山西大学附中高三年级数学开学诊断测试

/山西大学附中2025～2026学年第二学期高三2月模块诊断数学试题一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．命题“”的否定是（

）A． B．C． D．2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知空间向量，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．若，则（

）A． B． C． D．5．下列函数中，是偶函数且在区间上有最小值的是（

）A． B． C． D．6．将5名程序专家全部分配到1，2，3号3个实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，其中专家必须去1号实验室，则不同的分配方案共有（

）A．26种 B．36种 C．38种 D．50种7．如图，在平面四边形中，，是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线折成一个大小为的二面角，则四面体的外接球的体积为（

）

A． B． C． D．8．若函数在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”.已知函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．

二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9．已知一组样本数据：、、、、、、、、，下列说法正确的是（

）A．这组数据的平均数为 B．这组数据的分位数为C．去掉一个样本数据后方差变小 D．每个样本数据都减后方差变小10．已知数列满足，是的前项和，则下列说法一定正确的是（

）A．B．C．是等比数列D．若，当为奇数时，满足的的最大值为4311．已知抛物线C：的焦点为F，准线与x轴交于点H，过第一象限C上一点P作的垂线，垂足为Q，线段与C相交于点M，若，则（

）A．直线的斜率为 B．为的平分线C．的面积为 D．H，M，P三点共线三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12．若椭圆上一点到C的两个焦点的距离之和为，则.13．已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为．14．中，，则的最大值为．四、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（本小题13分）已知的内角的对边分别为，且，(1)求的大小；(2)若，求的面积．

16．（本小题15分）已知椭圆，点在椭圆上，且点到两焦点和的距离之和为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若点的坐标为，过点的直线与椭圆交于（异于点）两点，且直线的斜率为，求的面积．17.（本小题15分）如图，三棱台中，平面，，，分别是棱的中点.(1)证明：平面平面；(2)已知三棱台的体积大于2，且直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值.

18．（本小题17分）近年来足球赛事中，单败淘汰赛制（输一局就淘汰）与新兴的双败赛制并存，为比赛增添了许多看点.现有四支队伍A、B、C、D参与赛事，其中是强队，对阵B、C、D的获胜概率均为，，而B、C、D彼此之间对阵时获胜概率均为.经抽签，第一轮比赛时，和对阵，和对阵.单双败赛制规则如下图所示：(1)若赛前要从4支队伍中随机选出2支队伍打一场热身赛，求选出的两支队伍恰好是和的概率；(2)若，在单败淘汰赛赛制下，获得冠军的概率是多少？(3)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并据此证明双败赛制对强队更有利.1