《倾斜角与斜率》课件

2.1.1倾斜角与斜率第二章内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.(数学抽象)2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(数学抽象)3.掌握倾斜角和斜率之间的关系.(逻辑推理)4.掌握过两点的直线斜率的计算公式.(数学运算)课前篇自主预习[激趣诱思]交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点,在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB(如果是下降,则DB的值为负实数),则坡度

.k>0表示上坡,k<0表示下坡,为了实际应用与安全,在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么坡度是如何来刻画道路的倾斜程度的呢?[知识点拨]一、直线的倾斜角

定义当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角规定当直线l与x轴平行或重合时,规定直线l的倾斜角为0°记法α图示取值范围0°≤α<180°作用(1)表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度;(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可要点笔记倾斜角还可以这样定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.并规定:与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.微思考倾斜角相等的直线的倾斜程度是否相同?提示

倾斜角相等的直线的倾斜程度相同.微练习1如图所示,直线l的倾斜角为(

)

A.45°

B.135°C.0° D.不存在答案

B微练习2直线x=1的倾斜角α=_________.答案

90°二、直线的斜率1.定义与表示定义(α为直线的倾斜角)α≠90°一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率α=90°直线斜率不存在记法常用小写字母k表示,即k=tanα范围R作用用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度2.斜率与倾斜角的对应关系

图示倾斜角α=0°0°<α<90°α=90°90°<α<180°斜率0k>0不存在k<0斜率变化规律定值直线逆时针旋转,倾斜角α在0°至90°间逐渐增大,斜率也逐渐增大,且恒为正数不存在直线逆时针旋转,倾斜角α在90°至180°间逐渐增大,斜率也逐渐增大,且恒为负数微思考1任何一条直线都有倾斜角吗?任何一条直线都有斜率吗?提示

任何一条直线都有倾斜角.但倾斜角为90°的直线没有斜率.微思考2为什么倾斜角为90°时,直线没有斜率?提示

当α=90°时,tan

α不存在,由斜率的定义,可知此时直线斜率不存在.微思考3直线的倾斜角越大,斜率就越大吗?微练习已知直线l的斜率k=-1,则其倾斜角α=

.

答案

135°三、直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),则直线的斜率公式为名师点析

1.运用公式的前提是x1≠x2,即直线不与x轴垂直.2.斜率公式与P1,P2在直线上的位置无关,在直线上任取两点,得到的斜率是相同的.3.需注意公式中横、纵坐标之差的顺序,也可以写成

,即下标的顺序一致.微思考利用过两点的直线的斜率公式能求任意一条直线的斜率吗?为什么?提示

不能,当直线与x轴垂直时,

无意义.微练习已知点P1(3,5),P2(-1,-3),则直线P1P2的斜率k等于(

)A.2

B.1 C.

D.不存在答案

A课堂篇探究学习探究一直线的倾斜角例1已知直线l过原点,l绕原点按顺时针方向转动角α(0°<α<180°)后,恰好与y轴重合,求直线l转动前的倾斜角是多少?思路分析画草图→标记α→找倾斜角与α的关系→求倾斜角解

由题意画出如下草图.由图可知:当α为钝角时,倾斜角为α-90°,当α为锐角时,倾斜角为α+90°,当α为直角时,倾斜角为0°.综上,直线l转动前的倾斜角为反思感悟

求直线倾斜角的方法及关注点(1)定义法:根据题意画出图形,结合倾斜角的定义找倾斜角.(2)关注点:结合图形求角时,应注意平面几何知识的应用,如三角形内角和定理及其有关推论.变式训练设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为(

)A.α+45° B.α-135°C.135°-α D.α+45°或α-135°解析

根据题意,画出图形,如图所示:由条件可知0°≤α<180°,通过画图(如图所示)可知:当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.故选D.答案

D探究二斜率公式及其应用例2已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1).(1)当m为何值时,直线l的斜率是1?(2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90°?思路分析用直线的斜率公式求直线的斜率.反思感悟

直线斜率的计算方法(1)判断两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在.(2)若两点的横坐标不相等,则可以用斜率公式

(其中x1≠x2)进行计算.延伸探究

1本例条件不变,试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围.解

由题意知

>0,解得1<m<2.故实数m的取值范围为(1,2).延伸探究

2若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”,其他条件不变,结果如何?

素养形成一题多解——利用斜率解决反射问题典例光线从点A(2,1)射到y轴上的点Q,经y轴反射后过点B(4,3),试求点Q的坐标及入射光线的斜率.【规范答题】

方法总结

光的反射问题中,反射角等于入射角,但反射光线的斜率并不等于入射光线的斜率.当镜面水平放置时,它们之间是互为相反数的关系.另外,在光的反射问题中也经常使用对称的方法求解.变式训练一束光线从点A(-2,3)射入,经x轴上点P反射后,通过点B(5,7),求点P的坐标.

当堂检测1.若直线l经过A(2,1),B(1,-m2)(m∈R)两点,则直线l的倾斜角α的取值范围是(

)答案

C答案

A3.过点P(-2,m),Q(m,4)的直线的斜率为1,那么m的值为(

)