11.2 二次根式的乘除（第3课时分母有理化）教学设计

.2二次根式的乘除第3课时教学设计1.教学内容本课基于苏科版八年级下册第十一章11.2二次根式的乘除第3课时“分母有理化”，核心知识点包括：①利用乘、除法性质把mn的被开方数中分母化去；②分母有理化：1a=aa，2.内容解析本节在学生已会进行二次根式乘除的基础上，引入“分母不能含根号”的约定，通过“逆向思维——补成完全平方”实现分母有理化。先处理被开方数为分数的根式，引出ab(b>0)的“一步放大”法，再过渡到“分母含根号”的代数分式，通过“同乘共轭”完成化简，突出“分母化简—分子复杂化—整体更简洁”的数学价值。教学重点是两类有理化技巧，难点是辨析何时选“同根号因子”何时选“共轭式”。本节为后续“最简二次根式1.教学目标•运用二次根式乘、除法性质，化去被开方数中的分母及分母中的根号（分母有理化）。•了解最简二次根式概念，能将运算结果化为最简二次根式。2.目标解析目标达成标准知识与技能①能独立完成35,17,23-5的有理化过程与方法通过“同乘”与“构造完全平方”两种思路解决问题，体会逆向思维与数形结合。情感与价值认识到化简的必要性，体验数学表达规范化、结构化的美感。3.重点难点•教学重点：1a与1a•教学难点：确定乘以“同根号因子”还是“共轭式”的判断策略及符号处理。学生已掌握实数、二次根式的基本概念及乘除法则，具备因式分解、分式运算基础，能理解“平方与平方根互逆”思想。易点：同乘相同根号化去被开方数中的分母；难点：①对“共轭”概念陌生，易把a2-b写错；②创设情景，引入新课问题情境：填空：(1)13＝1×3×＝1×((2)当a＞0时，1a＝1×a×＝1×(解：3，3，3，3，3；a，a，a，a，a【设计意图】通过创设填空的问题情境，引导学生从具体数字到含字母式子进行类比探究，经历从特殊到一般的推导过程，自主发现分母有理化的基本思路，激发学生探究欲望，自然引入新课学习，突出转化思想在二次根式化简中的应用。探究点1：化去被开方数中的分母1.新知归纳化去被开方数中的分母：当一个根式的被开方数是分数或分式时，只要分子、分母都乘适当的数或式，就可以使被开方数中不含分母．例如，当a≥0，b＞0时，ab＝a⋅bb⋅b＝2.典例分析例5化简下列各式，使被开方数中不含分母．(1)23；(2)213；(3)2yx(x＞0解：(1)23＝2×33×3(2)213＝73＝7×3(3)当x＞0，y≥0时，2yx＝2y⋅xx⋅3.练一练①化简：(1)27；(2)315；(3)3a解：(1)27＝2×7(2)315＝165＝(3)当a≥0时，3a5＝3a×5②化简：(1)4×10-4；(2)816；(3)12512；(4)3ba解：(1)4×10-4＝4104＝(2)816＝496＝49(3)12512＝125(4)当a＞0，b≥0时，3ba2＝3b【设计意图】通过易错小分数入手、先算后说，突破“同乘同除”思想难点，培养演算与表达能力。探究点2：化去分母中的根号1.情景引入填空：(1)12＝1×((2)35＝3×((3)当a＞0时，1a＝1×(解：2，2，2；5，5，15；a，a，a2.新知探究：化去分母中的根号：当一个式子的分母中有根号时，只要分子、分母都乘适当的数或式，就可以使分母中不含有根号．这种使分母中不含根号的方法称为分母有理化．例如，当a≥0，b＞0时，ab=ab⋅3.典例分析例6化简下列各式，使分母中不含根号．(1)23；(2)

15；(3)

y18x(x＞0解：(1)23＝23⋅(2)

15＝

15⋅(3)当x＞0，y≥0时，

y18x＝y184.练一练①化简：(1)35；(2)323；(3)

5ba3(a＞解：(1)35＝35⋅(2)323＝323⋅(3)当a＞0，b≥0时，

5ba3＝

5ba3②化简：(1)13；(2)772；(3)13b3(b＞0)；(4)解：(1)13＝13⋅(2)772＝772⋅(3)当b＞0时，13b3＝

13b(4)当y＞0时，150y＝

150y·2y2【设计意图】通过“观察→尝试→归纳”流程，帮助学生形成分母有理化的固定策略与迁移能力。探究点3：最简二次根式1.概念引入一般地，化简二次根式就是使二次根式：（1）被开方数中不含分母；（2）分母中不含有根号；（3）被开方数写成乘积形式时，不含能开得尽方的因数，且因式的次数等于1．这样化简后得到的二次根式叫作最简二次根式．2.典例分析例3判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？(1)12ab；(2)0.21；(3)x2＋1；(4)解：(1)12ab不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因数；(2)0.21不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因数；(3)x2＋1(4)a3－2a例4把下列各式化为最简二次根式：(1)240；(2)1.25；(3)623；（4)解：(1)240＝42×15＝415(2)1.25＝54＝54＝(3)623＝203＝22×53＝253(4)当x≥0时，x5＋2x3y2＋xy4【方法点拨】化简二次根式的一般类型1．将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方；2．化去根号下的分母：①若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数；②若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数；3．被开方数是多项式的要先进行分解因式．4.归纳总结【设计意图】让学生自己说出“为什么不是最简”，巩固三条件，提高自评、互评能力。1．小狗只要沿着最简根式走，就可以吃到美味的骨头，请你帮它找出路径．(只能走上、下、左、右，不能走斜的方向)．解：按如图所画方格(箭头方向)走即可．2．若a2n＋3b3m＋1是最解：m＝0，n＝－13．若3a＋5是最简二次根式，则正整数a的最小值是解：24．下列各数中，与2－3的积为有理数的是_________．解：2+3能力提升1．计算:(1)123÷213×115；(2)3a22．若a-12a＋5与3b＋a【设计意图】本组习题强调“举一反三、迁移应用”，通过设置多层次、跨章节的综合题，引导学生深刻体会“分母有理化”与“最简二次根式