专题强化三：抛物线的标准方程及几何性质必刷题 （解析版）

专题强化三：抛物线的标准方程及几何性质必刷题【题型归纳】题型一：抛物线的定义1．（2023·全国·高二）若抛物线（）上一点到焦点的距离是，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用抛物线定义有，结合已知求即可.【详解】设焦点为，则，解得．

故选：D2．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，作出抛物线与直线AB的图像，利用抛物线的定义将曲线上的点到焦点的距离转化为曲线上的点到准线的距离，借助几何图形可判断直线AB的倾斜角，从而可得答案．【详解】如图，当点在第一象限时，过点分别向准线作垂线，垂足为，作，垂足为，则轴，设，则，，由抛物线的定义得，则有，在中，等于直线的倾斜角，其正切值即为值，，，∴，于是直线l的倾斜角为，斜率．当点在第四象限时，根据抛物线的对称性可得斜率为.故选：D．3．（2023春·内蒙古·高二校联考期末）已知A，B，M，N为抛物线上四个不同的点，直线AB与直线MN互相垂直且相交于焦点F，O为坐标原点，若的面积为2，则四边形AMBN的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由的面积求出，则可求出直线的方程，联立直线与抛物线方程可得，由抛物线的定义可求出，同理求出，即可求出四边形AMBN的面积.【详解】不妨设，且．因为的面积为，所以，代入抛物线的方程可得，则．又因为直线过点，所以直线的方程为：，化简可得：．由，得，所以，则．直线的方程，同理可得．因为，所以四边形的面积为．

故选：D.题型二：抛物线的标准方程4．（2023秋·安徽黄山·高二统考期末）若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，则抛物线的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据点在抛物线上及抛物线定义列方程组求参数p，即可得结果.【详解】由题意，结合抛物线定义，可得，解得，所以抛物线的方程为.故选：D.5．（2023春·广东深圳·高二校考期中）已知抛物线的焦点为是抛物线上一个动点，点，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．过点与抛物线有一个公共点的直线有3条C．连接并延长与抛物线交于点，若的中点，则D．点到直线的最短距离为【答案】BC【分析】根据抛物线的相关公式以及图形找到几何关系即可.【详解】

解：由抛物线的方程可得焦点，准线方程A中，由抛物线的性质，则，代入抛物线的方程可得，所以A不正确；中，将点的坐标代入：，可得点在抛物线的外面，所以过有两条直线与抛物线相切，还有一条平行于轴的直线与抛物线有一个公共点，所以有3条直线与抛物线有一个公共点，正确；中，，所以正确；中，点到直线的距离，所以的最小值为不正确.故选：.6．（2023春·福建泉州·高二校考期末）已知抛物线的焦点为，点，线段与抛物线相交于点，若抛物线在点处的切线与直线垂直，则抛物线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设点的坐标为，利用导数求得抛物线在点处的切线斜率，利用直线垂直时斜率的关系求解即可．.【详解】抛物线的焦点为，设点的坐标为，抛物线方程变形为，由，所以抛物线在点处的切线斜率为，由抛物线在点处的切线与直线垂直，得，即，所以.因为点在线段上，所以，所以，解得，所以抛物线的方程为.故选：D题型三：抛物线的几何性质7．（2018春·广东佛山·高二佛山一中校考期中）是抛物线的焦点，以为端点的射线与抛物线相交于，与抛物线的准线相交于，若，则A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，设的横坐标为，则由抛物线的定义，可得．则．所以．所以．故本题答案选．8．（2017秋·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期中）已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为A． B． C． D．【答案】B【详解】由圆圆心，半径，设，故选B.【点睛】解答本题的关键步骤是：1.确定圆的标准方程；2.根据两点距离公式求出；3.根据直角三角形三边关系求出；4..根据四边形面积公式求出.9．（2020春·广东·高二统考期末）已知过点的直线与抛物线相交于，两点，点，若直线，的斜率分别为，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先由题意，设，，直线的方程为：，联立直线与抛物线方程，由韦达定理，得出，，再由题意，表示出，根据基本不等式，即可求出结果.【详解】因为过点的直线与抛物线相交于，两点，所以可设，，直线的方程为：，由得，因此，，且，又直线，的斜率分别为，，点，所以，，因此，当时，；当时，，且，当且仅当，即时，等号成立；所以；当时，，且，当且仅当，即时，等号成立；所以，综上.故选：C.题型四：抛物线的对称性问题10．（2023秋·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知圆与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于，两点，若四边形是矩形，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题，结合抛物线与圆的对称性得弦为抛物线的通径，进而有，解方程即可得答案.【详解】解：因为四边形是矩形，所以由抛物线与圆的对称性知：弦为抛物线的通径，因为圆的半径为，抛物线的通径为，所以有：，解得故选：D11．（2023秋·山西运城·高二康杰中学校考期末）已知曲线的抛物线及抛物线组成，，，是曲线上关于轴对称的两点（四点不共线，且点在第一象限），则四边形周长的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，，是曲线上关于轴对称的两点，结合抛物线的对称性建立四边形周长模型，再由抛物线的定义得到，然后由直线段最短求解.【详解】设抛物线的焦点为，则四边形的周长:，当共线时取等号，故选：B.12．（2017春·湖南益阳·高二桃江县第一中学校考期中）已知是抛物线：上一点，是抛物线的焦点，若，是抛物线的准线与轴的交点，则A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意得，在抛物线上一点，使得，则点的坐标为，又抛物线的准线方程为，所以准线与轴的交点，则，所以在直角中，，所以，故选B．题型五：抛物线的最值问题13．（2023秋·陕西·高二校联考期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，且，则的最小值为（

）A．8 B．16 C．11 D．26【答案】C【分析】根据，再结合图形求解即可.【详解】因为抛物线：，所以抛物线的准线为，记抛物线的准线为，作于，如图所示：因为，，所以当，，共线时，有最小值，最小值为.故选：C.14．（2023秋·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期末）点为抛物线上任意一点，点为圆上任意一点，为直线的定点，则的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】画图，找出抛物线焦点，化简圆的普通方程为标准方程，结合抛物线定义以及共线性质分析得出最值.【详解】如图所示：由知，抛物线焦点，由，化为，即为以为圆心，1为半径的圆，又，得，恒过定点，过点作垂直于抛物线的准线：交于点，连接，则，当三点共线时，最小,此时为3，所以的最小值为：，故选：A.15．（2023春·上海松江·高二上海市松江一中校考期中）已知抛物线的焦点为，准线为是过焦点的一条弦，已知点，则（

）A．焦点到准线的距离为1B．焦点，准线方程为C．D．的最小值是5【答案】D【分析】根据抛物方程可得，及焦点位置可判断AB，利用特殊位置为通径时判断C，再由抛物线定义及三点共线可判断D.【详解】由题设知，所以焦点到准线的距离为2，故A错误；由抛物线的方程知，抛物线焦点在轴上，故B错误；考虑特殊情形，当与轴垂直时，得到，故C错误；作，垂足为，如图，因为,所以，当且仅当三点共线时等号成立，故D正确．故选：D题型六：抛物线的综合问题16．（2023秋·高二课时练习）设O为坐标原点，点M，N在抛物线上，且.(1)证明：直线过定点；(2)设C在点M，N处的切线相交于点P，求的取值范围.【答案】(1)证明见详解；(2)【分析】（1）设直线方程与抛物线联立，利用韦达定理结合平面向量数量积计算即可；（2）利用导数得出过M、N的切线方程，求出切线的交点P坐标，结合弦长公式得出比值，利用函数研究计算其范围即可.【详解】（1）由题意可设直线的方程为：，，联立抛物线方程，所以，又，化简得，解之得，即直线为：，显然过定点；（2）由抛物线，则点的切线方程分别为，易知，联立切线方程可得，结合（1）可知，∴，故，，由弦长公式及（1）可得，所以，易知，即的取值范围为.17．（2023秋·江苏南京·高二南京市秦淮中学校联考阶段练习）设抛物线：的焦点为，，在准线上，的纵坐标为，到点距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)过且斜率为2的直线与交于、两点，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据抛物线的方程的得到，，然后根据到点的距离为4列方程，解方程得到即可得到抛物线的方程；（2）联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得到，根据点到直线的距离公式得到三角形的高，然后求面积即可.【详解】（1）由题意得，，所以，解得或（舍去），所以抛物线的方程为.（2）由（1）可得，，所以直线的方程为，即，设，，联立可得，所以，，设点到直线的距离为，则，所以.18．（2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）已知抛物线：（）上的一点到准线的距离为1．(1)求抛物线的方程；(2)若正方形的三个顶点、、在抛物线上，求这种正方形面积的最小值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）根据抛物线定义可求解；（2）设出，，点的坐标，的斜率为，根据斜率公式可得，，再根据，可得，可求出正方形面积的表达式，利用不等式放缩可求出面积的最小值.【详解】（1）抛物线的准线方程为，由抛物线上点到准线的距离为1，结合抛物线的定义得，∴，抛物线的方程为.（2）方法一：如图设三个顶点有两个在轴的右侧（包括轴），设在抛物线上的三个点，，点的坐标分别为，，，，的斜率为（）．则有

，，即，．所以，，①又，所以即,代入①，得,即,∵，，，∴，化简得，正方形的面积为，∵，∴，当且仅当时等号成立，所以，即，∴.方法二：的斜率为（），点的坐标为，则由，得，∴，，又，∴，即，∴，即，∴，正方形的面积，令，，则，设，，则，，∵，∴，∴单调递增，.方法三：设直线：，（为参数）代入抛物线，得，即，∴，，设，则，同理，，不妨设，∵，∴，化简得，∴，，设，则，，，∵，∴，∴单调递增，.【专题训练】一、单选题19．（2023秋·全国·高二期中）已知抛物线C：的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则p＝（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】根据抛物线的定义结合可求得，然后将点的坐标代入抛物线方程可求出的值.【详解】因为点在抛物线上，，所以，所以，所以，所以，解得.故选：C

20．（2023秋·全国·高二期中）若点在焦点为的抛物线上，且，点为直线上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】先求得点的坐标，求得关于直线的对称点，根据三点共线求得的最小值.【详解】抛物线的焦点，准线，，则，不妨设，关于直线的对称点为，由于，所以当三点共线时最小，所以的最小值为.故选：A

21．（2023秋·河南三门峡·高二统考期末）抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，点为抛物线上的动点，且点在的右下方，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出直线方程后，联立抛物线方程，求出弦长，再由点到直线距离得出三角形高，利用二次函数求最值即可.【详解】由知，则直线为，

设，则D到直线的距离为，又点在的右下方，所以，联立方程，消元得，设，则，，所以，所以故当时，有最大值.故选：A22．（2023春·福建厦门·高二厦门一中校考期中）过抛物线：上一点作两条直线分别与抛物线相交于，两点，若直线的斜率为2，直线，的斜率倒数之和为3，则（

）A． B．5 C． D．15【答案】C【分析】设，，表示出，，的斜率，然后利用直线，的斜率倒数之和为3，列方程可求得结果.【详解】设，，故，则因为在抛物线上，所以，所以，所以，解之，得，故选：C.

23．（2023春·云南保山·高二校联考期末）过抛物线的焦点且倾斜角为锐角的直线与交于两点，过线段的中点且垂直于的直线与的准线交于点，若，则的斜率为（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根据题意结合抛物线的定义分析可得，，进而可得的倾斜角和斜率.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，如图，过作准线的垂线交准线于，因为，所以，可知与轴的正方向的夹角为，则的斜率为，故选：A.

24．（2023春·福建厦门·高二统考期末）如图，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，已知太阳灶的口径（直径）为4m，深度为0.5m，则该抛物线顶点到焦点的距离为（

）

A．0.25m B．0.5m C．1m D．2m【答案】D【分析】建立坐标系，求出抛物线方程即可求解.【详解】以该抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系，如图所示：

设此抛物线方程为，依题意点在此抛物线上，所以，解得，则该抛物线顶点到焦点的距离为.故选：D25．（2023秋·全国·高二期中）已知O为坐标原点，M为抛物线C：上一点，直线l：与C交于A，B两点，过A，B作C的切线交于点P，则下列结论中正确结论的个数是（

）（1）；（2）若点，且直线AM与BM倾斜角互补，则；（3）点P在定直线上；（4）设点，则的最小值为3．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可判断（1），（2），分别求出点处的切线方程，联立切线方程求点的坐标，即可判断（3），设，利用两点间距离，结合二次函数求最值，即可判断（4），【详解】对于（1），设，由，得，由，所以，所以，所以（1）正确，对于（2），因为，直线AM与BM倾斜角互补，所以，所以，所以，所以，且，所以，且解得，所以（2）正确，对于（3），设点在轴上方，在轴下方，设，轴上方的抛物线方程为，轴下方的抛物线方程为，此时在点处的切线的斜率为，在点处的切线的斜率为，所以在点处的切线方程为，在点处的切线方程为，方程化简为，，两式相除化简得，所以（3）正确，对于（4），设，由于，所以，当时，取得最小值，所以（4）错误，故选：C

【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线切线方程的求法，解题的关键是直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，然后逐个分析，考查计算能力，属于较难题.26．（2023春·陕西宝鸡·高二校联考期末）已知抛物线：与圆：在第一象限交于，两点，设关于轴的对称点为，则直线的斜率为（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】联立方程求出两点横坐标，然后利用两点斜率公式求解即可.【详解】联立消去y得，又，，又，所以，所以，因为关于轴的对称点为，所以，所以直线的斜率为.

故选：C27．（2023春·山西大同·高二校考期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交于点，分别在点处作的两条切线，两条切线交于点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设直线的方程为，，与抛物线联立可得，再利用求曲线上一点的切线方程得过与相切的直线方程，再利用两条直线的交点坐标得​​​​​​​，再利用两点间的距离公式计算得结论.【详解】显然直线的斜率存在，因此设直线的方程为，，由得，因此，故.因为，所以过与相切的直线方程分别为：、，因此由得，即，所以.因为，所以，因此，所以的取值范围是.故选:C.二、多选题28．（2023秋·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考期末）已知抛物线的焦点为，顶点为，点在抛物线上，若，则下列各选项正确的是（

）A． B．以MF为直径的圆与轴相切C． D．【答案】ABD【分析】对于AB，根据抛物线的定义结合已知条件判断，对于C，先求出点的坐标，再利用两点间的距离公式可求得结果，对于D，根据抛物线的性质结合三角形的面积公式求解.【详解】对A：由题意可知，由，可得，故A正确；对B：∵的中点的横坐标为，则到轴的距离∴以为直径的圆与轴相切，故B正确；对C：当时，，解得，即则，故C错误；对D：，故D正确；故选：ABD．

29．（2023春·江苏扬州·高二扬州中学校考期中）过抛物线C：焦点F的直线与C交于A，B两点，点A，B在C的准线l上的射影分别为，，的平分线与l相交于点P，O为坐标原点，则（

）A． B．三点A、O、共线C．原点O可能是的重心 D．可能是正三角形【答案】AB【分析】利用抛物线定义推理判AD；设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，计算判断BC作答．【详解】如图，由抛物线定义知，，

又平分，∴，∴，即，A正确；设A又，设AB方程为，代入C的方程得，则点，直线OA斜率，直线的斜率，三点共线，B正确；若原点O是△PAB的重心，而点P的横坐标为，即又又，，C错误；，△OBF不可能是正三角形，D错误．故选：AB．30．（2023春·福建福州·高二校考期中）已知为抛物线上一动点，则（

）A．准线为l：B．存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离C．点P到直线距离的最小值等于D．的最小值为6【答案】BCD【分析】对于AB，利用抛物线的方程与性质即可判断；对于C，利用点线距离公式与二次函数的性质即可判断；对于D，将问题转化为动点到两定点的距离，再结合图像即可判断.【详解】因为为抛物线上一动点，抛物线的焦点为，准线为，由抛物线的定义可知，到焦点的距离等于到准线的距离，故A错误，B正确；点到直线的距离为，当时，，故C正确；设点到准线的距离为，到准线的距离为，则，故D正确.

故选：BCD.31．（2023春·广东韶关·高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，设线段的中点为P，以线段为直径的圆P交y轴于M，N两点，过P且与y轴垂直的直线交抛物线于点H，则（

）A．圆P与抛物线的准线相切 B．存在一条直线l使C．对任意一条直线l有 D．有最大值，且最大值为【答案】ACD【分析】根据直线和抛物线的关系联立方程组由韦达定理结合抛物线定义计算焦点弦判断A选项，根据焦半径判断B，C选项，根据图形特征及点到y轴距离求角的最值判断D选项.【详解】若直线轴，则直线l与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意．设点、，设直线的方程为，联立，整理可得，，因为，，，所以，从而到准线的距离为，而圆P的直径为，所以，故圆P与抛物线的准线相切，选项A正确；由韦达定理可得，，，，所以不存在一条直线l使，选项B不正确；因为，，，所以，从而，所以，由抛物线的定义可得，从而，选项C正确；

因为，，，所以圆P的直径为，则，点P到y轴的距离为，∴，所以当时，最小，最小值为，D正确．故选:ACD．32．（2023秋·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）已知抛物线与圆交于、两点，且，直线过的焦点，且与交于、两点，则下列说法中正确的是（

）A．B．C．存在某条直线，使得D．若点，则周长的最小值为【答案】ABD【分析】由则、两点坐标且在抛物线上，代入方程进而判断选项；直线方程为与抛物线联立，再根据韦达定理代入可求其值则可判断选项B；利用选项B中代入利用不等式求最小值后进行判断选项C；画出大致图像，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，过作垂直于准线，垂足为，结合的周长为，进而判断选项D即可．【详解】由对称性得点在抛物线上，所以，解得，故A选项正确；设直线和双曲线交于两点，设直线方程为，代入抛物线方程可得：，，所以，所以：故B选项正确；则，当且仅当时等号成立，故C错误；如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，取的中点为，过点作轴的垂线，

过作垂直于准线，垂足为，所以的周长为，当且仅当点的坐标为时取等号，故D选项正确．故选：ABD．【点睛】方法点睛：我们在处理有关焦点弦，以及焦半径问题时长度问题时有以下几种方法；（1）常规处理手段，求交点坐标然后用距离公式，含参的问题不适合；（2）韦达定理结合弦长公式，这是此类问题处理的通法；（3）抛物线定义结合焦点弦公式.三、填空题33．（2023秋·吉林长春·高二长春市实验中学校考期末）已知抛物线的图像过点，则该抛物线的焦点到准线的距离为.【答案】2【分析】先根据点的坐标求出抛物线方程，再利用抛物线焦点到准线的距离等于可得到答案.【详解】因为抛物线的图像过点，得，，所以抛物线方程为.

由于焦点在y轴上的抛物线标准方程为，其焦点到准线的距离为p，因此，，即该抛物线焦点到准线距离等于2.故答案为：234．（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）已知抛物线，直线l交该抛物线于M，N两点（直线l不过原点），若，则直线l经过定点．【答案】【分析】由题意可设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据，可得，求出，即可得解.【详解】由题意可设直线的方程为，，联立，消得，则，，因为，所以，即，即，所以，所以，又，所以，所以直线的方程为，所以直线l经过定点.故答案为：.

【点睛】求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.35．（2023春·福建厦门·高二厦门一中校考期中）已知椭圆：，抛物线：，两者的一个交点为，点.定义.若与交于，两点，则周长的取值范围为.【答案】【分析】解方程组求出，再利用的横坐标表示出的周长即可求解作答.【详解】由消去y得，而，解得，即，显然点为椭圆的右焦点，也是抛物线的焦点，函数在上的图象为抛物线的一部分，在上的图象为椭圆的一部分，如图，

令点，，于是，，而，因此周长，显然，则，所以周长的取值范围为.故答案为：36．（2023秋·全国·高二期中）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两个不同点，则下列结论正确的是.①若点，则的最小值是3②的最小值是2③若，则直线的斜率为④过点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为，则点的横坐标为【答案】①③④【分析】过点分别作准线的垂线，垂足分别为，进而根据抛物线的定义判断①；根据判断②；设直线的方程为，，进而联立方程，结合韦达定理，根据解方程即可得判断③；根据直线与曲线的位置关系得过点，分别与抛物线相切的直线方程为，，进而联立方程解得可判断④.【详解】由题知，，准线方程为，对于①选项，如图，过点分别作准线的垂线，垂足分别为，故，故①正确；对于②，设，故，故②错误；对于③，当直线的斜率不存在时，，不成立；故直线的斜率存在，设方程为，与抛物线方程联立，得，所以，因为，所以，即，解得，故③正确；对于④，设过点与抛物线相切的直线方程为，与抛物线方程联立得，所以，整理得，所以，故即为，整理得，同理得过点与抛物线相切的直线方程为，所以，联立方程，解方程得，因为，所以，所以，即点的横坐标为，故④正确.故选：①③④【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．四、解答题37．（2023秋·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）已知抛物线，p为方程的根.(1)求抛物线的方程；(2)若抛物线与直线无公共点，求此抛物线的通径（通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线被抛物线所截得的线段）.【答案】(1)或(2)4【分析】（1）代入求解得到或6，从而得到抛物线方程；（2）先联立抛物线方程与直线，由根的判别式得到与直线无公共点，从而求出两点坐标，得到.【详解】（1）由题意得，解得或6.或.（2）联立与可得，即，由，故抛物线与直线有公共点，不合要求，舍去；联立与可得，即，由，故抛物线与直线无公共点，∴焦点，中令，可得，解得，.38．（2023秋·广西贵港·高二统考期末）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的斜率.【答案】(1)(2)2【分析】（1）根据点在抛物线上及焦半径公式，列方程组求解即可；（2）设出坐标，代入抛物线方程，结合弦中点，利用点差法即可求得直线的斜率.【详解】（1）由题可知，，解得，故抛物线的方程为.（2）设，则，两式相减得，即.因为线段的中点坐标为，所以，则，故直线的斜率为2.

39．（2023秋·内蒙古包头·高二统考期末）抛物线的准线被圆截得的弦长为．(1)求的值；(2)过点的直线交抛物线于点，证明：以为直径的圆过原点．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意结合垂径定理可得到准线距离为，进而可得抛物线的方程；（2）联立方程，利用韦达定理证明即可.【详解】（1）圆，即，圆心，半径为2，则到准线距离为，所以准线方程为，可得，所以抛物线标准方程为．（2）设直线方程为，联立方程，消去x得，则，可得，又因为，则，可得，即以线段为直径的圆过点．

40．（2023秋·陕西商洛·高二校考期末）直线：与抛物线：交于，两点，且(1