《空间向量基本定理》课件

1.2空间向量基本定理第一章内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.掌握空间向量基本定理.(数学抽象)2.了解空间向量正交分解的含义.(数学抽象)3.会用空间向量基本定理解决有关问题.(逻辑推理)课前篇自主预习[激趣诱思]我们所在的教室是一个立体图形,即一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为坐标原点,沿着三条墙缝作射线可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,那么这个三维立体图与这三个空间向量有什么关系呢?事实上可以建立一个空间坐标系来研究三维立体图形.[知识点拨]

名师点析

1.空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.2.一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.3.由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量.微思考零向量能不能作为一个基向量?为什么?提示

不能.因为0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面.微练习在三棱柱ABC-A1B1C1中,可以作为空间向量一个基底的是(

)答案

C微判断(1)空间向量的基底是唯一的.(

)(2)若a,b,c是空间向量的一个基底,则a,b,c均为非零向量.(

)(3)已知A,B,M,N是空间四点,若

不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.(

)(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.(

)答案

(1)×

(2)√

(3)√

(4)√课堂篇探究学习探究一基底的判断例1(1)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有(

)A.1个 B.2个

C.3个 D.4个解析

答案

C反思感悟

判断基底的基本思路及方法(1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底.(2)方法:①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底.②假设a=λb+μc,运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底.变式训练1若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底.解

假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.∵{a,b,c}是空间的一个基底,∴a,b,c不共面.即不存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),∴a+b,b+c,c+a不共面.故{a+b,b+c,c+a}能作为空间的一个基底.探究二用基底表示空间向量例2如图所示,四棱锥P-OABC的底面为一矩形,PO⊥平面OABC,设思路分析利用图形寻找待求向量与a,b,c的关系→利用向量运算进行拆分→直至向量用a,b,c表示解

反思感悟

用基底表示空间向量的解题策略(1)若基底确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,以及数乘向量的运算律进行相关计算.(2)若没给定基底,首先选择基底,选择时,要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量,再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.(3)在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底.例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.答案

B探究三应用空间向量基本定理证明线线位置关系例3在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=CD.(1)证明:EF⊥B1C;(2)求EF与C1G所成角的余弦值.反思感悟

应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等.首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.(1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0;(2)若证明线线平行,只需证明两向量共线;(3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).延伸探究

设这个正方体中线段A1B的中点为M,证明:MF∥B1C.探究四应用空间向量基本定理求距离、夹角例4如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长度都为1,且两两夹角为60°.(1)求AC1的长;(2)求BD1与AC所成角的余弦值.反思感悟

利用数量积求夹角或其余弦值的步骤

变式训练3已知空间四边形ABCD,∠ACD=∠BDC=90°,且AB=2,CD=1,则AB与CD所成的角是(

)A.30° B.45° C.60° D.90°答案

C

当堂检测1.(广东深圳高二检测)若{a,b,c}构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是(

)A.b+c,b,b-c B.a,a+b,a-bC.a+b,a-b,c D.a+b,a+b+c,c解析

对于A,b=(b+c)+(b-c),所以A不正确;同理,B不正确;对于D,a+b+c=(a+b)+c,所以D不正确.故选C.答案

C答案

A3.下列说法正确的是(

)A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等解析

A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;B项,空间基底有无