2025-2026学年下学期广东省深圳盐田高级中学高二数学2026年5月期中试卷（含答案）

2025-2026学年第二学期期中考试盐田高级中学高二数学试题卷考试时间:120分钟分数:150分一、单选题:1.若p:∀xA.p,q均为真命题B.¬C.¬p,q均为真命题D.2.设一组样本数据x1,x2,⋯,xn的方差为A.4B.8C.12D.323.已知变量y与x线性相关,现收集了5组样本数据如下表.x12345y1015192328根据上表可得线性回归方程为y=bx+5.8A.4B.4.4C.4.5D.54.某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正、副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有()种.A.7B.10C.14D.165.设等比数列an的前n项和为Sn,若S4=4A.32B.24C.36D.1086.一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台.如果从中随机挑选2台，设这2台电脑中A品牌的台数为X,则DXA.215B.35C.847.下列说法中不正确的是()A.一组数据48,49,53,54,55,55,55,57的下四分位数为51B.在成对样本数据分析中相关系数r=0C.根据线性回归方程得到预测值为y6=33.991时的观测值为D.将总体划分为两层,通过分层抽样,得到两层的样本平均数和样本方差分别为x1,x2和s12,s228.已知函数fx=x2+6x+3x≤0elnxA.0,23B.0,二、多选题9.下列说法正确的是()A.若随机变量X∼B8,B.设随机变量X服从正态分布N1,σ2,若PC.对于随机事件A与B,若PA=PA∣B,则事件AD.一箱苹果共有10个,其中有n0<n<10且n∈N∗10.已知双曲线C:x2a2−y26=1a>0的左、右焦点分别为F1A.双曲线C的渐近线方程为y=±2C.△F1PF211.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在A.异面直线AB1与BC1B.A1P与平面AB1C.点P的运动轨迹长度为2D.点P到平面ABCD距离的取值范围是2三、填空题12.若1x−2xn的展开式中二项式系数之和为13.直线l:x+ay−1=0与圆O:x2+y14.已知数列an的通项公式是an=n2n+1四、解答题15.随着科技的进步，人工智能(AI)工具在职场中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升员工的工作效率和准确率.某公司为了解员工使用这类AI工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表:能够熟练使用AI工具不能够熟练使用AI工具男员工3015女员工169(1)根据α=0.01的独立性检验，能否认为性别与使用(2)现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记其中不能够熟练使用AI工具的人数为X,求X的分布列以及数学期望.附:χ2=nad−α0.1000.0500.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82816.已知正项数列an的前n项和为Sn,且(1)求数列an(2)若bn=an+12n，求数列bn17.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，PA=2，AB=1，BC=1，(1)求证:CM//平面PAB(2)若AB⊥AD，求平面PAB与平面PCD18.已知函数fx(1)求函数fx(2)若函数fx在1,e2上有且仅有2个零点，求(3)对任意x∈0,+∞，fx<e19.已知椭圆E:x2a2+y2b(1)求椭圆E的方程.(2)过点P−2,1的直线l交E于C,D两个不同的点(其中,点C在第二象限),直线BC,BD分别交x轴于M,N两个不同的点，C点，N(i)证明:M,N(ii)已知当直线l的斜率为k0时,△ADB的面积为12026,求此时△ABM与2025-2026学年第二学期期中考试数学参考答案题号12345678910答案CCBCADDBBCBC题号11答案BCD1.C若x=0,则命题p不成立,则p为假命题,故¬p为真命题;若x>12,则2x2.C因为样本数据x1,x2,⋯,xn的方差为3,所以由方差的性质可知,数据23.B由表格得x=15×1+2+34.C由题可得,至少有一名女生被选中的不同选法有2种情况,一男一女,两女,所以共C215.A设等比数列的公比为q.若S4=4,S故a5+a6+故a136.D依题意,X的可能值有0,1,2.则PX则X的分布列为:X012P7157151可得ED7.D对于A,8×25%=2对于B,相关系数r=0的含义是两个变量没有线性相关关系,但可能存在非线性关系,B对于C,残差e=y对于D,分层抽样的总体方差不仅与各层样本方差有关,还与各层的样本量和层间均值差异有关,即使x1=x2,总体方差也不等于s8.B由题当x>0时,fx=elnxx,所以f′x=e1−lnxx2,所以当x∈0,e时,f′x>0,当x∈e,+∞时,f′x<0;所以fx在区间0,e所以可作出函数的图象,如下图,若要使函数gx=fx所以y=fx的图象与直线y=即0<3m<19.BC对于A选项,由DX=8p1−p=2,可得对于B选项,由PX>2=对于C选项,由PA∣B=PABPB=PA可得PAB=P对于D选项,由n10−nC102=815,解得由已知,抛物线的焦点坐标为22,0,所以双曲线右焦点F222,又b2=6，所以a2=对于A项，双曲线C的渐近线方程为y=±bax=±3对于B项，联立双曲线与抛物线的方程x22−y26解得x=32或x=−23(舍去负值),所以x=32设P32,43，又F222,0对于C项，易知S△F1PF2=12×F1F2×43=12×42×11.BCD对于A,在正方体中易知BC1//AD1且AB1=AD1=D1B1=22,所以异面直线连接A1C,A1C1,易知B1D1⊥A1C1B1而A1C⊂平面A1C1C,所以B1D1⊥A1C,同理可知AD1⊥A1C,即A1C⊥平面AB1连接EP,由勾股定理可知EP=对于B,易知A1P与平面AB1D1所成的角为∠对于C,由三棱锥A1−AB1D则A,E,F所以P点轨迹为以E为圆心,63为半径的圆上,该圆即正三角形AB所以点P的运动轨迹长度为263π，故对于D,假设P的轨迹圆与AF交于G点,由上可知AG=而F到底面ABCD的距离为2,所以G到底面ABCD的距离为23由图形可知点P到平面ABCD距离的取值范围是23,2,故12.40二项式系数之和为2n=32,所以n=5,因为1x−2x5的展开式的通项公式为:Tr+1=C13.1或-1由x2+y2−2x−4y−4=0,得x−12+y−22=9,所以圆心O1,2f′x=1a又an=n2n则f′15.(1)性别与使用AI工具的熟练度无关;(2)X0123P1455285512555数学期望为1.(1)设零假设H0:性别与使用AI工具的熟练度无关，——1由统计表得a=则, χ2=70根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,没有充分证据推断所以可以认为H0成立,即认为性别与使用AI工具的熟练度无关.一5(2)男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数比为30:15按分层抽样抽12人，抽取的能够熟练使用的人数为23×12=8，抽取的不能够熟练使用的人数为4,—6分因此XPPX=所以X的分布列为:X012312分数学期望EX=16.(1)a(1)由2Sn=an2+an,n∈N∗则2Sn−2Sn所以an2−an−12由数列an为正项数列,所以an+an−所以数列an是以a1=1为首项,1为公差的等差数列,所以(2)由(1)知bn=an所以TnTn=22则12Tn=从而Tn−12即12Tn=1+17.(1)证明见解析(2)(i)63(ii)存在,(1)取PA中点N，连接BN,MN，一一1因为M为PD中点,所以MN//AD,且MN又BC=1,BC//所以四边形BCMN为平行四边形,即CM//BN,一5又BN⊂平面PAB,CM⊄平面PAB,所以CM//平面(2)因为PA⊥平面ABCD，且AB⊥以点A为原点，建立如图所示空间直角坐标系:_____8分则A0所以AB=1,0因为PA⊥平面ABCD,PA⊂所以平面PAB⊥平面ABCD又因为平面PAB∩平面ABCD=AB,AB所以AD⊥平面PAB,所以平面PAB的一个法向量为AD=设平面PCD的法向量为n=a,b不妨取a=1,则n则cosAD所以平面PAB与平面PCD夹角的正弦值为1−318.(1)当a≤0时,函数fx的单调递增区间为0,+∞;当a>0时,函数fx(1)因为fx=lnx−axa∈R当a≤0时，f′x>0，所以fx当a>0时,由f′x=若0<x<1a,则f′x>0所以fx的单调递增区间为0,1a,单调递减区间为综上所述,当a≤0时,函数fx的单调递增区间为当a>0时，函数fx的单调递增区间为0,1a(2)当x∈1,e2时，由fx=0可得a=lnxx，——6分令gx=lnxx,其中x∈1,e2,则直线y=a与函数g当e<x<e2时,g′x所以函数gx的极大值为ge且g1=0,ge由图可知,当2e2≤a<1e时,直线y=a与函数gx在1,e(3)由fx<eax−x，得lnx−ax<-13分构造函数hx=ex+x,所以hlnx<h∴有lnx<ax在0,+∞内恒成立,∴a>由(2)可知gx=lnxx最大值为ge19.(1)x24+y2(1)由椭圆E:x2a2+y2b2=1的左顶点A−2,0,上顶点(2)(i)当过点P−2,1的直线斜率不存在时，直线与椭圆E只有