专题强化五：直线与双曲线的位置关系考点归纳必刷题（解析版）

专题强化五：直线与双曲线的位置关系考点归纳必刷题【题型归纳】题型一：双曲线和直线的位置关系1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨七十三中校考期中）双曲线与直线的公共点的个数为（

）A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2【答案】C【分析】根据已知直线和双曲线的渐近线的位置关系判断即可.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以，当时，直线与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点；当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线有一个交点.故选：C

2．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线仅有一个公共点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用已知条件求出过且与双曲线仅有一个交点的直线方程，将该直线与双曲线联立求得点的坐标，最后利用双曲线的定义求出即可.【详解】由已知得，∴左焦点的坐标为，∵过的直线与双曲线仅有一个公共点，∴该直线与双曲线的渐近线或y=-x平行，∴不妨设该直线方程为，将直线与双曲线联立，解得，即,∴,又∵,

∴,故选：.3．（2023秋·上海金山·高二上海市金山中学校考期末）已知直线过双曲线的左焦点，且与C的渐近线平行，则l的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由双曲线焦点坐标求出双曲线的标准方程，然后写出双曲线的渐近线，然后分析所求直线所过的点可知它和双曲线的那一条渐近线平行即可.【详解】由双曲线方程为：，所以，由左焦点为，所以，由，所以，所以该双曲线的标准方程为：，所以渐近线方程为：，直线恒过点，且，且过，所以直线与渐近线平行，故，设直线l的倾斜角为，则，又，所以，故选：D.题型二：双曲线的弦长问题4．（2023秋·全国·高二期中）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，以为直径的圆与的两条渐近线分别交于与原点不重合的两点，，若，则四边形的面积为（

）A．6 B． C． D．4【答案】B【分析】结合双曲线图像对称性，可得轴，根据圆的性质和双曲线，，的关系可计算出，，，的长度，进而求出四边形的面积.【详解】设与轴交于点，由双曲线的对称性可知轴，，，又因为，所以，即，所以，因为点在以为直径的圆上，所以，所在的渐近线方程为，点到渐近线距离为，所以，所以，，则，所以，故选：B5．（2022秋·湖北襄阳·高二校考期末）设，是双曲线的左､右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H，且l与双曲线右支相交于点P，若，且，则下列说法正确的是（

）A．到直线l的距离为a B．双曲线的离心率为C．的外接圆半径为 D．的面积为9【答案】B【分析】根据题意可知，是的中点，因此可得，为△的中位线，可求到直线的距离判断A选项；利用双曲线的定义，即可求得，和的值，求得双曲线的离心率，可判断B选项；求得，利用正弦定理即可求得△的外接圆半径，可判断C选项；利用三角形的面积公式，即可求得△的面积，可判断D选项．【详解】由题意，到准线的距离，又，∴，如图过向作垂线，垂足为，由，为中点，则为△的中位线，所以，即是的中点，因为，，，，，因此到直线的距离为，故A错误；在中，，又，得到，解得，，，所以双曲线的离心率，故B正确；，设△的外接圆半径，因此，所以，故C错误；△的面积．故D错误.故选：B．6．（2022秋·天津和平·高二天津一中校考期中）已知双曲线：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，.以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，且点在第一象限，与另一条渐近线平行.若，则的面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据与渐近线平行，得到是等边三角形，，从而求出各边长，由勾股定理求出，结合渐近线斜率求出，从而求出，，从而求出的面积.【详解】过点M作MB⊥x轴于点B，OM与ON是双曲线的两条渐近线，故，因为与渐近线ON平行，所以，故，因为，所以，所以是等边三角形，，故，，，因为，由勾股定理得：，即，又因为，所以，由得：，从而，解得：，所以，则，，故.故选：A题型三：双曲线的中点弦问题7．（2023春·陕西榆林·高二统考期末）已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出，利用点差法即可求出结果.【详解】设，则有，，两式相减得到，又线段的中点坐标为，所以，得到，所以的斜率为.故选：B.8．（2023秋·河南平顶山·高二统考期末）已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为，直线l与C相交于A，B两点，若线段的中点为，则直线l的斜率为（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线的斜率.【详解】因为双曲线的标准方程为，所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离，化简得，解得，所以双曲线的标准方程为，设，所以①，②，①-②得，，化简得③，因为线段的中点为，所以，代入③，整理得，显然，所以直线的斜率.故选：B9．（2023秋·浙江宁波·高二校联考期末）过双曲线内一点且斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被平分，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，则有，，将两点的坐标代入双曲线方程相减，再结合的关系，可得，从而可得，从而可得答案.【详解】解：由题意可得，且，又因为，所以，即有，所以，所以，所以，所以，所以.故选：C.题型四：双曲线的参数范围或最值问题10．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知双曲线的左焦点为，左顶点为，为左准线上动点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据余弦定理表达出，结合不等式即可求解最值.【详解】由题意可知：，左准线方程为，故设，则,当在轴上，此时为0，时当不在轴时，在中，由余弦定理得，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，由于,故最大为，故选：B11．（2022春·上海浦东新·高二上海中学东校校考期末）过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】C【详解】首先根据题意得到的轨迹为：以为焦点，的双曲线的右支，从而得到曲线.再根据双曲线的性质求长度最小值即可.【点睛】椭圆，，所以.设以为直径的圆圆心为，如图所示：因为圆与圆外切，所以，因为，，所以，所以的轨迹为：以为焦点，的双曲线的右支.即，曲线.所以为曲线上的一动点，则长度最小值为.故选：C12．（2022秋·四川攀枝花·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用双曲线定义可得到，将的最小值变为的最小值问题，数形结合得解.【详解】由题意得，故，如图所示：到渐近线的距离,则，当且仅当，，三点共线时取等号，∴的最小值为.故选：D题型五：双曲线的定点定值问题13．（2023秋·全国·高二期中）已知双曲线C：一个焦点F到渐近线的距离为．(1)求双曲线C的方程；(2)过点的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得为定值？如果存在，求出点N的坐标及该定值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在；点，【分析】（1）根据点到线的距离公式去接即可；（2）设其方程为，，设，，，联立直线与双曲线的方程，得出韦达定理，化简可得，从而得到定点与定值.【详解】（1）由双曲线得渐近线方程为，设，则，∴双曲线C方程为；（2）依题意，直线的斜率不为0，设其方程为，，代入得，设，，，则，，∴若要上式为定值，则必须有，即，∴，故存在点满足

14．（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）已知等轴双曲线的焦点在轴上，焦距为.(1)求双曲线的标准方程；(2)斜率为的直线过点，且直线与双曲线的两支分别交于、两点，①求的取值范围；②若是关于轴的对称点，证明直线过定点，并求出该定点坐标.【答案】(1)(2)①；②证明见解析，【分析】（1）依题意可得，解得、，即可求出方程；（2）设直线，，联立直线与双曲线方程，消元、得到、及；①根据且得到方程组，解得即可；②表示出的方程，令求出，即可得解.【详解】（1）由题意可得，所以双曲线的标准方程为；（2）设直线，联立消去整理可得，则，又，，①因直线与双曲线交于两支，所以且，即；②设，令，则，所以直线过定点.15．（2023秋·全国·高二期中）已知双曲线C：的渐近线方程为，其左右焦点为，，点D为双曲线上一点，且的重心G点坐标为.(1)求该双曲线的标准方程；(2)过x轴上一动点作直线l交双曲线的左支于A，B两点，A点关于x轴的对称点为（与B不重合），连接并延长交x轴于点Q，问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.【答案】(1)(2)4【分析】（1）根据双曲线方程设，，根据重心坐标公式求出，代入原方程即可得到的值，则得到双曲线方程；（2）设的方程为，，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，写出直线的方程，令，解出，将韦达定理式代入整理得，则得到定值.【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为，故可设双曲线的方程为，设，因为的重心点的坐标为，所以，解得，所以，则代入得，所以双曲线的标准方程为（2）由题意知直线的斜率必存在，设的方程为，，则，联立，化简得，则，且，由韦达定理得，，则直线的方程为：，令，则，故.

.题型六：双曲线的定值线和向量问题16．（2023春·江苏南京·高二金陵中学校考期末）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.【答案】(1)(2)证明见解析.【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程；（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上.【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，则由可得，，双曲线方程为.（2）由(1)可得，设，显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，与联立可得，且，则，

直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得：，由可得，即，据此可得点在定直线上运动.【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.17．（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考期中）如图：双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交y轴于点Q．

(1)当直线l平行于的一条渐近线时，求点到直线l的距离；(2)当直线l的斜率为1时，在的右支上是否存在点P，满足？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)2(2)不存在，理由见解析【分析】（1）由点到直线的距离公式可直接求解；（2）先根据斜率求出直线l的方程，从而得点Q，再设出点的坐标，根据得出点的横、纵坐标之间的关系式，与双曲线联立消去，由韦达定理即可解答.【详解】（1）双曲线，焦点在轴上，，则双曲线左、右焦点分别为，，渐近线方程为，当直线平行于的一条渐近线时，不妨令，则直线的方程为，即，则点到直线的距离为.（2）不存在，理由如下：当直线l的斜率为1时，直线方程为，因此，又，所以，设的右支上的点，则，由得，又，联立消去得，由韦达定理知，此方程无正根，因此，在的右支上不存在点P，满足.【点睛】关键点睛：本题考查直线与双曲线的综合应用问题，解题关键是能够利用来构造等量关系，结合韦达定理得到结论.18．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期末）已知双曲线：（，）的左顶点为，到的一条渐近线的距离为．(1)求的方程；(2)过点的直线与交于，两点，求的值．【答案】(1)(2)0【分析】（1）由题意知，取双曲线的一条渐近线，再根据点到直线的距离公式即可得到与关系式，从而求得，进而可求得的方程；（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则可得到，的坐标，进而可直接求解的值；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立直线的方程和的方程可得到关于的一元二次方程，从而可得到，，代入即可求解的值，综上，即可得到的值．【详解】（1）由题意知，的一条渐近线方程为，即，所以到的一条渐近线的距离为，所以，又，解得，所以的方程为．（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易得，或，，所以；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立，得，所以，解得，所以，，所以．综上，．【专题训练】一、单选题19．（2023春·四川广元·高二广元中学校考期中）双曲线的左焦点为F1（－c,0），过点F1作直线与圆x2＋y2＝相切于点A，与双曲线的右支交于点B，若，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】推导出点为线段的中点，由中位线的性质可得，由双曲线的定义可得出，再利用勾股定理可得出关于、的齐次等式，进而可求得该双曲线的离心率.【详解】设双曲线的右焦点为，连接，

，所以，，即，是的中点，过点作直线与圆相切于点，，是的中点，，，，，由双曲线的定义可得，，，，因此，该双曲线的离心率为.故选：B.20．（2023秋·吉林辽源·高二校联考期末）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则的面积等于（

）A．24 B．15 C．12 D．30【答案】A【分析】利用双曲线定义求出的三边长度，根据余弦定理求出三角形的夹角，最后通过三角形正弦定理面积公式求出面积.【详解】，根据双曲线定义：，，，，根据余弦定理：，则，.故选：A21．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二兴城市高级中学校考期末）过双曲线C：上一点P作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点Q，的面积为1（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设点，写出过点P与一条渐近线平行的直线方程，再与另一条渐近线方程联立，解出点Q的坐标，表示的面积，求解值，得出双曲线C的离心率.另外，作为一个小题，也可以利用特殊值，取P为双曲线的右顶点，再计算结果.【详解】方法一：设点，代入双曲线C的方程，得，即.双曲线的渐近线方程为，过P与平行的直线方程为，直线与轴交于.联立，解得.，得，∴双曲线C：为等轴双曲线，其离心率为．方法二：不妨取P为双曲线的右顶点，双曲线的渐近线方程为，过A与平行的直线方程为，联立，解得，则，得a＝2．∴双曲线C：为等轴双曲线，其离心率为．故选：A．22．（2023秋·全国·高二期中）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用点差法求解.【详解】解：设，则，两式相减得直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，经检验此时与双曲线有两个交点.故选：A23．（2023秋·广东广州·高二海珠外国语实验中学校考期末）点，是曲线C：的左右焦点，过作互相垂直的两条直线分别与曲线交于A，B和C，D；线段AB，CD的中点分别为M，N，直线与x轴垂直且点G在C上.若以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，则圆面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】讨论斜率，斜率存在时设、联立曲线C，应用韦达定理求线段AB，CD的中点坐标，进而确定的方程，可得过定点，若以G为圆心的圆半径为，只需保证可满足圆与直线恒有公共点，即得面积最小值.【详解】当直线斜率均存在时，令且，则，联立与曲线C并整理得：，且，则，所以，故，联立与曲线C并整理得：，同理，，，可得，直线，故过定点，当直线中一条的斜率不存在时，令，则，所以，，故过，而，要使以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，且圆面积最小，若圆的半径为，只需恒成立，故圆最小面积为.故选：B【点睛】关键点点睛：讨论直线斜率，设直线方程联立曲线方程，结合韦达定理求线段中点坐标，进而确定的方程，得到过定点，根据恒有公共点有圆半径为，只需保证恒成立即可.24．（2023春·上海虹口·高二上海市复兴高级中学校考期中）已知曲线：，为上一点，①的取值范围为；

②的取值范围为；③不存在点，使得；

④的取值范围为.则上述命题正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】对于①，分段化简方程，得到图形，数形结合得到①错误；对于②，数形结合，结合椭圆性质得到②正确；对于③，根据渐近线性质及图形可得③正确；对于④，利用的几何意义，结合三角换元得到的取值范围.【详解】对于①，曲线得到，画出图形如下：其中为渐近线，

由曲线和图形可知，故①错误；对于②，可看做曲线上的点到原点的距离，显然无最大值，当点位于椭圆上时，距离原点的距离取得最小值，则，故当时，取得最小值，最小值为1，则的取值范围为，②正确；对于③，因为直线与渐近线平行，故不存在点，使得，③正确；对于④，表示点到直线的距离的倍，又直线与渐近线平行，且距离为，故，由图形可知，在上时，到直线的距离取得最大值，设，则到直线的距离为，当且仅当时等号成立，故的取值范围为，④正确.故选：C【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．25．（2022秋·河南郑州·高二郑州市回民高级中学校考期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，△和△的内心分别为M，N，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设圆M与△的三边分别切于点D，P，E(参考解析中的图)，根据圆的切线长定理得到相关线段的相等关系，结合双曲线的定义及线段关系可得，进而确定E的坐标，设并确定其范围，由及平方关系、二倍角正弦公式和正弦函数的性质求范围.【详解】设圆M与△的三边分别切于点D，P，E，设E为，如下图示：由圆的切线性质知：，，，由双曲线的定义知：，即，故，可得，即，故圆M切x轴于双曲线的右顶点处，同理圆N也切x轴于双曲线的右顶点处，又，所以，则，设，易知：，又分别为和的平分线，所以，，，所以，又，所以.故选：A．【点睛】关键点点睛：利用圆切线的性质、双曲线定义求出圆与x轴坐标相切的点坐标，并得到，结合表示出，注意的范围.二、多选题26．（2023春·浙江·高二校联考期末）双曲线，点，则（

）A．该双曲线渐近线为B．过点的直线与双曲线交于两点，若，则满足的直线有1条C．与双曲线两支各有一个交点的直线斜率可以是1.1D．过点能作4条仅与双曲线有一个交点的直线【答案】ACD【分析】由双曲线渐近线的定义可求出渐近线方程，判断A选项；再由直线与双曲线的位置关系依次判断选项B、C、D.【详解】由题意，双曲线，则双曲线渐近线为，选项A正确；依题意，当过点的直线直线与双曲线的右支交于两点时，通径最短，为，当直线与双曲线的两支交于两点时，的最小值为，所以，若，则满足条件的直线有3条，故选项B错误；由于双曲线渐近线为，与双曲线两支各有一个交点的直线斜率，而，选项C正确；过点能作两条与渐近线平行的直线和两条切线，均与双曲线只有一个交点，故满足条件的直线有4条，选项D正确.故选：ACD

27．（2023春·新疆阿勒泰·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的焦点与双曲线C的一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（

）A． B．的周长为16C．的面积为 D．【答案】AB【分析】根据双曲线的焦点即可求解抛物线的定义，即可判断A，联立双曲线方程与抛物线方程，即可求解交点坐标，利用点点距离即可求解长度，即可判断BC,由余弦定理即可判断D.【详解】由已知，双曲线右焦点，即，故A项正确．且抛物线方程为．对于B项，联立双曲线与抛物线的方程，整理可得．，解得或（舍去负值），所以，代入可得，．设，又，所以，，，则的周长为16，故B项正确；对于C项，易知，故C项错误；对于D项，由余弦定理可得，，故D项错误．故选：AB

28．（2023春·云南大理·高二云南省下关第一中学校考期中）下列说法正确的是（

）A．抛物线的准线方程是B．双曲线的离心率C．双曲线的焦点F到渐近线的距离是bD．双曲线，直线l与双曲线交于A，B两点，若AB的中点坐标是，则直线l的斜率为【答案】BC【分析】选项A，B由抛物线与双曲线的几何性质可得，选项C由点线距离公式可求；选项D弦中点问题由点差法可得.【详解】A选项，抛物线开口向左，准线方程是，所以A错误；B选项，因为双曲线，则标准方程为，所以，则，所以离心率，故B正确；C选项，双曲线，焦点坐标为，由对称性，不妨取其中一个焦点与一条渐近线求解.其中一条渐近线方程为，右焦点所以焦点到渐近线的距离为，焦点到另一条渐近线的距离也等于，故C正确；D选项，由题意知，直线l斜率存在且不为.设，则，两式相减整理得：，即，因为AB的中点坐标是，则，代入上式得所以直线的斜率为，故D错误.故选：BC.29．（2023春·湖南·高二校联考期末）已知双曲线：的左，右焦点分别是，，渐近线方程为，点在双曲线上，点为双曲线右支上任一点，则（

）A．双曲线的离心率为B．右焦点到渐近线的距离为6C．过双曲线右焦点的直线与交于，两点，当时，直线有3条D．若直线与双曲线的另一个交点为，为的中点，为原点，则直线与直线的斜率之积为9【答案】BD【分析】根据渐线以及可得双曲线的方程为，即可根据点到直线的距离公式以及双曲线的离心率公式求解AB,根据有斜率和无斜率，分别求解两种情况下的最短弦长，即可进行判断C，设点坐标，根据点差法即可由中点弦的斜率公式化简求解D.【详解】因为渐近线方程为，所以可设双曲线：为：，又因为点在双曲线上，所以，从而双曲线：，故，所以离心率为，故A错误；由题可知右焦点为，所以点到渐近线的距离为，故B正确；若轴，当时，将其代入得，则，所以与右支不可能有两个交点，若与轴不垂直，与的左，右支交于，两点，因为，所以存在两条直线分别交左右两支各一点.综上可得：满足条件的直线有2条，故C错误；设，，，则，，因为，在双曲线上，所以①，②，①②并整理得，因为，，所以，，故D正确.故选：BD.【点睛】1.求圆锥曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．2.解答直线与圆锥曲线相交的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．三、填空题30．（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点是双曲线的一条渐近线上一点，且．若的面积为，则双曲线的离心率为．【答案】【分析】不妨设点为第一象限内一点，设点，其中，由已知可得出，求出点的坐标，利用三角形面积公式可出、的等量关系式，即可求得双曲线的离心率的值.【详解】不妨设点为第一象限内一点，双曲线的渐近线方程为，设点，其中，易知、，，，因为，则，因为，解得，即点，所以，，所以，，所以，，因此，双曲线的离心率为.故答案为：.31．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知椭圆与双曲线的交点分别为，则四边形的面积为．【答案】【分析】由椭圆和双曲线的对称性可得四边形为矩形，联立椭圆和双曲线方程解出交点坐标即可求解.【详解】由椭圆和双曲线的对称性可得四边形为矩形，联立，解得，所以，故答案为：32．（2023秋·重庆·高二校联考期末）若点依次为双曲线的左、右焦点，且，，.若双曲线C上存在点P，使得，则实数b的取值范围为.【答案】【分析】由题意可得，结合点P在双曲线上，可得，利用双曲线的x的范围可推出，再结合，即得答案.【详解】设双曲线上的点满足，即，即，又，，即，，且，，则，，又，实数b的取值范围是，故答案为：.33．（2022秋·山东青岛·高二统考期末）已知，是双曲线的两个顶点，的离心率为，为上一点，记直线，的斜率分别为，，则.【答案】2【分析】根据斜率公式以及点在双曲线上即可代入化简求值.【详解】不妨设双曲线方程为，由题意可知，设，则，故答案为：234．（2021秋·黑龙江大庆·高二铁人中学校考期末）已知为坐标原点，点是双曲线的左焦点，过点且倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为.【答案】/【分析】设双曲线的右焦点为点，连接，分析出为直角三角形，求得、，再利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值.【详解】设双曲线的右焦点为点，连接，因为，所以，，因为为的中点，则，故，所以，为等边三角形，且，故，所以，，，由双曲线的定义可得，因此，.故答案为：.四、解答题35．（2023春·新疆和田·高二校考期中）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，，且过点(1)求双曲线的方程；(2)求的面积.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用双曲线参数关系及点在双曲线上列方程求，即得方程；（2）根据所得双曲线方程确定，且到轴距离为，结合三角形面积公式求面积即可.【详解】（1）由且，则，又点在双曲线上，则，综上，，即双曲线的方程为.（2）由（1）知：，而到轴距离为，所以的面积为.

36．（2023春·河南周口·高二统考期中）已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4．(1)求双曲线的标准方程；(2)A为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A的两点，且．①证明：直线过定点；②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值．【答案】(1)(2)①证明见解析；②9【分析】（1）由渐近线方程与焦距可得答案；（2）①设直线MN方程为，将其与双曲线方程联立，利用韦达定理及题目条件可得，后由题意可得所过定点坐标；②结合①及图形可得都在左支上，则可得，后由图象可得，后通过令，结合单调性可得答案.【详解】（1）设双曲线的焦距为，由题意有解得．故双曲线的标准方程为；（2）①证明：设直线的方程为，点的坐标分别为，由（1）可知点A的坐标为，联立方程消去后整理为，可得，，，由，有，由，可得，有或，当时，直线的方程为，过点，不合题意，舍去；当时，直线的方程为，过点，符合题意，故直线过定点；

②由①，设所过定点为，，，若在双曲线的同一支上，可知都在左支上，有，可得，故的面积为，令，可得，有，由函数为函数值都为正的减函数，可得当时，的面积的最小值为9．

【点睛】关键点睛：求直线所过定点常采取先猜后证或类似于本题处理方式，设出直线方程，通过题目条件求出参数或找到参数间等量关系；求圆锥曲线中三角形面积的最值或范围，首先需结合图象或已知得到面积的表达式，后通常利用换元等思想将问题转化为求相关函数的值域.37．（2023春·湖北荆门·高二统考期末）已知双曲线：的实轴长为2，两渐近线的夹角为．(1)求双曲线的方程：(2)当时，记双曲线的左、右顶点分别为，，动直线：与双曲线的右支交于，两点（异于），直线，相交于点，证明：点在定直线上，并求出定直线方程．【答案】(1)：或：(2)证明见解析，定直线【分析】（1）根据实轴长度确定a的取值，再根据渐近线夹角确定渐近线斜率，从而确定b的取值，写出解析式；（2）首先联立直线与双曲线方程，根据韦达定理确定，两点坐标