2025-2026学年下学期湖南炎德英才名校大联考高三数学2026年5月联考试卷（含答案）

高三数学注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x∣xA.−2,2B.(22.已知复数2+ia−i的虚部为A.−12B.3.平行四边形ABCD中,E为BC边上的三等分点(靠近点B),若以A为起点,将向量AE表示为λAB+μADλ,A.23C.43D.4.已知sinα+cosα=A.1B.32C.25.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足B=π3,且b=2A.6B.8C.92D.6.设F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点P在C上,命题p:PA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知ax2+x−1x+16的展开式中A.2B.4C.5D.68.已知a>0,函数fx=xa的定义域为0,+∞,gx=ex的定义域为R,若A.0B.1C.0D.1二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知函数fx=sinA.函数fx的最大值为B.函数fx的图象关于直线x=C.fD.fx=0在0,10.已知点F1,0,直线l:x=−1,动点P到l的垂线为PQ,Q为垂足,且满足QP⋅QF=A.E的方程为yB.若M3,2,则PMC.过F作斜率为3的直线交E于A,B两点,则D.E上存在两点关于直线y=x11.定义:若存在常数M>0,对定义域内任意x，都有fx+2≥fx+M成立，则称fx是“M一阶增长函数”.已知fx是定义在R上的奇函数，当x≥0A.当x<0时,B.若a=0，则fC.实数a的取值范围是−D.不等式fx<34三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知fx的定义域为R，周期为4，当x∈[0,4)时，13.采用分层随机抽样抽取某校高一10人、高二20人、高三20人的数学成绩样本.已知高一、高二、高三的样本平均分分别为80、85、90，样本方差分别为5、6、9，则估计该校全体学生数学成绩的方差为_____.(方差方程公式:s2=1ni=1knisi2+xi−x2,其中n为总样本容量,k为分层的层数,ni为第i层的样本容量,14.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在表面BCC1B1上运动(含端点)，且满足AP⊥四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)如图，在三棱锥P−BCD中，PD⊥底面BCD,BC=2,CD=2,∠BDC=(1)证明:EF//平面BCD(2)求直线CD与平面PBC所成角的正弦值.16.(本小题满分15分)已知公差不为0的等差数列an满足a1=2，且(1)求an(2)设bn=an−22an，记bn的前n项和为17.(本小题满分15分)为强化高三学生的安全防范意识，某市举办校园安全知识闯关竞赛，赛前随机抽取100名参赛学生进行模拟测试，记录两轮答题的通过情况，得到统计数据如下:第二轮答对第二轮答错合计第一轮答对602080第一轮答错101020合计7030100(1)从参与模拟测试的100名学生中随机抽取1人，已知抽到的学生第二轮答题答对，求他第一轮答题也答对的概率;(2)正式竞赛规则如下:①每位选手需先作答第一轮题目:若第一轮答错，直接结束比赛，最终得0分;若第一轮答对,可得9分基础分,同时选手需立刻决定是否继续作答第二轮(不可查看第二轮题目后再决策).②若选手选择放弃作答第二轮，最终得分即为9分，比赛结束;若选择作答第二轮,第二轮答对则最终得分为10分,答错则最终得分为5分,比赛结束.已知选手小张每轮答题结果相互独立,且他答题答对的概率可近似的用模拟测试的频率来估计.小张希望自己最终得分的数学期望尽可能高,需要在赛前确定“是否作答第二轮”的固定策略，请你通过计算分布列与数学期望，探究小张应该选择哪种策略，写出你的分析过程.18.(本小题满分17分)已知函数fx=ex−a2x2(1)当a=1时，求f(2)若fx存在两个不同的极值点x1,x2(1)求实数a的取值范围；(ii)证明x119.(本小题满分17分)已知双曲线C:x2a2−y(1)求双曲线C的标准方程；(2)过双曲线C右焦点F2作垂直于x轴的直线l，与双曲线交于M，N两点，点B为双曲线C的虚轴端点,求△BMN(3)过原点O作两条互相垂直的射线，分别与双曲线C交于P，Q两点，证明:点O到直线PQ的距离为定值，并求OP2+高三数学参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案CDCDBAAAADABCAC1.C集合A=x∣x2−4≤0=−2.D2+ia−i=2a−2i+ai−i2,由于i2=−13.C由平行四边形性质,AD=BC.E为BC上靠近B的三等分点,故BE=13BC.于是AE=4.D因为sinα±cosα2=sin2α+cos25.B由面积公式S=12acsinB=34ac=33,解得ac=12.由余弦定理b2=a2+c2−6.A由椭圆方程x29+y24=1得a=3,b=2,c=5,焦距F1F2=25.设PF1=m,PF2=n,则m+n =6.若p成立,即mn=8,解得m=2,n=4或m=4,n=2.此时三边为2,4,25,满足22+42=252,故△PF1F2为直角三角形(直角在P),即p⇒q.若q成立,即△PF1F2为直角三角形.可能情况:7.A已知ax2+x−1x利用二项式定理x+16=k=06C即15a+20−8.A设公切线方程为y=kx+b，分别与fx的图象切于点x1,x1a，与gx即x1a−1=ex2a消去x1得到关于x2的方程等式两边取对数得1a令u=x2,定义函数其定义域为u<1(当0<a<1)或则F′u=1a−1−1−aa1−u⋅−a1−a=1a−1+11−同理可得Fu在u=a处取极小值,故Fu有唯一极小值点aFu=0的解的个数对应公切线的条数:若Fa<0若Fa=0,则有一个解,即一条公切线;若分析Fa<0:当0<a<1时,分母a−1<0,分子当a>1时,分母a−1>0,需分子a1−lna此外,a=1时无公切线,a=e时因此，恰好有两条公切线时a的取值范围是0,1∪9.AD最大值为1, Afπ6=32≠±因为fπ9=sin2×π由fx=0得2x+π3=kπ,即x=kπ2−π6.在0,π内,k=10.ABC对于动点Px,y,由条件QP⋅QF=FP⋅FQ对于选项B,利用抛物线的定义,PF等于点P到准线x=−1的距离,因此PM+PF=PM+d对于选项C,过焦点F1,0且斜率为3得3x2−10x+3=0∴AB=1+对于选项D,易知直线y=x+1与抛物线y2=4x相切,故E上不存在两点关于直线y=x11.AC已知函数fx是奇函数,且当x≥0时,fx=x−a2−a2.对于A,由奇函数性质可得当x<0时,fx=a2−x+a2,故A正确.对于B,当a=0时,fx=x,不是周期函数,故B错误.对于C,fx= x+2a2,x≤−a三、填空题12.7f2027=f2027−13.21总样本容量n=10+20+20=50故方差为21.14.49以A为原点,分别以AB,AD,AA1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.因为正方体棱由AP⊥BD1得:AP⋅即动点P的轨迹为线段B1C(端点为B12,0,2和C2,2,0)，由于AB⊥侧面BCC1B1，故AB⊥BC且AB⊥ BP,因此二面角P−AB−又因为S△ABD=12四、解答题15.(1)∵点E,F分别为棱PC∴EF为△PBC的中位线,且EF∵EF⊄平面BCD,BC⊂∴EF//平面BCD(2)在△BCD中，∵BCBCsin∠BDC=CDsin∠CBD，即222故BC⊥BD∴BD又∵PD⊥底面BCD,∴PD⊥CD，在Rt△PDC中，法一:∴以D为原点，DB为x轴，DP为z轴,建立空间直角坐标系，则D0,0,0，B2,0,0，C又P0,0,2设平面PBC的法向量为n=x,y,z2x−2z=0,2x−设直线CD与平面PBC所成角为φ,则sinφ=v⋅nvn=1×1+−1法二:连接DF,因为PD⊥底面BCD,所以PD⊥BC,又因为BC⊥BD,BD∩PD=D,BD,PD⊂平面因为BD=PD=2,所以DF⊥PB.因为BC,PB⊂平面PBC,BC∩BP=B,所以DF⊥平面PBC在Rt△CFD中,DF=1,所以16.(1)设等差数列an的公差为dd≠0，则a2=由a2,a5,展开得4+16d+16d2=4+22d因为d≠0,所以d=1,于是(2)由(1)知an=n+1注意到n2所以bn=于是Sn=17.(1)设事件A:第一轮答对,事件B:第二轮答对.由表中数据,PA所以PA∣(2)由模拟测试频率，小张第一轮答对的概率p1=80100=0.8,第二轮答对的概率若选择第一轮答对后放弃第二轮,则最终得分X的分布为:第一轮答错(概率0.2)，得0分；第一轮答对(概率0.8)，得9分.期望EX=若选择第一轮答对后作答第二轮,则最终得分Y的分布为:第一轮答错(概率0.2)，得0分；第一轮答对且第二轮答对(概率0.8×0.7=0.56第一轮答对且第二轮答错(概率0.8×0.3=0.24分布列如下:Y0510P0.20.240.56(12分)期望EY=因为EY=6.8<18.(1)当a=1时，fx=ex−12x由于ex≥1+x(当且仅当x=0时取等),故ex因此,fx在R上单调递增,单调递增区间为−∞,+∞.(4(2)1f′x=ex−ax，若fx有两个不同的极值点，则方程ex=ax有两个不同的实数根.显然，x=0当x<0时,h′x<0当0<x<1时，h′x<0当x>1时,h′x又x→0+时hx→+∞,h1=e,x→+∞时hx→+∞,故hx在0,1上从因此,当a>e时,直线y=a与hx的图象有两个交点,分别位于0,1和1,+∞,对应两个不同的极值点x1,x2(且0<x1故实数a的取值范围是e,+∞.(12分)(ii)由ex1=ax1,ex2=ax2令t=x2x1>1,则x2=于是x1+要证x1+x2>2,即证设φt=1+t令ψt=lnt+1t−1,则ψ′t=1t所以ψt>0,即φ′t>0.因此φt在1,+∞上单调递增,又φ1=0,故φ19.(1)由离心率e=5得ca=5,即c2=5a2渐近线方程为y=±bax=±右顶点坐标为a,0,它到渐近线2x−y=0的距离为2a于是b2=4,双曲线C的标准方程为(2)由(1)知双曲线为x2−y24=1,则c=1+当直线l垂直于x轴时,l:x=5.代入双曲线方程:得M5此时MN的长度为8,点B到直线x=5