四川省成都实验外国语学校高三3月联考数学试题

成实外教育集团高2023级高三3月联考试卷数学命题人：陈显伟审题人：彭富杰杨红艳注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2、本堂考试120分钟，满分150分.3、答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂.4、考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题部分，共58分）一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【详解】因为，所以复数z在复平面内对应的点为，位于第二象限.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先解一元二次不等式可得集合S，再由交集的定义可得.【详解】因为，解得，所以，所以.3.一座7层塔，塔的顶层共有3盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔共挂了多少盏灯？（）A.380 B.381 C.384 D.386【答案】B【解析】【分析】根据题意构造等比数列，由等比数列的求和公式计算即得.【详解】设这座塔的顶层的灯数为，从顶层开始向下每层的灯数依次构成公比为的等比数列，因塔共有7层，故该塔共挂的灯有盏.4.已知数据的分位数是，则实数（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】根据百分位数的定义求解.【详解】数据个数为，分位数位置，数据的分位数是，则排序后第项和第项的平均数为，所以是数据的最大数，排序后的第项，则排序后的第项为，即，，所以.选项C正确.5.已知向量满足，，且与的夹角为，则为（）A. B. C.7 D.21【答案】A【解析】【详解】由向量，可得，因为，且与夹角为，所以，则，所以.6.椭圆的左、右焦点分别为，，点A在C上，轴，过点A作y轴垂线，垂足为B，直线的方程为，则（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】作出几何图形，结合图形，利用勾股定理列式求解.【详解】直线：交轴于，交轴于，而轴，轴，则，因此.故选：B7.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用两角和的正弦公式化简已知条件，求出，然后结合角的范围求出余弦值，最后根据二倍角公式求解.【详解】因为，化简得，即，又，，所以.8.已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用对称性和奇偶性，求得，，且，推得，进而得到，即可求解.【详解】由函数满足，可得关于对称，即，因为函数为奇函数，可得，即，可得，即，令，可得，所以，又因为，可得，所以，可得，所以的周期为8，因为，可得，所以一定有，对于的值无法确定.二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.9.已知直线与圆，则下列说法正确的是（）A.直线恒过定点（2，1）B.圆的半径为2C.存在实数，使得直线与圆相切D.若，则直线被圆截得的弦长为2【答案】AB【解析】【分析】对于选项A，将直线方程变形为点斜式可判断；对于选项B，将圆的方程化为标准式可判断；对于选项C，通过判断直线所过定点与圆的关系可判断；对于选项D，时，直线过圆心，可判断直线被圆截得的弦长.详解】对于选项A，由直线，得，故直线恒过定点，故A选项正确；对于选项B，由，得，所以圆的半径为，故B选项正确；对于选项C，将点代入圆的方程，得，所以（2，1）在圆内，所以直线与圆相交，故不存在实数，使得直线与圆相切，故C选项错误；对于选项D，若，直线方程为，圆心（1，2）在直线上，故直线被圆截得的弦长为直径4，故D选项错误．故选：AB10.已知在长方体中，，点为的中点，为底面（含边界）内一个动点，且平面，长方体的外接球的球心为，则下列选项正确的是（）A.球的表面积为B.动点的轨迹长度为C.异面直线与所成角的正切值的取值范围是D.三棱锥的外接球球心为，则【答案】ABD【解析】【分析】利用长方体的性质结合球的表面积公式判断A，建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量表示并结合题意得到轨迹方程，进而求解轨迹长度判断B，利用异面直线夹角的向量求法结合同角三角函数的基本关系判断C，利用球的方程求出的坐标，进而得到的长度判断D即可.【详解】对于A，设长方体的外接球半径为，由长方体性质得，由球的表面积公式得球的表面积为，故A正确，对于B，如图，在长方体中，以为原点建立空间直角坐标系，连接，由题意得，，，，，因为点为的中点，所以，则，，设面的法向量为，可得，令，解得，故，因为为底面（含边界）内一个动点，所以设，则，因为平面，所以，得到，化简得，当时，，不符合题意，当，时，符合题意，则的轨迹是点与点之间的线段，由两点间距离公式得轨迹长度为，故B正确，对于C，因为，所以，此时变为，由题意得，，则，，设异面直线与所成角为，可得，由同角三角函数基本关系得，则，令，由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增，而，，，可得，即，故C错误，对于D，由题意得是的中点，则由中点坐标公式得，且，，，，设，半径为，则外接球的方程为，将代入方程，得到，将代入方程，得到，两式相减可得，解得，将代入方程，可得，此时变为，两式相减得，解得，将代入方程，可得，此时变为，两式相减可得，解得，则，由两点间距离公式得，故D正确.故选：ABD11.已知函数，，其中e为自然对数的底数，则下列说法正确的是（）A.函数的极值点为1B.，C.若P，Q分别是曲线和上的动点，则|PQ|的最小值为D.若对任意的恒成立，则a的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，求导，利用导数研究函数的单调性，即可求出极值点；对于B，设，求导，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可求解；对于C，利用曲线与曲线互为反函数，可先求点到的最小距离，然后再求的最小值；对于D，利用同构把恒成立问题转化为，分离参数，构造函数，利用导数求解最值即可.【详解】对于A，．所以，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极值点为1，故A正确；对于B，设，则，因函数与在上均单调递增，故在上单调递增．又，则存在．使得，即，，所以当时．，当时．．所以在上单调递减．在上单调递增.所以，又，则，所以，故B错误；对于C，因为函数与函数互为反函数，其图象关于对称，设点到的最小距离为，设函数上斜率为的切线为，，由得，所以切点坐标为，即，所以，所以的最小值为，故C正确；对于D，若对任意的恒成立，则对任意的恒成立，令，，因．所以在上单调递增，故，即，令，所以，当时，，则函数在上单调递增，当时，，则函数在上单调递减，所以，所以，即的最小值为，故D正确.故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题部分，共92分）三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是______.（用数字作答）【答案】18【解析】【分析】先确定百位数字，再从剩余3个数字中选2个分别作为十位和个位，最后用乘法计算总和即可.【详解】根据题意，该三位数的百位数字不能为0，所以只能从1，2，3中任取1个数字，有种选择；而十位数字和个位数字可从剩余的3个数字中任选2个即可，有种选择，所以从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为种选择.故答案为：18.13.已知，且，则的最大值为_________；【答案】【解析】【分析】先观察条件等式和所求式子，由“和定积最大”将条件等式变形成两因式之和为定值的形式.【详解】由题意，，，所以，当且仅当时取“”．即的最大值为.故答案为：14.若函数的定义域内存在，，使得成立，则称为“完整函数”.已知（）是上的“完整函数”，则的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】根据三角恒等变换可知，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为在上需要至少两个不同解，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围.【详解】由可得，，又（）是上的“完整函数”，存在，使得成立，即存在，使得成立，即，又，，即在上需要至少两个不同的解，时，令，的正根依次为：区间右端点需满足：，解得.四、解答题：本题共5个小题，共77分，其中15题13分，1617题每道15分，1819题每道17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，在处的切线与垂直，（1）求实数a值；（2）求在区间上的值域．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，根据两直线垂直的性质即可求得a的值；（2）利用求导，判断函数的单调性，结合给定区间即可求得函数的值域.【小问1详解】由求导得，则在处的切线的斜率为，因切线与垂直，故，解得.【小问2详解】由（1）可得，因，则当时，，当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增，又，因,即,故在区间上的值域为.16.如图，在三棱柱中，，.（1）证明：直线平面ABC．（2）设P是棱的中点，求AC与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理可得，从而可得，，即可得证；（2）建立空间坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，结合空间向量夹角公式求解即可.【小问1详解】由题意可知是边长为2的正三角形，在中，由余弦定理可得，所以，所以为直角三角形，且，所以，同理可得，因为平面，，所以直线平面ABC；【小问2详解】取中点，连接，则，又，所以，由（1）可知直线平面，，以为原点，分别以射线，为，轴的正半轴，建立空间坐标系，如图所示：则，，所以，设平面的法向量为，则有，令，可得，又因为，所以，所以AC与平面所成角的正弦值为.17.已知分别是锐角的角的对边，．（1）求证：；（2）求的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用正余弦定理，把混合等式转化为可化简的统一形式，利用锐角三角形的范围约束，结合余弦函数在上单调递减的性质，证明；（2）利用正弦定理将转化为角的正弦比值，再结合（1）中的结论，将表达式统一用角表示，根据锐角三角形的三个内角都为锐角的条件，列出关于角的不等式组，确定角的取值范围，进而求出的取值范围.【小问1详解】对已知等式，由正弦定理角化边得：，整理得：，再由余弦定理：，对比得，因为是锐角三角形，，则，因为余弦函数在单调递减，所以，得证；【小问2详解】由，内角和得，因为是锐角三角形，所以：，由正弦定理：，令，则，因为函数在时单调递增，而，，所以，故的取值范围为.18.2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：，，，，，．根据大量检测结果，得到部件的质量指标值X服从正态分布，并把质量指标值不小于的产品称为A等品，其它产品称为B等品.现从该部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值.若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X服从正态分布的角度估计该部件为A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）；①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．）（2）（ⅰ）从样本的质量指标值在和的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在的部件件数为，求的分布列和数学期望；（ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100件一箱包装.已知一件A等品部件的利润是元，一件B等品部件的利润是元，根据（1）的计算结果，试求x的值，使得每箱产品的利润最大.【答案】（1）（2）（ⅰ）分布列见解析，期望；（ⅱ）时利润最大.【解析】【分析】（1）根据直方图先算出平均值，进而得到正态分布，利用正态曲线的对称性求出概率即可；（2）（ⅰ）求出指标值在和的总件数，在的件数，然后根据步骤结合超几何分布的公式计算；（ⅱ）设设每箱产品的利润为，其中有件等品，用表示出的关系式，得到利润表达式，最后利用导数的工具求出关于利润函数时取最大值时的取值.【小问1详解】根据直方图可得，，由题知，，则，等品的质量指标值不小于，即【小问2详解】（ⅰ）指标值在和的总件数为，指标值在的件数是，由题知，可能的取值是.，，，，分布列为：（ⅱ）设每箱产品的利润为，其中有件等品，由题知，，由（1）知，等品的概率为，则，于是，，记，则，则递增，递减，故当时利润最大19.已知抛物线：的焦点为，为坐标原点.过作直线与交于点，．当垂直于轴时，．点．按照如下方法依次构造点：过点作斜率为的直线与交于另一点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.（1）求数列的通项公式.（2）求的面积.（3）将绕轴旋转一周得