湖北省名校联盟（圆创）2026届高三5月高考模拟训练数学+答案

数学

本试卷共4页,19题。满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项:

1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码贴在答题卡上的

指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题

卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要

求的.

1.sin15Cos15

D·2

2.已知集合A>a},B=(uzl12,若(RA)B=0,则a的取值范围是

A.(0,1)B·[1,2]C.(,2)D.[2,+OO)

3.已知复数满足z=2i(1z),则z=

A.iB.iC.1+iD.1i

4.已知一组样本数据有两层,第一层有N个数据,平均数为z,第二层有M个数据,平均数为y,两层数

据合到一起计算出的平均数为z,后来第一层又增加了"个数据,这"个数据的平均数为m,则新的样

本数据的平均数为

B·

f

A.是奇函数,且在区间(0,+o)单调递增B.是偶函数,且在区间(0,+o)单调递减

C.是奇函数,且在区间(0,+oo)单调递减D.是偶函数,且在区间(0,+o)单调递增

的离心率为·点·在c上·则b

A.1B.2C.3D.2

数学试卷第1页(共4页)

7已知随机事件A丶B丶C满足P(A)=,P(B)=P(C)=·P(AB)—P(AC)=0,P(BC)则

346

A、B、C至少有一个发生的概率为

8.在ABC中,已知AB=2AC,BC=3.记点A的运动轨迹为曲线E,ABC的外接圆M与曲线E交

于A、D两点.当ABC取最大值时,AD=

D·23

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选

对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.已知等比数列a,}的公比q>1,则

A.数列{a,}是递增数列B.数列(la,是递增数列

C.数列a2}是递增数列D.数列{a1a2n}是递增数列

10.已知函数f(u1)=33ax+b,则

A.f(ux)定有零点

B.曲线y=f(u)与直线y=z+b恒有3个交点

C.若f(u1)有3个零点,则它们的和为0

D.曲线y=f(u)上始终存在中心和4个顶点都在其上的菱形

11.已知正四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形,高为h,其五个顶点均在半径为R的球O,的

球面上,半径为r的球o2与正四棱锥的五个面均相切,则

A.若四棱锥O2ABCD和三棱锥O2PBC的体积相等,则h=5

C.若O,与2重合,则R=1+2

D.若O,在棱锥内,且在球O2的球面上,则R=(1+3)r

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.

12.已知向量a=(1,1),b=(0,2),若a+b与2akb平行,则实数k=·

13·已知A3B,3)为曲线y3上的两点

3

则p=·

14.已知点A、B分别为曲线Y=e"和Y=e2上的动点,过A、B分别作z轴的垂线AD、BC,垂足分别

为D、C.若ADl=2BCI,IAD<e,则四边形ABCD面积的最大值为·

数学试卷第2页(共4页)

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知函数f(u)=ax2r.n

(1)若f(u1)存在大于零的极值,求a的取值范围;

(2)对于函数g(1),若g(z,)=z,,则称z,为g(u1)的不动点.判断是否存在a,使得f(u)的极值点

同时也是不动点,并说明理由.

16.(15分)

记S,为等差数列a,}的前"项和,已知a33a+2,S24s,.

(1)求a,;

2记数列{b·若对N·TK+b·求k的取值范围·

17.(15分)

如图,已知平行六面体ABCDABCD的底面ABCD是边长为a的菱形,AAb,AAB=

A1ADDAB=B(0<9<).

(1)证明:平面A1ACC上平面D1DBB1;

(2)对确定的a与b,求使得平行六面体表面积取最大值的;

(3)在(2)的条件下,当直线AC与平面ABC所成的角最大时,求a与b的关系.

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18.(17分)

的左右焦点分别为F·F2·离心率为2·M为E上的动点·且

M到两焦点的距离的差的绝对值为2.

(1)求E的方程;

分别与E交于点GH1,求IGH的最小值;

(3)过点F的直线l交E于A、B两点,过点F2的直线l2交E于C、D两点,l与l2交于点P,且

l与l2证明:PAD与PBC面积的乘积为定值·

19.(17分)

现有"枚质地均匀的硬币,第一次分别抛掷这"枚硬币,完成后,将其中正面朝上的硬币进行第二次

抛掷,记两次抛掷后正面朝上的次数之和为X.

(1)当"=2时,求X的分布列与数学期望;

(2)对确定的",YkE(0,1,2,…,2n},3mE(0,1,2,…,2n},使得p(x=m)≥p(x=k)成立,请直

接写出m,不用推导;

(3)求E(X).

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数学试卷参考答案与详解

题号1234567891011

答案CACDBABCBCDACABD

1.sin15°+cos15°=2sin(15°+45°),选C.

2.由A={x|x>a},得∁RA={x|x≤a}.因为(∁RA)∩B=ø,所以a<-1,选A.

3.设z=a+bi,a,b∈R,则(a+bi)(a-bi)=2i(1-a-bi),即a2+b2=2b+2(1-a)i,所以a2+b2=

2b,0=2(1-a),解得a=b=1,所以z=1+i,选C.

4.方法一:由题意,知

所求平均数为

My),选D.

方法二:所求平均数为选D.

5.因为f,所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.

又y和y在(0,+∞)上大于0且单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,故选B.

6.由题意,知e将点(1,)代入椭圆方程,得而a2=b2+c2,所以b2=1,故选A.

7.由P(AB)=P(AC)=0知,事件A、B互斥且事件A、C互斥,故P(ABC)=0.所以P(A+B+C)=

8.设A(x,y),B(-2,0),C(1,0),则(x+2)2+y=2(x-1)2+y,化简得(x-2)2+y2=4(y≠

0),知曲线E是半径为2的圆(去掉与直线BC相交的两点).结合图形,当直线AB与圆E相切时,

°

∠ABC最大,此时∠ABC=30,AB的中点为圆心M,半径为3,两圆圆心距为7,求得AD

选C.

9.由于不知道a1的正负情况,故数列{an}不一定是递增数列,A错误;

因为,所以数列{|an|}是递增数列,B正确;

数学试卷参考答案与详解第1页(共7页)

2

因为aq2>1,所以数列{an}是递增数列,C正确;

2n

因为a1a2n=aq-1>0,且q2>1,所以数列{a1a2n}是递增数列,D正确,选BCD.

10.对A选项,由三次函数图象可知,其至少有一个零点,故A正确;

对B选项,方程x3-3ax+b=x+b可整理为x(x2-3a-1)=0,当3a+1≤0时,方程只有一个根,

对应曲线没有3个交点,故B错误;

3

对C选项,设其3个零点分别为x1,x2,x3,则f(x)=x-3ax+b=(x-x1)(x-x2)(x-x3),展

32

开有(x-x1)(x-x2)(x-x3)=x-(x1+x2+x3)x+(x1x2+x2x3+x1x3)x-x1x2x3,从而

x1+x2+x3=0,故C正确;

对D选项,由于曲线y=f(x)关于点(0,b)中心对称,不妨设b=0.若存在符合条件的菱形,则其中

心为原点,过原点互相垂直的直线为菱形的对角线.由f'(x)=3x2-3a,曲线y=f(x)在原点的切

线斜率为-3a.只有当a>0且直线的斜率大于-3a时,对应直线才与曲线y=f(x)有两个交点,菱

形才能存在,当a≤0时,不存在这样的菱形.故D错误,选AC.

11.设正方形ABCD的中心为F,取BC的中点E,连接PE,则PE=h2+1,PC=h2+2.

分别过O2、O1,作O2G⊥PE、O1H⊥PC.由题意,知O2G=O2F=r,PO1=R.

A,V,

对于选项由O2-ABCD=VO2-PBC得×4×r××2×

h2+1×r,解得h=15,故A正确;

对于选项B,R=h=2,可以求得棱锥的表面积为4+43.

由VP-ABCD×4×2×r×(4+43),解得r

故B正确;

22

对于选项C,有h=R+r.在Rt△O2FC中,有R=r+2.

2

由Rt△PO2G~Rt△PEF,得,解得R=1+2,故C错误;

22

对于选项D,有h=R+2r.在Rt△O1FC中,有R=4r+2.由Rt△PO2G~Rt△PEF,得

Γ27

,化简得R3-6Rr2-4r30,即_-2-2_0,解得1+3,故D正确

=LJ=.

选ABD.

12.由已知得a+b=(1,1),2a-kb=(2,-2-2k).由平行得2+2+2k=0,所以k=-2,故填-2.

数学试卷参考答案与详解第2页(共7页)

--

x2x2x12x2x1

14.设A(x1,e1)、B(x2,e),则AD=e,BC=e.由AD=e<e,得x1<1.

-

x12x2

由AD=2BC,得e=2e,所以x1=ln2+2-x2,从而x2>1+ln2.

2-x

梯形ABCD的面积Se2×

令f,有f'

当时,f'>0,f单调递增;当x时,f'<0,f单调

递减.

ln2ln3232

故当x=2+时,f(x)取最大值f=,故填.

2(2+22)22

15.(1)f(x)的定义域为(0,+∞).f'=2ax………………(1分)

若a≤0,则f'(x)<0,f(x)单调递减,无极值;…………………(3分)

111

若a>0,由2ax-=0,得x=.则为f(x)的极值点.………………(5分)

x2a2a

11111

由题意,有f=-ln>0,解得a>.

(2a)222a2e

1

所以a的取值范围是,+.…………………(6分)

(2e∞)

1

(2)由(1)知,为f(x)的极值点.

2a

1111

由不动点的定义,有-ln=,整理得1+ln…………(8分)

222a2a

令h=1+ln则h'由h'(x)>0,知h(x)单调递增.…………(9分)

因为h(11分)

1e

所以存在a∈,,使得f(x)的极值点同时也是不动点.…………………(13分)

(22)

16.(1)由题意a3=3a1+2,S2=4S1,所以a1+2d=3a1+2,2a1+d=4a1,

解得a1=1,d=2.…………………(3分)

所以an=2n-1.……………………(5分)

(2)由(1)知,Tnb1=T(6分)

所以当n≥2时,bn=Tn-Tn………………(8分)

数学试卷参考答案与详解第3页(共7页)

当n=1时,b也成立,所以bn…………………(9分)

Tn≤kan+bn等价于

整理得,k…………………(11分)

记f则f而2n-1≥1,所以

当n=1或n=2时,f(n)有最大值.……………(13分)

当n=1时,f(1)=0;当n=2时,f(2).……………………(14分)

所以f(n)的最大值为的最大值为,故k≥.…(15分)

→→

17.(1)由条件可知,BD⊥AC,|AB|=|AD|=a,1|=b.

→→→

因为BD=AD-AB,

→→→→→

所以BD·A1=(AD-AB)·A1=AD·A1-AB·A1=abcosθ-abcosθ=0.

所以BD⊥AA1.……………………(2分)

因为AC⊂平面A1ACC1,AA1⊂平面A1ACC1,AC∩AA1=A,

所以BD⊥平面A1ACC1.…………(3分)

因为BD⊂平面D1DBB1,所以平面A1ACC1⊥平面D1DBB1.………………(4分)

2

(2)平行六面体的表面积S=2AB·ADsinθ+4AD·AA1sinθ=(2a+4ab)sinθ.……………(6分)

所以,当时,平行六面体的表面积取最大值.………………(7分)

(3)在(2)的条件下,该平行六面体为长方体.建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),

→→→

A1(0,0,b),C(a,a,0),B1(a,0,b).所以AC=(a,a,0),AB1=(a,0,b),A1C=(a,a,-b).

D1

设平面AB1C的法向量为n=(x,y,z).C1

z

B1

A1

由

令x=b,得y=-b,z=-a,所以n=(b,-b,-a).………(10分)

y

设直线A1C与平面AB1C所成的角为φ,

DC

Ax

则sinφ=|cosB

………(13分)

数学试卷参考答案与详解第4页(共7页)

2

因为2+≥2,当且仅当a=b时取等号,所以sinφ≤.……(14分)

所以,直线A1C与平面AB1C所成的角最大时,a=b.…………(15分)

18.(1)由题意,a=1,c=2,所以b2=c2-a2=3.……………………(1分)

所以E的方程为x………………………(2分)

(2)设M(x0,y0),则x

因为

所以MG的方程为y-y,MH的方程为y-y………………(3分)

设G(x1,y1),H(x2,y2).

将直线MG的方程与曲线E方程联立,

2

得x-3-=0,

解得x……………………(4分)

同理,可得x………………(5分)

-

所以x1xy0,x1+x…………(6分)

所以GH

……………(7分)

22

由于x0≥1,所以GH≥,从而|GH|的最小值为……(8分)

(3)设l1:y=k1(x+2),l2:y=k2(x-2),则k1k

22

设P(x0,y0),则y0=3(x0-4).………………(9分)

设l1的倾斜角为α,l2的倾斜角为β,∠F1PF2=θ,则θ=β-α.

数学试卷参考答案与详解第5页(共7页)

所以sinθ=sin(β-α).……………(10分)

于是,sin

………………(11分)

2222

联立l1与E的方程,得(3-k1)x-4k1x-4k1-3=0.

设A(x3,y3),B(x4,y4).

则x3+xx3x……………(12分)

2

所以,PAPB=(1+k1)x3-x0x4-x0

22

=(1+k1)|x3x4-x0(x3+x4)+x0|

2222

-4k1-3-4k1x0+(3-k1)x0i

222

|(k1(x0+2))-3x0+3|

|

…………(14分)

同理PCPD…………………(15分)

所以S△PADS△PBCPAPDsinPCPBsinθ

为定值.…………(17分)

19.(1)当n=2时,由题意知X的可能取值为0,1,2,3,4.

222

1120

P(X=2)=C2××C1×+C2××C2×,

P=C………(4分)

数学试卷参考答案与详解第6页(共7页)

X的分布列为

X012