湖南炎德英才联考2026届高三5月考前模拟（5月7-9）数学+答案

高三数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试

卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1.已知集合A=(x|z²-4≤0},B={x|0<x—1<1},则A∩B=

A.[—2,2]B.[2,4]C.(1,2)D.[1,2]

2.已知复数(2+i)(a—i)的虚部为0,则实数a=

ABC.—2D.2

3.平行四边形ABCD中，E为BC边上的三等分点(靠近点B),若以A为起点，将向量AE表示为

λAB+μADa,μ∈R),则A+μ的值为

AB.1C

4.巳知sina+cosa=√2,则sina—cosa=

A.1BCD.0

5.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足,且b=2√7,若△ABC的面积为

3√3,则a+c的值为

A.6B.8C.9√2D.10√3

6.设F₁,F₂是椭圆的两个焦点，点P在C上，命题p:|PF₁I·|PF₂|=8,命题q:

△PF₁F₈为直角三角形，则p是q的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知(ax²+x—1)(x+1)的展开式中x'项的系数为35,则实数a的值为

A.2B.4C.5D.6

数学试题(L5)第1页(共5页)

癌式卷君?Qsl10

8.已知a>0,函数f(x)=x°的定义域为(0,+○),g(x)=e的定义域为R,若f(x)与g(x)恰

好有2条公切线，则实数a的取值范围是

A.(0,1)U(e,十∞)

B.(1,e)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数,下列说法正确的有

A.函数f(x)的最大值为1

B.函数f(x)的图象关于直线对称

C.

D.f(x)=0在[0,π]上的两根和为

10.已知点F(1,0),直线l:x=-1,动点P到L的垂线为PQ,Q为垂足，且满足QP·QF=FP。

FQ,记动点P的轨迹为E,下列说法正确的有

A.E的方程为y²=4x

B.若M(3,2),则|PM|+|PF|的最小值为4

C.过F作斜率为√3的直线交E于A,B两点，则

D.E上存在两点关于直线y=x+1对称

11.定义：若存在常数M>0,对定义域内任意x,都有f(x+2)≥f(x)+M成立，则称f(x)是“M

一阶增长函数”.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=|x—a²|—a²,且f(x)

是“1一阶增长函数”,下列说法正确的有

A.当x<0时，f(x)=a²—|x+a²|

B.若a=0,则f(x)是周期函数

C.实数a的取值范围是

D.不等式的解集为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知f(x)的定义域为R,周期为4,当x∈(0,4)时，f(x)=2*—1,则f(2027)=

数学试题(L5)第2页(共5页)

癌式卷君?Qsl10S?

13.采用分层随机抽样抽取某校高一10人、高二20人、高三20人的数学成绩样本，已知高一、高

二、高三的样本平均分分别为80、85、90,样本方差分别为5:6、9,则估计该校全体学生数学成

绩的方差为.(方差方程公式：;,其中n为总样本容量，k

为分层的层数，n为第：层的样本容量，s²为第i层的样本方差，x为第i层的样本均值，元为

所有样本的总均值)

14.在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D中，点P在表面BCC₁B₁上运动(含端点),且满足

AP⊥BD₁,当二面角P-AB-C的正切值为时，三棱锥P-ABD的体积为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

如图，在三棱锥P-BCD.中，PD⊥底面BCD,BC=√2,CD=2,∠BDC=45°,PC=√6,点E,

F分别为棱PC,PB的中点.

(1)证明：EF//平面BCD;

(2)求直线CD与平面PBC所成角的正弦值：

16.(本小题满分15分)

已知公差不为0的等差数列(an)满足ar=2,且a₂+ae,Qu成等比数列..

(1)求{an)的通项公式；

(2)设,记(b分)的前n项和为S,证明：对任意n∈N°,都有

数学试题(L5)、第8页(共5页)

腐式卷君?Qsl10s?

17.(本小题满分15分)

为强化高三学生的安全防范意识，某市举办校园安全知识闯关竞赛，赛前随机抽取100名参

赛学生进行模拟测试，记录两轮答题的通过情况，得到统计数据如下：

第二轮答对第二轮答错合计

第一轮答对602080

第一轮答错101020

合计7030100

(1)从参与模拟测试的100名学生中随机抽取1人，已知抽到的学生第二轮答题答对，求他第

一轮答题也答对的概率；

(2)正式竞赛规则如下：①每位选手需先作答第一轮题目：若第一轮答错，直接结束比赛，最终

得0分；若第一轮答对，可得9分基础分，同时选手需立刻决定是否继续作答第二轮(不可

查看第二轮题目后再决策).②若选手选择放弃作答第二轮，最终得分即为9分，比赛结

束；若选择作答第二轮，第二轮答对则最终得分为10分，答错则最终得分为5分，比赛结

束.已知选手小张每轮答题结果相互独立：且他答题答对的概率可近似的用模拟测试的频

率来估计.小张希望自己最终得分的数学期望尽可能高，需要在赛前确定“是否作答第二

轮”的固定策略，请你通过计算分布列与数学期望，探究小张应该选择哪种策略，写出你的

分析过程.

18.(本小题满分17)

已知函数,其中e为自然对数的底数，a∈R

(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)存在两个不同的极值点x₁,x₂,且x₁<x2。

(I)求实数a的取值范围；

(Ⅱ)证明x+x₂>2.

数学试题(L5)第4页(共5页)

腐式卷君?Qsl10

19.(本小题满分17分)

已知双曲线的离心率为√5,其右顶点到渐近线的距离为

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)过双曲线C右焦点F₂作垂直于x轴的直线l,与双曲线交于M,N两点，点B为双曲线C

的虚轴端点，求△BMN的面积；

(3)过原点O作两条互相垂直的射线，分别与双曲线C交于P,Q两点，证明：点O到直线PQ

的距离为定值，并求|OP|²+|OQI²的最小值.

数学试题(L5)第5页(共5页)

廛式卷君Qsl竣10S

高三数学参考答案

一、二、选择题

题号1234567891011

答案CDCDBAAAADABCAC

1.C【解析】集合A=(xlx²-4≤0)=[-2,2],集合B=(x10<x-1<1}=(1,2),则A∩B=(1.2),故选C.

2.D【解析】(2+i)(a—i)=2a-2i+ai—i²,由于i²=-1,所以原式=(2a+1)+(a-2)i.虚部为a-2=0,解得a

=2.故选D.

3.C【解析】由平行四边形性质，AD=BC.E为BC上靠近B的三等分点，故于是AE=AB+BE=

,因此,故选C.

4.D【解析】因为(sina±cosa)³=sin2a+cos²a±2sinacosa=1±2sinacosa,所以(sina+cosa)²+(sina一

cosa)²=1+2sinacosa+1—2sinacosa=2,所以sina—cosa=0.故选D.

5.B【解析】由面积公式,解得ac=12.山余弦定理b²=a²+c-2accosB,代入b=

2√7,得28=a²+c²-12,即a²+c²=40,于是(a+c)²=a²+c²+2ac=40+24=64,所以a+c=8.故选B.

6.A【解析】由端图方程得a=3,b=2,c=5,焦2距|F₁F₂I=2√5.设|PF₁I=m,|PF₂I=n,则m+n

=6.若p成立，即mn=8,解得m=2,n=4或m=4,n=2.此时三边为2,4,2√5,满足2²+4²=(2√5)²,故

△PF₁F₂为直角三角形(直角在P),即P→q.若q成立，即△PF:F₂为直角三角形，可能情况：直角在P;由余

弦定理，m²+n²=4c²=20,结合m+n=6得mn=8,此时p成立.直角在F₁或F₂:例如直角在F₁,则PF₁⊥

F₁F₂,P的横坐标为一√5,代入捕圆方程得,计算得；此时p不成立.因此

Q成立时p不一定成立，即p是q的充分不必要条件.故选A.

7.A【解析】已知(ax²+x-1)(x+1)'展开式中x⁴项的系数为35,

利用二项式定别x³项的系数为；aCS+C-C!=35.

即15a+20—15=35>a=2.故选A.

8.A【解析】设公切线方程为y=kx+b,分别与f(x)的图象切于点(x₁,a²),与g(x)的图象切于点(xg,e'=),

则有k=axi¹=e:,b=(1—a)x?=c⁴:(1—x:).

即,得

消去x;得到关于x₂2的方程

等式两边取对数

令u=x₂,定义函数

其定义域为a<1(当0<a<1)或u>1(当a>1).

则,当a∈(0,1),u<1时，F(a)在(0,a)单调递

减，在(a,1)上单调递增，此时F(u)在u=a处取极小值；当a>1,u>1时，

同理可得F(a)在a=a处取极小值，故F(u)有唯一极小值点a,极小值为

F(a)=0的解的个数对应公切线的条数：若F(a)<0,则F(u)=0有两个解，即有两条公切线：

若F(a)=0,则有一个解，即一条公切线；若F(a)>0,则无解，即无公切线。

分析F(a)<0:当0<a<1时，分母a-1<0,分子a(1—Ina)>0(因a<e恒成立),故F(a)<0;

腐式卷君?Qs110S?数学参考答案(1.5)-1

当a>1时，分母a-1>0,需分子a(1—1na)<0,即1—Ina<0,解得a>e.

此外，a=1时无公切线，a=e时F(a)=0仅一条.

因此，恰好有两条公切线时a的取值范围是(0,1)U(e,十∞),故选A.

9.AD【解析】最大值为1,A正确。

,故不是对称轴，B错误.

因为,所以,C错误.

由f(x)=0得,即.在[0,π]内，k=1时,k=2时,和为,D正

确，故选AD.

10.ABC【解析】对于动点P(x,y),由条件QP·QF=FP·FQ可推导出y²=4x,即轨迹为抛物线，故A正确。

对于选项B,利用抛物线的定义，|PF|等于点P到准线x=—1的距离，因此|PM+|PF|=|PM|+d(P,l)

≥d(M,l)=4,当P(1,2)时取等，故最小值为4,B正确。

对于选项C,过焦点F(1,0)且斜率为√3的直线与抛物线交于两点，联立方程

得3x²—10x+3=0,设A(x₁,y1),B(zr₂,y₂),则有,xz=3,

,故C正确，

对于选项D,易知直线y=x+1与抛物线y²=4x相切，故E上不存在两点关于直线y=x+1对称，D错误。

因此，正确选项为ABC.

11.AC【解析】已知函数f(x)是奇函数，且当x≥0时，f(x)=|x—a²|—a²,对于A,由奇函数性质可得当x<0

时，f(x)=a²—|x+a²|,故A正确.对于B,当a=0时，f(x)=x,不是周期函数，故B错误，对于C,f(x)=

,分区间验证f(x+2)一f(x)≥1:外侧区间恒成立；中间区间要求

因此,故C正确.对于D,不等式的解集依赖于a,并非固定区间,故D错

误，因此，正确选项为A和C.

三、填空题

12.7【解析】/(2027)=f(2027—4×506)=f(3)=2²-1=7,因此ʃ(2027)=7.

13.21【解析】总样本容量n=10+20+20=50,总样本均值,代入公式计算：

故方差为21.

14.【解析】以A为原点，分别以AB,AD,AA₁所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，因为正方体棱长

为2,所以A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),D₁(0,2,2),设动点P(2,y,z)(y∈[0,2],z∈[0,2]),

由AP⊥BD,得：AP·BD=(2,y,z)·(-2,2,2)=-4+2y+2z=0,得y+z=2,

即动点P的轨迹为线段B₂C(端点为B₁(2,0,2)和C(2,2,0)),由于AB⊥侧面BCC₁B₁,故AB⊥BC且AB⊥

BP,因此二面角P-AB-C的平面角为∠PBC,根据题意，,结合轨迹条件y+z=2,得

癌式卷君?Qsl10数学参考答案(1.5)—22/5

即点P坐标为

又因为,所以

四、解答题

15.【解析】(1)∵点E,F分别为棱PC,PB的中点，

∴EF为△PBC的中位线，且EF//BC,……………(2分)

∵EFC平面BCD,BCC平面BCD,

∴EF//平面BCD.…………(5分)

(2)在△BCD中，∵BC=√2,CD=2,∠BDC=45°,

故BC⊥BD,…………(7分)

∴BD²=CD²-BC²=2,BD=√2.……………(8分)

又∵PD⊥底面BCD.∴PD⊥CD.在Rt△PDC中，PD²=PC-CD°=6—4=2,故PD=√2.

法一：∴以D为原点，DB为x轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),B(√2,0,0),C(√2,一√2,

0),CD=(—√2,√2,0),取方向向量v=(1,—1,0).……(9分)

又P(0,0,√2).则PB=(√2.0,一√2),PC=(√2.—√2.一√2).

设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),由n·PB=0,n·PC=0,得

解得x=z,y=0,取n=(1,0,1).……………(11分)

设直线CD与平面PBC所成角为φ,则

所以直线CD与平面PBC所成角的正弦值为…………………(13分)

法二：连接DF,因为PD⊥底面BCD,所以PD⊥BC,又因为BCIBD,BD∩PD=D,BD,PDC平面PBD,

所以BC⊥平面PBD,所以BC⊥DF.………(10分)

因为BD=PD=√2,所以DF⊥PB.因为BC,PBC平面PBC,BC∩BP=B,所以DF⊥平面PBC,所以

∠DCF为直线CD与平面PBC所成角，……………(12分)

在Rt△CFD中，DF=1,所以

16.【解析】(1)设等差数列(an)的公差为d(d≠0),则az=2+d,a₆=2+4d,a₁=2+10d.…………(2分)

由a₂,a6,a11成等比数列，得(2+4d)²=(2+d)(2+10d).

展开得4+16d+16d²=4+22d+10d²,化简得6d—6d²=0,即6d(1—d)=0.…………(4分)

因为d≠0,所以d=1,于是aₙ=2+(n—1)×1=n+1.…………………(6分)

(2)由(1)知aₙ=n+1,则………(8分)

注意到：

所以……………(11分)

数学参考答案(1.5)—3

癌式卷君?Qsl10)3/5

……………………(15分)

17.【解析】(1)设事件A:第一轮答对，事件B:第二轮答对.

由表中数据，

,………………(4分)

(2)由模拟测试频率，小张第一轮答对的概率,第二轮答对的概率,且两轮相互

独立.……………(6分)

若选择第一轮答对后放弃第二轮，则最终得分X的分布为：

第一轮答错(概率0.2),得0分；

第一轮答对(概率0.8),得9分.

期望E(X)=0×0.2+9×0.8=7.2.…………………(9分)

若选择第一轮答对后作答第二轮，则最终得分Y的分布为：

第一轮答错(概率0.2),得0分：

第一轮答对且第二轮答对(概率0.8×0.7=0.56),得10分：

第一轮答对且第二轮答错(概率0.8×0.3=0.24),得5分.

分布列如下：

Y0510

P0.20.240.56

……………………(12分)

期望E(Y)=0×0.2+5×0.24+10×0.56=1.2+5,6=6.8.…………(14分)

因为E(Y)=6.8<E(X)=7.2,所以小张应选择放弃第二轮的策略，…………(15分)

18.【解析】(1)当a=1时，,定义域为R求导得了(x)=e'一x,……(2分)

由于e≥1+x(当且仅当x=0时取等),故c⁶-x≥l>0,即f(x)>0恒成立，……(3分)

因此，f(x)在R上单调递增，单调递增区间为(一○,十).…………………(4分)

(2)(i)f'(x)=e²—ax,若f(x)有两个不同的极值点，则方程e=ax有两个不同的实数根，显然r=0不是

根，故可化为,设,则,…………(6分)

当x<0时，h'(x)<0,h(x)单调递减，且h(x)<0;…………………(7分)

当0<x<1时，h’(x)<0,h(x)单调递减；…………………(8分)

当x>1时，h’(x)>0,h(x)单调递增，…………(9分)

又x→0+时h(x)→十∞,h(1)一e,x→十∞时人(x)→+00,故h(x)在(0,1)上从十0o减至e,在(1,+∞)上从

e增至十oo.…………(10分)

因此，当a>e时，直线y=a与h(x)的图象有两个交点，分别位于(0,1)和(1,+∞),对应两个不同的极值点

Z1,x₂(且0<x₁<1<xg),当a=e时有一个交点，当O≤a<e时无交点，当a<0时有一个交点.

故实数a的取值范围是(e,十∞).…………(12分)

(ii)由e²¹=ax;,e⁴2=ax2,两边取对数得..………………(13分)

,则x₂=1x₁,代入得(t—1)x₁=lnr,解得

于是…………(14分)

要证x₁+x₂>2,即证,等价于(1+t)Int>2(t—1).

设φ(t)=(1+t)lnt—2(t—1).t>1,则

癌式卷君?Qsl10S?数学参考答案(1.5)一4

,故φ(t)在(1,十∞)上单调递增，且ψ(1)=0,

所以$(t)>0,即q′(t)>0.因此φ(t)在(1,十0o)上单调递增，又φ(1)=0,故q(t)>0对l>1恒成立.

从而原不等式成立，即x₁+x₂>2.………………(17分)

19.【解析】(1)由离心率e=√5得,即c²=5a²,又c²=a²+b²,所以b²=4a².…(2分)

渐近线方程为即2x±y=0.

右顶点坐标为(a,0),它到渐近线2x-y=0的距离为,解得a=1.………(4分)

于是b²=4,双曲线C的标准方程为…………………(5分)

(2)由(1)知双曲线为,则c=√1+4=√5,右焦点F₂(√5,0),虚轴上端点B(0,2).………(6