青岛版七年级数学下册：列方程组解应用题（第二课时）教案

青岛版七年级数学下册：列方程组解应用题（第二课时）教案

一、教学基本信息

1.授课年级：初中七年级

2.教材版本：青岛出版社义务教育教科书数学七年级下册

3.教学课题：列二元一次方程组解应用题——图表与情境深化

4.课时安排：1课时（40分钟）

5.课型：新授课（问题解决专题课）

二、设计理念与指导思想

本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为指导，秉承“核心素养导向，学生主体发展”的理念，深度对接青岛版教材“问题情境——建立模型——求解验证——应用拓展”的编排逻辑。本节课作为“列方程组解应用题”的第二课时，旨在引导学生从第一课时的基础建模，迈向对复杂现实情境的深度剖析与数学模型的多维建构。设计着重强化以下三点：

1.模型思想进阶：超越简单的“审、设、列、解、验、答”程序化步骤，聚焦于如何从纷繁的文字、表格、图示等信息载体中，敏锐识别、抽象并表征出等量关系，完成从“现实世界”到“数学世界”的转化与翻译。

2.跨学科问题解决视野：有意识选取融合经济（利润、折扣）、工程（效率、工作量）、体育赛事（积分）等背景的真实或拟真情境，体现数学作为基础工具学科的广泛应用性，促进学生跨学科思维的形成。

3.思维可视化与表达结构化：借助思维导图、关系结构图、线段图等可视化工具，帮助学生梳理已知与未知、分析数量关联、厘清逻辑链条，并规范数学语言的书面表达与口头表达，提升逻辑推理与数学交流能力。

三、学情分析

1.知识储备：学生已系统学习了一元一次方程的应用及二元一次方程组的解法，并在第一课时初步接触了列二元一次方程组解“鸡兔同笼”“增收节支”类基础应用题，掌握了基本的解题步骤框架。

2.能力现状：大部分学生能够处理直接表述清晰、等量关系明显的简单应用题。但在面对信息量大、关系隐含（尤其是涉及比例、百分比、复合变化）或需要结合图表分析的情境时，常表现出以下困难：

1.3.信息筛选障碍：难以从冗长的文字描述或复杂图表中提炼出有效数学信息。

2.4.等量关系建构困难：对多个变量间相互制约的关系理解不透，无法准确找到两个独立的等量关系式。

3.5.变量设置不当：未能根据问题核心和关系特征，选择最合适的未知元，导致方程复杂化。

4.6.解的合理性检验意识薄弱：易忽略解是否符合实际情境（如人数、件数为非负整数，速度、时间为正数等）。

7.心理与思维特征：七年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，对富有挑战性和现实意义的问题有较强的好奇心和探究欲，但思维的全面性、深刻性和严谨性仍需通过针对性训练加以引导和强化。

四、教学目标

基于以上分析，确立本节课的教学目标如下：

1.知识与技能目标

1.能熟练地从文字、表格、示意图等多种形式呈现的复杂情境中，提取关键信息。

2.能准确分析并利用“和、差、倍、分、比、配套、行程（相遇/追及）、工程、增长率”等常见数量关系，设立恰当的未知数，独立列出二元一次方程组。

3.能完整、规范地解决至少三类（如：图表信息类、情境复合类、方案决策类）综合性较强的应用题，并对方程解的合理性进行检验与解释。

2.过程与方法目标

1.经历“信息表征（文字化/图形化/符号化）→关系分析→模型建立→求解检验→回归解释”的完整数学建模过程，进一步体会模型思想。

2.通过小组合作探究、分析对比不同解法，提升信息处理能力、分析综合能力及优化策略的意识。

3.学会运用列表格、画线段图、绘制关系结构图等策略辅助分析问题，使思维过程可视化、条理化。

3.情感态度与价值观目标

1.在解决贴近生活的实际问题中，感受数学的实用价值与应用魅力，增强学习数学的兴趣和信心。

2.通过克服复杂问题中的难点，锻炼克服困难的意志品质，体验成功的喜悦。

3.在小组讨论与交流中，培养合作精神、倾听习惯和严谨求实的科学态度。

五、教学重难点

1.教学重点：掌握从复杂情境（特别是图表结合情境）中分析、挖掘两个等量关系的方法，并正确列出二元一次方程组。

2.教学难点：

1.3.难点一：对隐含的、非直接表述的等量关系（如：总量不变、各部分比例关系衍生出的等量关系）进行有效识别与转化。

2.4.难点二：根据问题特点，灵活选择设未知元的方法（如直接设元、间接设元），并清晰表述数量关系的逻辑链条。

突破策略：

1.针对难点一，采用“问题串”引导和“对比辨析”的方法，将复杂问题分解，引导学生逐步剥离非本质信息，聚焦核心关系。利用关系结构图将文字描述中的逻辑关联可视化。

2.针对难点二，通过“一题多设”、“一题多解”的展示与讨论，让学生直观感受不同设元方式对列方程难易程度的影响，归纳选择策略。

六、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（包含情境动画、图表、分步解析图）、实物投影仪、学案（含探究任务单、分层练习题）。

2.学生准备：复习二元一次方程组解法，预习教材相关章节，准备直尺、铅笔、草稿本。

3.环境准备：学生按“异质分组”原则，4人一组，便于合作探究。

七、教学策略与方法

1.主导策略：启发式教学、情境教学法。

2.主体策略：探究式学习、合作学习。

3.辅助策略：讲练结合法、对比分析法。

4.技术整合：利用动态课件演示数量变化过程，帮助学生理解抽象关系。

八、教学过程设计

（一）情境导入，激发认知冲突（预计时间：5分钟）

1.创设情境，呈现问题

多媒体展示一则“校园体育节”的新闻报道节选，并配以表格：

在校篮球联赛中，七（1）班与七（2）班进行了一场比赛。记分规则为：胜一场得2分，负一场得1分（无平局）。赛后，小记者统计了部分信息：七（1）班的总得分比七（2）班多5分。又根据赛程公告得知，两个班在整个联赛中一共进行了10场比赛。

表格：

班级

胜场数（未知）

负场数（未知）

总得分（未知）

七（1）班

？

？

比七（2）班多5分

七（2）班

？

？

？

总计

？

？

共进行10场

教师提问：“同学们，根据这些信息，你能直接算出每个班胜了几场，负了几场吗？为什么？”

2.引导分析，回顾旧知

学生初步思考后会意识到：信息不足，直接计算困难。教师引导：“我们缺少了哪些明确的数学信息？（两个班各自的胜负场数或得分）这些未知量之间有什么关系？我们以前学过用什么工具来处理这种多个未知量且存在等量关系的问题？（二元一次方程组）”

3.揭示课题，明确方向

教师总结：“面对这种信息交错、关系隐含的实际问题，我们需要更系统、更深入地运用列方程组的方法来破解。今天这节课，我们就一起挑战这类更具综合性的应用题，提升我们的‘数学建模’战斗力。”

【设计意图】：选取学生熟悉的校园生活情境，快速吸引注意力。表格与文字结合的形式，自然引出信息整合的需求。设置认知冲突，让学生感受到单一、直接计算的局限性，从而唤起对系统方法（列方程组）的深度需求，明确本课学习目标。

（二）探究新知，掌握建模策略（预计时间：20分钟）

核心探究活动：破解“联赛积分之谜”

1.信息梳理与表征（师生共析）

1.引导学生齐读题目，圈画关键词：“胜一场得2分，负一场得1分”、“总得分多5分”、“一共进行了10场比赛”。

2.提问：“‘一共进行了10场比赛’这句话是什么意思？是指两个班各自都打了10场，还是指他们之间的比赛总场次是10场？”（引导学生明确：是两个班所有比赛的场次总和为10场，这是理解的关键。）

3.可视化引导：教师在黑板上画出两个集合圈，分别代表七（1）班和七（2）班的所有比赛。提问：“如何用未知数来清晰地表示这些数量？”学生可能提出不同设元方案。

2.自主尝试与小组合作（学生活动）

1.任务一（个人尝试）：请学生在学案上尝试独立设未知数，寻找等量关系，列出方程组。教师巡视，收集典型设法和错误。

2.任务二（小组讨论）：4人小组内交流各自的解法。重点讨论：

1.3.（1）你们设了什么为x和y？（例如：设两班胜场总数为x，负场总数为y；或设七（1）班胜x场负y场，七（2）班胜m场负n场等）。

2.4.（2）你们找到了哪两个等量关系？是如何找到的？

3.5.（3）比较组内不同解法，哪种设元方式更简便？为什么？

3.策略提炼与规范讲解（教师精讲）

教师选取两种代表性解法进行投影展示与对比讲解。

解法一（直接设元——设单个班级胜负场数）

1.设：设七（1）班胜x场，负y场；七（2）班胜m场，负n场。

2.找等量关系：此时有四个未知数，需要四个方程。

1.3.根据得分关系：七（1）班得分=2x+y，七（2）班得分=2m+n，且(2x+y)-(2m+n)=5。

2.4.根据总场次关系：七（1）班比赛场次=x+y，七（2）班比赛场次=m+n，且(x+y)+(m+n)=10。

5.分析：未知数多，方程组复杂。需要引导学生思考：题目最终只问各班胜负场数吗？（是）我们是否必须分别设出四个未知数？能否减少未知数个数？

解法二（整体设元与间接设元结合——推荐方法）

1.引导思考：题目中“一共进行了10场比赛”是对两个班整体的描述。我们可以先考虑整体，再分析个体。

2.设：设两个班总共胜了a场，则总共负了b场。

3.列第一个方程（整体关系）：根据总场次，a+b=10。

4.分析得分：总得分=2a+1*b=2a+b。

5.关键转化：总得分也可以表示为（七（1）班得分+七（2）班得分）。设七（1）班得分为s，则七（2）班得分为s-5。

6.建立联系：那么总得分又=s+(s-5)=2s-5。

7.得到方程：2a+b=2s-5。但这里引入了第三个未知数s。

8.优化设元：不如直接设七（1）班胜x场，负y场；则七（1）班得分为(2x+y)。根据总场次关系，七（2）班比赛场次为(10-x-y)场。设七（2）班胜m场，则负场为[(10-x-y)-m]场。这样，七（2）班得分为2m+[(10-x-y)-m]=m+10-x-y。

9.列方程组：

{

2

x

+

y

=

[

m

+

10

−

x

−

y

]

+

5

(七（1）班得分比七（2）班多5分)

x

+

y

+

m

+

[

(

10

−

x

−

y

)

−

m

]

=

10

(总场次为10，此方程为恒等式，无效)

\begin{cases}

2x+y=[m+10-x-y]+5\{(七（1）班得分比七（2）班多5分)}\\

x+y+m+[(10-x-y)-m]=10\{(总场次为10，此方程为恒等式，无效)}

\end{cases}

{2x+y=[m+10−x−y]+5x+y+m+[(10−x−y)−m]=10​(七（1）班得分比七（2）班多5分)(总场次为10，此方程为恒等式，无效)​发现第二个方程自动满足，不是有效独立方程。说明“总场次10”的信息已用于表示七（2）班的场次，不能重复使用。

解法三（最优设元——聚焦核心变量）

1.设：设七（1）班胜x场，负y场。关键：则七（2）班的比赛总场次也是多少？由于联赛中每场比赛涉及两个班，所以两个班各自的比赛总场次相等。设这个共同的比赛场次为n场。则七（2）班胜m场，负(n-m)场。

2.等量关系1（总场次关系）：两个班所有比赛场次总和为10场。注意：每一场比赛都被计算了两次（一次对七（1），一次对七（2）），所以n+n=2n=10，解得n=5。即每个班都进行了5场比赛。

3.所以，七（1）班：胜x场，负(5-x)场，得分=2x+(5-x)=x+5。

七（2）班：胜m场，负(5-m)场，得分=2m+(5-m)=m+5。

4.等量关系2（得分差关系）：(x+5)-(m+5)=5=>x-m=5。

5.发现问题：x和m是胜场数，均不大于5，且x-m=5，这意味着x=5,m=0。即七（1）班全胜，七（2）班全负。

6.检验与答：代入验证，符合所有条件。答：七（1）班胜5场，负0场；七（2）班胜0场，负5场。

教师总结策略：

1.审题深化：不仅要看文字，更要理解数据（如“10场”）的统计含义，避免重复或遗漏使用信息。

2.设元优化：在变量较多时，优先考虑是否存在不变量（如每队比赛场次相同）或整体量，可简化设元。本题揭示的核心是理解体育赛制（单循环或类似）下“总场次”与“各队参赛场次”的关系。

3.关系挖掘：等量关系可能隐藏在背景常识（赛制）中，需要结合生活经验进行逻辑推理。

【设计意图】：将一个看似简单但内涵丰富的问题作为探究核心，通过学生自主尝试、小组碰撞、教师引导对比多种解法，充分暴露思维过程。重点不在于快速得到答案，而在于经历“设元不当导致复杂→反思调整→结合情境深入分析→发现隐含条件（n=5）→优化模型”的完整思维爬坡过程，深刻体会审题、设元、挖掘隐含关系的重要性。

（三）变式训练，巩固建模能力（预计时间：10分钟）

变式一（图表信息类）

某工厂用如图（课件展示）所示的长方形和正方形纸板，糊成横式与竖式两种无盖礼品盒。

1.图示：一个横式无盖盒子需要3张长方形纸板，2张正方形纸板。

2.图示：一个竖式无盖盒子需要4张长方形纸板，1张正方形纸板。

3.表格：现有纸板情况

纸板类型

仓库现有张数

长方形纸板

1000张

正方形纸板

600张

问题：若计划制作横式、竖式盒子共300个，且纸板恰好全部用完，问横式、竖式盒子各需制作多少个？

引导分析：

1.信息提取：从图和表中提取两类盒子的“配套”需求信息。

2.设元：设横式盒子x个，竖式盒子y个。

3.找等量：

1.4.盒子总数关系：x+y=300。

2.5.纸板用量恰好用完关系：这是核心。分别计算长方形和正方形纸板的总用量，与库存相等。

1.3.6.长方形纸板用量：3x+4y=1000。

2.4.7.正方形纸板用量：2x+1y=600。

5.8.提问：两个纸板等量关系是否独立？是否都需要？（是的，都需要，它们从不同资源角度约束了x和y的值。）

9.列方程组并求解。

10.检验：解是否为非负整数？是否符合实际生产需求？

变式二（情境复合类——利润与增长率结合）

某商店销售A、B两种品牌的智能音箱，上个月的销售情况如下表：

品牌

进价（元/台）

售价（元/台）

上个月销售量（台）

A

800

1200

未知

B

1000

1500

未知

本月，该商店决定调整营销策略。已知：

1.本月A、B两种音箱的总销售额比上个月增长了20%。

2.本月A音箱的销售量比上个月增加了10%，B音箱的销售量比上个月减少了5%。

3.上个月A、B两种音箱的总利润为40000元。（利润=(售价-进价)×销售量）

问题：求上个月A、B两种音箱各自的销售量。

引导分析：

1.梳理复杂信息：涉及上个月和本月，涉及销售量、销售额、利润等多个概念。引导学生用表格或关系图整理。

2.设元：设上个月A音箱销售a台，B音箱销售b台。（直接设所求量）

3.逐句翻译成数学关系：

1.4.根据“上个月总利润”：(1200-800)a+(1500-1000)b=40000→400a+500b=40000。

2.5.计算上个月总销售额：1200a+1500b。

3.6.计算本月销售量：A为(1+10%)a=1.1a，B为(1-5%)b=0.95b。

4.7.计算本月总销售额：1200*(1.1a)+1500*(0.95b)=1320a+1425b。

5.8.根据“本月总销售额比上个月增长20%”：本月销售额=上个月销售额×(1+20%)。

即：1320a+1425b=1.2×(1200a+1500b)。

9.列出方程组并求解。

10.强调：百分数的处理，增长率公式的应用，以及如何从多句话中逐步构建代数表达式。

【设计意图】：通过两个不同侧重点的变式，巩固和迁移探究环节获得的经验。变式一强化从图表中提取“配套”信息的能力，以及处理双资源约束的模型。变式二引入时间维度变化和经济学概念（销售额、利润、增长率），训练学生处理信息量大、关系交织的复合情境能力，提升数学语言的翻译功力。

（四）课堂小结，升华建模思想（预计时间：3分钟）

采用“思维导图”形式，由师生共同总结本课要点：

列方程组解应用题（综合篇）

├─核心思想：数学建模

├─关键步骤：

│├─审：深度审题，整合图文信息，理解背景常识。

│├─设：优化设元（直接/间接，整体/个体），力求简洁。

│├─列：挖掘显性及隐性等量关系（和差倍分、配套、变化率等）。

│├─解：熟练求解。

│├─验：检验解是否符合实际情境（双检验）。

│└─答：规范完整作答。

└─辅助策略：

├─可视化工具：列表格、画线段图、关系结构图。

└─思维策略：整体思想、转化思想。

教师赠言：“数学是解读世界的一种语言，方程组是这把语言中的精妙语法。希望同学们不仅能用它解开书上的习题，更能用它去分析和思考生活中更多的‘未知之谜’。”

（五）分层作业，拓展延伸（预计时间：2分钟布置）

必做题（巩固基础）：

1.教材课后练习中2道综合应用题。

2.学案“基础闯关”部分：一道行程问题（相遇与追及综合），一道工程效率问题。

选做题（提升能力）：

1.（实践探究）请调查你家附近某超市两种商品的价格及近期优惠活动，自编一道涉及折扣或满减的二元一次方程组应用题，并给出解答。

2.（思维挑战）一个两位数，个位数字与十位数字之和为9。若将这个两位数的个位与十位数字对调，得到的新数比原数大27。求原两位数。你能用几种方法求解？对比其优劣。

【设计意图】：作业设计体现分层，必做题确保全体学生掌握核心建模流程。选做题第1题链接生活，鼓励数学应用与调查实践；第2题为经典数字问题，鼓励一题多解，发散思维。

九、板书设计（主版面）

列方程组解应用题（二）——模型深化

一、典例探究：联赛积分问题

设：七（1）班胜x场，负？场；总场次n。

析：两个班总比赛场次和=10→2n=10→n=5。

模：(1)七（1）班得分：2x+(5-x)=