《函数的单调性》课件

第五章5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性学习目标1.理解可导函数的单调性与其导数的关系.2.能够利用导数确定函数的单调性以及函数的单调区间.3.能够利用函数的单调性解决有关问题，如证明不等式、求参数范围等.4.体会导数法判断函数的单调性的优越性.核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理新知学习在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质.在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化.能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？本节我们就来讨论这个问题.我们先来研究前面学习过的高台跳水问题.

观察：观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.

（1）（2）（3）（4）

典例剖析

（1）

（2）

（3）

单调递增单调递减单调递增

如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？运算过程麻烦吗？你有什么体会？

（1）

（2）一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.3.函数的变化快慢与导数的关系

随堂小测

A

B

C

DD

A.

B.

C.

D.C

B

课堂小结

3.函数的变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.12345678910111213141516A级必备知识基础练1718192021221.[探究点一、二](多选题)如图是函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象,则下列判断正确的是(

)A.在(-2,1)上,f(x)单调递增B.在(1,2)上,f(x)单调递增C.在(4,5)上,f(x)单调递增D.在(-3,-2)上,f(x)单调递增BC解析

由题图知当x∈(-1,1),x∈(1,2),x∈(4,5)时,f'(x)>0,所以在区间(-1,1),(1,2),(4,5)上,f(x)单调递增,当x∈(-3,-2),x∈(-2,-1)时,f'(x)<0,所以在区间(-3,-2),(-2,-1)上,f(x)单调递减.2.[探究点三(角度1)]函数f(x)=x3-3x2+1的单调递减区间为(

)A.(2,+∞) B.(-∞,2)C.(-∞,0) D.(0,2)12345678910111213141516171819202122D解析

f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)<0,得0<x<2,所以f(x)的单调递减区间为(0,2).3.[探究点三(角度1)]函数f(x)=lnx-4x+1的单调递增区间为(

)12345678910111213141516171819202122A4.[探究点二]已知函数f(x)=+lnx,则下列选项正确的是(

)A.f(e)<f(π)<f(2.7) B.f(π)<f(e)<f(2.7)C.f(e)<f(2.7)<f(π) D.f(2.7)<f(e)<f(π)12345678910111213141516171819202122D5.[探究点四]若函数f(x)=lnx+x2-bx存在单调递减区间,则实数b的取值范围为(

)A.[2,+∞) B.(2,+∞)C.(-∞,2) D.(-∞,2]12345678910111213141516171819202122B6.[探究点一]已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(

)12345678910111213141516171819202122B解析

由y=f'(x)的图象知,y=f(x)在[-1,1]上是单调递增的,且在区间(-1,0)上增长速度越来越快,而在区间(0,1)上增长速度越来越慢,故选B.7.[探究点三(角度1)]函数f(x)=(x2+x+1)ex的单调递减区间为

.

12345678910111213141516171819202122(-2,-1)解析

f'(x)=(2x+1)·ex+(x2+x+1)ex=ex(x2+3x+2)=ex(x+1)(x+2),令f'(x)<0,解得-2<x<-1,所以函数f(x)的单调递减区间为(-2,-1).8.[探究点四]已知函数f(x)=x+blnx在区间(0,2)上不单调,则实数b的取值范围是

.

12345678910111213141516171819202122(-2,0)解析

f'(x)=1+,令g(x)=x+b(x>0),则g(x)在(0,+∞)上是单调递增的,故需g(0)=b<0,g(2)=b+2>0,b>-2,所以b∈(-2,0).9.[探究点三(角度1)]求下列函数的单调区间:(1)f(x)=3+x·lnx;123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212210.[探究点三(角度2)·2023河北张家口期末]已知函数f(x)=-xeax.讨论函数f(x)的单调性.12345678910111213141516171819202122解

由已知得定义域为R,f'(x)=-(ax+1)eax,当a=0时,f'(x)<0,f(x)为减函数.12345678910111213141516171819202122B级关键能力提升练11.函数f(x)的定义域为R,f(1)=0,f'(x)为f(x)的导函数,且f'(x)>0,则不等式(x-2)f(x)>0的解集是(

)A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-∞,1)∪(1,+∞)C.(0,1)∪(2,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)12345678910111213141516171819202122A解析

由题意可知f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,又f(1)=0,(x-2)f(x)>0,所以当x>2时,由f(x)>0可知f(x)>f(1),即x>1,因此x>2;当x<2时,由(x-2)f(x)>0可知f(x)<0,即f(x)<f(1),因此x<1.所以不等式(x-2)f(x)>0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞),故选A.12.已知a∈R,则“a≤3”是“f(x)=2lnx+x2-ax在(0,+∞)内单调递增”的(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件12345678910111213141516171819202122A13.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对任意的实数x,都有f'(x)+1<0,且f(1)=-1,则(

)A.f(0)<0 B.f(e)<-eC.f(e)>f(0) D.f(2)>f(1)12345678910111213141516171819202122B解析

构造g(x)=f(x)+x,则g'(x)=f'(x)+1.又f'(x)+1<0,所以g'(x)<0,所以函数g(x)在R上单调递减.所以g(e)<g(1),又g(1)=f(1)+1=-1+1=0,即f(e)+e<0,所以f(e)<-e.故选B.恒成立,则a的取值范围为(

)A.[4,+∞) B.(4,+∞)C.(-∞,4] D.(-∞,4)12345678910111213141516171819202122A15.若函数f(x)=ex-e-x+sin2x,则满足f(2x2-1)+f(x)>0的x的取值范围为(

)12345678910111213141516171819202122B12345678910111213141516171819202122解析

函数f(x)=ex-e-x+sin

2x,定义域为R,且满足f(-x)=e-x-ex+sin(-2x)=-(ex-e-x+sin

2x)=-f(x),∴f(x)为R上的奇函数.又f'(x)=ex+e-x+2cos

2x≥2+2cos

2x,当且仅当x=0时,等号成立.当x=0时,2+2cos

2x≠0,∴f'(x)>0恒成立,∴f(x)为R上的增函数.又f(2x2-1)+f(x)>0,得f(2x2-1)>-f(x)=f(-x),∴2x2-1>-x,即2x2+x-1>0,解得x<-116.(多选题)下列函数在定义域上为增函数的有(

)A.f(x)=2x4

B.f(x)=xexC.f(x)=x-cosx

D.f(x)=ex-e-x-2x12345678910111213141516171819202122CD解析

函数f(x)=2x4定义域为R,其导数为f'(x)=8x3,当x<0时,f'(x)<0,当x>0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在定义域R上不是增函数;函数f(x)=xex定义域为R,其导数为f'(x)=(x+1)ex,当x<-1时,f'(x)<0,当x>-1时,f'(x)>0,所以f(x)在定义域R上不是增函数;函数f(x)=x-cos

x定义域为R,其导数为f'(x)=1+sin

x≥0且不恒为0,所以f(x)在定义域R上是增函数;函数f(x)=ex-e-x-2x定义域为R,其导数为f'(x)=ex+e-x-2≥2-2=0,当且仅当ex=e-x,即x=0时,等号成立,所以f(x)在定义域R上是增函数.故选CD.17.若函数f(x)=2x2-lnx在定义域的一个子区间(k-1,k+1)上不单调,则实数k的取值范围是

.

1234567891011121314151617181920212218.已知f(x)满足f(4)=f(-3)=1,f'(x)为其导函数,且导函数y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)<1的解集是

.

12345678910111213141516171819202122(-3,4)解析

由函数y=f'(x)的图象可知,当x<0时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x>0时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.因为f(4)=f(-3)=1,所以当x≤0时,由f(x)<1=f(-3),可得-3<x≤0;当x>0时,由f(x)<1=f(4),可得0<x<4.综上所述,不等式f(x)<1的解集为(-3,4).19.[2023上海浦东期末]已知定义在(-π,π)上的函数f(x)=xcos(x+φ)-cosx(0<φ<π)为偶函数,则f(x)的单调递减区间为

.

12345678910111213141516171819202122解析

定义在(-π,π)上的函数f(x)=xcos(x+φ)-cos

x(0<φ<π)为偶函数,则f(-x)=-xcos(-x+φ)-cos(-x)=-xcos(x-φ)-cos

x=f(x)=xcos(x+φ)-cos

x,即-cos(x-φ)=cos(x+φ),20.已知函数f(x)=(k为常数,e为自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(1)求实数k的值;(2)求函数f(x)的单调区间.1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122可知h(x