高等基础与数学 6

多元函数微积分基础第6章611目录6.1空间曲面6.2多元函数的极限与连续6.3偏导数6.4二元函数的极值与最值6.5二重积分及应用6126.1空间曲面613实例考察生活中，有些物体的表面是一个平面，有些物体表面不是平面，是曲面．如图所示，这些面是如何形成的，又如何用数学表达式来表示它们？614615在讨论一元函数微积分的过程中，我们已经看到平面解析几何的知识是不可缺少的．同样道理，讨论多元函数微积分也离不开空间解析几何的知识．本节首先建立空间直角坐标系，然后讨论像实例考察中的空间图形的表面的方程．空间直角坐标系空间直角坐标系的概念在空间取三条相互垂直且相交于O点的数轴构成空间直角坐标系．这三条数轴依次称为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），三条轴统称为坐标轴，点O称为坐标原点．习惯上，我们把x轴、y轴置于水平面上，而z轴取垂直向上方向，如图所示．616617观察下图，我们可以想象，y轴和z轴是落在纸面上的，而x轴是垂直于纸面指向我们，它们的方向满足右手法则．所谓右手法则，指的是：伸出右手，使拇指的指向与其他四指垂直，当四指从x轴的正向转向y轴正向时，拇指的指向就是z轴的正向．按右手法则确定的坐标系称为右手系．618任意两条坐标轴所确定的平面称为坐标平面．空间直角坐标系共有三个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．三个坐标平面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限．含有x轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限叫作第一卦限，其他第二、三、四卦限在xOy面的上方，按逆时针方向确定；第五至八卦限在xOy面的下方，由第一卦限之下的第五卦限，按逆时针方向确定，如图所示．619建立了空间直角坐标系后，就可以像平面直角坐标系那样在空间确定点的直角坐标．设点M是空间任一点（如图所示），过点M分别作平行于yOz平面、zOx平面、xOy平面的三个平面，交x轴、y轴、z轴于P，Q，R三点，这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次为x，y，z，这组有序的实数（x，y，z）称为点M的坐标，记作M（x，y，z）．x，y，z分别称为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标（或称x坐标、y坐标、z坐标）．620八个卦限里以及原点、坐标轴、坐标面上点的坐标的特征列表如下．例题解析例1

指出下列各点所在的卦限:A(3，－2，－4)；B(－3，－2，4)；C(1，4，－1)；D(－5，2，－4)．解点A(3，－2，－4)在第八卦限；点B(－3，－2，4)在第三卦限；点C(1，4，－1)在第五卦限；点D(－5，2，－4)在第六卦限．621例2在空间直角坐标系中作出点

(2，－1，3)，(－1，2，－1)，(2，0，2)．解如图所示，在空间直角坐标系中，从原点出发沿x轴正向移动两个单位，接着沿平行于y轴的负向移动一个单位，再沿平行于z轴的正向移动三个单位即得点(2，－1，3)．类似地，在空间直角坐标系中作出点(－1，2，－1)，(2，0，2)．622空间两点间的距离与平面解析几何相类似，空间两点间的距离可用这两点的坐标来表示．如图所示，设空间两点M1，M2的坐标分别为(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)，过点M1，M2分别作三个垂直于坐标轴的平面，这六个平面围成一个以M1M2为对角线的长方体，这个长方体的长、宽、高分为

，容易看出：623624根据勾股定理，有所以，M1，M2的距离为上式称为空间两点间的距离公式．

特别地，点M(x，y，z)到坐标原点O（0，0，0）的距离为625例题解析例3已知两点M1(－1，0，2)，M2(0，3，－1)，求此两点间的距离．解由空间两点间的距离公式，得626例4在y轴上求一点M，使其到两点M1(2，0，－1)，M2(1，－1，3)的距离相等．解由于点M

在y轴上，可设其坐标为(0，y，0)，由题意得曲面与方程在平面解析几何中，我们把平面曲线视作动点的轨迹．同样，在空间解析几何中，任何曲面都看作是动点的运动轨迹，如图所示．在这个意义下，曲面所具有的性质是它的一切点所共有的．设(x，y，z)是曲面上的任意一点，我们用x，y，z之间的一个方程F(x，y，z)＝0来表达这个曲面上所有点的共同性质．627628如果曲面S与三元方程F(x，y，z)＝0有如下关系:(1)曲面S

上的任意一点的坐标都满足方程F(x，y，z)＝0，(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x，y，z)＝0，则称方程F(x，y，z)＝0为曲面S的方程，称曲面S为方程F(x，y，z)＝0的图形．例题解析例1求与两定点A(1，2，3)，B(2，－1，4)等距离的点的轨迹方程．解设点M(x，y，z)为所求轨迹上任意一点，由题意可知629630例2作出方程y＝3的图形．解方程y＝3中不含有x，z，即x，z取任意值时均有y＝3．因此，方程

y＝3的图形是一个平行于zOx平面且与zOx平面的距离为3个单位的平面，如图所示．空间平面的方程由立体几何可知，过空间一点作与已知直线垂直的平面是唯一的．因此，如果已知平面上一个点和垂直于该平面的一个非零向量，那么这个平面的位置可以由这个已知点和这个非零向量唯一确定．垂直于平面的任一非零向量称为这个平面的法向量．设点M0(x0，y0，z0)是平面α上的一个定点，向量n＝(A，B，C)（A，B，C不全为零）是这个平面的一个法向量，点M(x，y，z)为平面α上的动点（如图所示）．631632由于向量

＝(x－x0，y－y0，z－z0)必定位于平面α内，而向量

n＝(A，B，C)垂直于平面α，因此必定与平面α内的任一向量垂直，从而

有，所以有由两个向量的数量积的坐标表示法可得A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0．633上述方程即为过点M0(x0，y0，z0)，且以向量n＝(A，B，C)为法向量的平面方程，习惯上称为平面的点法式方程．将平面的点法式方程A(x－x0）＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0展开并整理，并记D＝－Ax0－By0－Cz0，则方程可化为Ax＋By＋Cz＋D＝0（A，B，C不全为零）．这表明过点M0垂直于一已知向量的平面总可以表示为x，y，z的三元一次方程．因此，上式又称为平面的一般式方程．634几种常见平面的方程及几何特性列表如下．例题解析例1求过点(1，2，－1)且以n＝(2，1，－1)为法向量的平面方程．解由平面的点法式方程可知，过点(1，2，－1)且以n＝(2，1，－1)为法向量的平面方程为2(x－1)＋(y－2)－(z＋1)＝0，即2x＋y－z－5＝0．635例2研究平面Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不全为零)的几何特性．解平面方程Ax＋By＋Cz＝0等价于方程A(x－0)＋B(y－0)＋C(z－0)＝0．上式表示所给平面为过原点O(0，0，0)，且以n＝(A，B，C)为法线向量的平面．636637例3已知空间点M1(2，0，－1)，M2(－1，－1，1)，M3(－3，－2，1)，求过这三点的平面方程．解利用平面的一般式方程，设所求平面方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0．由于平面过点M1，M2，M3，因此这三点坐标满足平面方程，即有638几种常见曲面的曲面方程球面与一定点的距离为定长的空间点的轨迹叫作球面．这个定点称为这个球面的球心，定长称为这个球面的半径．设一个球的球心在点M0（x0，y0，z0），半径为R．下面建立这个球面的方程．设M（x，y，z）是球面上的任意一点，则有

即639640这个方程称为球心在点M0（x0，y0，z0），半径为R的球面方程．特别地，球心在原点，半径为R的球面方程为x2＋y2＋z2＝R2．一般地，方程x2＋y2＋z2＋Dx＋Ey＋Fz＋G＝0（D2＋E2＋F2－4G＞0）．称为球面的一般方程．柱面动直线L沿已知曲线C平行移动所形成的曲面称为柱面，其中，L称为柱面的母线，C称为柱面的准线．下面来讨论准线C在xOy平面内，母线L平行于z轴的圆柱面（如图所示）方程．641642设准线C是xOy平面内的曲线，即准线C的方程为F(x，y)＝0．设M(x，y，z)是柱面上的任意一点，过点M的母线与xOy面的交点一定在准线C上，所以不论空间点的竖坐标z如何，它的横坐标x和纵坐标y必满足方程F(x，y)＝0．因此，准线为曲线C，母线L平行于z轴的圆柱面方程为F(x，y)＝0（不含z）．643准线是二次曲线的柱面称为二次柱面．常见的母线平行于z轴的二次柱面有以下几种：（1）圆柱面：x2＋y2＝R2；（2）椭圆柱面：（如图所示）644（3）双曲柱面：（如图所示），或645（4）抛物柱面：y2＝2px（p＞0）（如图所示）．646类似地，方程F(y，z)＝0（不含x）表示以yOz面内的曲线F(y，z)＝0为准线，母线平行于x轴的柱面；方程F(x，z)＝0（不含y）表示以xOz面内的曲线F(x，z)＝0为准线，母线平行于y轴的柱面．母线平行于坐标轴的柱面方程的特点是：母线平行于哪条坐标轴，则方程中就不含有该坐标变量．旋转曲面一条平面曲线C绕其平面内的一条定直线L旋转一周所成的曲面称为旋转曲面，其中，曲线C称为旋转曲面的母线，定直线L称为旋转曲面的旋转轴（或中轴）．球面、圆柱面都是旋转曲面．设在yOz面内有一条曲线C，其方程为F(y，z)＝0．将曲线C绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为旋转轴的旋转曲面（如图所示）．647648它的方程可以按如下方法得到：设M1

(0，y1，z1)为曲线C上的任一点，则有F(y1，z1)＝0．当曲线C绕z轴旋转时，点M1绕z轴转到另一点M(x，y，z)，这时z＝z1保持不变，且点M到z轴的距离这就是所求旋转曲面的方程．649同样，yOz面内的曲线C：F(y，z)＝0绕y轴旋转一周得到的旋转曲面（以y轴为旋转轴）的方程为例题解析例1求yOz面内的抛物线z＝ay2

绕z轴旋转所得的旋转曲面方程．解在方程z＝ay2

中，保持z不变，将y换成，即得旋转曲面的方程为z＝a(x2＋y2)．像这样的旋转曲面称为旋转抛物面．当a＞0时，图形如图所示；当a＜0时，旋转抛物面的开口向下．650例2求yOz面内的抛物线z＝6－y2

绕z

轴旋转所得的旋转曲面方程．解在方程z＝6－y2

中，保持z

不变，将y

换成，即得旋转曲面的方程为z＝6－(x2＋y2)，即z＝6－x2－y2．如图所示，它是一个开口向下的旋转抛物面．651例3求yOz面内的直线z＝ay(a＞0)绕z轴旋转所得的旋转曲面方程．解

在方程z＝ay中，保持z不变，将y换成

，即得旋转曲面的方程为652如图所示，该曲面称为圆锥面，其中，方程

z＝

表示上半圆锥面；方程

表示下半圆锥面．点O

称为圆锥面的顶点．特别地，如果a＝1，则图中的角(半顶角)．653654例4将yOz面内的椭圆

分别绕z

轴和y轴旋转，求所形成的旋转曲面方程．解在方程

中，保持z不变，将y换成

，即得椭圆绕z轴旋转所形成的旋转曲面的方程为

在方程

中，保持y不变，将z换成

，即得椭圆绕y轴旋转所形成的旋转曲面的方程为

上述两种旋转曲面都称为旋转椭球面．一般地，方程所表示的曲面称为椭球面，如图所示．特别地，若a＝b＝c，则椭球面就变成球心在原点、半径为a的球面x2＋y2＋z2＝a2．6556.2多元函数的极限与连续656实例考察我们知道对于两个变量x，y，若自变量x通过对应法则f与y对应，则y是x的函数，记为y＝f(x)．而在实际问题中，经常会遇到多个变量之间的依赖关系．657658矩形面积设矩形的长与宽分别为x，y，则矩形的面积S＝xy．这里，矩形的面积S随着x和y的变化而变化，当x，y在一定范围内（x＞0，y＞0）取定一组值时，矩形的面积S就有一个确定的值与之对应．圆柱体体积设圆柱体的底面半径为r，高为h，则圆柱体的体积V＝πr2h．这里，圆柱体的体积V随着r和h的变化而变化，当r，h在一定范围内（r＞0，h＞0）取定一组值时，圆柱体的体积V就有一个确定的值与之对应．多元函数的概念实例考察中得到的两个函数S＝xy和V＝πr2h有共同的特点，它们都是二元函数．由此，我们给出二元函数的定义．

设有三个变量x，y，z，如果对于变量x，y在它们的变化范围内所取的每一组值(x，y)，按照某种对应法则，变量z都有唯一一个确定的值与之对应，则称z为x，y的二元函数，记作z＝f(x，y)或z＝z(x，y)，其中，x，y称为自变量，z称为因变量．自变量x，y的变化范围称为函数的定义域．659

实例考察中，矩形面积S是长x与宽y的二元函数；圆柱体的体积V是底面半径r与高h的二元函数．

有时也可用平面上的点P(x，y)表示自变量数组(x，y)，这样二元函数

z＝f(x，y)看成平面上点P(x，y)的函数，记作z＝f(p)．

当二元函数的自变量x，y分别取x0，y0时，函数z对应的函数值记作

f(x0，y0)，称为二元函数z＝f(x，y)当x＝x0，y＝y0时的函数值．660661类似地，可以定义三元函数u＝f(x，y，z)以及三元以上的函数．一般地，可以定义n个自变量的函数u＝f(x1，x2，...，xn)，n个自变量的函数称为n元函数．自变量的个数大于或等于2的函数统称为多元函数．与一元函数一样，二元函数的两个要素是定义域和对应法则．所以当定义域和对应法则都给定时，才能确定一个二元函数．换句话说，当且仅当定义域和对应法则分别相同的两个二元函数才称为相等的（或同一个）函数．662在讨论二元函数z＝f(x，y)的定义域时，如果函数是由实际问题得到的，其定义域根据它的实际意义来确定；对于用解析式表示的二元函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围．二元函数z＝f(x，y)的定义域一般是xOy平面上的平面区域．如果区域延伸到无限远处，就称区域是无界的；否则，就称区域是有界的．围成区域的曲线称为该区域的边界．包含边界的区域为闭区域；不包含边界的区域为开区域．例题解析例1求二元函数

的定义域．解容易看出，自变量x，y

必须满足不等式x2＋y2≤1．所以，函数的定义域是x2＋y2≤1．满足x2＋y2≤1的全体(x，y)构成xOy面上的一个有界闭区域(以原点为圆心，半径为1的圆内及圆周上点的全体，见下图)：663664例2求二元函数

的定义域．解自变量x，y必须满足不等式组所以，函数的定义域是1＜x2＋y2＜4．这是xOy面上的一个有界圆环开区域(如图所示)：665666例3求二元函数

的定义域．解自变量x，y必须满足不等式组所以，函数的定义域是．这是xOy面上的一个有界矩形闭区域(如图所示)667668例4求二元函数z＝arcsin(x＋y)的定义域．解自变量x，y

必须满足不等式组－1≤x＋y≤1．所以，函数的定义域是－1≤x＋y≤1．这是xOy面上介于两条直线

x＋y＝－1，x＋y＝1之间(包含这两条直线)的一个无界闭区域(如图所示):二元函数的几何表示我们知道，一元函数y＝f(x)在xOy平面上的图像一般是一条曲线．对于二元函数z＝f(x，y)，设定义域为D，P(x，y)为D中的任意一点，把它对应的函数值z＝f(x，y)作为竖坐标，就有空间直角坐标系中的一点M(x，y，z)相对应．当P(x，y)在D内变动时，点M(x，y，z)的轨迹就是二元函数z＝f(x，y)的几何图形．一般来说，它是一个曲面．如图所示，而定义域D正是这个曲面在xOy平面上的投影．669例题解析例2说出二元函数z＝1－x－y

表示的图形．解在空间直角坐标系中，x＋y＋z＝1表示一个平面．所以二元函数

z＝1－x－y

表示的图形为一个平面．例3说出二元函数z＝x2＋y2

表示的图形．解在空间直角坐标系中，z＝x2＋y2

表示一个旋转抛物面，所以二元函数z＝x2＋y2

表示的图形为旋转抛物面．670二元函数的极限在平面上，点P(x，y)趋向于定点P0(x0，y0)的方式可以是多种多样的，我们以P→P0表示点P以任意方式趋向于P0，也就是点P与点P0间的距离趋向于零，即我们把以点P0(x0，y0)为圆心，δ＞0为半径的开圆域，称为点P0的δ邻域，记作U(P0，δ)．如图a所示，该邻域内的点P(x，y)，满足不等式671672点P0的去心δ邻域，记作

(P0，δ)．如图b所示，该邻域内的点P(x，y)，满足不等式673设函数z＝f(x，y)在点P0(x0，y0)的某个去心邻域内有定义，如果动点

P(x，y)在该邻域内以任意方式无限接近于点P0(x0，y0)时，函数f(x，y)总是无限接近于一个确定的常数A，则A是函数z＝f(x，y)当(x，y)→(x0，y0)时的极限，记作674上述对于二元函数的极限的描述，有以下两点须注意：（1）函数在一个点的某个去心邻域内有定义，是指函数在该邻域内的所有点上都有定义．（2）二元函数的极限

f(x，y)＝A，是指当P(x，y)以任意方式无限接近于定点P0(x0，y0)时，函数都无限接近于同一个常数A，即常数A与点P接近于点P0的方式无关．若当P(x，y)以不同路径接近于P0(x0，y0)点时，函数值接近于不同的值，则可以断定函数在P0(x0，y0)点的极限不存在．例题解析显然，它随直线的斜率k

的取值不同而不同．这说明当点P(x，y)沿着不同的直线接近于点O(0，0)时，函数f(x，y)的对应值接近于不同的常数，因此

不存在．675676二元函数的连续性设函数z＝f(x，y)在点P0(x0，y0)的某个邻域内有定义，如果当点

P(x，y)趋于P0(x0，y0)时，函数z＝f(x，y)的极限等于其在点P0(x0，y0)处的函数值

f(x0，y0)，即

，则称函数f(x，y)在点P0(x0，y0)处连续，点P0(x0，y0)称为函数f(x，y)的连续点．如果函数f(x，y)在区域D上的每一个点都连续，则称函数f(x，y)在区域D上连续，亦称函数f(x，y)是区域D上的连续函数．677连续函数z＝f(x，y)的图形是一张无孔、无缝的连续曲面．如果函数z＝f(x，y)在点P0(x0，y0)不连续，则称点P0(x0，y0)是函数f(x，y)的不连续点，或称间断点．与一元函数情形类似，函数z＝f(x，y)在点P0(x0，y0)不连续有三种情形：（1）函数z＝f(x，y)在点P0(x0，y0)处无定义．（2）函数z＝f(x，y)在点P0(x0，y0)处有定义，但

f(x，y)不存在．（3）f(x，y)≠f(x0，y0)．678例题解析例1讨论函数

的连续性．解当x2＋y2＝1时，函数间断，不连续．因为满足方程x2＋y2＝1的点为以原点为圆心，半径为1的圆周．所以函数有一条间断线．679680681与一元函数类似，在闭区域上的二元连续函数也有如下性质．性质1（最值存在定理）如果二元函数f(x，y)在有界闭区域D上连续，则函数f(x，y)在D上必有最大值和最小值，即在D上曲面z＝f(x，y)必定存在最高点和最低点．性质2（介值定理）如果二元函数f(x，y)在有界闭区域D上连续，则函数f(x，y)在D上必能取到介于最小值与最大值之间的任何数值．6.3偏导数682二元函数的偏导数对于二元函数z＝f(x，y)，如果固定其中一个自变量，则z＝f(x，y)便是关于另一个自变量的一元函数，这样按一元函数求出的导数就是二元函数的偏导数．由此我们给出下定义．设函数z＝f(x，y)在点P0(x0，y0)的某个邻域内有定义，当y固定在y0(看作常数)，而x在x0处有增量Δx时，相应地，函数有增量f(x0＋Δx，y0)－f(x0，y0)．如果极限683684存在，则称这个极限值为函数z＝f(x，y)在点P0

处对x的偏导数，记作685同样，可以定义函数z＝f(x，y)在点P0处对y的偏导数为如果函数z＝f(x，y)在其区域D内每一点P(x，y)处对x的偏导数存在，那么这个偏导数就是x，y的函数，称为函数z＝f(x，y)对自变量x的偏导函数，记作686同样，可以定义函数z＝f(x，y)对自变量y的偏导函数，记作由偏导函数的定义可知，f(x，y)在点P0(x0，y0)处对x的偏导数fx(x0，y0)显然就是偏导函数fx(x，y)在点(x0，y0)处的函数值；fy(x0，y0)就是偏导函数

fy(x，y)在点P0(x0，y0)处的函数值．就像一元函数的导函数一样，以后在不致混淆的情况下，我们简称偏导函数为偏导数．例题解析例1求函数z＝x2sin2y的偏导数．解把y看作常量，对x求导，得687688例2求函数z＝x2＋3xy＋y2

在点(1，2)处的偏导数．解把y

看作常量，对x求导，得689高阶偏导数二元函数z＝f(x，y)在区域D内的两个偏导数一般仍是x，y的函数，如果这两个偏导数的偏导数仍然存在，则称它们是函数z＝f(x，y)的二阶偏导数．依照对自变量求偏导数的次序不同，有四个二阶偏导数，分别记作690691其中，fxy(x，y)，fyx(x，y)称为二阶混合偏导数．如果二阶混合偏导数

在区域D内连续时，则在D内恒有类似地，可以定义二元函数z＝f(x，y)的三阶、四阶······n阶偏导数．二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．显然，二元函数z＝f(x，y)的n阶偏导数共有2n个．为了求出z＝f(x，y)的n阶偏导数，必先求出（n－1）阶偏导数，即求z＝f(x，y)的高阶偏导数就是从它的一阶偏导数开始逐阶求偏导数．同样，还可以定义二元以上的多元函数的各阶偏导数．例题解析例

求下列函数的二阶偏导数：6926.4二元函数的极值与最值693二元函数的极值设函数z＝f(x，y)在点P0(x0，y0)的某个邻域内有定义．如果对于该邻域内所有异于P0的点P(x，y)，都有f(x，y)＜f(x0，y0）（或f(x，y)＞f(x0，y0)），则称函数z＝f(x，y)在点P0(x0，y0)处有极大值（或极小值）f(x0，y0)．极大值和极小值统称为函数z＝f(x，y)的极值．相应地，点P0称为函数z＝f(x，y)的极大值点（或极小值点）．极大值点和极小值点统称为函数z＝f(x，y)的极值点．694例题解析例1

试求函数z＝3x2＋4y2的极值．解

因为函数在异于点O（0，0）处的函数值都为正，而在点O处的函数值为零，所以函数在点O（0，0）处取得极小值0（如图所示）．695696例2试求函数z＝的极值．解因为函数在异于点O（0，0）处的函数值都为负，而在点O处的函数值为零，所以函数在点O（0，0）处取得极大值为0（如图所示）．697例3

说明函数z＝xy在点O（0，0）处没有极值．解

因为函数z＝xy在点O（0，0）处的函数值为0，而在点O的邻域内，当x，y同号时，函数值大于0，当x，y异号时，函数值小于0．所以函数z＝xy在点O（0，0）处没有极值．698二元函数的极值问题，在一定条件下可以利用偏导数来解决，下面我们给出关于二元函数极值的两个定理．定理1（极值存在的必要条件）设函数z＝f(x，y)在点P0(x0，y0)处有极值，且在点P0(x0，y0)处的偏导数存在，则函数z＝f(x，y)在该点处的偏导数必为零，即fx(x0，y0)＝0，fy(x0，y0)＝0．仿照一元函数，凡是满足方程组的点(x0，y0)，称为函数z＝f(x，y)的驻点．定理1说明，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点．但是函数的驻点不一定是极值点，699定理2（极值存在的充分条件）设函数z＝f(x，y)在点P0(x0，y0)的某个邻域内连续，而且具有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0，y0)＝0，fy(x0，y0)＝0，记fxx(x0，y0)＝A，fxy(x0，y0)＝fyx(x0，y0)＝B，fyy(x0，y0)＝C，700则f(x，y)在点P0(x0，y0)处是否取得极值的条件如下：（1）当B2－AC＜0时，函数f(x，y)在点P0(x0，y0)处有极值，且当A＜0时，函数f(x，y)取得极大值；当A＞0时，函数f(x，y)取得极小值．（2）当B2－AC＞0时，函数f(x，y)在点P0(x0，y0)处没有极值，即

P0(x0，y0)不是极值点．（3）当B2－AC＝0时，函数f(x，y)在点P0(x0，y0)处可能有极值，也有可能没有极值．701利用定理1和定理2，我们把具有二阶连续偏导数的函数z＝f(x，y)的极值的求法步骤归纳如下．第一步解方程组

求出二元函数的所有驻点(x0，y0)．第二步对于每一个驻点(x0，y0)，求出相应的二阶偏导数的值A，B和C．第三步确定B2－AC的符号，按定理2的结论判定(x0，y0)是否为极值点，进一步结合A的符号判定f(x0，y0)是极大值还是极小值．例题解析例4

求函数z＝x2－xy＋y2－2x＋y的极值．解

求偏导数，得zx＝2x－y－2，zy＝－x＋2y＋1．解方程组得驻点（1，0）．求函数的二阶偏导数，得zxx＝2，zxy＝－1，zyy＝2．在点（1，0）处，A＝2，B＝－1，C＝2，从而得

B2－AC＝1－4＝－3＜0，且A＝2＞0．因此，函数在点（1，0）处有极小值，极小值

f（1，0）＝－1．702703例5

求函数f(x，y)＝ex－y(x2－2y2)的极值．解

求偏导数，得fx(x，y)＝ex－y(x2－2y2)＋2xex－y，fy(x，y)＝－ex－y(x2－2y2)－4yex－y．解方程组得驻点（0，0）和（－4，－2）．704求函数f(x，y)的二阶偏导数，得fxx(x，y)＝ex－y(x2－2y2＋4x＋2)，fxy(x，y)＝ex－y(2y2－x2－2x－4y)，fyy(x，y)＝ex－y(x2－2y2＋8y－4)．在点（0，0）处，A＝2，B＝0，C＝－4．从而得B2－AC＝8＞0．因此，函数在点（0，0）处没有极值．点（－4，－2）处，A＝－6e－2，B＝8e－2，C＝－12e－2．从而得

B2－AC＝64e－4－72e－4＝－8e－4＜0，且A＜0．因此，函数在点（－4，－2）处有极大值，极大值为f（－4，－2）＝8e－2．二元函数的最大值与最小值与一元函数一样，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值．一般地，如果函数z＝f(x，y)在有界闭区域D上连续，则函数z＝f(x，y)在闭区域D上必定能取得最大值和最小值．求函数z＝f(x，y)在闭区域D上的最大（小）值的步骤如下．第一步解方程组求出二元函数的所有驻点(x0，y0)，并计算函数在这些驻点上的函数值．705706第二步求出函数在区域D的边界上的最大（小）值．一般地说，区域D的边界是一条或几条曲线所围成的，而当二元函数限制在边界上时就成为一个一元函数，在这一步可用求一元函数最大（小）值的方法来完成．第三步将上面两步所得各点的函数值进行比较，最大（小）者即为所求函数的最大（小）值．例题解析例1

求函数f(x，y)＝3x2＋3y2－x3在区域D：x2＋y2≤16上的最小值．解

先求f（(x，y)在D内的极值．由fx(x，y)＝6x－3x2，fy(x，y)＝6y，解方程组707得驻点（0，0），（2，0）．由于fxx（0，0）＝6，fxy（0，0）＝0，fyy（0，0）＝6，fxx（2，0）＝－6，fxy（2，0）＝0，fyy（2，0）＝6．所以，在点（0，0）处B2－AC＜0，A＝6＞0，故在（0，0）处有极小值f（0，0）＝0．在点（2，0）处B2－AC＞0，故函数在点（2，0）处无极值．708709再求f(x，y)在边界x2＋y2＝16上的最小值．由于点(x，y)在圆周x2＋y2＝16上变化．故可解出y2＝16－x2（－4≤x≤4），代入f(x，y)中，有z＝f(x，y)＝3x2＋3y2－x3＝48－x3（－4≤x≤4），这时z是x的一元函数，求得在[－4，4]上的最小值

＝－16．最后比较可得，函数f(x，y)＝3x2＋3y2－x3在闭区间D上的最小值

f（4，0）＝－16．710例2

某厂要用铁板做成一个体积为2立方米的有盖水箱．问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？解

设水箱的长为x米，宽为y米，则它的高应为

米．则水箱所用材料的面积为711由此可见，材料面积A是x和y的二元函数，这就是目标函数．令解方程组，得唯一的驻点

．根据题意可知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，并在开区域

D＝{(x，y)|x＞0，y＞0}内取得．所以可以断定在D内的驻点

是使A取得最小值的点，即当x＝，y＝时，函数A取得最小值．就是说当水箱的长为

米，宽为

米，高为

米时，水箱所用材料最省．条件极值与拉格朗日乘数法前面所讨论的极值问题，自变量的变化是在函数的定义域范围内，除此之外没有其他附加条件的限制，因此，这种极限有时又称为无条件极值．但在许多实际问题中，函数的自变量还要满足某些附加条件，这种对自变量有附加条件的极值称为条件极值．条件极限有以下两种求法．712转化为无条件极值对一些简单的条件极值问题，可以利用附加条件，消去函数中的某些自变量，将条件极值问题转化为无条件极值问题．713拉格朗日乘数法但在很多情形下，将条件极值转化为无条件极值往往比较困难．下面介绍一种直接求条件极值的方法——拉格朗日乘数法．求函数z＝f(x，y)在条件φ(x，y)＝0下的可能极值点的方法——拉格朗日乘数法．可按以下步骤进行：（1）构造拉格朗日函数F(x，y，λ)＝f(x，y)＋λφ(x，y)，其中，λ称为拉格朗日乘数；714715（2）求F(x，y，λ)的偏导数，并建立方程组（3）解方程组得x，y，λ，这样得到的(x，y)就是函数f(x，y)在附加条件φ(x，y)＝0下的可能极值点．这种方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形．至于如何确定所求得的点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定．例题解析例求表面积a2

而体积最大的长方体的体积．解设长方体的三棱长分别为x，y，z，则问题就是在附加条件φ(x，y，z)＝2(xy＋yz＋xz)－a2＝0下，求函数V＝xyz(x＞0，y＞0，z＞0)的最大值．作拉格朗日函数L(x，y，z)＝xyz＋λ(2xy＋2yz＋2xz－a2)，求其对x，y，z，λ的偏导数，并令它们都为零，得到716717解此方程组，因为x，y，z都不为零，得因此，点

是唯一的驻点，而由问题本身可知体积的最大值一定存在，所以x＝y＝z＝就是所求的最大值点．也就是说，表面积为a2的长方体中，以棱长为

的正方体的体积最大，最大体积V＝．6.5二重积分及应用718实例考察第5章中，我们通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程引入了定积分的概念．类似地，我们将通过求曲顶柱体的体积和平面薄片的质量来引入二重积分的概念．719720曲顶柱体的体积设有一个立体，它的底是xOy平面上的有界闭区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面

z＝f(x，y)，这里f(x，y)≥0且在D上连续，如图所示．这种立体叫作曲顶柱体．现在我们来求曲顶柱体的体积．721我们知道，平顶柱体的高是不变的，它的体积可以用公式体积＝底面积×高来计算．对于曲顶柱体，当点(x，y)在区域D上变动时，高度f(x，y)是个变量，因此，它的体积不能直接用上式来计算．联想到第5章求曲边梯形面积的方法，我们同样可以采用“分割取近似，求和取极限”的方法来解决曲顶柱体的体积的计算问题．（1）分割．用有限条曲线把区域D分割成n个小区域同时用上述记号表示各小区域的面积，相应地把曲顶柱体分为n个以∆σi为底面、母线平行于z轴的小曲顶柱体，其体积记为∆Vi（i＝1，2，3，···，n）．（2）取近似．在每个∆σi中任取一点M(xi，yi)，可得高为f(xi，yi)，底为∆σi的小平顶柱体，并用这个小平顶柱体的体积作为第i个小曲顶柱体体积的近似值，即722（3）求和．将n个小曲顶柱体的体积相加即得到这个曲顶柱体体积的近似值，即（4）取极限．为求得曲顶柱体体积的精确值，令n个小区域的直径（区域直径是指有界区域上任意两点间距离的最大值）中最大值λ→0，和式

的极限就是曲顶柱体体积V，即723平面薄片的质量设有一薄片占有xOy平面上的有界闭区域D，如图所示．它在点(x，y)处的面密度为ρ(x，y)，这里ρ(x，y)＞0且在D上连续．现在计算该薄片的质量M．724我们知道，如果薄片是均匀的，即面密度是常数，那么薄片的质量可以用公式质量＝面密度×面积来计算．现在面密度ρ(x，y)是变量，薄片的质量就不能直接用上式来计算，但我们可以采用与计算曲顶柱体体积相类似的方法来求薄片的质量．725（1）分割．把区域D分割成n个小区域同时用上述记号表示各小区域的面积，相应地把薄片分割成n个小薄片，其质量记为（2）取近似．对于任一个小区域∆σi，当直径很小时，由于ρ(x，y)续，ρ(x，y)在∆σi中的变化很小，可以近似地看作均匀小片．在每个∆σi中任取一点(xi，yi)，则第i块小薄片的质量的近似值为726（3）求和．将n个小薄片的质量相加即得到这个薄片的质量的近似值（4）取极限．当n个小区域的直径中最大值λ→0，和式

的极限就是薄片质量的精确值，即727二重积分的概念从实例考察中的两个例子可以看出，所要计算的量（曲顶柱体体积V及平面薄片的质量M）的实际意义不同，但所求量都可归结为求同一形式的和式的极限．在实际问题中，有许多物理量和几何量都可归结为这一形式的和式的极限．由此我们给出二重积分的定义：728729设f(x，y)是定义在有界闭区域D上的二元函数，将区域D任意分割成n个小区域∆σi1，∆σ2，···，∆σn（同时也用这些记号表示它们的面积），在每个小区域∆σi中任取一点（xi，yi），作乘积f（xi，yi）∆σi（i＝1，2，，n）的和式记

，如果当λ→0时，和式的极限730存在，则称函数f(x，y)在区域D上可积，并称此极限值为函数f(x，y)在区域D上的二重积分，记作即其中，f(x，y)称为被积函数，dσ称为面积元素，f(x，y)dσ称为被积表达式，x，y称为积分变量，D称为积分区域．731由二重积分的定义可知，曲顶柱体的体积是函数f(x，y)在底D上的二重积分，即平面薄片的质量是它的面密度ρ(x，y)在薄片所占闭区域D上的二重积分，即一般地，如果f(x，y)≥0，被积函数f(x，y)可解释为曲顶柱体的顶点在点

(x，y)处的竖坐标，所以二重积分

的几何意义是以曲面z＝f(x，y)为顶区域D为底的曲顶柱体的体积．二重积分的存在定理如果f(x，y)在有界闭区域D上连续，则二重积分

存在。二重积分的性质设二元函数f(x，y)，g(x，y)在有界闭区域D上可积，与定积分类似，二重积分有如下性质．性质1

如果在有界闭区域D上，f(x，y)≡1，则性质2

被积函数的常数因子可以提到二重积分号外，即732性质3

两个函数代数和的二重积分等于各个函数的二重积分的代数和，即性质4（积分域的可加性）如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和．例如D分为两个闭区域D1与D2，则733性质5

如果在有界闭区域D上，f(x，y)≤g(x，y)，则性质6（估值定理）设M，m分别是f(x，y)在闭区域D上的最大值和最小值，σ为D的面积，则性质7（二重积分的中值定理）设函数f(x，y)在闭区域D上连续，σ为D的面积，则在D上至少存在一点(ξ，η)，使下式成立：734例题解析735直角坐标系中二重积分的计算X型区域

如图所示，区域由直线x＝a，x＝b和曲线y＝φ1(x)，y＝φ2(x)所围成（平行于y轴的直线穿过区域D的内部时至多与边界有两个交点），区域D可用不等式组导函数，记作表示，其中函数φ1(x)，φ2(x)在区间[a，b]上连续．736737Y型区域

如图所示，区域由直线y＝c，y＝d和曲线x＝ψ1(y)，x＝ψ2(y)所围成（平行于x轴的直线穿过区域D的内部时至多与边界有两个交点），区域D可用不等式组表示，其中函数ψ1