4.3.1等比数列的概念 (2) A基础练（解析版）

4.3.1等比数列的概念(2)-A基础练一、选择题1．已知等比数列中，，，则公比q=（）A． B． C． D．2【答案】B【详解】，即，解得.故选：B.2．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为，则第六个单音的频率为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意知，十三个单音的频率构成等比数列，公比为，第六个单音的频率.故选：B.3．若数列是公比为4的等比数列，且，则数列是（）A．公差为2的等差数列 B．公差为的等差数列C．公比为2的等比数列 D．公比为的等比数列【答案】A【详解】因为数列是公比为4的等比数列，且，所以，，，

所以数列是公差为2的等差数列，故选A.4．在等比数列中，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：．∵在等比数列中，，所以．故选：B．5．（多选题）据美国学者詹姆斯·马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习．已知2000年底，人类知识总量为，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年（按365天计算）是每73天翻一番，则下列说法正确的是（）．A．2006年底人类知识总量是 B．2009年底人类知识总量是C．2019年底人类知识总量是 D．2020年底人类知识总量是【答案】BCD【详解】2000年到2006年每三年翻一番，则总共翻了番.2000年底，人类知识总量为a，则2006年底，人类知识总量为，故A错.2000年到2009年每三年翻一番，则总共翻了番.则2009年底，人类知识总量为，故B正确，2009年到2009年每一年翻一番，则总共翻了番则2019年底，人类知识总量为，故C正确.2020年是每73天翻一番，则总共翻了番，则2020年底，人类知识总量为，故D正确.故选：BCD.6．（多选题）设是公比为的等比数列，下列四个选项中是正确的命题有（）A．是公比为的等比数列 B．是公比为的等比数列C．是公比为的等比数列 D．是公比为的等比数列【答案】AB【详解】由于数列是公比为的等比数列，则对任意的，，且公比为.对于A选项，，即数列是公比为的等比数列，A选项正确；对于B选项，，即数列是公比为的等比数列，B选项正确；对于C选项，，即数列是公比为的等比数列，C选项错误；对于D选项，，即数列是公比为的等比数列，D选项错误.故选：AB.二、填空题7．已知数列是等比数列，，，且，则数列的公比___________.【答案】2【详解】数列是等比数列，则，所以，而，，所以公比.8．有一改形塔几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长等于1，那么该塔形中正方体的个数是___________.【答案】7【详解】设从最底层开始的第层的正方体棱长为，则为以8为首项，以为公比的等比数列，所以其通项公式为，令可得，.9．在等比数列中，，，则值为__________．【答案】6【详解】因为是等比数列，，所以．10．已知数列满足，.设，，且数列是递增数列，则实数的取值范围是________.【答案】【详解】由可得，数列是首项和公比均为的等比数列，所以，则，又因为是递增数列，所以恒成立，即恒成立，所以，所以.三、解答题11．已知数列的前n项和．（1）证明：是等比数列．（2）求数列的前n项和．【详解】（1）当时．，，又，所以的通项公式为．因为，所以是首项为9，公比为3的等比数列．（2）因为，所以，所以数列的前n项和：.12．诺贝尔奖每年发放一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类做出最有贡献人．每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增．资料显示：1998年诺贝尔奖发奖后的基金总额(即1999年的初始基金总额)已达19516万美元，基金平均年利率为．（1）求1999年每项诺贝尔奖发放奖金为多少万美元(精确到0.01)；（2）设表示年诺贝尔奖发奖后的基金总额，其中，求数列的通项公式，并因此判断“2020年每项诺贝尔奖发放奖金将高达193.46万美元”的推测是否具有可信度．【详解】（1）由题意得1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为万美元，每项诺贝尔奖发放奖金为万美元；（2）由题意得，，…所以，年诺贝尔奖发奖后基本总额为，年每项诺贝尔奖发放奖金为万美元，故该推测具有可信度．A级必备知识基础练1.[探究点一]在等比数列{an}中,a2=27,公比q=-13,则a5=(A.-3 B.3 C.-1 D.12.[探究点一]已知等比数列{an},a3a10a17=8,则a10=()A.1 B.2 C.4 D.83.[探究点一]在等比数列{an}中,a1=7,a4=a3a5,则a7=()A.19 B.17 C.13 4.[探究点三]将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都相等,且最后一个单音是第一个单音频率的2倍.已知第十个单音的频率f10=440Hz,则与第四个单音的频率f4最接近的是()A.880Hz B.622Hz C.311Hz D.220Hz5.[探究点一](多选题)已知数列{an}是等比数列,且a3+a5=18,a9+a11=144,则a6+a8的值可能为()A.-36 B.36 C.-362 D.3626.[探究点一]已知等比数列{an}的各项均为正数,若a2a9a16=64,则log2a1+log2a2+…+log2a17=.

7.[探究点二]等比数列{an}同时满足下列三个条件:①a1+a6=11;②a3a4=329;③三个数23a2,a32,a4+49依次成等差数列.8.[探究点一]设{an}是各项均为正数的等比数列,bn=log2an,b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3,求an.B级关键能力提升练9.已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N*),且a2+a4+a6=9,则log13(a5+a7+a9)的值为(A.-5 B.-15 C.5 D.10.某工厂去年产值为a,计划从今年起10年内每年比上一年产值增长10%,那么从今年起第()年这个工厂的产值将超过2a.A.6 B.7 C.8 D.911.在正项等比数列{an}中,a3=2,16a52=a2a6,则数列{an}的前n项积Tn中最大的值是(A.T3 B.T4 C.T5 D.T612.已知数列{an}是等比数列,满足a5a11=4a8,数列{bn}是等差数列,且b8=a8,则b7+b9=()A.24 B.16 C.8 D.413.两个公比均不为1的等比数列{an},{bn},其前n项的乘积分别为An,Bn,若a5b5=2,则A9A.512 B.32 C.8 D.214.[2023江苏扬州检测](多选题)已知等比数列{an},则下面式子对任意正整数k都成立的是()A.ak·ak+1>0 B.ak·ak+2>0C.ak·ak+1·ak+2>0 D.ak·ak+1·ak+2·ak+3>015.(多选题)已知数列{an}为等比数列,则下列说法正确的是()A.数列a2,a4,a8成等比数列B.数列a1·a2,a3·a4,a5·a6成等比数列C.数列a1+a2,a3+a4,a5+a6成等比数列D.数列a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9成等比数列16.在各项均为正数的等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,若an-1anan+1=324,则n=.

17.已知各项都为正数的等比数列{an}中,a2a4=4,a1+a2+a3=14,则满足anan+1an+2>19的最大正整数n的值为.18.在等比数列{an}中,公比q∈(0,1),且满足a3=2,a1a3+2a2a4+a3a5=25.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log2an,数列{bn}的前n项和为Sn,当S11+S22+…C级学科素养创新练19.某地区发生流行性病毒感染,居住在该地区的居民必须服用一种药片预防,规定每人每天上午8时和晚上8时各服一片.现知该药片每片含药量为220毫克,若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%,该药物在人体内的残留量超过380毫克,就将产生副作用.(1)某人上午8时第一次服药,问到第二天上午8时服完药后,这种药在他体内还残留多少?(2)若人长期服用这种药,这种药会不会对人体产生副作用?说明理由.

1.C在等比数列{an}中,a2=27,q=-13,则a5=a2q3=-12.B由题意可得a3a10a17=(a10)3=8,则a10=2.故选B.3.B在等比数列{an}中,a1=7,由a4=a3a5=a42,得a4=1或a4=0(舍去).由a1a7=a42,得a4.C由题意,设十三个单音的频率构成的等比数列{fn}的公比为q,则f13f1=q12=2,即f4=f10·q-6=440·12=2202≈311.08,故与2202最接近的是311Hz.故选C5.CD设{an}的公比为q,则a9+a11=q6(a3+a5),于是q6=a9+a11a3+a5=14418=8,因此q3=±22,所以a6+a8=q3(6.34由a2a9a16=64得a93=64,即a9=则log2a1+log2a2+…+log2a17=log2(a1a2…a17)=log2a917=log2417=7.解由等比数列的性质知a1a6=a3a4=329,所以a1+a6=11,a1a6=329,解得a1=13,a6=323或a1=323,a6=13.当a1=13,a6=当a1=323,a6=13时,q=12,an=13·26-n,23a2+a4+49≠28.解设数列{an}的公比为q,则a1>0,q>0,∵b1+b2+b3=3,∴log2a1+log2a2+log2a3=3,∴log2(a1a2a3)=3,∴a1a2a3=8,∴a2=2.∵b1b2b3=-3,∴log2a1·log2a2·log2a3=-3,∴log2a1·log2a3=-3,∴log2a2q·log2a2q=-3,即(log2a2-log2q)·(log2a2+log2q)=-3,即(1-log2q)·(1+log2q)=-3,解得log2q=±当log2q=2时,q=4,a1=a2∴an=12×4n-1=22n-3当log2q=-2时,q=14,a1=a2q=8,∴an=8×14n-19.A∵log3an+1=log3an+1,∴an+1∴数列{an}是等比数列,公比q=3,∴log13(a5+a7+a9)=log13(a2q3+a4q3+a6q3)=log13[(a2+a4+a6)q3]=log1310.C设从今年起第n年这个工厂的产值为an,则a1=1.1a,a2=1.12a,…,an=1.1na.依题意,得1.1na>2a,即1.1n>2,解得n≥8.11.A依题意,数列{an}是等比数列,所以16a52=a2a6=a42,所以q又因为数列{an}为正项等比数列,所以q=14,所以an=a3qn-3=2·43-n=27-2n,令an>1,即27-2n>1,得n<72,因为n∈N*,所以n≤3,数列{an}的前n项积Tn中T3最大,故选12.C∵数列{an}是等比数列,∴a5a11=a82=4a8,又a8∴a8=4.又{bn}是等差数列,b8=a8,∴b7+b9=2b8=2a8=8.13.A因为A9=a1a2a3…a9=a59,B9=b1b2b3…b9=所以A9B9=(a5b14.BD设数列{an}的公比是q.对于A,当q<0时,ak·ak+1<0,A不符合题意;对于B,ak·ak+2=(akq)2>0,B符合题意;对于C,ak·ak+1·ak+2=ak+13>0不一定成立,C不符合题意;对于D,ak·ak+1·ak+2·ak+3=(ak+1·ak+2)2>0一定成立,D符合题意.15.BD由等比数列{an}知,数列a2,a4,a8不成等比数列,故A错误;由于数列a1·a2,a3·a4,a5·a6的每一项都不为0,故由等比数列{an}可得,数列a1·a2,a3·a4,a5·a6成等比数列,故B正确;当数列{an}的公比等于-1时,a1+a2=a3+a4=a5+a6=0,故C错误;数列a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9的每一项都不为零,且a4+a5+a6a1+a2+a3=q3,a7+a8+a9a4+a5+a6=q3,16.14设数列{an}的公比为q,由a1a2a3=a23=4与a4a5a6=a53=12,可得a53a23=(q3)3,q9=3.又an-1anan+1=an3=(a2qn-2)3=324