沪科版九年级数学下册：用树状图探究等可能事件的概率教案

沪科版九年级数学下册：用树状图探究等可能事件的概率教案

一、教学内容分析

从《义务教育数学课程标准（2022年版）》的视域审视，本节课隶属于“统计与概率”领域中的“随机事件发生的可能性”主题，是学生在学习了确定性事件、随机事件及简单概率计算后，向解决复杂等可能事件概率问题迈进的关键节点。其知识技能图谱的核心在于理解并掌握“树状图”这一重要的枚举工具，用以系统、不重不漏地列出所有等可能的结果，从而计算复杂随机事件的概率。这一技能在单元知识链中承上启下：向上，它巩固了等可能性的基本思想；向下，它为后续学习列表法乃至更复杂的概率模型（如古典概型）奠定了方法论基础。过程方法路径上，本节课本质是引导学生经历一次完整的“数学建模”过程：从现实问题中抽象出概率模型（等可能性），运用树状图这一工具进行“数学化”表达（列出所有等可能结果），最后求解并回归解释。这不仅是技能的习得，更是模型思想与有序思维（分类讨论）的深度渗透。素养价值渗透方面，其育人价值在于培养学生用数学的眼光观察现实世界（识别随机现象）、用数学的思维思考现实世界（建立模型、有序分析）、用数学的语言表达现实世界（规范表述概率计算过程），从而发展其数据分析观念与应用意识。

基于“以学定教”原则，进行学情研判。九年级学生已具备计算一步或简单两步等可能事件概率的基础，对“所有等可能结果”概念有初步感知。然而，面对步骤更多、情形更复杂的随机事件时，学生普遍存在思维无序、枚举易遗漏或重复的认知障碍，这正是从“凭直觉列举”到“依方法系统分析”的关键跃升点。其兴趣点常在于与自身经验相关的情境（如游戏规则是否公平、抽奖活动分析）。过程评估将贯穿课堂：通过观察学生在任务中的作图规范性与思考路径，通过提问如“你的第一步分类依据是什么？”来诊断其思维的有序性，通过随堂练习的正误分布来把握知识掌握情况。教学调适策略上，对思维较快的学生，将引导其思考树状图与列表法的内在联系与适用情境；对需要支持的学生，将提供分步骤的“脚手架”任务单，以及树状图绘制的可视化范例，并安排小组内互助讲解，确保不同认知节奏的学生都能在最近发展区内获得成长。

二、教学目标

知识目标方面，学生将能准确陈述树状图的定义及其适用情境（多步骤、等可能随机事件），能依据具体问题独立、规范地画出清晰的树状图，并据此不重不漏地列出所有等可能结果，最终熟练运用公式P(A)=m/n计算事件的概率，形成从问题识别到工具选择再到计算求解的连贯知识结构。

能力目标聚焦于数学核心能力中的“模型思想”与“推理能力”。具体表现为：面对一个多步骤随机事件，能够自主判断其是否适用树状图分析法；能够有条理、分层次地构建树状图模型；并能够基于模型进行严谨的逻辑推理，确保所列结果的等可能性与完备性，最终解决实际问题。

情感态度与价值观目标旨在培养严谨求实的科学态度与合作探究的精神。期望学生在小组合作绘制、讨论树状图的过程中，能认真倾听同伴思路，尊重不同的分类起点；在分析如“游戏公平性”等问题时，能基于数据理性判断，认识到数学工具在分析现实世界不确定性中的价值。

科学思维目标重点发展学生的“分类讨论思想”与“有序思维”。课堂将通过设计“从何开始分类”、“如何确保不遗漏”等问题链，引导学生体会分层、分步思考的重要性，将复杂问题分解为一系列简单步骤的思维方式，这是解决众多数学及现实问题的通用策略。

评价与元认知目标关注学生的自我监控与反思能力。设计引导学生依据“步骤清晰、结果等可能、不重不漏”等标准，评价自己及同伴绘制的树状图；并鼓励他们在课后反思：“除了树状图，还有哪些方法可以解决此类问题？”、“我在哪一步最容易出错？”，从而提升其学习策略的优化意识。

三、教学重点与难点

教学重点确定为：规范绘制树状图，并利用树状图系统列出所有等可能结果以计算概率。其确立依据源于课程标准的深层要求。在“统计与概率”领域，理解随机现象、掌握基本的概率计算方法是贯穿始终的“大概念”。树状图作为解决一类典型概率问题的核心工具与思维载体，其掌握程度直接影响学生后续对更复杂概率模型的理解。从学业评价角度看，利用树状图或列表法求概率是中考中的高频考点，它不仅考查基本技能，更通过情境设计考查学生的逻辑思维有序性与严谨性，是体现能力立意的关键节点。

教学难点在于：理解并确保树状图中每一步骤下列出的情形具有“等可能性”，以及根据问题背景灵活确定树状图的分类起点与层次。难点成因主要有二：一是学生的认知跨度。从理解“单一步骤的等可能”到确保“多步骤复合后的整体等可能”，需要更抽象的思维整合能力，容易因某一步划分不当而导致整个模型错误。二是思维定式的干扰。面对复杂情境，学生可能难以抓住“影响事件结果的关键步骤”作为分类起点，或混淆“有放回”与“无放回”等条件对等可能性的影响。突破方向在于，设计对比鲜明的实例（如“先后抽取”与“一次性抽取”），通过学生动手操作（如模拟抽签）与可视化分析，深刻理解步骤间的相互影响，从而内化“等可能性”的判定准则。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式课件（包含动态生成树状图的功能）、实物投影仪。

1.2学习材料：分层学习任务单（A基础版/B进阶版）、课堂巩固练习活页、两个不同颜色的乒乓球（或卡片）。

2.学生准备

2.1课前预习：复习等可能事件概率公式，思考“如何不重不漏地列出抛掷两枚硬币的所有可能结果”。

2.2学具：直尺、铅笔、彩笔（用于区分树状图分支）。

3.环境布置

3.1座位安排：四人小组围坐，便于合作探究与讨论。

3.2板书记划：左侧预留核心概念与步骤区，中部为主板书画图区，右侧为生成性问题与总结区。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境创设与冲突激发：“同学们，假如我们班要派一男一女两位同学代表参加学校的‘智慧双人赛’，现在从我们班的男生和女生中各随机抽取一名。大家想一想，我们有多少种不同的组队可能呢？……别急着猜，如果我再告诉大家，男生小张和女生小李私下是‘最佳搭档’，他们被同时抽中的可能性有多大？这个问题，还能靠我们之前简单列举的方法快速、准确地解决吗？”（利用贴近学生生活的情境，制造认知需求）

2.核心问题提出：“当随机事件涉及两个或更多步骤时，如何能像整理书架一样，把所有的可能结果清清楚楚、一个不落地‘摆’在我们面前，从而准确计算概率呢？今天，我们就来学习一个强大的思维整理工具——树状图。”

3.路径明晰与旧知唤醒：“这节课，我们将化身‘概率侦探’，第一步，认识这个新工具（树状图）长什么样、能干什么；第二步，亲手用它来破解几个‘概率谜案’；第三步，总结它的使用秘籍和注意事项。还记得我们计算概率的前提吗？对，‘所有可能的结果必须是等可能的’。这是我们今天所有探索的基石。”

第二、新授环节

本环节采用“支架式”探究，设计五个层层递进的任务，引导学生主动建构。

任务一：初识树状图——从具体操作到图形抽象

教师活动：首先，出示导入问题简化版：“从甲（男）、乙（男）、丙（女）三人中，先后随机抽取两人组成小队（抽到甲和乙，与抽到乙和甲视为同一种组队）。有多少种组队方式？”教师不直接讲解，而是说：“请大家先用自己的方法，比如写名字、连线，试着把所有可能的组合找出来。”（预留1分钟思考）。随后，请一位有代表性方法（如有序列表）的学生上台分享。接着，教师引导：“他的方法很有序，如果我们把每一次‘抽取’看作一步，用图形来表示这个过程，会是什么样子呢？”教师一边解说，一边在黑板上用彩笔同步示范绘制树状图：“第一步，我们从三人中抽第一个人，就像树根分出三根枝条，分别写上甲、乙、丙。注意，这时候每种可能性是相等的吗？……是的，都是1/3。好，假设第一次抽到了甲，那么第二步，我们从剩下的乙和丙中抽第二个人，就在‘甲’这根枝条的末端，再分出两根小枝，写上乙和丙。以此类推，完成所有可能。”绘制完成后，指着图形问：“看，最终的‘树叶’，也就是最后的结果，一共有几种？它们出现的可能性还一样吗？为什么？”（引导学生关注每一步的等可能性如何保证最终结果的等可能性）。

学生活动：首先独立思考并尝试枚举。观察同伴的分享，对比自己的方法。集中注意力观察教师绘制树状图的全过程，理解“步骤”与“分支”的对应关系。回答教师提问，指出图中所有最终结果（如甲-乙、甲-丙等），并解释由于每一步都是等可能抽取，且后续步骤受之前结果影响，因此每条路径（最终结果）是等可能的。

即时评价标准：1.能否理解教师的绘图过程与随机步骤的对应关系。2.能否正确指出树状图中所有可能的最终结果。3.能否口头解释（即使不严谨）为何图中各路径是等可能的。

形成知识、思维、方法清单：★树状图的基本结构：像一棵倒长的树，从“树根”（开始）出发，每一步操作产生“分支”，每一步的所有分支代表该步所有等可能的结果，最终“树叶”代表一种可能的结果序列。▲绘制起点：通常从随机事件的第一个操作步骤开始画起。★关键理解：每一步画出的分支，必须是在当前情况下所有“等可能”的情形。这是树状图正确的生命线。

任务二：规范绘制树状图——破解“先后抽取”问题

教师活动：呈现完整导入问题：“从3名男生（A、B、C）和2名女生（D、E）中，先后随机抽取一男一女。请画出树状图，并求恰好抽到男生A和女生D的概率。”发布任务：“现在请大家以小组为单位，尝试独立绘制这个问题的树状图。提醒大家注意两个关键：第一，这个事件分几步？每一步是什么？第二，每一步抽取时，候选池有什么变化？”教师巡视，重点关注学生第一步的分类是“先抽男生”还是“先抽女生”，或是否有人混淆。收集典型作品（正确的、第一步分类不同的、有错误的）准备展示。

学生活动：小组内独立绘制，然后相互检查讨论。可能产生争议：“第一步应该先画抽男生还是抽女生？”通过讨论理解，此题中“先后抽一男一女”意味着顺序重要，既可以从“先抽男生”开始，也可以从“先抽女生”开始，只要每一步的等可能性划分正确，最终结果集一致。小组共同修正图稿。

即时评价标准：1.树状图步骤清晰，标注完整（人物代号、步骤说明）。2.每一步的分支数量正确，反映了当前可选范围。3.能合理解释自己绘制时第一步分类的考虑。

形成知识、思维、方法清单：★规范绘制要点：(1)标明步骤（如“第1步：抽男生”）。(2)清晰标注每一分支的结果。(3)通常从左到右展开。▲分类起点的灵活性：对于涉及多类对象的顺序问题，有时可以从不同角度开始构建树状图，只要逻辑自洽，最终结果一致。★“无放回”的影响：第二步及之后的可选对象数量会因第一步的结果而减少，这直接体现在分支数量上。这是与“有放回”问题的核心区别。

任务三：对比辨析——“有放回”与“无放回”

教师活动：提出变式问题：“还是从3男2女中抽人，但规则变为：先随机抽取一人，记下性别后放回，再随机抽取一人。求两次抽到的人性别相同的概率。”提问驱动：“规则中哪个词改变了树状图的画法？……对，‘放回’。请大家先独立思考1分钟，这个‘放回’会让你的树状图在哪儿变得和刚才不一样？”然后请一位学生到黑板上画出第一步和第二步的关键部分。引导学生对比观察：“大家看，第二步的分支数现在是？……无论第一步抽到谁，第二步都还是从5个人里抽。这就是‘放回’带来的根本变化——每一步都是独立的，可选范围不变。”

学生活动：敏锐抓住“放回”这一条件变化。在脑海中或草稿上对比两个树状图模型。观察黑板图示，清晰看到第二步分支数的恒定。计算新问题的概率，并与“无放回”情形下的结果进行直观对比，感受条件对概率的巨大影响。

即时评价标准：1.能否准确指出“放回”条件影响的是哪一步的等可能性划分。2.绘制的树状图能否正确体现“每一步可选对象总数不变”。3.能否意识到“有放回”与“无放回”是两类不同的概率模型。

形成知识、思维、方法清单：★核心概念辨析：“无放回”抽样，前后步骤相互影响，树状图后续分支数递减；“有放回”抽样，前后步骤相互独立，树状图每一步分支数相同。★易错点警示：审题时务必圈画出“放回”或“不放回”（“依次抽取”通常默认不放回）等关键词，这是选择正确模型的依据。▲模型选择意识：面对问题，首先判断步骤间是否独立，从而选择正确的树状图结构。

任务四：树状图的应用——解决实际概率问题

教师活动：出示一个综合应用题：“一个不透明的袋子里装有红、黄、蓝小球各一个，除颜色外无差别。随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再摸出一个。求两次摸到的球颜色相同的概率；若是不放回呢？”要求：“请大家独立完成，先判断条件，再画图求解。完成后，同桌交换检查树状图和计算过程。”教师巡视，重点关注学生是否规范写出事件（如设A=“两次颜色相同”），以及概率计算式的表述（P(A)=…）。挑选一份典型解答用实物投影展示。

学生活动：独立审题，判断属于“有放回”模型，并绘制对应树状图，列出所有9种等可能结果，找出符合“颜色相同”的结果数（3种），计算概率。接着思考“不放回”情形，绘制新图（此时结果总数为6种），计算新概率。与同桌互评，讨论差异。

即时评价标准：1.能根据条件正确选择并绘制两种树状图。2.能清晰地从树状图中读出所有等可能结果数（n）和事件包含结果数（m）。3.概率计算过程书写规范。

形成知识、思维、方法清单：★问题解决流程：审题（判断步骤、条件）→建模（画树状图）→求解（找m，n）→作答（规范书写）。▲概率计算的规范表达：通常写明“共有n种等可能的结果，其中事件A包含m种结果，故P(A)=m/n”。★结果的等可能性核查：在复杂情境中，最终需确认树状图每条路径（结果）是否真的等可能，这是计算正确的最终保障。

任务五：思维进阶——树状图方法的反思与局限初探

教师活动：提出挑战性问题：“如果是从3男2女中，一次性随机抽取两人（不考虑顺序），求抽到一男一女的概率。还能用刚才的树状图吗？试试看会遇到什么麻烦？”让学生简短尝试后，引导讨论：“有同学可能画‘第一次抽’、‘第二次抽’，但‘一次性抽取’本质是同时抽取，没有顺序。如果我们强行按顺序画，会出现什么情况？……对，比如‘抽到A和B’与‘抽到B和A’在一次性抽取中是同一种组合，但在我们的有序树状图里被算成了两种。这说明什么？”总结：“树状图擅长处理分步骤、顺序明确的问题。对于这种‘组合’问题，我们有其他工具（如列表法、组合公式）会更方便。这告诉我们，工具虽好，也要看场合。”

学生活动：尝试沿用分步树状图绘制，很快发现结果中每一对组合都出现了两次（顺序不同），但实际应算一次。产生困惑并思考。通过教师点拨，理解到树状图天然地赋予了过程“顺序”，适用于“排列”型问题；对于“组合”型问题，需要修正或选用其他方法。初步认识到数学工具的适用边界。

即时评价标准：1.能否在尝试中发现问题（结果重复计数）。2.能否理解问题本质（组合与排列的差异）是导致工具不适用的原因。3.是否建立起“根据问题特征选择合适工具”的初步意识。

形成知识、思维、方法清单：▲树状图的优势与局限：优势在于直观、系统地处理多步骤、顺序重要的等可能事件。局限在于，对于“一次性抽取”等组合问题，会引入不必要的顺序，导致计数复杂化。★数学思想升华：没有万能的方法，深刻理解问题本质（如是否考虑顺序）是选择恰当数学模型的前提，这是更上位的数学思维。

第三、当堂巩固训练

设计分层训练体系：

1.基础层（必做，直接应用）：“抛掷一枚质地均匀的硬币两次，用树状图列出所有可能结果，并求至少有一次正面朝上的概率。”（反馈：同桌互查树状图是否有4种等可能结果，教师提问概率计算。）

2.综合层（必做，情境应用）：“小明的书包里有语文、数学、英语三本课本，他随机先后拿出两本去上课。用树状图求他拿出的第一本是数学且第二本是英语的概率。”（反馈：教师巡视，选取一份正确和一份典型错误（如未考虑“不放回”）的树状图投影对比讲评，强调条件分析。）

3.挑战层（选做，开放探究）：“设计一个简单的抽奖游戏规则：一个盒子里有1个红球，2个白球。规定一次抽两个球（不放回）。若你想让‘抽到一红一白’的中奖概率最高，你应该设置几等奖？请用树状图分析并说明理由。”（反馈：课后收集答案，在下节课前展示优秀设计，并分析其树状图推理过程。）

第四、课堂小结

1.知识整合：“现在，请大家闭上眼睛回顾一下，今天我们探索的‘树状图’这座思维宫殿，它有几层‘楼’（步骤）？每层楼的‘房间’（分支）要怎么安排（等可能）？最后的‘出口’（结果）怎么数？”邀请学生用关键词在黑板上共同构建思维导图（核心：步骤、等可能分支、不重不漏、计算概率）。

2.方法提炼：“回顾我们解决问题的过程，最关键的一步是什么？……是审题后判断‘这是不是一个分步骤的等可能事件’。然后，像搭积木一样，一步一层，把所有的可能性搭建出来。这种‘有序分解’的思维，不仅在概率中有用，在解决很多复杂问题时都是法宝。”

3.作业布置与延伸：

1.4.必做作业：完成练习册上对应基础题和一道涉及“有放回”与“无放回”对比的综合题。

2.5.选做作业（二选一）：(1)用树状图分析一个生活中的两步骤随机现象（如出门先选交通方式再选路线），并计算一个感兴趣事件的概率。(2)查阅资料，了解除了树状图，还有哪些列举所有可能结果的方法（如列表法），并尝试用列表法解决今天课上的一个问题，比较异同。

六、作业设计

基础性作业：

1.从数字1,2,3中随机选取两个不同的数字组成一个两位数（十位和个位数字不同），用树状图列出所有可能结果，并求这个两位数大于30的概率。

2.一个袋子中装有2个红球和1个蓝球，随机摸出一个球，放回后再摸出一个。用树状图求两次摸到颜色相同的球的概率。

拓展性作业：

3.（情境化应用）学校周末有电影、公园、图书馆三个活动可选，小明和小华独立决定去哪个活动（两人可能去同一个）。用树状图分析他们选择的所有可能情况，并求他们选择不同活动的概率。

探究性/创造性作业：

4.（微型项目）请你为班级的元旦抽奖活动设计一个“两轮抽奖”规则。第一轮从所有同学中抽3名幸运者，第二轮从这3人中抽1名特等奖获得者。规则需说明是否放回、如何保证公平。要求：(1)用树状图清晰地展示所有可能的中奖路径。(2)计算任意一位同学最终获得特等奖的概率。(3)写一段话向同学们解释你的规则是公平的。

七、本节知识清单、考点及拓展

★1.树状图的定义与价值：一种利用树形分枝图形来枚举多步骤随机事件所有等可能结果的直观方法。其核心价值在于将复杂的无序思考转化为清晰的有序操作，确保不重不漏。提示：画图本身就是思维条理化的过程。

★2.树状图的适用条件：(1)随机事件涉及两个或两个以上的有限步骤。(2)每一步都有有限种明确且等可能的结果。(3)通常适用于步骤间有先后顺序的问题（排列型）。

▲3.绘制树状图的基本步骤：①明确事件有几个步骤。②从第一步开始画分枝，列出该步所有等可能结果。③针对第一步的每一种结果，作为第二步的起点，画出第二步的所有等可能分枝，依此类推。④检查最终“树叶”（结果），确保每条路径代表一种可能的情形。

★4.“有放回”与“无放回”的树状图差异：这是中考高频考点和易错点。“有放回”意味着每一步都是独立的，上一步结果不影响下一步的选择范围，因此每一步的分枝数相同。“无放回”意味着每一步受之前结果影响，可选对象减少，分枝数递减。提示：审题时务必圈出关键词。

★5.利用树状图计算概率：画出正确的树状图后，数出所有等可能结果的总数（n），再数出满足所求事件的结果数（m），则概率P=m/n。考点：概率计算通常要求过程（列出树状图或说明n,m）和结果。

▲6.等可能性的双重保证：树状图正确的根本前提。一是每一步画出的分支本身必须是等可能的；二是由于每一步的等可能性，最终每一条完整的路径（结果）也是等可能的。常见错误：在非等可能情形下强行画树状图（如一个质地不均匀的骰子）。

★7.树状图的优势：直观、系统、易于理解，尤其适合步骤不多（通常2-3步）但每一步情形较多的概率问题。能很好地展示随机过程的全貌。

▲8.树状图的局限性：当步骤过多时，图形会非常繁杂；对于“一次性抽取”等不考虑顺序的组合问题，树状图会因天然包含顺序而产生重复计数，此时效率不高，需考虑列表法或组合公式。

★9.核心数学思想——有序思维（分类讨论）：树状图是“有序思维”和“分类讨论”思想的完美体现。它将一个复杂事件分解为一系列简单的、互斥的步骤，每一步进行完全的分类，最终合成所有情况。这种思维模式是解决众多数学问题的钥匙。

▲10.与列表法的联系：树状图与列表法都是枚举法，目标一致。列表法更适合涉及两个维度（如从两个集合中各取一个元素）且每个维度情形不多的“组合”问题，呈现更紧凑。树状图则能清晰展示多步骤的过程。两者可依据问题特点灵活选用。

八、教学反思

假设本节课已实施完毕，基于课堂观察与学生反馈，进行如下复盘：

一、教学目标达成度分析

从当堂巩固训练的正确率（约85%完成基础与综合层）和课堂巡视来看，绝大多数学生能规范绘制两步的树状图，并计算概率，知识目标基本达成。在能力目标上，“任务五”的讨论显示，部分学生开始具备根据问题特征（是否强调顺序）反思工具适用性的意识，但该能力需长期培养。情感与价值观目标在小组合作任务中体现较好，学生能相互检查、争论分类起点，体现了探究氛围。科学思维目标中的“有序思维”通过绘制过程得到强化，但将复杂问题“分解”为步骤的元能力，仍需更多变式问题训练。元认知目标通过互评和最后的反思提问有所触及，但深度不足。

二、核心环节有效性评估

导入环节的生活化情境成功激发了兴趣和认知需求，驱动性问题明确。“任务一”的教师同步示范至关重要，将抽象的“步骤”与具体的“分枝”可视化连接，为学生自主绘制提供了清晰的“心理模板”。“任务三”的对比辨析设计是亮点，通过“放回”一词的改动，引导学生主动观察树状图结构的根本变化，对模型差异的理解比单纯讲授深刻得多。“任务五”作为思维进阶，虽然只有部分学生能完全理解，但成功播下了“工具服务于问题，而非机械套用”的种子，为后续学习列表法埋下了伏笔。然而，“任务二”小组活动时，部分小组在“先抽男生还是女生”的争议上花费时间略多，反映出教师预设的引导性问题“这个事件分几步？每一步是什么？”还不够聚焦，若能进一步追问“要完成‘一男一女’这个结果，必须经历哪两个关键的‘类别选择’步骤？”，或许能更快引导学生抓住本质。

三、学生差异化表现的深度剖析

课堂中明显观察到三类学生反应：第一类（约占30%）思维敏捷，在“任务二”便能考虑不同起点，在“任务五”能迅速发现问题所在。对他们而言，部分任务挑战性不足，教师通过提出“你能用两种不同起点的树状图解决吗？”、“尝试解释为何两种画法结果数一致”等追问，满足了其深化需求。第二类（约占50%）能跟随任务顺利掌握方法，但在“任务三”辨析时需要更长时间对比，在“任务五”需要教师明确的点拨。他们是课堂的主体，分层任务单和小组互助对其帮助显著。第三类（约占20%）在从具体操作（任务一）到抽象绘制（任务二）的过渡中存在困难，容易在第二步分枝时忘记“无放回”导致的范围变化。对他们，教师巡视时的个别指导、提供画有第一步框架的“半成品”任务单以及安排其为小组内“树状图朗读员”（解释一条