华师大版2024年九年级数学下册第一次月考试卷+答案4

九年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（每题3分，共30分）

1.（3分）下列计算中，正确的是（）

A.2a+3b=5abB.（3a3）2=6a6C.a64-a2=a3D.-3a+2a=-a

=x+l〉0

2.（3分）不等式组｛3的解集在数轴上可表示为（）

2-x>0

3.（3分）下列标志中不是中心对称图形的是（）

中国银行

c.K

中国人民银行

方正集团_

4.（3分）估计比乂加的值（）

A.在I至1」2之间B.在2到3之间C.在3到4之间D.在4到5之间

5.（3分）几个棱长为1的正方体组成几何体的三视图如图，则这个几何体的体积是（）

主视图左视图

俯视图

A.5B.6C.7D.8

6.（3分）函数y=mx+n与y=旦，其中mWO,nWO,那么它们在同一坐标系中的图象可能

是（）

A.81,81,81B.81,81,76.5C.83,81,77D.81,82,81

8.(3分)如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE,且AB〃ED,ZEAB=120%则

ZDCB=()

A.150°B.160°C.130°D.60°

9.（3分）如图，在一次函数y=・x+6的图象上取一点P,作PA_Lx轴于点A,PB_Ly轴于

10.（3分）如图，正方形ABCD的边长为6,点E、F分别在AB,AD上，若CE=3&,

且NECF=45。，则CF的长为（）

A.2710B.3近C.y710D.

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学

记数法表示为—.

12.（3分）分解因式：4（x+1）2-16x=.

13.（3分）如图所示，直线将含有45。角的三角形板ABC的直角顶点C放在直线m

上.若/1=25。，则N2的度数为.

14.（3分）如图，AB是。O的直径，M是。O上一点，MN1AB,垂足为N.P,Q分别

为弧AM,孤BM上一点（不与端点重合），如果NMNP=/MNQ.有以下结论：@Z1=

N2,②/MPN+NMQN=180°,③NMQN=/PMN,©PM=QM,⑤MN2=PN・QN.其中

正确的是—.

15.（3分）如图所示，直径为10的圆A经过点C（0,5）和点O（0,0）,B是y轴右侧

圆A优弧上一点，那么sin/OBC的值是.

16.（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=K（x>0）的图象交矩形OABC的

x

边AB于点D,交边BC于点E,且BE=2EC.若四边形ODBE的面积为6,则k=.

三、解答题（共8个小题，应写出必要的解答说明、证明过程或演算步骤，满分67分）17.（5

分）计算：

以全部售出，在国内市场每辆的利润yi（元）与销量x1万辆）的关系如图所示；在国外市

场每辆的利润y2（元）与销量x（万量）的关系为：

f-20x+360（0<x<6）

y2=<.

1240（4<x<10）

（1）求国内市场的销售总利润Zl（万元）关于销售量X（万辆）的函数关系式，并指出自

变量的取值范围.

（2）该公司的年生产能力为10万辆，请帮助该公司确定国内、国外市场的销量各为多少时,

公司的年利润最大？

21.（10分）如图，已知BC是。O的弦，A是。O外一点，AABC为正三角形，D为BC

的中点，M为。。上一点，并且NBMO60。.

（1）求证：AB是OO的切线；

（2）若E,F分别是边AB,AC上的两个动点，且NEDF=120。，OO的半径为2,试问BE+CF

的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

22.（10分）如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,CD_LAB于点D.点P

从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同

时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止.设运动时间为t

秒.

（1）求线段CD的长：

（2）设4CPQ的面积为S,求S与I之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某

一时刻3使得S/sCPQ：SAABC=9：100?若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.

（3）当t为何值时，4CPQ为等腰三角形？

CB

23.（14分）如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x-1交于A、B两点•点A的横坐标为-3,

点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m,过点P作PCJ_x轴于C,

交直线AB于D.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当m为何值时，S岫形OBDC=2S^BPD；

（3）是否存在点P,使APAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明

理由.

九年级（下）第一次月考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每题3分，共30分）

I.（3分）（2014•珠海）下列计算中，正确的是（）

A.2a+3b=5abB.（3a3）2=6a6C.a64-a2=a3D.-3a+2a=-a

【分析】根据合并同类项，积的乘方，等于先把每一个因式分别乘方，再把所得的累相乘;

对各选项分析判断后利用排除法求解.

【解答】解：A、不是同类二次根式，不能加减，故A选项错误；

B.（3a3）2=9a6H6a6,故B选项错误；

C、a64-a2=a4,故C选项错误；

D、-3a+2a=-a,故D选项正确.

故选：D.

【点评】本题主要考查了合并同类项，积的乘方，等于先把每一个因式分别乘方，再把所得

的哥相乘；熟记计算法则是关键.

=x+l>0

2.（3分）（2014•德州）不等式组3的解集在数轴上可表示为（）

2-

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的

解集表示在数轴上即可.

=x+l〉0

【解答】解：3

2-x〉0

G〉-3

解制二,

lx<2

故选：D.

【点评】本题考查了在数轴表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（》,

2向右画；V,W向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解

集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表

示解集时"2",要用实心圆点表示；"V〃，要用空心圆点表示.

3.（3分）（2015•和平区三模）卜列标志中不是中心对称图形的是（）

A.

中国移动

©

中国银行

c.

中国人民银行

D.

方正集团

【分析】根据中心对■称图形的概念求解.

【解答】解：A、是中心对称图形.故错误；

B、是中心对称图形.故错误；

C、不是中心对称图形.故正确；

D、是中心对称图形.故错误.

故选C.

【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后

与原图重合.

4.（3分）（2015•株洲模拟）估计比xj肩勺值（）

A.在I到2之间B.在2到3之间C.在3到4之间D.在4到5之间

【分析】根据二次根式的乘法，可化简二次根式，再估算可得答案.

【解答】解：・・・&x%=6，5<6〈亚，

A3<V12<4,

故选C.

【点评】本题考查了估算无理数的大小，先化简二次根式，再比较二次根式的大小，是解答

此题的关键.

5.（3分）（2015•黄冈模拟）几个棱长为1的正方体组成几何体的三视图如图，则这个几何

体的体积是（

主视图左视图

俯视图

A.5B.6C.7D.8

【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行三列，故可得

出该几何体的小正方体的个数，即可得出这个几何体的体枳.

【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有3+1=4个小正方体，

第二层应该有1个小正方体，

因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1=5个，

所以这个几何体的体积是5.

故选:A.

【点评】此题主:要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象

能力方面的考查.如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章〃就更容易得

到答案.

6.（3分）（2014•凉山州）函数y二mx+n与y=q_,其中mWO,n#0,那么它们在同一坐标

inx

系中的图象可能是（）

【分析】根据图象中一次函数图象的位置确定m、n的值；然后根据m、n的值来确定反比

例函数所在的象限.

【解答】解：A、•・•函数产mx+n经过第一、三、四象限，

/.m>0,n<0,

・,上<（）,

in

函数尸旦图象经过第二、四象限.

与图示图象不符.

故本选项错误；

B、、•函数y=mx+n经过第一、三、四象限,

n<0,

m

・・・函数y二旦图象经过第二、四象限.

IDX

与图示图象一致.

故本选项正确；

C、•・•函数y=mx+n经过第一、二、四象限,

.\m<0,n>0»

・,上<（）,

m

・•・函数y=旦图象经过第二、四象限.

IDX

与图示图象不符.

故本选项错误；

D、•・•函数户mx+n经过第二、三、四象限，

n<0,

，二>0,

m

.・・困数y二旦图象经过第一、三象限.

inx

与图示图象不符:.

故本选项错误.

故选：B.

【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质

才能灵活解题.

7.（3分）（2002•天津）在某次数学测验中，随机抽取了10份试卷，其成绩如下：85,81,

89,81,72,82,77,81,79,83,则这组数据的众数，平均数与中位数分别为（）

A.81,81,81B.81,81,76.5C.83,81,77D.81,82,81

【分析】本题考查统计的有关知识，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间

的一个数或两个数的平均数为中位数：众数是一组数据中加现次数最多的数据，注意众数可

以不止一个.

【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中81是出现次数最多的,

故众数是81；

平均数为85+81+89+81+72+82+77+81+79+8g।.

’10；

而将这组数据从小到大的顺序排列（72,77,79,81,81,81,82,83,85,89）,处于中

间位置的那个数是81、81.

那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（81+81）4-2=81.

故选A.

【点评】本题为统计题，考杳平均数、众数与中位数的意义.中位数是将一组数据从小到大

（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的

中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错.

8.（3分）（2015•德阳）如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE,且AB〃ED,Z

EAB=120\则NDCB=（）

A.150°B.160°C.130°D.60°

【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出NE,然后判断出4ADE是等边三角形，根据

等边三角形的三个角都是60。可得NEAD=60。，再求出/BAD=60。，然后根据等腰三角形两

底角相等和四边形的内角和等于360。计算即可得解.

【解答】解：・・・AB〃ED,

/.ZE=1800-ZEAB=180s-120°=60°,

VAD=AE,

「•△ADE是等边三角形，

/.ZEAD=60°,

...ZBAD=ZEAB-ZDAE=120°-60°=60°,

VAB=AC=AD,

/.ZB=ZACB,ZACD=ZADC,

在四边形ABCD中，NBCD」(360°-ZBAD)」(360。-60。)=150°.

22

故选A.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三

角形的性质，以及多边形的内角和，熟记各性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是

解题的关键.

9.(3分)(2015•德阳)如图，在一次函数y=・x+6的图象,上取一点P,作PA_Lx轴于点A,

PBJ_y轴于点B,且矩形PBOA的面积为5,则在x轴的上方满足上述条件的点P的个数共

有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】分两种情况：①当0VxV6时，②当xVO时列出方程，分别求解即可.

【解答】解：①当0VxV6时，设点P(x,-x+6),

・•・矩形PBOA的面积为5,

:、x(-x+6)=5»化简X2-6x+5=0,解得xi=l,X2=5»

•••Pl(1,5),P2(5,1),

②当xVO时，设点P(x,-x+6),

・•・矩形PBOA的面积为5,

-x(-x+6)=5,化简x2-6x-5=0,解得X3=3-X4=3+VT4(舍去)，

，P3(3-g,3+S1)，

・•・在x轴的上方满足上述条件的点P的个数共有3个.

故选：C.

【点评】本题主要考查了•次函数I:点的坐标特征，解题的关键是要分两种情况讨论求解.

1（）.（3分）（2015•十堰）如图，正方形ABCD的边长为6,点E、F分别在AB,AD上,

若CE=34G，且NECF=45。，则CF的长为（）

A.2^10B.3^5C.D.

【分析】首先延长FD到G,使DG=BE,利用正方形的性质得NB=NCDF=/CDG=90。，

CB=CD；利用SAS定理得△BCE^^DCG,利用全等三角形的性质易得4GCF四△ECF,

利用勾股定理可得AE=3,设AF=x,利用GF=EF,解得x,利用勾股定理可得CF.

【解答】解：如图,延长FD到G,使DG二BE；

连接CG、EF；

•・•四边形ABCD为正方形，

在4BCE与ADCG中，

fCB=CD

NCBE二NCDG，

IBE=DG

/.△BCE^ADCG（SAS）,

ACG=CE,ZDCG=ZBCE,

JZGCF=45°,

在AGCF与AECF中，

rGC=EC

<NGCF=/ECF，

CF二CF

/.△GCF^AECF(SAS),

・・・GF=EF,

VCE=3A/5»CB=6,

：•BE=JCE2-CB气(浦)2-6*3，

，AE=3,

设AF=x,则DF=6-x,GF=3+(6-x)=9-x,

：•EF=JAE2|产办小，

:.(9-x)2=9+X2,

.*.x=4,

即AF=4,

AGF=5,

/.DF=2,

工CFWCD2+D产

故选：A.

【点评】木题.主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理等，构建全等三角形，利用方

程思想是解答此题的关键.

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）（2013•辽阳）PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将

0.0000025川科学记数法表示为2.5X10-6.

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为aXlO,与较大数

的科学记数法不同的是其所使用的是负指数累，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面

的0的个数所决定.

【解答】解：0.0000025-2.5X10

故答案为：2.5X10'6.

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为aXlOE其中lW|a|VIO,n

为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

12.（3分）（2015•株洲模拟）分解因式：4（x+1）2-16x=4（x-1）2.

【分析】原式提取4,再利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：原式=4[（x+1）2-4x]=4（x-1）2,

故答案为：4（x-1）2

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的

关键.

13.（3分）（2016•澄海区一模）如图所示，直线将含有45。角的三角形板ABC的直

角顶点C放在直线m上.若N1=25。，则/2的度数为20。.

4

【分析】首先过点B作BD〃1,由直线l〃m,可得由两直线平行，内错角相

等，即可求得答案N4的度数，又由AABC是含有45。角的三角板，即可求得N3的度数，

继而求得N2的度数.

【解答】解：如图，过点B作BD〃1.

・・•直线l〃m,

，BD〃l〃m,

Z4=ZI=25°,

VZABC=45°,

AZ3=ZABC-Z4=45°-25°=20°,

/.Z2=Z3=20°.

故答案为：20°.

A

【点评】此题考查了平行段的性质.此题难度不大，注意辅助线的作法，注意掌握两直线平

行，内错角相等定理的应用.

14.（3分）（2015•黄冈模拟）如图，AB是。O的直径，M是。O上一点，MN±AB,垂足

为N.P,Q分别为弧AM,弧BM上一点（不与端点重合），如果NMNP=NMNQ.有以下

结论：@Z1=Z2,@ZMPN+ZMQN=180°,③/MQN二NPMN,④PM=QM,

©MN2=PN«QN.其中正确的是①③⑤.

【分析】利用等角的余先相等得到①对；利用三角形内角和定理得②错；利用垂径定理,

同弧所对的圆周角相等得③）对；利用三角形相似得⑤对，④错.

【解答】解：延长QN交圆O于C,延长MN交圆。于D,如图，

VMN±AB,ZMNP=ZMNQ,

则/1=/2,故①正确；

〈AB是。O的直径，MN1AB,茴二而，

VZ1=Z2,ZANC=Z2,

AZ1=ZANC,

，P，C关于AB对称，

则田二菽,PD=MC»

AZMQN=ZPMN,故③正确；

VZMPN+ZPMN<180°,NMQN=NPMN,

.,.ZMPN+ZMQN<180°,

故②错误；

VZMNP=ZMNQ,ZQ=ZPMN,

AAPMN^AMQN,

AMN2=PN*QN,PM不一定等于MQ；

故⑤正确，&错误.

故答案为：①③⑤.

B

【点评】此题为圆的综合题，考查了垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质以及

等腰三角形的性质等知识，此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的

应用，注意辅助线的作法.

15.(3分)(2015•株洲模拟)如图所示，直径为10的圆A经过点C(0,5)和点O(0,

0),B是y轴右侧圆A优弧上一点，那么sin/OBC的值是

【分析】作直径OE,连接CE,则OE=1(),根据圆周角定理得出NE=NB,解直角三角形

求出sinE即可.

【解答】解：如图:

作直径OE,连接CE,

贝I」OE=10,

根据圆周角定理得：ZE=ZB,

VOE为直径，

/.ZOCE=90°,

VC(0,5),

・・・OC=5,

sinZOBC=sinE=-QC_5_1

0E10~2

故答案为：1.

2

【点评】本题考查了解直角三角形，圆周角定理的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键,

注意：在同圆或等圆中，圆周角等于它所夹弧所对的圆心角的一半.

16.（3分）（2015•宁德）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=W（x>0）的图象交

矩形OABC的边AB于点D,交边BC于点E,且BE=2EC.若四边形ODBE的面枳为6,

【分析】连接OB,由矩形的性质和已知条件得出AOBD的面枳=Z\OBE的面积二!四边形

2

ODBE的面积=3,在求出AOCE的面积，即可得出k的值.

【解答】解：连接OB,如图所示：

•・•四边形OABC是矩形，

ZOAD=ZOCE=ZDBE=90°,AOAB的面积=4OBC的面积，

YD、E在反比例函数y=四（x>0）的图象上，

/.△OAD的面积=AOCE的面积，

AAOBD的面积=Z\OBE的面积二工四边形ODBE的面枳=3,

2

,:BE=2EC,，AOCE的面积二上△OBE的面积二至，

22

/.k=3；

【点评】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象与解析式的求法;

熟练掌握矩形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键.

三、解答题（共8个小题，应写出必要的解答说明、证明过程或演算步骤，满分67分）17.（5

分）计算：

17.（5分）（2015•黄冈模拟）先化简，再求值：2二土2），其中Xi丐-3.

2x-4x-2

【分析】首先将括号内的式子进行通分，然后将除法统一为乘法运算，再约分、化简即可.

3-x

【解答】解:5-X-2)

2x-4x-2

_3-x=5_3-2)(x+2)

~2x-4x-27^2)

_3-x.5-(x2-4)

2x-4,x-2

=3-x1x-2

2(x-2)(3-x)(3+x)

=1.

2(x+3),

当x=Vs-3时，原式二―屋=Y3.

2-736

【点评】此题是典型的“化简求值〃类问题，解题的关键在于化简，应熟练掌握分式混合运算

的解题方法.

18.(8分)(2016春•简阳市校级月考)为响应我市“中国梦〃•"株洲梦"主题教育活动，某中

学在全校学生中开展了以“中国梦•我的梦''为主题的征文比赛，评选出一、二、三等奖和优

秀奖.孔明同学根据获奖结果，绘制成如图所示的统计表和数学统计图.

等级频数频率

一等奖a0.1

二等奖100.2

三等奖b0.4

优秀奖1503

请你根据图表提供的信息，解答下列问题：

(1)完成表格和扇形统计图：a=5,b=20,n=144.

(2)学校决定在获得一等奖的作者中，随机推荐两名作者代表学校参加市级比赛，其中王

梦、李刚都获得一等奖，请用画树状图或列表的方法，求恰好选中这二人的概率.

【分析】(1)苜先利用频数、频率之间的关系求得参赛人数，然后乘以一等奖的频率即可求

得a值，乘以三等奖的频率即可求得b值，用三等奖的频率乘以360。即可求得n值；

(2)列表后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率.

【解答】解：(1)观察统计表知，二等奖的有10人，频率为0.2,

故参赛的总人数为10・0.2=50人，

a=50X0.1=5人，b=50X0,4=20.

n=0.4X360°=144°,

故答案为：5,20,144；

(2)列表得:

ABC王李

A-ABACA王A李

BBA-BCB王B李

CCACB-C王C李

王王A王B王c-王李

李李A李B李c李王-

•••共有20种等可能的情况，恰好是王梦、李刚的有2种情况，

，恰好选中王梦和李刚两位同学的概率P=2_=1..

2010

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的练合运用以及用列表法或画树形图注求随

机事件的概率.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统

计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小

19.（10分）（2015•黄冈模拟）如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别交于点A、B两点,

与y=k的图象交于c、D.CE_LOA于E.若aBOD与ZXACE的面积之和为5.

x

（1）求反比例函数y=K的解析式；

x

（2）求AOCD的面积；

（3）直接写出不等-x+3-工>0的解集.

【分析】（1）连接OD、OC,利用对称性可得OD=OC,可证明△OBD0Z\OAC,可月k

表示出面积，可求得k的值，可求得反比例函数解析式；

（2）联立两函数解析式可求得C、D两点的坐标，再利用三角形面积之和可求得aOCD的

面积；

（3）把不等式可化为-X-3>K,即•次函数在反比例函数图象上方时对应的x的范围，结

x

合图象可求得其解集.

【解答】解：

（1）如图1,连接OD、OC,

•・•直线y;・x+3与x轴，y轴分别交于点A、B两点,

AOA=OB=3,

/.ZOBA=ZOAB,

AZOBD=ZOAC,

由对称性可得OC=OD,

AZODB=ZOCA,

在aOBD和AOAC中

rZ0BD=Z0AC

•NODB二NOCA

OD=OC

AAOBD^AOAC,

SAOBD+SAACE=S△OCE=—kI=5,又kVO,

2

Ak=-10,

・•・反比例函数解析式为y=-独;

x

fy=-x+3

(2)联立两函数解析式可得

Kl7I。

解得仁2或｛急2

AC(5,-2),D(-2,5),

:，SOCD=SAOAD+SAOAC=—X2X7=7；

A2

(3)V-x+3-K>0可化为・X+3>K,

XX

，其解集为一次函数在反比例函数图象上方时对应的XII勺范围，

结合图象可知xV-2或0VxV5.

【点评】本题主要考查一次函数和反比例函数的交点，掌握求函数交点的方法是解题关键,

注意数形结合思想的应用.

20.（10分）（2015•黄冈模拟）"低碳生活”作为一种健康、环保、安全的生活方式，受到越

来越多人的关注.某公司生产的健身自行车在市场上受到普遍欢迎，在国内市场和国外市场

畅销，生产的产品可以全部售出，在国内市场每辆的利润yi（元）与销量x（万辆）的关系

如图所示；在国外市场每辆的利润y2（元）与销量x（万量）的关系为：

f-20x+360（0<x<6）

y2=<.

l240（4<x<10）

（1）求国内市场的销售总利润zi（万元）关于销售量x（万辆）的函数关系式，并指出自

变量的取值范围.

（2）该公司的年生产能力为10万辆，请帮助该公司确定国内、国外市场的销量各为多少时,

【分析】（1）根据图表中的数据，设出关系式，代入数据即可求出关系式：

（2）题中等量关系为：总利润=国内利润+国外利润，根据等量关系函数表达式，分段讨论

出最大值即可解决.

400(0<x<4)400x(04x44)

【解答】解:(1)yi=«贝ijZi=xy=<

-30x+520(44x410)-30X2+520X(4<X<10)

（2）该公司在国外市场的利润Z2=xy=]-20X2+360X（0<X<6）

（240x（6<x<10）

该公司的年生产能力为10万辆，在国内市场俏售t万辆时，在国外市场俏售（10-t）万辆,

则

'400t（0<t<4）

Zi="->

-30t2+520t（4<t<10）

-20(10-t)2+360(10-t)(0<10-t<6)_-20t2+40t+1600(4<t<10)

240(10-t)(6<10-t<10)-240x+2400(0<x<4)

设该公司每年的总利润为w（万元），则

160t+2400(0<t<4)(160t+2400(0<t<4)

W=Z1+Z2=

-5012+560t+1600(4<t<l0)-50(t-—)+3168(4<t<10)

当0WtW4时，w随t的增大而增大，当t=4时，w取最大值，此时w=3040.当4WtW10

时，当t=2&时，w取最大值，此时w=3168.综合得：当时，w的最大值为3168.此

55

时，国内的销量为2s万辆，国外市场销量为22万辆，总利润为3168万元.

55

【点评】此题考查了二次函数的应用，涉及的知识有：一次函数的图象与性质，二次函数的

图象与性质，分段函数，以及待定系数法确定函数解析式，是一道综合性较强的应用题.

21.(10分)(2015•德阳)如图，已知BC是。O的弦，A是。O外一点，^ABC为正三角

形，D为BC的中点，M为。O上一点，并且NBMC=6。。.

(1)求证：AB是。O的切线；

(2)若E,F分别是边AB,AC上的两个动点，且NEDF=120。，QO的半径为2,试问BE+CF

的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

【分析】(1)连结OB、OD、OC,如图1,由于D为BC的中点，根据垂径定理的推理得

ODXBC,NBOD=NCOD,再根据圆周角定理得NBOD=NM=60。，则NOBD=30。，所以,

ABO=90。，于是根据切线的判定定理得AB是。O的切线：

(2)作DMJ_AB于M,DN_LAC于N,连结AD,如图2,根据等边三角形三角形的性质

得AD平分NBAC,ZBAC=60°,则利用角平分线性质得DM=DN,根据四边形内角和得N

MDN=I2()。，由于NEDF=120。，所以NMDE=NNDF,接着证明aDME0ZXDNF得到

ME=NF,于是BE+CF=BM+CN,再计算出BM'BD,CN=工OC,则BE+CF=-1BC,于是

222

可判断BE+CF的值是定值，为等边AABC边长的一半，再计算BC的长即可.

【解答】(1)证明：连结OB、OD、OC,如图1,

1D为BC的中点，

/.OD±BC,ZBOD=ZCOD,

・•・ZODB=90°,

VZBMC=JLZBOC,

2

.\ZBOD=ZM=60°,

AZOBD=30°,

••.△ABC为正三角形，

NABO60。

:.NABO=600+30°=90°,

AAB1OB,

・・・AB是。。的切线；

(2)解:BE+CF的值是为定值.

作DH_LAB于H,DN_LAC于N,连结AD,如图2,

:△ABC为正三角形，D为BC的中点，

，AD平分NBAC,NBAO60。，

.\DH=DN,ZHDN=I2O0,

VZEDF=120°,

AZHDE=ZNDF,

在ADHE和4DNF中，

rZDHE=ZDNF

<DH=DN，

ZHDE=ZNDF

.,.△DHE^ADNF,

，HE:NF,

.\BE+CF=BH-EH+CN+NF=BH+CN,

在RtADHB中，,/ZDBH=60°,

.・.BH」BD,

2

同理可得CN二工OC,

2

BE+CF=AOB+^OC=1BC,

222

VBD=OB>COS30°=V3»

・・・BEiCF的值是定值,为证.

【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切

线.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直

即可.也考查了等边三角形的性质.

22.（10分）（2014•牡丹江）如图,在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,CD1AB

于点D.点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A

运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止.设

运动时间为t秒.

（1）求线段CD的长；

（2）设4CPQ的面积为S,求S与I之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某

一时刻3使得SACPQ：S乙ABC=9：100?若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.

（3）当t为何值时，4CPQ为等腰三角形？

【分析】（I）利用勾股定理可求出AB长，再用等积法就可求出线段CD的长.

（2）过点P作PH_LAC,垂足为H,通过三角形相似即可用I的代数式表示PH,从而可以

求出S与t之间的函数关系式；利用S.CPQ：S^ABC=9：100建立t的方程，解方程即可解决

问题.

（3）可分三种情况进行讨论：由CQ二CP可建立关于t的方程，从而求出t；由PQ=PC或

QC=QP不能直接得到关于I的方程，可借助于等腰三角形的三线合一及三角形相似，即可

建立关于t的方程，从而求出t.

【解答】解：（1）如图1,

VZACB=90°,AO8,BC=6,

AAB=I0.

VCD1AB,

.•.SAABC=—BC*AC=A.AB*CD.

22

...CD=BC・AC=6X>=48,

AB10

・•・线段CD的长为4.8.

（2）①过点P作PH_LAC,垂足为H,如图2所示.

由题可知DP=t,CQ=l.

则CP=4.8-t.

VZACB=ZCDB=90o,

/.ZHCP=90°-ZDCB=ZB.

VPH±AC,

JZCHP=90°.

.\ZCHP=ZACB.

AACHP^ABCA.

・PHPC

••而而

.PH4.8-t

••----zz-----------

810

255

ASACPQ=—CQ*PH=i(匹-&)=-2?+堂［.

22255525

②存在某一时刻t,使得SaCPQ：SAABC=9：100.

VS/,ABC=IX6X8=24,

2

且SACPQ：SAABC=9：100,

・•・(+鸣)：24=9：100.

525

整理得:5t2-24t+27=0.

即(5t-9)(t-3)=0.

解得：l=型或1=3.

5

V0<t<4.8,

，当t=2秒或t=3秒时，SACPQ：SAABC=9：100.

5

(3)①若CQ=CP,如图1,

则t=4.8-t.

解得：1=2.4.

②若PQ=PC,如图2所示.

VPQ=PC,PH±QC,

/.QH=CH=iQC=^.

22

VACHP^ABCA.

.CHCP

・'BC=M

t

,~24.8-t

••---zz-------------

610

解得：

55

③若QC=QP,

过点Q作QEJ_CP,垂足为E,如图3所示.

同理可得：t二普.

综•上所述：当t为2.4秒或%秒或丝秒时，4CPQ为等腰三角形.

5511

A,

O

Q

H

Q

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、•元二次方程的应用、

勾股定理等知识，具有一定的综合性，而利用等腰三角形的三线合一巧妙地将两腰相等转化

为底边上的两条线段相等是解决第三小题的关键.

23.（14分）（2014•南充）如图，抛物线y=x?+bx+c与直线y=x-1交于A、B两点.点A

的横坐标为-3,点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m,过点P

作PC_Lx轴于C,交直线AB于D.

（1）求抛物线的解析式：

（2）当m为何值时，SpniijfjOBDC=2SABPD：

（3）是否存在点P，使4PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明

理由.

【分析】(1)将x=0代入y=x-1求出B的坐标，将x=-3代入y=x-1求出A的坐标，由

待定系数法就可以求出抛物线的解析式；

(2)连结0P,由P点的横坐标为m可以表示出P、D的坐标，由此表示出S四边形OBDC和

2saBPD建立方程求出其解即可.

(3)如图2,当/APD=90。时，设出P点的坐标，就可以表示出D的坐标，由△APDs4

FCD列出比例式求解即可；如图3,当/PAD=90。时，作AE_Lx轴于E,根据比例式表示出

AD,再由△PADsz^FEA列出比例式求解.

【解答】方法一：

解：(1)*.*y=x-1>

当x=0时，y=-1,

AB(0,-1).

当x=-3时，y=-4,

A(-3,-4).

Vy=x*2+bx+c与直线y=x-1交于A^B两点，

*-l=c

…-4=9-3b+c

.'b二4

••s，

C=-1

，抛物线的解析式为：y=x?+4x・l：

(2)•.•P点横坐标是m(ni<0),

.*.P(m,m2+4m-1),D(m,m-1)

如图