《直线的两点式方程》课件

2.2.2直线的两点式方程第二章内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.掌握直线的两点式方程和截距式方程.(数学抽象)2.会选择适当的方程形式求直线方程.(数学抽象)3.能用直线的两点式方程与截距式方程解答有关问题.(数学运算)课前篇自主预习[激趣诱思]前面我们学习了直线的点斜式方程、斜截式方程.现在我们来思考这样一个问题,已知直线l经过两点P1(x1,y1),(其中x1≠x2,y1≠y2),因为两点确定一条直线,所以直线l是唯一确定的.也就是说,对于直线l上的任意一点P(x,y),它的坐标与点P1,P2的坐标之间具有唯一确定的关系.这节课我们就来研究一下.名称已知条件示

意

图方程使用范围两点式P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中x1≠x2,y1≠y2

斜率存在且不为0[知识点拨]名师点析

1.当过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时,不能用两点式方程表示.2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即x1,y1是同一个点的坐标,x2,y2是另一个点的坐标.3.对于两点式中的两个点,只要是直线上的两个点即可;另外,两点式方程与这两个点的顺序无关,如直线过点P1(1,1),P2(2,3),由两点式可得微思考把由直线上已知的两点坐标得到的直线方程化为整式形式(y-y1)(x2-x1)=(y2-y1)(x-x1),对两点的坐标还有限制条件吗?提示

这个方程对两点的坐标没有限制,即它可以表示过任意两点的直线方程.微练习已知直线l过点A(3,1),B(2,0),则直线l的方程为

.

解析

由两点式,得

,化简得x-y-2=0.答案

x-y-2=0二、直线的截距式方程

名称已知条件示

意

图方程使用范围截距式在x,y轴上的截距分别为a,ba≠0,b≠0要点笔记直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在x轴和y轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便.微思考什么样的直线的方程不能用截距式表示?提示

与坐标轴平行或重合及过原点的直线.微练习直线(ab≠0)在y轴上的截距是(

)A.a2

B.b2C.-b2

D.|b|解析

原直线方程化为截距式方程为

,故在y轴上的截距是-b2.答案

C课堂篇探究学习探究一直线的两点式方程例1已知三角形的三个顶点A(-4,0),B(0,-3),C(-2,1),求:(1)BC边所在的直线方程;(2)BC边上中线所在的直线方程.思路分析已知直线上两个点的坐标,可以利用两点式写出直线的方程.反思感悟

求直线的两点式方程的注意点在记忆和使用两点式方程时,常会将x,y或数字的顺序错位而导致错误,必须注意坐标的对应关系.提醒:已知两点坐标,求过这两点的直线方程,也可以先求斜率,再代入点斜式得到直线的方程.延伸探究

例1已知条件不变,求:(1)AC边所在的直线方程;(2)AC边上中线所在的直线方程.探究二直线的截距式方程例2过点P(1,3),且与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是(

)A.3x+y-6=0 B.x+3y-10=0C.3x-y=0 D.x-3y+8=0思路分析设出直线的截距式方程,然后利用点P在直线上以及三角形的面积列出参数所满足的条件,解方程求出参数.答案

A要点笔记直线的截距式方程在解题中的应用在解决直线与坐标轴围成的三角形面积、周长的问题中,常设直线的截距式方程.变式训练1直线l过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12,求直线l的方程.变式训练2将变式训练1中的条件“在两坐标轴上的截距之和为12”改为“在两坐标轴上的截距的绝对值相等”,求直线l的方程.解

设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a,b.若a=b,则a=b=1,直线方程为x+y-1=0;若a=-b,则a=-7,b=7,直线方程为x-y+7=0.(2)当a=b=0时,直线过原点,且过(-3,4),所以直线方程为4x+3y=0.综上所述,所求直线方程为x+y-1=0或x-y+7=0或4x+3y=0.

素养形成截距式方程在实际问题中的应用典例如图,某小区内有一块荒地ABCDE,已知BC=210m,CD=240m,DE=300m,EA=180m,AE∥CD,BC∥DE,∠C=90°,今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发.问如何设计才能使开发的面积最大?最大开发面积是多少?思路分析将问题转化为在线段AB上求一点P,使矩形面积最大,根据图形特征,可建立适当的坐标系,求出AB的方程.这里设点P的坐标是关键.【规范答题】解

以BC所在直线为x轴,AE所在直线为y轴建立平面直角坐标系(如图),由已知可得A(0,60),B(90,0),因此点P距AE

15

m,距BC

50

m时,所开发的面积最大,最大面积为54

150

m2.方法总结

一元二次函数最值问题,一方面要看顶点位置,另一方面还要看定义域的范围.结合图形求解,有时并非在顶点处取得最值.

当堂检测1.点A(1,2)关于直线y=kx+b对称的点是B(-1,6),则直线y=kx+b在x轴上的截距是(

)A.4 B.-4C.8 D.-8答案

D2.已知△ABC三顶点A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在的直线方程为(

)A.2x+y-8=0 B.2x-y+8=0C.2x+y-12=0 D.2x-y-12=0解析

点M的坐标为(2,4),点N的坐标为(3,2),由两点式方程得

,即2x+y-8=0.答案

A3.若点P(3,m)在过点A(2,-1),B(-3,4)的直线上,则m=

.

解析

由两点式方程得,过A,B两点的直线方程为

,即x+y-1=0.又点P(3,m)在直线AB上,所以3+m-1=0,得m=-2.答案

-24.直线ax+by=1(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是

.

知识点1

直线的两点式方程

B

A

C

D

知识点2

直线的截距式方程

C

BC