初中数学八年级下册第五章分式的乘除法教学设计

初中数学八年级下册第五章分式的乘除法教学设计

一、课程基本信息

【授课课题】分式的乘除法

【授课年级】初中八年级下学期

【教材版本】北京师范大学出版社（北师大版）义务教育教科书

【课时安排】共2课时，本设计为第1课时

【课型】新授课（概念与法则探究课）

二、核心素养导向的教学目标

（一）知识与技能目标【基础】【重要】

1.使学生理解并掌握分式的乘除法法则，能熟练运用法则进行分式的乘除运算。

2.理解分式乘方的运算法则，并能进行简单的分式乘方运算。

3.掌握分式乘除混合运算的顺序和基本方法，能准确进行计算和化简。

4.能结合具体情境，解决与分式乘除运算相关的实际问题。

（二）过程与方法目标【重要】

1.引导学生通过与分数的乘除法进行类比，自主探究分式的乘除法法则，体会类比思想在数学学习中的作用。

2.通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，培养学生的合情推理能力和代数表达能力。

3.在分式乘除运算的训练中，进一步发展学生的运算能力，强调算理，规范步骤，提升运算的准确性和敏捷性。

（三）情感、态度与价值观目标【基础】

1.通过将未知转化为已知的探究过程，让学生体验数学知识的形成与发展，增强学习数学的自信心和兴趣。

2.培养学生严谨求实的科学态度和一丝不苟的审题、计算习惯。

3.在小组合作与交流中，鼓励学生勇于表达自己的观点，倾听他人的见解，形成良好的合作学习氛围。

三、教学重难点分析

【教学重点】【核心概念】【高频考点】

1.分式的乘除法法则的归纳与理解。

2.运用分式的乘除法法则进行准确计算。

【教学难点】【难点】【易错点】

1.分子、分母为多项式的分式乘除运算中的因式分解与约分。

2.运算结果化为最简分式或整式的意识与技能。

3.对分式乘除运算算理（如除以一个分式等于乘以它的倒数）的深度理解。

四、教材与学情分析

（一）教材分析

本节课是北师大版八年级下册第五章“分式与分式方程”的核心内容。分式的乘除法是分式基本性质的直接应用，也是后续学习分式的加减法、分式方程以及解决相关实际问题的基础。教材从学生熟悉的分数乘除法运算出发，通过类比，引导学生自然地过渡到分式的乘除法，体现了从具体到抽象、从特殊到一般的认知规律，渗透了重要的数学思想方法。

（二）学情分析

1.知识储备【基础】：学生已经掌握了有理数的运算、整式的乘除、因式分解以及分式的概念和基本性质。这为本节课的探究学习奠定了坚实的基础。

2.认知能力【重要】：八年级学生具备了一定的抽象思维能力和类比推理能力，能够通过观察、比较，发现规律。但他们的思维仍需要具体实例的支撑，从分数到分式的抽象过程，尤其是当分式的分子分母是多项式时，部分学生可能会感到困难。

3.心理特征：学生对新鲜事物充满好奇，喜欢挑战。通过设置层层递进的问题情境和探究活动，可以有效激发他们的学习兴趣和求知欲。

五、教学准备

1.教具与媒体：多媒体课件（PPT），动态演示分数与分式乘除的类比过程。

2.学具准备：导学案（包含核心探究问题、典型例题和变式训练）。

六、教学实施过程【核心环节，占比80%以上】

（一）创设情境，温故知新【约5分钟】

1.问题引入【重要】：以大屏幕上展示一个实际生活场景引入，例如：“周末，小明和同学们去郊游，他们准备制作水果沙拉。已知制作一份沙拉需要\frac{3}{4}个苹果，现在他们要做8份，请问总共需要多少个苹果？如果制作\frac{5}{6}份，又需要多少个苹果？”

2.学生活动：学生口答算式：8

×

3

4

8\times\frac{3}{4}

8×43​和5

6

×

3

4

\frac{5}{6}\times\frac{3}{4}

65​×43​。教师引导学生回顾分数乘法的计算法则：分数乘以整数，用分子乘以整数，分母不变；分数乘以分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。

3.问题深化：教师追问：“如果做沙拉需要的是某个分式表示的量，比如，做一份需要x

y

\frac{x}{y}

yx​千克某种水果，做m

m

m份需要多少千克？做a

b

\frac{a}{b}

ba​份呢？”学生尝试列出算式：m

⋅

x

y

m\cdot\frac{x}{y}

m⋅yx​和a

b

⋅

x

y

\frac{a}{b}\cdot\frac{x}{y}

ba​⋅yx​。

4.设计意图：从学生熟悉的分数乘除运算和实际情境出发，自然过渡到分式的乘除运算，激发学生的学习动机，并为类比学习提供认知支点。

（二）类比探究，建构新知【约15分钟】

1.探究一：分式的乘法法则【核心概念】【重要】

1.2.类比猜想：教师引导学生观察a

b

⋅

c

d

\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}

ba​⋅dc​与2

3

⋅

4

5

\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}

32​⋅54​的结构相似性，鼓励学生大胆猜想分式乘法的运算法则。学生可能会说出：“分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。”

2.3.验证确认：教师引导学生回顾分式的意义，例如，a

b

⋅

c

d

\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}

ba​⋅dc​可以理解为求a

b

\frac{a}{b}

ba​的c

d

\frac{c}{d}

dc​是多少。通过几何直观或代数推导（将分数中的数换成字母），验证猜想的合理性。师生共同总结出【分式的乘法法则】：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。用字母表示为：a

b

⋅

c

d

=

a

⋅

c

b

⋅

d

\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdotc}{b\cdotd}

ba​⋅dc​=b⋅da⋅c​。

3.4.强调注意【基础】：教师强调，这里的字母a

,

b

,

c

,

d

a,b,c,d

a,b,c,d都是整式，且b

,

d

b,d

b,d均不为0。运算结果要化为最简分式或整式。

5.探究二：分式的除法法则【核心概念】【高频考点】【难点】

1.6.类比迁移：教师提问：“已知分数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。那么，a

b

÷

c

d

\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}

ba​÷dc​应该如何计算？”引导学生再次与分数类比，得出猜想：a

b

÷

c

d

=

a

b

×

d

c

=

a

⋅

d

b

⋅

c

\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{a\cdotd}{b\cdotc}

ba​÷dc​=ba​×cd​=b⋅ca⋅d​。

2.7.法则确认：教师指出，这种类比是合理的，因为除法是乘法的逆运算。我们可以通过乘法法则来验证。例如，计算a

b

÷

c

d

\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}

ba​÷dc​，设其商为X

X

X，则X

⋅

c

d

=

a

b

X\cdot\frac{c}{d}=\frac{a}{b}

X⋅dc​=ba​，两边同乘以d

c

\frac{d}{c}

cd​，可得X

=

a

b

⋅

d

c

X=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}

X=ba​⋅cd​。从而总结出【分式的除法法则】：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。用字母表示为：a

b

÷

c

d

=

a

b

⋅

d

c

=

a

⋅

d

b

⋅

c

(

c

≠

0

)

\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a\cdotd}{b\cdotc}\quad(c\neq0)

ba​÷dc​=ba​⋅cd​=b⋅ca⋅d​(c=0)。

3.8.深度辨析【重要】：教师特别强调除式c

d

\frac{c}{d}

dc​的分子、分母都不能为零，即c

≠

0

c\neq0

c=0且d

≠

0

d\neq0

d=0。同时，再次强调运算结果的化简。

9.探究三：分式的乘方【拓展延伸】【热点】

1.10.问题提出：教师提问：“如果要求(

a

b

)

n

\left(\frac{a}{b}\right)^n

(ba​)n（n

n

n为正整数），该如何计算？”

2.11.合作探究：学生以小组为单位进行讨论。根据乘方的意义，(

a

b

)

n

=

a

b

⋅

a

b

⋯

a

b

\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdots\frac{a}{b}

(ba​)n=ba​⋅ba​⋯ba​（n个相乘）。再根据分式乘法法则，等于a

⋅

a

⋯

a

b

⋅

b

⋯

b

=

a

n

b

n

\frac{a\cdota\cdotsa}{b\cdotb\cdotsb}=\frac{a^n}{b^n}

b⋅b⋯ba⋅a⋯a​=bnan​。

3.12.总结法则【基础】：师生共同得出【分式的乘方法则】：分式乘方，是把分子、分母各自乘方。用字母表示为：(

a

b

)

n

=

a

n

b

n

\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}

(ba​)n=bnan​（n

n

n为正整数）。

（三）范例精析，规范思路【约15分钟】

1.例题1（乘法基础）【基础】【高频考点】

1.2.题目：计算4

x

3

y

⋅

y

2

x

3

\frac{4x}{3y}\cdot\frac{y}{2x^3}

3y4x​⋅2x3y​。

2.3.教师活动：教师板书示范。首先，根据法则，将分子相乘、分母相乘，得到4

x

⋅

y

3

y

⋅

2

x

3

\frac{4x\cdoty}{3y\cdot2x^3}

3y⋅2x34x⋅y​。然后，强调约分的重要性。约分前，可以先分解系数（4和2）、字母（x与x³，y与y）。约去公因式2

x

y

2xy

2xy后，得到2

3

x

2

\frac{2}{3x^2}

3x22​。

3.4.关键讲解：教师边板书边强调【运算步骤】：“一乘二约三检查”。即先按法则写成分式形式，然后约去分子分母的公因式，最后检查结果是否为最简分式或整式。特别提醒学生注意系数符号的处理。

5.例题2（除法与多项式）【核心概念】【难点】【高频考点】

1.6.题目：计算a

2

−

4

a

2

−

2

a

+

1

÷

a

+

2

a

−

1

\frac{a^2-4}{a^2-2a+1}\div\frac{a+2}{a-1}

a2−2a+1a2−4​÷a−1a+2​。

2.7.教师活动：引导学生审题，发现分子、分母都是多项式。首先，将除法转化为乘法：a

2

−

4

a

2

−

2

a

+

1

×

a

−

1

a

+

2

\frac{a^2-4}{a^2-2a+1}\times\frac{a-1}{a+2}

a2−2a+1a2−4​×a+2a−1​。

3.8.关键讲解：强调“转化后，先分解因式”。对每个分式的分子、分母分别进行因式分解：(

a

+

2

)

(

a

−

2

)

(

a

−

1

)

2

×

a

−

1

a

+

2

\frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2}\times\frac{a-1}{a+2}

(a−1)2(a+2)(a−2)​×a+2a−1​。

4.9.约分与化简：然后，寻找分子分母的公因式。约去(

a

+

2

)

(a+2)

(a+2)和(

a

−

1

)

(a-1)

(a−1)。注意，(

a

−

1

)

2

(a-1)^2

(a−1)2约去一个(

a

−

1

)

(a-1)

(a−1)后剩下(

a

−

1

)

(a-1)

(a−1)。最终结果为a

−

2

a

−

1

\frac{a-2}{a-1}

a−1a−2​。

5.10.易错警示【易错点】：教师强调，除法变乘法时，一定要正确颠倒除式的分子和分母，切忌颠倒被除式。因式分解要彻底，约分要完全，并且要保证最终结果中分母不为0。

11.例题3（乘方与混合运算）【拓展延伸】【热点】【难点】

1.12.题目：计算(

2

a

2

b

c

)

3

÷

(

a

b

3

c

2

)

2

\left(\frac{2a^2b}{c}\right)^3\div\left(\frac{ab^3}{c^2}\right)^2

(c2a2b​)3÷(c2ab3​)2。

2.13.教师活动：教师引导学生分析运算顺序，应先算乘方，再算除法。

3.14.步骤演示：第一步，分别计算乘方：(

2

a

2

b

)

3

c

3

÷

(

a

b

3

)

2

(

c

2

)

2

=

8

a

6

b

3

c

3

÷

a

2

b

6

c

4

\frac{(2a^2b)^3}{c^3}\div\frac{(ab^3)^2}{(c^2)^2}=\frac{8a^6b^3}{c^3}\div\frac{a^2b^6}{c^4}

c3(2a2b)3​÷(c2)2(ab3)2​=c38a6b3​÷c4a2b6​。

4.15.第二步，将除法转化为乘法：8

a

6

b

3

c

3

×

c

4

a

2

b

6

\frac{8a^6b^3}{c^3}\times\frac{c^4}{a^2b^6}

c38a6b3​×a2b6c4​。

5.16.第三步，约分：系数8不变，a约去a²得a⁴，b约去b³得b³（注意b⁶/b³=b³），c约去c³得c。结果为8

a

4

c

b

3

\frac{8a^4c}{b^3}

b38a4c​。

6.17.设计意图：通过有层次、有梯度的例题，帮助学生巩固法则，突破难点，掌握规范的书写格式和运算技巧，培养良好的运算习惯。

（四）变式训练，巩固内化【约10分钟】

1.分层练习【重要】：

1.2.A层（基础巩固）：计算3

a

4

b

⋅

16

b

9

a

2

\frac{3a}{4b}\cdot\frac{16b}{9a^2}

4b3a​⋅9a216b​；x

y

x

−

y

÷

y

x

2

−

y

2

\frac{xy}{x-y}\div\frac{y}{x^2-y^2}

x−yxy​÷x2−y2y​。

2.3.B层（能力提升）【高频考点】：计算m

2

−

4

n

2

m

2

−

m

n

÷

m

2

−

2

m

n

m

n

−

n

2

\frac{m^2-4n^2}{m^2-mn}\div\frac{m^2-2mn}{mn-n^2}

m2−mnm2−4n2​÷mn−n2m2−2mn​。

3.4.C层（思维拓展）：先化简x

2

−

1

x

2

−

2

x

+

1

⋅

x

−

1

x

2

+

x

÷

1

x

\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}\cdot\frac{x-1}{x^2+x}\div\frac{1}{x}

x2−2x+1x2−1​⋅x2+xx−1​÷x1​，再选取一个你喜欢的且使原式有意义的x值代入求值。

5.学生活动：学生独立完成练习，教师巡视指导，关注学困生，收集典型错误。

6.互动评讲：选择有代表性的学生板演，或投影展示学生的解题过程。师生共同评析，重点分析错误原因，如符号错误、因式分解不彻底、约分不完整、忽视除数不为0的条件等。对于C层题目，要引导学生关注字母取值必须使原分式有意义，即分母不为0，强化分式有意义的条件【重要】。

（五）课堂小结，构建体系【约3分钟】

1.师生共同回顾【基础】：

1.2.本节课我们学习了哪些内容？（分式的乘、除、乘方法则）

2.3.我们是怎样得到这些法则的？（通过与分数进行类比）

3.4.在进行分式乘除运算时，最关键、最容易出错的步骤是什么？（因式分解和约分）

4.5.计算结果的最终要求是什么？（化为最简分式或整式）

6.教师精要总结【重要】：教师强调，分式的乘除运算，其核心是“转化”与“约分”。通过法则将乘除问题转化为乘法问题，再通过因式分解为约分创造条件，最终实现化简。这体现了数学中“化未知为已知，化复杂为简单”的转化与化归思想。希望同学们在今后的学习中，能主动运用这种思想方法去解决新的问题。

（六）布置作业，拓展延伸【约2分钟】

1.必做题【基础】：教材课后习题对应部分，巩固分式乘除法的基本运算。

2.选做题【拓展】：解决一个实际问题，例如，“某农场原计划用m天完成播种任务，如果每天比原计划多种a公顷，那么实际n天完成的工作量是原计划工作量的多少倍？”（用含m,n,a的式子表示，需要学生自己设未知数，列式并化简）此题旨在培养学生建模能力和综合运用知识的能力。

3.预习任务：预习下一节“分式的加减法”，思考与分数的加减法有何异同。

七、板书设计（结构示意）

左侧主板：

第五章分式2分式的乘除法

一、分式的乘法法则

a

b

⋅

c

d

=

a

c

b

d

\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}

ba​⋅dc​=bdac​

二、分式的除法法则

a

b

÷

c

d

=

a

b

⋅

d

c

=

a

d

b

c

\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}

ba​÷dc​=ba​⋅cd​=bcad​（c≠0）

三、分式的乘方法则

(

a

b

)

n

=

a

n

b

n

\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}

(ba​)n=bnan​

核心思想：类比、转化、约分

右侧副板（例题