安徽省蚌埠市高三下学期适应性考试数学试题

蚌埠市2025届高三年级适应性考试数学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，则（）A. B.{2} C.{3} D.{2，3}【答案】D【解析】【分析】根据补集定义，即可求解.【详解】由补集的定义可知，.故选：D2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分性和必要性两方面判断即可；【详解】因为，所以或，则可以推出，但不能推出．故“”是“”的充分不必要条件，故选：A．3.已知i是虚数单位，复数，则z的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用复数的除法法则求出复数z，再求z的共轭复数.【详解】因为，所以z的共轭复数为.故选：B.4.已知三棱锥的体积为1，是边长为2的正三角形，且，则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】由体积和底面积，可求出顶点到底面的垂直高度，进而由直线与平面所成角的正弦值等于该直线与平面内某条直线(投影)形成的直角三角形中，计算即可求得结果.【详解】是边长为2的正三角形，其面积为：因为三棱锥的体积为1和底面积，得：解得：设直线与平面所成角为，所以故选：C5.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用同角的正余弦函数的平方关系求得，进而利用可求值.【详解】因为，所以，又因为，所以，所以.故选：A.6.已知数列的前n项和为，且，则（）A.数列是等比数列 B. C. D.数列是等比数列【答案】B【解析】【分析】由题意可得，又判断AB；计算可得判断C；计算可得判断D.【详解】对于A，由，可得，两式相减得，所以，所以，所以，当时，，又，所以，所以，所以数列不是等比数列，故A错误；对于B，由A可知，数列去掉第一项，可构成以为首项，2为公比的等比数列，所以，故B正确；对于C，由A可得，所以，所以，故C错误；对于D，由C可得，所以，所以数列不是等比数列，故D错误.故选：B.7.在四边形ABCD中，，，，则该四边形的面积为（）A.4 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得，可求得，由，可求，从而可求四边形的面积.【详解】由，，可得，所以，所以，又，所以，所以，，所以.故选：C.8.已知抛物线（）的焦点为F，经过点F的直线l与抛物线相交于点P，Q（点P在第一象限），若，则直线l的斜率为（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出准线，过作准线的垂线，垂足分别为，利用抛物线的定义把抛物线点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用平面几何知识计算出直线的斜率．【详解】设是准线，过作于，过作于，过作于，如图，则，又，所以，所以，所以，所以直线斜率为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.进入3月份后，受冷暖空气的共同影响，我市气温起伏较大．现记录了3月上旬（1日10日）我市的日最高气温如下（单位：℃）：24，23，3，4，7，12，12，16，15，19，则下列说法正确的是（）A.3月上旬我市日最高气温的极差为20℃ B.3月上旬我市日最高气温的平均数为13.5℃C.3日10日我市日最高气温持续上升 D.3月上旬我市日最高气温的60％分位数为15.5℃【答案】BD【解析】【分析】求得极差判断A；求得平均气温判断B；8日到9日气温是下降的可判断C；求得60％分位数判断D.【详解】对于A，3月上旬我市日最高气温的极差为℃，故A错误；对于B，3月上旬我市日最高气温的平均数为℃，故B正确；对于C，3日10日我市日最高气温不是持续上升，8日到9日气温是下降的，故C错误；对于D，气温由低到高排列为3，4，7，12，12，15，16，19，23，24，又，故3月上旬我市日最高气温的60％分位数为℃，故D正确.故选：BD.10.已知双曲线C：（）的一条渐近线方程为，点，分别是C的左、右焦点，点，分别是C的左、右顶点，过点的直线l与C相交于P，Q点，其中点P在第一象限内，记直线的斜率为，直线的斜率为，则（）A.双曲线C的焦距为 B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】A选项，根据渐近线方程得到方程，求出，从而得到双曲线C的焦距；B选项，双曲线定义得；C选项，举出反例；D选项，设，则，故，D正确.【详解】A选项，双曲线C：（）的渐近线方程为，又一条渐近线方程，故，解得，故，解得，故双曲线C的焦距为，A正确；B选项，由A知，，由双曲线定义得，B正确；C选项，，当直线l与轴垂直时，中，令时，，故，C错误；D选项，，设，则，即，，D正确.故选：ABD11.已知函数其中a为实数，则下列说法正确的是（）A.当时，有最小值B.当时，在R上单调递增C.，的图象上都存在关于y轴对称的两个点D.当时，记，若有5个零点，则【答案】ACD【解析】【分析】分析和的函数部分值域，然后综合研究判断A；利用分段函数单调性判定方法分析判断B；构造关于轴对称的点，得到关于的方程，进而转化为函数的零点问题，利用零点存在定理判定C；利用数形结合法分析的解的个数，确定的范围，判断D.【详解】对于A，当时，当时，，函数单调递增，值域为，当时，，对称轴为，最小值为，所以有最小值；对于B，当时，当时，，函数单调递增，当时，，对称轴为，函数单调递增，其中，所以在R上不单调递增，故B错误；对于C，设点关于轴对称点为，需满足，，，即，设，则.解法一：因为在的图像是连续不断的，当时，，所以，函数在开区间内总有零点，故C正确；解法二：设，当时，，当时，，所以当时，，所以对于任意的，函数在开区间内有零点，故C正确；对于D，当时，，图象如图所示：解得，解得.的零点就是关于的方程（记作①）的实数解的个数.令，，则方程①的解集为对于关于的方程（记作②）的每一个的值，所得到的关于的方程（记作③）的所有的不同的解的集合,换言之函数的零点的集合，根据题意.方程②的解是函数和的交点的横坐标，可以参照的图象与直线的交点的横坐标估计个数和范围；方程③的解是函数的图象与直线的交点的横坐标，其中是方程②的每一个解.方程③有解时，必有，方程②有解，必有，因此下面可以只考虑的情况和方程②中的非负实数解.（1）当时，方程②有一个非负实数解，方程③有且只有2解，故方程①只有2解，不合题意；（2）当时，②只有2个非负实数解且，对于方程③有三个解，对于方程③有两个解，这5个解是直线和函数的图象的5个不同交点的横坐标，由图可知显然是不同的，所以这时方程①共五个解，即函数有且只有5个零点，符合题意；（3）当时，②只有1个非负实数解，此时方程③有两个解，所以方程①有2解，即只有2个零点，不合题意；（4）当，方程②只有1个非负解且，此时③只有1个解，不合题意；（5）当时，方程②有两个解，或，对于，方程③有1个解；对于，此时方程③有1个解，故方程①只有2个解，不合题意；（6）当，方程②只有一个解且，此时方程③只有1个解，故方程①只有1个解，不合题意.综上所述，若有5个零点，则，故D正确，故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】利用代换1法,结合基本不等式求最小值即可.【详解】由题意得，当且仅当时，即时取等号.故答案为：.13.在中，，，点D在上且，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】以A为坐标原点建立平面直角坐标系，，可得，利用，即可求得的取值范围.【详解】由题意，以A为坐标原点，方向为轴建立平面直角坐标系，设，因为在中，，，则，又点D在上且，设，则，又，则，解得，所以，所以，因为，所以，则，所以的取值范围是.故答案为：.14.已知函数（，），若，，且在区间上单调，则________．【答案】【解析】【分析】根据函数在区间内的单调得出周期，进而求得，通过极值点和零点条件建立关于和的方程，结合的范围筛选合理解，验证单调性即可得出结果.【详解】设函数的周期为，由，，结合正弦函数图象的特征可知，，.故.又因为在区间上单调，所以，，故T>π3，所以7π由，得，即且，所以，当时，，，或，舍.当时，，，，符合条件.当时，，，或，舍.所以，.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知椭圆C：（）的离心率为，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点Q（0，6）的直线（非y轴）交椭圆于A，B两点，以AB为直径的圆经过原点O，求直线AB的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得，，代入点的坐标可求得椭圆方程；（2）法一：设直线AB的方程为，并设点A，B的坐标分别为，，联立直线方程与椭圆方程，由根与系数的关系可得，，由题意可得，进而计算可求得，可求直线的方程.法二：将直线方程代入椭圆方程可得，由题意可得，，求解即可.【小问1详解】由，得，则，所以，将点代入椭圆方程得，解得，所以椭圆的标准方程为．【小问2详解】依题意直线AB斜率存在，设直线AB的方程为，并设点A，B的坐标分别为，．（方法一）联立方程消去y得，依题意，，∴，且，，依题意，即，整理得，从而，∴，解得，，满足．从而直线AB的方程为．（方法二）将即代入，得，整理得，，依题意，，∴，依题意，，解得，满足，所以AB的方程为．16.已知函数，其中．（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；（2）若恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）求导，得到，利用导数几何意义求出切线方程；（2）转化，令，求导得到单调性和最小值，即可得出结果.【小问1详解】当时，，则所以，又，则所求切线方程为．【小问2详解】，其中，所以问题转化为（）恒成立，记，则，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，的最大值为，所以．17.如图，在四棱锥中，平面，，，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据条件中的几何关系，说明，且，即可证明线面垂直；（2）根据垂直关系，以点为原点建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，代入平面夹角的向量公式，即可求解.【小问1详解】因为，，所以是线段的中垂线，即，又平面，平面，则，由，，平面，所以平面．【小问2详解】设与相交于点，取的中点，连接．因为是线段的中垂线，所以是的中点，则，且．由平面，，平面，得，，所以，．由条件，可求得，，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，易得，，，，．设平面PAB的法向量为，，，由，取，则，，所以平面的一个法向量为．设平面PCD的法向量为，，，由，取，则，，所以平面的一个法向量为．．所以平面与平面夹角的余弦值为18.某市举行中学生排球比赛，甲、乙两所学校代表队争夺比赛的冠军，比赛采用三局两胜制．根据以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为0.6，0.4，且每局比赛的结果相互独立．（1）求甲代表队夺冠的概率；（2）比赛开始前，工作人员采购了5个新球作为比赛用球放在袋子中，新球一经使用就变成“旧球”，“旧球”可继续使用．每局比赛前，裁判员从袋中的5个球中随机取出一个球用于比赛，且局中不换球．每局比赛结束后，将本局使用的球放回袋中，与袋中原有的球混合．记甲、乙两校代表队决出冠军后，袋中新球数量为X，求随机变量X的分布列与数学期望．【答案】（1）0.648（2）分布列见解析；期望为【解析】【分析】（1）甲代表队以比分夺冠为事件，比分夺冠为事件，分别求得，，可求甲代表队夺冠的概率；（2）随机变量X的可能取值为2，3，4，分别求得对应的概率，可得分布列，进而可求数学期望.【小问1详解】记甲代表队夺冠为事件A，甲代表队以比分夺冠为事件，比分夺冠为事件，，，，所以甲代表队夺冠的概率为0.648．【小问2详解】比赛2局结束的概率为，比赛3局结束的概率为，随机变量X的可能取值为2，3，4，，，，故随机变量X的分布列为X234P0.23040.64640.1232．19.已知有穷数列A：，，…，（，），设，记S中元素的个数为．（1）若数列A：0，2，4，12，求集合S，并写出的值；（2）若A是单调数列，求证：“”的充要条件是“A为等差数列”；（3）若，，数列A由1，2，3，4，…，n，2n这个数组成，且这个数在数列A中至少出现一次，求的取值个数．【答案】（1），（2）证明见解析（3）2n【解析】【分析】（1）利用列举法写出符合题意的所有的S的取值可能，得出的值；（2）“充分性”：A为等差数列：，，，…，（）．则，可知的最大值为，最小值为，成立；反之若，不妨设A是递增数列，推理可得，可得数列A是等差数列；(3)当数列A由这个数组成，则任意两个不同的数作差，差值只可能为和，共个值，又因为这个数在数列A中共出现次，所以数列A中存在，所以，则可得出，再说明可以取得之间的所有整数，得到的值为.【小问1详解】因为，，，，则的可能情况有：，，，，，，所以，．【小问2详解】“充分性”：A为等差数列：，，，…，（）．则（），能取从1到的每个整数，故，因此．“必要性”：不妨设A为递增数列：，，…，，作运算并比较如下：，共个互不相等的数，同理，共个互不相等的数．，共个互不相等的数．……，共个互不相等的数，由及A的有穷性，知．即A为等差数列．【小问3详解】因