数系的扩充和复数的概念课件高一下学期数学人教A版

对于一元二次方程，当时，没有实数根．因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，诸如此类问题将无法解决．

引入如何解决数学家在研究解方程问题时遇到的负实数开平方问题呢？问题

从方程的角度看，负实数能不能开平方，实际上就是方程x2=-a（a＞0）有没有解的问题．把这类问题再进一步简化，最终转化为最简单的方程x2+1=0有没有解的问题.

x2+1=0在实数集中无解，能否引入新数，适当地扩充实数集，使这个方程在新数集中有解呢？7.1.1数系的扩充和复数的概念今天真顺，可是我现在共捕了多少头野猪呢？有办法了，用结绳来计数！

我真是天才！计数的需要自然数被“数”出来的自然数远古时期的人类，用划痕、石子、结绳记数，创造了自然数1.2.3.4.

5……自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地.相反量的需要负数被“欠”出来的负数东汉初期的“九章算术”中就有负数的说法．负数的引入，解决了在数集中不够减的矛盾.记出入账等额公平分配的需要分数被“分”出来的分数分数的引入,解决了在整数中不能整除的矛盾.大约在春秋战国时期《九章算术》(东汉初年):第二章“粟米”：粮食的按比例折换；第三章“衰分”：比例分配问题；

第六章“均输”：合理摊派赋税；第八章“方程”：解一次方程组.无论是负数、分数的确切定义和科学表示，还是它们的运算，最早建立起来的都是中国，比欧洲早1400年.毕达哥拉斯（约公元前560—480年）11?x2=2度量计算的需要无理数边长为1的正方形的对角线长是多少?被“推”出来的无理数

约2500年前，古希腊的毕达哥拉斯学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数。无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾.自然数集整数集有理数集实数集刻画相反意义的量引入了负数解决测量等分问题引入了分数解决度量正方形对角线等问题引入了无理数自然数负整数整数无理数有理数分数实数

从社会实践来看随着社会发展，数系在不断扩充．计数的需要引入了自然数从数学发展的角度来看（2）在整数集中求方程2x-1=0的解；自然数集N整数集Z有理数集Q实数集R无解有解无解有解有解无解（3）在有理数集中求x2-2=0方程的解；

数系的每一次扩充解决了原有数集中某种运算不能解决的问题．（4）在实数集中求x2+1=0方程的解．无解有解？引入新数（1）在自然数集中求方程x+1=0的解；如果没有运算，数只是孤立的符号！有理数集实数集运算运算律交换律结合律分配律交换律结合律分配律数系扩充规则：数集扩充后，在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．引入了无理数＋（－）×（÷）＋（－）×（÷）问题

数系经过扩充后，在运算上遵循了什么规则？回到问题：求下列方程的解希望：引进一个新数使方程有解设想：引入的新数能像实数那样进行加法、乘法运算，保持原有的（实数）加法、乘法运算律仍成立1、引进一个新数历史上，新数i是瑞士著名数学家欧拉在1777年首次提出的，他用了“imaginary”一词的首字母，本意是这个数是虚幻的.

我们可以引入一个数“i”，使i2=-1，这样x=i就是方程x2+1=0的解．

实数新数i加法运算乘法运算a+ibia+bi(a，b∈R)3+i2i3+2i依据规则：在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致．(1)形如的数叫做复数,通常用字母

z

表示.

(2)全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用C

表示.实部虚部2、复数与数系的扩充

i

叫虚数单位3、复数的分类实数纯虚数虚数实数R纯虚数虚数复数集C4、复数相等规定：思考:任意两个复数可以比大小吗？思考：虚数为什么不能比较大小？即，如果两复数能比较大小，那么这两复数一定为实数。例1.将下列复数分类，分出实数、纯虚数和虚数，并指出虚数的实部与虚部。实数R纯虚数虚数复数集C(2)当，即时，复数z是虚数．例2实数m取什么值时，复数是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解：(1)当，即时，复数z是实数．(3)当，且，即时，复数z是纯虚数．

复数分类问题的求解方法与步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．(3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，①z为实数⇔b＝0；②z为虚数⇔b≠0；③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0.

复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．

发展理性思维1．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则a的取值范围为 (

)A．a≠－1或a≠2

B．a≠－1且a≠2C．a≠－1 D．a≠2解析：当复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i是纯虚数时，a2－a－2＝0且|a－1|－1≠0，解得a＝－1，∴复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数时，a≠－1.答案：C2．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sinθ＋(cosθ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)．若z1为纯虚数，则实数m的值为________；若z1＝z2，则实数λ的取值范围为________．答案：－2

[2,6]作业1.半期复习2.练习册p219课时（十四）在几