高等基础与数学 5

导数与微分第2章122目录2.1导数的概念2.2导数的运算法则2.3微分及应用1232.1

导数的概念124实例考察创立微积分的原始灵感来自试图去理解运动物体的瞬时速度（速率）与位移（路程）、时间的关系和曲线上某一点处的切线斜率的问题．因此，我们就从这两个实例开始研究，之后再回到函数中去．变速直线运动的瞬时速度一辆汽车从上海出发，经过3小时（沿沪蓉高速）行驶到达南京，行程共计300千米．显然，这辆汽车的平均速度是100千米/小时，但我们并不能确定这辆汽车有没有超速（沪蓉高速小车限速120千米/小时）．因为在行驶过程中，汽车的行驶速度不可能始终保持不变，总会有快有慢，那么我们怎么才能知道这辆汽车在某一时刻的速率有没有超过120千米/小时呢？125126我们将汽车当作一个质点来看，将一段路径当作直线，以

t

表示时间，s表示质点在这段路径上的位移，则

s

是时刻

t

的函数：s=s(t)（称为位移函数），如图所示．当时间

t从时刻

t0

变到

t0＋Δt

（即汽车从点A0

行驶到点

A1）时，质点所走过的位移Δs=s(t0＋Δt)－s(t0)．127若质点做匀速直线运动，则速度是一个常数，其表达式为这就是质点在时刻

t0

的瞬时速度v(t0)．现质点做变速直线运动，在不同时刻，质点的运动速度可能不同，因此仅表示质点从时刻

t0

变到

t0＋Δt

这一段时间内的平均速度，可记作

，即128一般地，当

|Δt|很小时，质点在这段时间间隔内的平均速度

可近似地反映质点在

t0

时刻的瞬时速度v(t0)，并且

|Δt|越小，平均速度

就越接近

v(t0)．当Δt→0时，平均速度

就无限地接近于质点在时刻

t0

的瞬时速度，即也就是说，质点运动的瞬时速度就是位置函数的增量Δs

与时间增量Δt

的比值在时间增量

Δt

趋于零时的极限．平面曲线上某点处切线的斜率在初等数学中，并没有给曲线的切线一个很明确的定义，只是说它是与曲线只有一个交点的直线，事实上，这种说法只适用于少数几种曲线，如圆、椭圆等．在这里我们给出曲线切线的明确定义．定义

设点

A

是曲线

L

上一个定点，点

B

是曲线

L

上的动点，作割线

AB，当点

B

沿曲线

L无限接近点

A

时，如果割线

AB

无限接近某一条固定的直线

AT，则称直线

AT

为曲线

L

在点

A

处的切线．129设曲线

L

为函数

y=f(x)的图像（如图所示），在点

A(x0，y0)处的附近取一点

B(x0＋Δx，y0＋Δy)，那么割线AB

的斜率为130如果当点B

沿曲线L

无限趋向于点A

时，割线AB

的极限位置AT

存在，即点A

处的切线存在，此时Δx→0，θ→α，割线斜率趋于切线AT

的斜率tanα，即也就是说，曲线

y=f(x)在点A

处切线的斜率就是曲线在

A

处纵坐标的增量Δy

与横坐标的增量Δx

的比值当Δx→0时的极限．131132导数的概念函数在某一点处的导数

设函数

y=f(x)在点

x0

的某邻域内有定义，当自变量

x

在点

x0

处有增量Δx

时，相应地，函数

y

有增量Δy=f(x0＋Δx)－f(x0)，如果极限存在，则称函数

y=f(x)在点

x0

处可导，并称此极限值为函数

y=f(x)在点

x0

处的导数，记作

f′(x0)或

或

，即如果上述极限不存在，则称函数

y=f(x)在点

x0

处不可导．133函数增量与自变量增量之比

是函数在Δx

区间上的平均变化率，而导数

f′(x0)则是函数

y=f(x)在点

x0

处的瞬时变化率，它反映了函数

y=f(x)在点

x0

处变化的快慢程度．根据导数的定义，实例考察中的两个实例用导数的概念可表述如下：（1）变速直线运动的物体在时刻

t0

的瞬时速度，就是位移

s=s(t)

在

t0

处对时间

t

的导数，即134（2）在直角坐标系中，曲线

y=f(x)

在点

A(x0，y0)

处的切线斜率，就是纵坐标

y=f(x)

在点

x0

处对横坐标

x

的导数，即函数

y=f(x)

在点

x0

处的导数

f′(x0)也可表示为135例题解析例1求函数

f(x)=x2－1在点

x0=2处的导数，即

f′(2)．解法一

函数在

x0=2处的增量为136解法二

137函数在某一点处的左、右导数若比值

在点

x0

处的左极限

存在，则称此极限值为

f(x)

在点

x0

处左导数，记为

．若比值

在点

x0

处的左极限

存在，则称此极限值为

f(x)

在点

x0

处左导数，记为

．函数

y=f(x)

在点

x0

处可导的充分必要条件是

f(x)

在该点的左、右导数都存在且相等．138函数的导数如果函数

y=f(x)

在开区间（a，b）内的每一点处都可导，则称函数y=f(x)

在（a，b）内可导．这时，对于（a，b）内的每一个确定的

x，都对应着唯一确定的函数值

f′(x)，于是就确定了一个新的函数，这个新的函数称为函数

y=f(x)

的导函数，简称导数，记作

f′(x)或

，且显然，函数

y=f(x)

在点

x0

处的导数

f′(x0)

就是导数

f′(x)

在点

x=x0

处的函数值，即139例题解析例2设

f(x)=C

（C

为常数），求

f′(x)．解

即

C′=0．140例3求

f(x)=x2的导数．解

利用二项式定理可以把例3推广到

xn

（n为整数）的导函数：(xn)′=nxn－1．当

n

为任意实数

α

时，上式仍成立，即(xα)′=αxα－1．141例4求函数

f(x)=sinx

的导数及

．解

142143例5求函数

f(x)=ex

的导数．解

即(ex)′=ex

．144例6求函数

f(x)=lnx

的导数．解

即导数的几何意义由切线问题的讨论及导数的定义可以知道，函数

y=f(x)

在点

x0处的导数f′(x0)在几何上表示曲线

y=f(x)在点A（x0，f(x0)）处的切线的斜率（如图所示），即k=tanα=f′(x0)．145146过切点A（x0，f(x0)）且垂直于切线的直线称为曲线

y=f(x)在点A（x0，f(x0)）处的法线．如果

f′(x0)存在，则曲线

y=f(x)在点A

处的切线方程为y－f(x0)=f′(x0)(x－x0),法线方程为147例题解析例7

求曲线

y=ex

在点（1，e）处的切线方程与法线方程．解

由

y′=(ex)′=ex,得到曲线

y=ex

在点（1，e）处的切线斜率和法线斜率分别为因此，所求的切线方程为y－e=e(x－1)，即y=ex．148法线方程为即149可导与连续的关系定理如果函数

y=f(x)在点

x0

处可导，则函数

y=f(x)在点

x0

处连续．证函数

y=f(x)在点

x0

处可导，即

存在，其中Δy=f(x0＋Δx)－f(x0)，得到所以，函数

y=f(x)在点

x0

处连续．值得注意的是，即使函数

y=f(x)在点

x0

处连续，函数

y=f(x)在点

x0

处也不一定可导．150例题解析例1

讨论函数

在

x=1处的连续性与可导性．分析

x=1是分段函数的分界点，讨论其连续性与可导性时，一般情况下，需对其左右两侧的情况分别加以讨论．解

（1）先讨论连续性．因为

f(1)=1，且即所以，

，即函数

f(x)在点

x=1处连续．151（2）再讨论可导性．所以，函数

f(x)在点

x=1处连续，但不可导．152例2

若函数

在

x=2处可导，求

a，b的值．解

由函数

f(x)在

x=2处可导可知，函数

f(x)在

x=2处必连续，则应有即153从而有

b=4－2a．又由函数

f(x)在

x=2处可导，可知

f′－

(2)=f′＋

(2)，且因此

a=4，b=－4．2.2导数的运算法则154函数的和、差、积、商的求导法则设函数

与

v=v(x)在点

x

处均可导．下面我们来考察它们的和y=u(x)＋v(x)

在点

x

处的导数．当自变量在

x

处有增量Δx

时，函数

u=u(x)，

v=v(x)及

y=u(x)＋v(x)

相应地分别有增量Δu，Δv，Δy．因为Δy=[u（x＋Δx）＋v（x＋Δx）]－[u（x）＋v（x）]=[u（x＋Δx）－u（x）]＋[v（x＋Δx）－v

（x）]=Δu＋Δv，155156所以由于函数

u=u(x)与

v=v(x)在点

x

处均可导，即因此，有

y′=u′＋v′，这表明函数

y=u(x)＋v(x)在点

x

处也可导，即（u＋v）′=u′＋v′．实际上，我们也可推出它们的差、积、商（分母不等于0）在点

x

处可导．157设函数

u=u(x)与

v=v(x)在点

x

处均可导，则它们的和、差、积、商（当分母不为零时）在点

x

处也可导，且有法则

Ⅰ（u±v）′=u′±v′；法则

Ⅱ（uv′）=u′v＋uv′，特别地，（Cu)′=Cu′；法则

Ⅲ158例题解析159例2

设

f(x)=xex

，求

f′(x)及

f（1）．解

f′(x)=x′ex＋x(ex)′=ex＋xex=(1＋x)ex

．f′（1）=(1＋1)e1=2e．160例4

设

y=tanx，求y′．解

同理可得(cotx)′=－csc2x．161例5

设

y=secx，求

y′．解

同理可得（cscx）′=－cscxcotx．例6

设

y=logax(a＞0，a≠1)，求

y′．

解

复合函数的求导法则利用函数的四则运算的求导法则和一些基本初等函数的导数公式，可以来求一些简单的函数的导数，对于复合函数的求导问题，我们有如下重要的求导法则．162设函数u=φ(x)

在点x

处可导，而函数

y=f(u)在对应的点

u

处可导，则复合函数

y=f[φ(x)]在点

x

处也可导，且有163例1

设

y=e2x

，求y′．解

y=e2x

由

y=eu

和

u=2x

复合而成，因此y′=y′u·u′x=eu·2=2e2x

．例2

设

y=(x2－2x＋3)20，求

y′．

解

y=(x2－2x＋3)20由

y=u20

和

u=x2－2x＋3复合而成，因此y′=y′u·u′x=20u19·

(2x－2)=40(x－1)(x2－2x＋3)19．例3

设

y=lnsinx，求

y′．

解

y=lnsinx

由

y=lnu

和

u=sinx复合而成，因此通过上面的例子可知，复合函数求导的关键，在于首先把复合函数分解成初等函数，然后运用复合函数的求导法则和适当的导数公式进行计算．注意求导之后应该把引进的中间变量代换成原来的自变量．对复合函数分解比较熟练后，就不必再写出中间变量，只要明确中间变量所对应的函数表达式，运用复合函数的求导法则，逐层求导．复合函数求导法可推广到两个以上中间变量的情形．164165例题解析=cot2x·2=2cot2x．166三个求导方法隐函数求导法我们此前遇到的函数都是用

y=f(x)

这样的形式来表示的，这种方式表示的函数称为显函数．但有些函数不是以显函数的形式出现的，这些二元方程也可以表示一个函数，这样的函数叫作隐函数．求隐函数的导数，并不需要先把隐函数化为显函数（事实上，有些隐函数是不能显化的），而是可以利用复合函数的求导法则，将二元方程的两边同时对

x

求导，并注意到

y

是

x

的函数，就可直接求出隐函数的导数

y′．167168例题解析例1

求由方程ex－ey=xy

所确定的隐函数的导数

y′．解将方程两边同时对

x

求导，得ex－ey·y′=y＋xy′,所以169例2

求圆x2＋y2=25上一点P（3，4）处的切线方程．

解

将方程两边同时对

x

求导，得2x＋2y·y′=0，所以从而得到切线的斜率为因此，所求切线方程为

，即3x＋4y－25=0．170例3

求指数函数

y=ax

（a＞0，a≠1）的导数．

解

将指数函数写成对数函数的形式x=logay，上式两边同时对

x

求导，得所以y′=ylna=axlna．即(ax)′=axlna．171例4

求反正弦函数

的导数．

解

将反正弦函数写成正弦函数的形式上式两边同时对

x

求导，得1=cosy·y′，所以172173至此，我们已经把基本初等函数的导数公式全部推出，为了方便查阅，汇总如下．对数求导法在求导运算中，常会遇到这样两类函数的求导问题，一是幂指函数y=[f(x)]g(x)，二是由一系列函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数．对这样的函数，可先对等式两边取自然对数，把函数变成隐函数的形式，然后再利用隐函数求导法求出结果．下面举例说明这种方法．174175例题解析例5

求函数

y=(x－1)sinx

(x＞1)的导数．

解

将等式两边取自然对数，得lny=ln(x－1)sinx，即lny=sinx·ln(x－1)，上式两边同时对

x

求导，得所以176例6

求函数

的导数．

解

将等式两边取自然对数，得上式两边同时对

x

求导，得所以177参数方程求导法在平面解析几何中，我们学过参数方程，它的一般形式为一般地，上述方程组确定的

y

与

x

之间的函数关系称为由参数方程所确定的函数

y=f(x)．178例题解析例7

求由参数方程

所确定的函数的导数

．

解

例7

已知曲线参数方程为

曲线在

t=1处的切线方程和法线方程．解

179当

t=1时，切点为

P0（0，－0），得到曲线在点

P0

处的切线斜率和法线斜率分别为因此，所求的切线方程为即x＋2y＋4=0．法线方程为y＋4=2(x－4)，即2x－y－12=0．高阶导数设物体做变速直线运动,它的位移函数为

s=s(t)，则它的瞬时速度为v=s′(t)．此时，若速度

v

仍是时间的函数，我们可以求速度

v=v(t)

对时间

t的导数（即速度对时间的变化率），得到物体的瞬时加速度a=v′(t)=[s′(t)]′,它是位移函数的导数的导数．这种导数的导数称为

s=s(t)对时间

t

的二阶导数．180181一般地，函数y=f(x)的导数y′=f′(x)仍是

x

的函数．如果函数

y′=f′(x)仍是可导的，则把

y′=f′(x)的导数称为函数

y=f(x)的二阶导数，记作

y″或

f″(x)或

，即y″=(y′)′或

f″(x)=[f′(x)]′或类似地，如果函数

y=f(x)的二阶导数

y″的导数存在，这个导数就称为函数

y=f(x)的三阶导数，记作

y‴或

f‴(x)

或

．一般地，如果函数

y=f(x)的

n－1阶导数的导数存在，这个导数就称为函数

y=f(x)的

n

阶导数，记作

y(n)

或

f(n)(x)或

．二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数，相应地，称

y′=f′(x)为一阶导数．182183例题解析例1

求下列函数的二阶导数：（1）y=2x2－x＋3；

（2）y=exsinx．解

（1）

y′=4x－1,

y″=4．（2）

y′=exsinx＋excosx=ex(sinx＋cosx),

y″=ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)=2excosx．184例2

求下列函数的

n

阶导数：（1）y=ax

；

（2）y=eax

．解

（1）y′=axlna，y″=ax(lna)2，y‴=ax(lna)3，…

通过数学归纳法，可以得到下面的结果：y(n)=ax(lna)n．（2）

y′=eax·a=aeax

，y″=aeax·a=a2eax

，y‴=a2eax·a=a3eax

，…通过数学归纳法，可以得到下面的结果：y(n)=aneax

．2.3微分及应用185实例考察在实践中常会遇到与导数密切相关的一些问题，需要考察与估算函数的增量Δy，特别是当自变量的增量Δx

很小时函数的增量Δy．我们先来观察下面两个实例

．金属薄片

设一个边长为x

的正方形金属薄片，由于温度的变化，其边长由x0

变为x0＋Δx（如图所示），此时薄片的面积A

改变了多少?186正方形薄片受温度影响所改变的面积，可以看成是当自变量

x

在

x0

处有增量Δx

时，面积函数

A=x2

相应的增量ΔA=(x0＋Δx)2－x02=2x0Δx＋(Δx)2．显然，ΔA

由两部分组成：第一部分2x0Δx

是ΔA

的主要部分，第二部分为(Δx)2．当|Δx|→0时，(Δx)2

是比Δx

高阶的无穷小，因此可认为ΔA≈2x0Δx．又因为A′|x=x0=2x0，所以ΔA≈A′|x=x0·Δx．187自由落体运动

求自由落体运动中，物体由时刻

t0

变为

t0＋Δt

过程中的位移．我们知道，自由落体运动中，位移

s与时间

t的函数关系是

，当时间t从时刻

t0

变为

t0＋Δt

时，相应的位移的增量为上式表明，位移的增量Δs

由两部分组成：一部分是主要部分

gt0Δt；另一部分是次要部分当

|Δt|很小时，次要部分可以忽略，从而得到物体由时刻

t0

变为

t0＋Δt所经过的位移的近似值为Δs≈gt0Δt．并且注意到

s′|t=t=gt0，所以，1880189微分的概念函数的微分的定义实例考察的例子具有以下一般性．设函数

y=f(x)

在点

x

处可导，则

，由无穷小与函数极限的关系可知，

于是

Δy=f′(x)Δx＋αΔx．190上式表明，当

f′(x)≠0时，函数的增量可以分成两部分：一部分是

f′(x)Δx，它是Δy

的主要部分，且是Δx

的线性函数，我们把它称为Δy的线性主部；另一部分是

αΔx，当Δx→0时，它是比Δx

高阶的无穷小．所以当Δx

很小时，可以忽略不计，即Δy≈f′(x)Δx．191如果函数y=f(x)

在点x

处可导，则把

f′(x)Δx

称为函数

y=f(x)在点

x

处的微分，简称函数的微分，记作dy或df(x)，即dy=f′(x)Δx．一般地，我们给出下面的定义．192通常把自变量的增量Δx

称为自变量的微分，记作dx，因此，函数

y=f(x)的微分又可记为dy=f′(x)dx．从而有上式表明，函数的微分dy

与自变量的微分dx

之商等于函数的导数，因此导数又叫作微商．在前面我们把

当作一个整体记号，现在有了微分的概念，

就可以看作是一个分式．从微分的定义可以看出可导与微分之间存在联系，一元函数在某点处可导等价于在某点处可微，把可导函数也称为可微函数．193例题解析例

求函数y=x3，当x=1，Δx=0.01时的增量与微分．解

函数

y=x3的增量与微分分别为Δy=(x＋Δx)3－x3=3x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3，dy=(x3)′Δx=3x2Δx，于是194微分的几何意义上面已经讨论了增量Δy，微分dy和导数f′(x)之间的关系，下面再从图形上直观地反映它们之间的关系，以便进一步理解它们．设函数

y=f(x)的图像如图所示，过曲线y=f(x)上一点M（x，y）作切线MT，设MT

的倾斜角为

α，由导数的几何意义tanα=f′(x)．当自变量

x

有增量Δx

时，切线MT

的纵坐标相应也有增量

QP=tanαΔx=f′(x)Δx=dy．

195因此，微分dy=f′(x)Δx

几何上表示当x

有增量时，曲线y=f(x)

在对应点M（x，y）

处的切线的纵坐标的增量．用dy

近似代替Δy，就是用点M

处的切线纵坐标的增量

QP

近似代替曲线

y=f(x)

的纵坐标的增量

QN，且|Δy－dy|=PN，当Δx→0时，|Δy－dy|

是比Δx高阶的无穷小．196微分公式与微分的运算法则由函数微分的定义dy=f′(x)dx

可知，要计算函数的微分，只需要求出函数的导数，再乘以自变量的微分就可以了．因此，由导数的基本公式和运算法则可以直接推出微分的基本公式和运算法则．

微分的基本公式

197198函数的和、差、积、商的微分法则设函数

u=u(x)

与

v=v(x)

在点

x

处均可微，则有（1）d(u±v)=du±dv；（2）d(uv)=vdu＋udv，特别地，d(Cu)=Cdu（C

为常数）；199复合函数的微分由复合函数的求导法则，可以得到复合函数的微分法则．设

y=f(u)，u=φ(x)均可微，则复合函数

y=f[φ(x)]也可微（u为中间变量），且复合函数

y=f[φ(x)]的微分为dy=f′(u)φ′(x)dx=f′[φ(x)]φ′(x)d