苏科版初中数学七年级下册9.2轴对称（第2课时）性质与作图导学案

苏科版初中数学七年级下册9.2轴对称（第2课时）性质与作图导学案

一、教学内容解析

本章隶属于“图形与几何”领域，是初中阶段研究图形变换的起始章节。本节内容“轴对称的性质与画图”位于苏科版教材第九章第二节第2课时，是在学生已经直观认识轴对称图形、理解轴对称概念、能够识别简单对称轴的基础上，对轴对称从定性描述走向定量刻画的关键节点。本节课的核心数学本质是揭示“对称轴是对称点连线的垂直平分线”这一几何不变性，并基于此发展学生的作图技能与几何推理能力。从知识体系来看，本节上承全等图形，下启等腰三角形、四边形及后续的旋转、平移等变换，是发展学生空间观念、几何直观和推理能力的核心载体。从素养发展来看，本节课不仅要让学生掌握“怎么画”，更要让学生理解“为什么这样画”，实现从操作几何向推理几何的过渡。

二、学情精准画像

学生已经能够从生活实例中识别轴对称现象，能够通过折叠判断一个图形是否为轴对称图形，并初步掌握了点、线段在方格纸中的简单翻折。然而，这一阶段的认识主要停留在直观感知层面，具体表现为：第一，对于对称轴的本质是“点的集合”而非“一条线”缺乏深刻理解；第二，对于“对称轴垂直平分对应点连线”这一核心性质仅停留在模糊记忆，无法建立符号化表达；第三，在脱离方格背景、仅提供直线l的情况下作对称点，存在作图依据不清、作法不规范的问题。此外，七年级学生正处于从合情推理向初步演绎推理过渡的关键期，对“为什么要这样作垂线”“为什么要截取相等线段”存在认知需求。本设计将着力打通“折叠经验”与“几何原理”之间的逻辑通道。

三、目标分层叙写

基于课程标准“内容要求”与“学业要求”，结合学情，将本课时目标设定为如下三个递进层次：

（一）【核心知识·理解级】通过动手操作与观察对比，自主概括并准确表述轴对称的基本性质，即“成轴对称的两个图形中，对称点所连线段被对称轴垂直平分”，并能用符号语言进行表达。

（二）【关键能力·应用级】能根据轴对称的性质，规范使用直尺和圆规作出已知点、线段、三角形关于给定对称轴的对称图形，在作图过程中体悟“垂直”与“相等”的几何意义，发展几何直观与尺规作图素养。

（三）【综合素养·迁移级】经历“具体实例—抽象性质—运用性质解决问题”的完整探究过程，在网格背景、无网格背景及实际问题情境中，能识别并构造轴对称变换，初步建立用轴对称眼光分析图形关系的意识。

四、核心素养聚焦点

【非常重要：几何直观】将折叠操作中感知到的“重合”转化为视觉可辨的“垂直”与“平分”关系，建立图形结构与数量关系的对应。

【非常重要：推理能力】从“点重合”推出“线段相等”，从“平角”推出“垂直”，完成从实验几何到论证几何的微跨越。

【重要：空间观念】在头脑中模拟图形翻折的过程，预测对称点的位置，实现二维平面内的空间想象。

【重要：抽象能力】剥离现实情境中的非本质属性，将剪纸、扎孔等活动经验升格为具有普适性的数学命题。

五、教学重难点与突破策略

【重点】轴对称的性质：对称点连线被对称轴垂直平分。

【难点】基于性质，规范作出平面图形关于对称轴的轴对称图形，尤其是垂足的确切位置与截取长度的精准对应。

【难点成因剖析】七年级学生首次面临“无网格依托、仅凭尺规”的精确作图任务，其障碍不在于操作本身，而在于无法将“垂直”和“相等”两个条件在作图步骤中同步实现。

【突破策略】采用“分解动作”策略，将完整作图拆解为“作垂线—定垂足—截等长”三个微步骤，每一步均与性质条款精准对应，并设计“哑巴作图，语言复述”活动，要求学生边画边说出依据，实现手脑联动。

六、教学准备

1.学具准备：每人两张长方形透明纸、大头针、直尺、圆规、铅笔。

2.教具准备：几何画板动态演示课件、磁性黑板贴纸、大型三角形模型。

3.前置任务：课前要求学生用纸片任意扎一个孔，折叠后扎第二个孔，观察两个孔与折痕的关系。

七、教学实施过程（核心环节，逐层展开）

（一）唤醒经验，引出核心问题

师生活动：教师呈现学生课前扎孔作业的照片——一张白纸上有一对通过折叠扎出的对称点。教师提问：这两个孔在纸上的位置是随意扎的吗？它们与中间的折痕有什么确定的关系？学生凭折叠经验回答：折痕是中间的那条线，两个孔到折痕的距离相等，连线与折痕是垂直的。

设计意图：从学生真实的前置操作出发，将对折的直观经验转化为可测量的几何要素，直接切入本课核心问题。此环节不纠缠于轴对称图形的识别，而是直指性质的量化和验证。

【重要：生活经验数学化】学生能够清晰说出“相等”和“垂直”，但尚无法用规范几何语言表达，这正是教学的起点。

（二）实验操作，量化性质归纳

活动1：定点扎孔，符号化记录

学生独立操作：取长方形纸片，折叠后任意位置扎针，展开得到点A与点A′，标记折痕为直线l，AA′与l交于点O。

驱动性问题链：

[1]线段OA与OA′的长度有什么关系？你是如何确认的？

[2]∠1与∠2（指AA′与l所形成的邻补角）在折叠前是什么关系？折叠重合说明了什么？

[3]你能用一句话概括点A、A′与直线l之间的关系吗？

小组交流后全班共识：点A与A′重合意味着OA与OA′重合，故OA＝OA′，O是AA′的中点；折痕平直，∠1与∠2重合且和为180°，故∠1＝∠2＝90°，即l⊥AA′。

【高频考点】教师板书核心结论：对称轴垂直平分对称点所连线段。并示范符号语言：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴l⊥AA′，OA=OA′（或l垂直平分AA′）。

活动2：多点验证，从特殊到一般

追问：如果我们在折叠后的纸上扎两个、三个孔，每一组对应点与折痕是否都具有上述关系？

学生再次操作，验证点B与B′、点C与C′。教师利用几何画板动态演示任意三角形关于直线l对称，拖动点改变三角形形状和位置，引导学生观察对称轴与对应点连线的位置关系。

【非常重要：归纳推理】学生总结：无论图形多么复杂，成轴对称的两个图形中，任意一组对应点的连线都被对称轴垂直平分。

设计意图：本环节耗时约12分钟，是整节课的逻辑起点。通过“一点—多点—任意图形”的递进验证，将折叠经验升华为具有普适性的几何定理。刻意强调“任意两个对称点”，为后续作图中“只需作关键点的对称点”埋下伏笔。

（三）性质反用，建立作图原理

师：既然对称轴是任意一对对称点连线的垂直平分线，那么，如果我们已知对称轴和其中一个点，能否找到它的“另一半”？

学生思考后回答：需要过该点作对称轴的垂线，再截取相等长度。

教师规范作图术语，并同步示范：

[1]过点A作直线l的垂线，垂足为O（作垂线是第一步，依据：对称轴与对应点连线垂直）；

[2]在垂线段AO的延长线上截取OA′＝OA（截等长是第二步，依据：对称轴平分对应点连线）。

【操作易控点】教师强调：直尺只用于画直线，圆规用于截取等长，不得用直尺测量长度。截取时必须保证圆规尖脚在O点，量取OA长度，再翻转截取。

学生模仿练习：在练习纸上完成单个点关于直线l的对称点作图。教师巡回指导，重点关注“垂线是否标准”“截取方向是否正确”。

设计意图：将性质逆向使用，实现从“已知对称找性质”到“依据性质作对称”的认知翻转。这是本节课的思维核心，也是后续一切复杂作图的基础。

（四）变式进阶，从点到图形

任务1：作线段的轴对称图形

呈现问题：已知线段AB和直线l（l不与AB平行），求作线段AB关于直线l对称的线段A′B′。

学生先独立思考，尝试作图，然后小组交流作法。

归纳规范作法：

[1]分别作出点A、点B关于直线l的对称点A′、B′；

[2]连接A′B′，线段A′B′即为所求。

【思维难点】当线段与对称轴相交时，学生易遗漏交点的处理。教师通过几何画板演示，引导学生发现：若点P在对称轴上，其对称点即为自身，无需重复作图。

任务2：作三角形的轴对称图形

呈现问题：已知△ABC和直线l（l过顶点C），求作△ABC关于直线l对称的三角形。

学生独立完成，一名学生板演，其余在学案上操作。

全班评议板演，重点关注：

[1]点C在对称轴上，是否错误地作了垂线？

[2]点A、B的对称点是否准确？

[3]连接顺序是否与原来三角形对应？

【高频考点】教师总结口诀：“对称轴上点不变，轴外点作垂线，截取等长得对点，对应点连成图线。”

设计意图：从“点”到“线段”再到“三角形”，遵循“关键点—关键线段—完整图形”的认知阶梯。每一个新任务都以前一个任务为工具，实现知识的螺旋上升。

（五）变式挑战，逆向思维与网格融合

挑战1：无网格，已知对称图形反求对称轴

呈现问题：如图，△ABC与△A′B′C′关于某条直线对称，请你用尺规作出这条对称轴。

学生讨论后回答：连接任意一组对应点（如A和A′），作该线段的中垂线，即为对称轴。

教师追问：为什么要作中垂线？依据是什么？

生：因为对称轴垂直平分对应点连线，所以反过来，线段的垂直平分线就是对称轴。

【重要：互逆关系】学生第一次接触到“性质”与“判定”的雏形，教师在此处不必过度拔高为定理，但需点明这种互逆思维在几何学习中的普遍性。

挑战2：网格背景下的轴对称作图

呈现问题：在5×5方格纸中，已知格点△ABC和直线l（网格线呈45°倾斜），作△ABC关于l对称的图形。

学生小组合作完成。此环节重点不是尺规作图，而是利用格点特征寻找对应点。学生展示多种方法：数格子法、构造正方形法、延长等分法等。

【跨学科链接点】教师展示苏州园林花窗纹样，引导学生发现花窗设计中大量应用了网格轴对称。学生在方格纸上模仿设计一个简单的花窗纹样，并标注对称轴。

设计意图：网格作图是对尺规作图的有益补充，也是中考高频命题背景。45°倾斜对称轴的设置打破了学生对“对称轴必须是水平或竖直”的思维定势，进一步强化“垂直”的核心地位。花窗设计活动融入美术学科元素，落实跨学科主题学习要求，同时激发民族审美认同。

（六）综合应用，解决真实问题

情境任务：某社区计划修建一座供水站P，要求供水站到笔直的河道l和两个居民区A、B的距离之和最小。已知A、B在河道l同侧，请你用所学轴对称知识为供水站选址，并说明理由。

师生活动：

[1]学生阅读理解问题，抽象数学模型：在直线l上求一点P，使PA+PB最小。

[2]小组讨论，教师提示：能否利用轴对称，将“同侧两点”转化为“异侧两点”？

[3]学生尝试作图：作点A关于l的对称点A′，连接A′B，与l的交点即为点P。

[4]学生运用“两点之间线段最短”解释选址的合理性。

【热点】将军饮马模型是轴对称性质在路径最优化问题中的经典应用，也是七年级学生首次接触最短路径问题。本环节不求复杂变式，重在让学生经历“实际问题—数学建模—利用轴对称转化—原理释疑”的完整过程，感受轴对称的工具价值。

设计意图：从“作图技能”上升到“应用意识”，实现知识向素养的转化。此环节是本节课的思维高潮，也是“三会”素养落地的具体体现。

（七）反思建构，形成结构化认知

师：回顾本节课，我们如何一步步认识轴对称、使用轴对称的？

学生梳理，教师引导形成如下认知链条：

一条核心性质：对称点连线被对称轴垂直平分。

两项基本技能：①已知轴、点，作对称点（作垂线，截等长）；②已知对称点，作对称轴（连点，作中垂线）。

三类基本图形：点、线段、三角形的轴对称图形。

一个典型模型：同侧两定点到直线上一动点距离之和最短问题（将军饮马）。

教师再次强调：【核心知识】轴对称的本质不是“长得像”，而是“对应点被同一条线垂直平分”。对称轴不是抽象的线，它是所有对应点连线的垂直平分线的集合。

八、板书设计结构

主板书左侧区域呈现轴对称性质的文字表述与符号语言，配以一组对应点连线的示例图；主板书右侧区域分栏呈现“点—线段—三角形”三种图形的轴对称作法图示，每一作法步骤旁用小号字标注依据（垂直、平分）；主板书下方区域留白，用于课堂生成性板演。右侧副板书区域呈现“将军饮马”模型示意图及选址依据。整体板书采用“性质—作法—应用”三栏布局，突出知识发生的内在逻辑。

九、作业与拓展

（一）基础巩固（必做）

1.完成课本第72页练习第1、2题，要求尺规作图，保留作图痕迹，并在每步作法旁用简要词语标注依据。

2.如图，直线l同侧有C、D两点，请在l上找一点Q，使得QC=QD。说明你的作法及理由。

（二）应用提升（选做）

3.校园内有两棵景观树A、B和一条笔直的道路l，学校计划在路边安装一盏路灯，要求路灯到两棵树的距离之和最小。请你设计路灯位置，并画出设计图，写一份简要的设计说明书。

（三）跨学科创意作业（研究性学习）

4.【非遗中的对称】查阅资料，选取一种中国传统纹样（如云雷纹、回纹、方胜纹、柿蒂纹等），完成一篇200字左右的微报告，包含以下内容：①纹样的名称与文化寓意；②用数学语言描述纹样中的轴对称特征（有几条对称轴、对称轴位置、基本单元如何生成）；③在网格纸上手绘复原该纹样。

设计意图：第4题呼应苏州工业园区跨学科研训活动的先进理念，将数学的精确性与非遗文化的人文性深度融合，既是对本节课核心知识的应用，也是爱国主义教育的自然渗透。

十、教学反思预构

本设计打破了传统轴对称教学“重概念辨析、轻性质推理”的窠臼，将教学起点定位于“点与折痕的关系”这一核心元命题。实践证明，当学