594（3）当p2－4q＜0时，特征方程②有一对共轭复根：r1＝α＋iβ，r2＝α－iβ（β≠0）．这时，y1＝e（α＋iβ）x

与y2＝e（α－iβ）x

是微分方程①的两个解，但它们是复值函数形式．为了得出实值函数形式，我们先利用欧拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ,595